Наискорейшие манёвры самолёта в горизонтальной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,

2, Челноков Ю. Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением, М, : Физматлит, 2011, 560 с,

3, Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела, М, : Наука, 1973, 320 с.

УДК 629

К. Ю. Коннов, И. А. Панкратов

НАИСКОРЕЙШИЕ МАНЁВРЫ САМОЛЁТА В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Движение центра масс летательного аппарата (самолёта) в горизонтальной плоскости с постоянной по величине скоростью описывается системой дифференциальных уравнений [1]:

йх тг _ йу тг . , йВ о

_ = ^ С08 в,л = у 81П в,- = V tg 7. (1)

где г - время, в - угол между осью Ох и направлением вектора скорости У, о - ускорение свободного падения, 7 - угол крена летательного аппарата.

Угол крена летательного аппарата является управляющим параметром, изменяя его можно изменять направление вектора скорости и пере-

х

у, § являются фазовыми координатами управляемой системы.

В начальный момент времени положение центра масс летательного аппарата и направление вектора скорости определяются соотношениями

г = 0, х = Хо, у = уо, в = во. (2)

В конечный момент времени центр масс летательного аппарата дол-

Оху

сти направлен вдоль этой прямой):

г = г*: у = у к + Х tg вк, в = вк. (3)

Требуется определить оптимальное управление 7 = 7(г), которое переводит управляемую систему (1) из начального состояния (2) на многообразие (3) за минимальное время.

Поставленная задача является задачей оптимального управления с подвижным правым концом траектории и нефиксированным промежутком времени. При этом на управляющий параметр наложено ограничение

Tmax — Y — Tmax. (4)

Для численного решения задачи удобно ввести безразмерные переменные для фазовых координат, времени, управляющего параметра и функционала:

x = Lx1, y = Lx2, 0 = x3, t = tt, и = tgy, J = TJb, (5)

где L T - масштабы длины и времени соответственно. Подставим соотношения (5) в уравнения (1), получим

dx\ dx2 dx3 ил

—— = cos x3, —-— = sin x3, —-— = u. (6)

dT dT dT

Поставленную задачу будем решать с помощью принципа максимума [2]. Функция Гамильтона I loin рягина в безразмерных переменных имеет вид

H = —1 + фф1 cos x3 + ф2 sin x3 + ф3и.

Сопряженные переменные ф1? ф2, ф3 удовлетворяют системе уравнений

#1 #2 п dф3 , . , (7)

—ГТ = —тг = 0, —тг = ф1 sin x3 — ф2 cos x3. (7)

dt dt dt

Оптимальное управление с учетом ограничения (4) имеет вид

u0pt =tg Ymax -sigпфз. (8)

Таким образом, решение задачи оптимального управления сведено к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений шестого порядка, которую необходимо дополнить условием трансверсальности и равенством функции Гамильтона Iкштрягина нулю в конце движения.

Для численного решения задачи была составлена программа на языке С++. Реализованный в ней оригинальный алгоритм решения краевой задачи является комбинацией методов Рунге Купы четвёртого порядка точности, модифицированного метода Ньютона и градиентного спуска [3]. Указанный алгоритм был успешно применён ранее в работах [4, 5] для решения задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата.

На рисунке в размерных переменных показаны траектории движения летательного аппарата для случая, когда управление является ограниченным и нет (при этом решена задача, близкая к задаче быстродействия) .

Следует отметить, что если ставится задача обеспечения быстродействия и при этом самолет в начальный момент времени летит не перпендикулярно конечному многообразию, то тогда наблюдается активная раскачка самолета по крену на всем рассматриваемом промежутке времени. Такой характер движения на практике сопровождается быстроиз-меняющимися знакопеременными перегрузками, которые негативно влияют как на летчиков и пассажиров, так и на саму конструкцию самолета.

----------1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000

Случай быстродействия: а - неограниченное управление, б - ограниченное унравле-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапун,ков Я. Г. Численное исследование систем автоматического управления. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2001. 24 с.

2. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В.. Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М, : Наука, 1983. 393 с.

3. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М, : Наука, 1971. 434 с.

4. Панкратов II. А., Сапуиков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 87-95.

5, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,

УДК 532

А. С. Лебедев, И. А. Панкратов

РАСЧЁТ ЦИРКУЛЯЦИИ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЕТРА МЕТОДОМ ЧАСТИЧНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Известно, что при расчёте течений в бассейнах, озёрах и других водоёмах может быть применена упрощённая модель циркуляции [1]. При этом в уравнениях количества движения отбрасываются инерционные члены, а уравнение неразрывности полагается стационарным. В работах [2-5] было показано, что в этом случае решение задачи сводится к уравнению Пуассона относительно функции тока ф :

W = y У2ф. (1)

Здесь W = dT1|s/dx2 — дт2|s/dxi - величина, зависящая от ветрового воздействия; y _ коэффициент ветрового напряжения. Величины r1|s, т2|s обусловлены ветровыми напряжениями.

Предполагается,что составляющие напряжения трения на дне т1 |ь и т2|ь прямо пропорциональны компонентам средних значений массового расхода q1 и q2:

Tilb = Yqi; Т21ь = Yq2.

На береговых границах производная по нормали от функции тока равна нулю, а на входе в водоём функция тока известна.

Рассмотрим прямоугольное озеро ABCD : Q = {(x,y)|0 < x < 1, 0 < ^ У < 1}, ^^^^^^ подвержено воздействию ветра так, что W в уравнении (1) определяется как (x = x1, y = x2)

W/y = Ax, A = const.

Пусть граничные условия имеют вид

дф

dx

x = 0 x = 1