CC BY
24
MECHANICS | Juvenis scientia 2016 № 5
3
УДК: 519.6, 531 ГРНТИ: 30.17.15
ОБ АППРОКСИМАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ
И. А. Панкратов*
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83 * email: [email protected]
В статье построено приближённое решение нестационарных одномерных уравнений мелкой воды. Приведён пример численного решения задачи. Работа является развитием наших предыдущих исследований.
Ключевые слова: метод частичной дискретизации, аппроксимация, базисная функция.
APPROXIMATION OF NON-STATIONARY SHALLOW WATER EQUATIONS I. A. Pankratov*
National Research Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., 410012, Saratov, Russia * email: [email protected]
In the article approximate solution of non-stationary one-dimensional shallow water equations was constructed. An example of a numerical solution of the problem is given. The paper is of our previous studies.
Keywords: method of partial discretization, approximation, basis function.
В настоящей работе рассмотрена математическая модель движения жидкости, полученная путем применения усредненных по вертикали характеристик (так называемых уравнений мелкой воды).
Основные уравнения движения жидкости при упрощениях, в результате которых получаются уравнения мелкой воды, можно записать в виде [2]
, д(рН) =[)
(1)
dt
Граничные и начальные условия для этой системы имеют вид
(2)
Здесь q - поток количества жидкости (масса жидкости, приходящаяся на единицу длины и времени), р - плотность жидкости, Н - возвышение свободной поверхности; ,
в\= созэ - 4-4 - р гн— - я^
с Р Н' 8х. За
- коэффициент ветрового напряжения; ра - плотность воздуха; W- скорость ветра, 9 - угол между осью х и направлением ветра; g - ускорение свободного падения, с - коэффициент Шези; ра - атмосферное давление, L - длина водоёма (масштаб длины).
Для решения задачи удобно перейти к безразмерным переменным (атмосферное давление, плотности воздуха и жидкости полагаются постоянными):
Здесь
Н = NHb, W=KWb, q=Qq°.
и р=
есть масштабы времени, высоты свободной поверхности, скорости и потока соответственно (в дальнейшем верхний индекс «6» у безразмерных переменных опускается).
Отметим, что ранее в работах [3-6] были рассмотрены стационарные уравнения мелкой воды. При этом уравнения (1) были сведены к уравнению Пуассона относительно функции тока, решение которого искалось методом взвешенных невязок.
Для решения нестационарных уравнений (1) воспользуемся методом частичной дискретизации [7]. Приближённое решение будем искать в виде линейной комбинации базисных функций, при этом коэффициенты разложения будут зависеть от времени
V
Ч'Ч = ЪО) - У at (t)Nqk (л),
(3)
H*,H = Hf,(x)-J^bk(t)NIlk(x).
гдеА/- количество Ьазисных функций, ak, Ьк- искомые коэффициенты разложения, q0(x) и H0(x) - поток и высота уровня жидкости в начальный момент времени. В качестве базисных функций удобно взять Nqk(x)=xk(1-x), NHk(x)=xt-1. Здесь уже учтены граничные условия (2) в безразмерных переменных:
q(0,t) = q(l,t) = О
Пусть H0(x) = Hq = const , тогда начальные условия для этой системы имеют вид
Н(Х,0) = Н1 4(>,0) = д0(х) = 0
или
%(0) = Ьк(0) = 0, к = Ш.
Рассмотрим подробнее случай, когда для аппроксимации потока и высоты свободной поверхности использованы по две базисные функции. В этом случае (3) примет вид
q q - £j[(f)x(l - 1) 4- а, (r)x (1 - x), H к H =b (t) + b2(t)x.
Подставляя эти разложения в систему (i), получим согласно методу частичной дискретизации, следующую систему
4
Juvenis scientia 2016 № 5 | МЕХАНИКА
Ц (f)j:(l - x) - a2 (t)x2 (1 - ,r)}f
■ (¿,(0 + b2(t)x)b2(f) W,(x)d\ = 0.
Здесь ws(x), s = 1,2 - весовые функции.
Отметим, что из-за сложности подынтегральных выражений в данной задаче трудно применить метод Галёрки-на, в котором весовые функции совпадают с базисными. Выберем в качестве весовых функций дельта-функции Дирака (при этом точками коллокации будут являться x1 = 1/3 и x1 = 2/3 соответственно). Тогда после вычисления интегралов, входящих в (4), получим систему четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций a(t), a2(t), b(t), b2(t):
2 d(\(t) 2 da2(t) _ 9 dt 27 dt ~
1 1 sisi.ft) ^
27 dt 2 de\(f) _ 4 da.it)
9 dt 27 dt 1 , , 1 d}\{t) 1 dh,{t)
3 dt
-a. (i) + -a,(i) + -3 VJ 3 dt
0,
3 dt 3 dt
Здесь/ ^ = 1,2 - сложные выражения. Разрешая указанную систему относительно первых производных от искомых функций, получим задачу Коши с начальными условиями
а(0) = а2(0) = Ь(0) = Ь2(0) = 0. Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета Scilab [8].
Результаты решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей течение мелкой воды, приведены на рисунке 1. В начальный момент времени высота свободной поверхности полагалась равной Н0 = 0.01; при этом W = 1, 9 = 0.
Рис. 1 - Высота свободной поверхности
Показан закон изменения высоты свободной поверхности (Н* = 10Н) для двух базисных функций. Разные линии соответствуют разным моментам времени t = 0,06,...,2.4 (снизу вверх).
В дальнейшем предполагается рассмотреть случай, когда искомые функции зависят от двух пространственных переменных и времени.
Панкратов И. А. Численная аппроксимация линий тока методом Галёркина // Juvenis scientia. 2016. № 2. С. 4-6. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.
Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В., Рудченко Е. А. Scilab: Решение инженерных и математических задач. М.: ALT Linux; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 269 с.
Поступила в редакцию 06.09.2016
6
7
ЛИТЕРАТУРА
1. Панкратов И. А., Рымчук Д. С. Расчёт течений мелкой воды // Математика. Механика. 2014. № 16. С. 120-124.
2. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с.
3. Маркелова О. И., Панкратов И. А. Расчет циркуляции воды в озере // Математика. Механика. 2014. № 16. С. 114-117.
4. Ильясова Т. А., Панкратов И. А. Математическое моделирование циркуляции воды в озере // Математика. Механика. 2015. № 17. С.101-104.
5. Панкратов И. А. Изчисляване на линията на тока по време на циркулация, предизвикана от ветрове // Парадигма. 2016. № 1. Т. 1. С. 115-119.
