Аппроксимирующие функции прогиба в задачах устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

случае, поведение дисперсионных кривых стремиться к упругому случаю.

4. В окрестностях частот запирания упругого спектра ветви наследственно-упругого спектра имеют наибольшую кривизну. Увеличение значения k, как и уменьшение значения в-, ведет к сглаживанию дисперсионных кривых в этих областях. Таким образом, упругий спектр приближенно можно рассматривать как асимптотический для наследственно-упругого при k ^ 0 в >> 1 •

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Sergeeva N. V. The Dispersion Equations for Thin Viseoelastie Cylinder // Представляем научные достижения миру. Естественные науки : материалы V международной конференции молодых ученых «Presenting Academic Achievements to the World». Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 5. С. 179-185.

2. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М, : Наука, 1977. 384 с.

3. Березин В. Л., Каплунов Ю. Д., Коссович Ю. И. Дисперсионные уравнения для тонкого цилиндра. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1994. 17 с.

4. Барышев А. А., Лысункина Ю. В. О применении метода продолжения решения по параметру к анализу дисперсионных уравнений в системе Mathematica // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 108-111.

УДК 539.3

Э. В. Антоненко

АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ ПРОГИБА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1. Устойчивость и колебания механических систем с переменными характеристиками по длине их элементов представляют большую и сложную проблему. Поведение таких неоднородных систем зависит от величины критических сил и частот собственных колебаний [1-4].

Математическое содержание проблемы сводится к определению собственных значений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при заданных граничных условиях. Математические модели, основанные на классической теории дифференциальных уравнений и механике тонкостенных конструкций, не позволяют получить в общем виде аналитические зависимости для критических сил и частот собственных колебаний.

Приближенные решения таких задач удается получить при использовании энергетических методов Рэлея, Тимошенко, Ритца, когда форма прогиба задается с точностью до одного неопределенного параметра. Функции прогиба должны удовлетворять граничным условиям.

Рассмотрим задачи устойчивости при осевом сжатии и собственных поперечных колебаний в пределах упругости неоднородного стержня. Жесткость Е1 = О и погонная масса т переменны вдоль оси х.

2. Критическую силу N. определяют из дифференциального уравнения изогнутой оси стержня (см. [3,4]

d2 ^ + N. ^ = 0, (1)

dx2 \ dx2 J dx2

где y = y(x) - функции прогиба. Для стержней с постоянной жесткостью EI = D = const уравнение (1) принимает вид

yIV(x) + a2y"(x) = 0, а2 = E^. (2)

Здесь и далее штрихами обозначены производные по осевой координате.

Из уравнения (2) для различных граничных условий получены классические выражения критической силы однородного стержня

n2EI EI п2

N.0 = —^2; N.o = ; п = ^, (3)

(мl)2 12 м2

где l - длина стержня. Значение коэффициентов м и П учитывающие граничные условия, приведены в таблице.

Для неоднородных стержней уравнение (1) имеет вид

y'V(x)+2 W) y'"(x) +

D"(x) + N.

D(x) D(x)

У" (x) = 0. (4)

Из уравнения (4) выражения для N. в виде подобном (3) получить не удается.

Относительно простые выражения для критической силы можно получить из формулы Рэлея

¡Е1 (х)[у"(х)]Чх

N. = ^-. (5)

j[y'(x)}2dx о

Входящие в (5) функции прогиба, удовлетворяющие граничным условиям, приведены в таблице. Тригонометрические аппроксимирующие функции при подстановке в (5) дают значения критической силы, совпадающие с точными решениями (3). Аппроксимирующие функции в виде полиномов дают завышенные значения (погрешности расчетов А отражены в таблице), что соответствует теореме Рэлея.

№ Граничные условия Функции и коэффициенты Параметры

1 2/(0) = /(0) = 0 у(х) = Аэш2^: Ц = 1,?/ = 7Г2,

у(1) = у"(1) = 0 у[х) = .г4 — 21х3 + 13х кп=Т+0(1-Т)+ +ф-1 А = +2, 3%

2 у( 0) = ¡/(О) = 0 у{х) = .Ып;!у : ц = 0.5,1] = 47Г2,

У(1) = У'(1) = о у(х) = .г4 — 21х3 + 12х2 кп=Т + 0(1-Т)+ , /л "Т^Тч э1и 4;?7Г7 ■П1 и) 4»ТГ А = +3,1%

3 у( 0) = у'( 0) = 0 у{х) = Л(1 -С08^); // = 2,?? = 0.257т,

у"(1) = у'"{1) = 0 у(х) = .г4 — 41х3 + 612х2 =1 + Т)(1 -/) + (!- П)^ А = +4, 3%

3. Дифференциальное уравнение собственных поперечных колебаний стержня можно получить из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Оно имеет вид (см. [2])

д 2у

, д2у д2 т(х) дй* +

Е1 (х)

дх2

= 0.

(6)

Для однородного стержня из уравнения (б) следует (см. [2, 4])

у1У (х) - к4у(х) = 0; к4 =

где щ - круговая частота колебаний. Из уравнения (7) следует

тщ ~ЕГ

(7)

2 4 Е1

щ = атг4

а = к/,

(8)

а

закрепления краев стержня а = пп, при смешанных граничных условиях а = (4п + 1)п/4, если п - номер тона колебания. Значения а для первых четырех тонов приведены в [4].

Для неоднородных стержней уравнение (б) имеет вид

у1У(х) + 2^у"\х) + ^Т^у"(х) - тйщ2у(х) = 0,

Я(х)

Я(х)

Я(х)

(9)

из которого искомую величину и2 в виде (8) получить не удается.

^лгр^уу р^л^д ТТОЗВОЛЯСТ ПОЛУ НИ^ТЪ)

} П(х)[у"(х)}2ёх

и2 = ^-. (10)

/ ш(х)у2(х)^х о

В зависимости (10), как ив (5), функции прогиба у (х) должны удовлетворять граничным условиям. Полиномы, приведенные в таблице, позволяют получить частоты только первого тона. Аппроксимирующие тригонометрические функции при использовании (10) дают значения и, совпадающие с точным решением (8) для однородных стержней.

4. На основе результатов численных эксперимертов и сравнения их с имеющимися для некоторых частных законов неоднородностей стержней предлагается для расчета Ж* и и использовать аппроксимирующие функции из таблицы для стержней с монотонной и дискретной по их длине неоднородностью.

Например, для шарнирно опертого стержня со ступенчато изменяющейся неоднородностью (О = и ш = тх при 0 ^ х < 1\\ О = О2, т = т2 при ¡1 < х ^ I), для которого _ = у, О = Ш = получим выражение критической силы

/ 2

N = км, = — О,

V 1 / ^ _ (11)

км = км (_, О) = _+ О (1 - _ + (О - 1)^Г>

N. - критическая сила при рассматриваемых граничных условиях однородного стержня с жесткостью Для однородных стержней км = 1-Графическая зависимость км = км (_, О) для этих граничных условий приведена на рисунке.

Частоты собственных колебаний таких неоднородных стержней удобно представить в виде, аналогичном (11):

и = иокш, кш = кш (_, О, ш),

где и0 - частоты колебаний однородных стержней с жесткостью и погонной массой т\.

Результаты расчетов км и кт для разных видов неоднородностей и граничных условий подготовлены к печати.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Антоненко Э. В., Шульга Т. Э. Модели выгоднейшего изменения толщины тонких цилиндров при осевом сжатии // Вестн. Сарат. техн. ун-та. 2014. № 4. С. 3 10.

2. Бабаков И. М. Теория колебаний. М, : Наука, 1965. 559 с.

3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М, : Наука, 1974. 640 с.

4. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник : в 3 т. М. : Машиностроение, 1968. Т. 3. 568 с.

УДК 532

Т. А. Ильясова, И. А. Панкратов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ ВОДЫ В ОЗЕРЕ

1. Постановка задачи. В работе [1] была рассмотрена упрощённая модель течений в озерах, бассейнах и других водоёмах для начальной оценки циркуляции. Такие течения могут описываться линеаризованными уравнениями, получающимися из уравнений количества движения, если в них пренебречь инерционными членами и членами, зависящими от времени в уравнении неразрывности [2].

В статье [1] было показано, что решение указанной задачи сводится к уравнению Пуассона относительно функции тока 'ф :

W = 7 V2'. (1)

Здесь W = дг\\3/дх2 — дт2\3/дх\ - величина, зависящая от ветрового воздействия; 7 - коэффициент ветрового напряжения. Величины гх\3, т2\5 обусловлены ветровыми напряжениями.