CC BY
84
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
И. А. Панкратов*
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83 * email: [email protected]
В статье рассмотрена задача оптимального управления для случая, когда время окончания управляемого процесса фиксировано. Функционал, определяющий качество процесса управления, характеризует затраты энергии на управление. Предложен способ построения приближённого решения задачи, основанный на методе конечных элементов. Приведен пример численного решения задачи.
Ключевые слова: метод конечных элементов, оптимальное управление.
FINITE ELEMENT METHOD IN OPTIMAL CONTROL PROBLEMS I. A. Pankratov*
National Research Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., 410012, Saratov, Russia * email: [email protected]
In this article the optimal control problem is considered. Duration of the controlled process is fixed. It is necessary to minimize the functional that characterizes energy consumption. A method of constructing an approximate solution based on the finite element method is proposed. Example of numerical solution of the problem is given.
Keywords: finite element method, optimal control.
Постановка задачи
Рассмотрим следующую краевую задачу с закреплённым правым концом траектории, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений (1)
(1)
порядка 2п и 2п краевыми условиями (2)
Здесь Т - заданное время окончания управляемого про-
(2)
44
цесса; x =
1 Xn
локальные минимумы, где итерационные методы не дают хороших результатов.
Метод конечных элементов
Для решения указанной краевой задачи ранее в работах [5-8] применялись метод Галёркина и метод поточечной коллокации с полиномиальными базисными функциями. При этом условия на левом конце траектории удовлетворялись точно, а на правом - приближённо. В настоящей работе рассмотрен случай, когда базисные функции являются линейными и кусочно-определёнными. Пусть отрезок времени [0;Т] разбит М точками на М-1 равных конечных элементов длины Н = Т / (М - 1) , тогда линейные базисные функции имеют вид
- вектора фазовых и сопряжённых
переменных соответственно; Л.. , В. - постоянные величины;
и = и"° = 2- оптимальное управление, найденное из условия максимума функции Гамильтона-Понтрягина [1]. (Управление иопт соответствует случаю, когда минимизирует-
Т
ся функционал ^ = 1, характеризующий затраты энергии.)
о
Традиционно для решения краевых задач оптимального управления (см. например, работы Р.П. Федоренко [2], Ф.П. Васильева [3]) применяются метод Ньютона, метод градиентного спуска [4] и другие итерационные методы. Отметим, что в общем случае не найдены формулы для нахождения неизвестных начальных значений сопряжённых переменных. При этом начальные приближения для значений сопряжённых переменных плохо сходятся к тем значениям, которые доставляют нули невязкам из-за постоянного попадания в их
Будем искать приближённое решение рассматриваемой задачи оптимального управления в следующем виде [9]:
л/ _
х} * х ; = У а}(0, } = 1,1% (з)
к=\ M
(4)
Подставляя разложения (3), (4) в фазовые и сопряжённые уравнения (1), получим невязки я[1о;Т] и следующего вида
(' = 1,и): м
dN, " 1 "
- N* - ô S BjNk
at 7-, 2 ■Д
M
= У,
к=1
dN,
N,
8
Juvenis scientia 2016 № 2 | МЕХАНИКА
Для получения приближённых равенств Щ0;т] ~ 0 и ~ 0 при t е[0;Г ] воспользуемся методом Галёркина с одновременной аппроксимацией краевых условий на правом конце траектории, выбрав систему весовых функций Шк = Мк, к = 1,М и требуя, чтобы выполнялись равенства
(5)
(6)
Второе слагаемое в (6) добавлено для того, чтобы найти решение задачи, приближённо удовлетворяющее условиям при Г = Т.
Учтём граничные условия на левом конце траектории. Так
Nm{h(r-\)) =
0. если т Ф г:
1, если т = г:
то xJ(h(m-1) =2aJkNk(h(m-1) = ajm . Таким образом, n уравнений из (5) нужно заменить на
J 1 И-
(7)
" 2 '
б) во втором уравнении системы (8)
в) в третьем уравнении системы (8)
После этого из полученной неоднородной системы вида Ka = f
можно будет определить коэффициенты aJk и тем самым построить решение уравнений (1), точно удовлетворяющее условиям при t = 0, и приближённо - условиям при t = T.
Пример численного решения задачи
Пусть материальная точка массы m кг движется прямолинейно под действием управляющей силы F(t) и силы сопротивления Fconp. = - kv, где v - скорость точки. Согласно второму закону Ньютона движение точки описывается урав-
нением m —г = F(t) - к .
Введём фазовые координаты Xj = x (координата точки), x2 = dx / dt = v; управляющий параметр u = F(t) / m и сопряжённые переменные щ2.Тогда краевая задача (i), (2) примет вид
г) в последнем уравнении системы (8)
В начальный момент времени состояние управляемой системы определяется соотношением
о О I Ч' при Г — 0 х — х -
в конечный момент времени
при 1 = Т х = хК =
Вычислив по приведённым формулам компоненты матрицы жёсткости одного конечного элемента, суммированием по всем таким элементам получим компоненты матрицы жёсткости системы (5), (6).
Затем заменим первое и (М + 1)-е уравнения (5), (6) на уравнения (7) для точного учёта условий при Г = 0. После этого в матрицу жёсткости системы К и столбец свободных членов/ останется добавить элементы кшм =-1; Ан =-х'
(остальные элементы столбца / равны нулю). Это позволит приближённо учесть условия при Г = Т.
Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета Scilab [10].
При этом оптимальное управление имеет вид Отметим, что в матрице жёсткости ке элемента [Ге;Ге+1] (Ге+1 = Ге + к = ек) ненулевыми в данном случае являются лишь следующие компоненты (е = 1,М-1): а) в первом уравнении системы (8)
2 4 6 8
Рис. 1. Координата и скорость точки
как
Рис. 1. Координата и скорость точки
На рис. 1,2 показаны результаты решения задачи о движении точки под действием управляющей силы и линейной силы сопротивления движению для следующих значений параметров (координата точки измеряется в метрах, скорость -
Отметим, что погрешность определения координаты точки меньше, чем погрешность определения её скорости.
Отметим также, что при t = Т / 2 = 5 сек скорость точки достигает своего минимального значения и Г = 5 сек - точка перегиба функции х1 = х1(Г).
В дальнейшем предполагается применить изложенный выше метод к решению нелинейной задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата [11, 12].
ЛИТЕРАТУРА
1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 393 с.
2. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.
3. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.
4. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. 424 с.
5. Панкратов И. А. Решение задач оптимального управления методом взвешенных невязок // Математика. Механика. 2014. № 16. С. 117-120.
6. Панкратов И. А. Применение метода Галёркина к решению линейных задач оптимального управления // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып.
3. С. 340-349.
7. Панкратов И. А. Об одном методе решения задач оптимального управления // Международна научна школа "Парадигма". Лято-2015. В 8 т. Т. 2: Информационни технологии: сборник научни статии / под ред. О.Я. Кравец. Варна: ЦНИИ «Парадигма». 2015. С. 204-212.
8. Панкратов И. А. Применение метода поточечной коллокации в задачах оптимального управления // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. 2015. Т. 3. № 8-3 (19-3). С. 365-368.
9. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.
10. Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В., Рудченко Е. А. Scilab: Решение инженерных и математических задач. М.: ALT Linux; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 269 с.
11. Челноков Ю. Н., Панкратов И. А. Переориентация орбиты космического аппарата, оптимальная в смысле минимума интегрального квадратичного функционала качества // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 8. С. 74-78.
12. Челноков Ю. Н., Панкратов И. А. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 1. С. 70-73.
Поступила в редакцию 09.03.2016
