2, Ольшанский В. Ю., Серебряков А. В., Абитова И. Ф. О влиянии граничных условий на динамику чувствительного элемента пьезогироскопа // Изв. Сарат, унта, Нов, сер, 2011, Сер, Физика, Т. 11, вып. 2, С, 51-54,
3, Панкратов В. Л/.. Ольшанский В. Ю., Нагар Ю. Н., Серебряков А. В. Влияние диссипации на характеристики измерителя угловой скорости на основе взаимного пьезоэффекта // Авиакосмическое приборостроение, 2010, № 8, С, 3-8,
УДК 517.51
И. А. Панкратов, Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
В настоящей статье исследуется следующая задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА): необходимо определить ограниченное по модулю управление и :
итах — и — итах < ОС^ и ±|и|
ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями
(А т.о.
2— = А о , = и-+—¡т г3, (Н ог2
dp c p
= ^, r = -, c = const,
dt r2 1 + e cos p
из заданного начального состояния
t = to = 0, p(0) = po, A(0) = A(0) = Л0 о (cos + is sin t
\ 2 2
в конечное состояние
t = ti =?, tp(ti) = ti, vect A(ti) о Л* о (cos P + is sin
22
При этом необходимо минимизировать функционал
= 0.
("ti í-ti Ji = (ai + a2u2) dt или J2 = (ai + a2|u|) dt, ai , a2 = const > 0. Jo Jo
При ai = 1, a2 = 0 имеем задачу быстродействия.
Здесь Л — кватернион ориентации орбитальной системы координат, Л — кватернион ориентации орб иты КА, г — модуль радиуса-вектора г центра масс КА, с — постоянная площадей, рие параметр и эксцентриситет орбиты, р — истинная аномалия. Верхняя волна — символ сопряжения. Величины с, р, е, ро, Л0, Л* — заданы; подлежат определению ¿1, ( и оптимальный закон управления и = и(£).
Поставленная задача решалась с помощью принципа максимума Понтрягина. Были построены система дифференциальных уравнений для сопряженных переменых, законы оптимального управления. Исходная задача сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории 10-го порядка. Авторами предложен оригинальный алгоритм численного решения указанных дифференциальных краевых задач оптимальной переориентации орбиты КА, являющийся комбинацией методов Рунге — Кутта 4-го порядка точности, Ньютона, градиентного спуска. Приводятся примеры расчетов. Построены графики оптимальных траекторий и управлений, функции переключения управления.
Начальные и конечные значения угловых элементов орбиты задавались равными:
О = 40.00°, 1о = -70.57°, ипо = 84.98°; О = 72.00°, 11 = 47.00°, шП1 = 45.02°.
Здесь О — долгота восходягцего узла, I — наклонение орбиты, — угловое расстояние до перицентра.
Начальное и конечное положения орбиты КА рассчитаны по значениям декартовых координат и проекций скорости КА, приведенным в [1, стр. 95].
Начальное и конечное значения кватерниона ориентации орбиты, соответствующие этим значениям угловых элементов, равны:
Л0 = ( 0.678275, -0.245862, -0.593909, -0.353860); Л* = ( -0.440542, -0.522476, -0.125336, -0.719189).
При этом начальное значение кватерниона ориентации орбитальной системы координат равно (р0 = 3.940323 рад.):
Л(0) = (0.061834, -0.451574, 0.457446, 0.763545).
На рис. 1 приведены результаты решения в безразмерных переменных краевой задачи для функционала /(0)1 (1 + 4.2и2)^ ^ гшп (е = 0.25),
на рис. 2 — для /0)1 |и|^£ ^ пи п (е = 0.5), на рис. 3 — для случая быстродействия (е = 0.0). ц,j, , ] = 0,3, — компоненты кватерниона сопряженного по отношению к фазовому кватерниону Л, и V = Л о ^ соответственно. Отметим, что при переходе к безразмерным переменным в уравнениях появляется характерный безразмерный параметр N = итахр3/с2. При численном решении полагалось, что N = 0.35.
МесЬ/Рапкга"Ьо¥/Епе^у_1атЬс1а_1: ._Ма£]1|$й£11кга"Ьо¥/Епег gy _ти_ "Ь _ 111
МесЬ/Рапкга-Ьо¥/Епе^у_пи_-Ь_Н1: , рё£h/PankratO¥/Energy_U_t. рс1£
Рис. 1
МесЬ/РапкгаЪо¥/Мос1и1е_1атЬс1а_1:
Рис. 2 134
МесЬ/РапкгаЪо¥/Мос1и1е_1т_"Ь_Н1:
рё£Ь/Рапкга1ю¥/Мо<1и1е_и_г лрд£
Продолжение рис, 2
МесЬ/РапкгаЪо¥/Т1те_1атЬс1а_"Ь_] :1Мерй^РапкгаЪо¥/Т1те_ти_"Ь_НЪ. I
МесЬ/Рапкга"Ьо¥/Т1те_1ш_"Ь_НЪ. р <ШесЬ/Рапкга"Ьо¥/Т1те_и_Ъ .рс1£
Рис, 3
Отметим, что длительности процесса переориентации орбиты К А и значения минимизируемых функционалов совпадают с результатами, полученными в [2]. При этом отличаются начальные значения и законы изменения сопряженных переменных.
В работе [3] приведены различные варианты условий трансверсальности для рассматриваемой задачи. Наилучшая сходимость наблюдалась при выборе условий трансверсальности
р р
при £ = 2х + ^з = 0, щ соъ— + 2х й1п — = 0,
2 2
где х _ переменная, сопряженная то отношению к истинной аномалии р.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1201-00 165).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Бордовицына Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики, М, : Наука, 1983, 136 с,
2, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю.Н. Численное исследование задачи управления ориентацией орбиты космического аппарата // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 170-173,
3, Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С, 231-234,
УДК 539.3
Ю. О. Растегаев
ВЛИЯНИЕ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО РАСШИРЕНИЯ ПЪЕЗОЭЛЕМЕНТОВ НА ВЕЛИЧИНУ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА ПЪЕЗОГИРОСКОПА
В настоящей статье изучается влияние температурного поля на характеристики пьезогироскопа. Учитывается температурное расширение пьезоэлектрических пластинок и несимметричность их расположения по отношению к источнику тепла. Рассматривается модель пьезогироскопа, предложенная в работе [1].
Решение поставленной задачи проводилось в несколько этапов. В первую очередь необходимо было решить подзадачу нахождения температурного поля пьезогироскопа в любой момент времени при различных вариациях конфигурации прибора.
Считаем, что рассматриваемый прибор состоит из n обособленных частей, далее называемых элементами конструкции (ЭК), каждая из которых представляет собой прямоугольный параллелепипед. При построении температурной модели прибора использовался метод теплового баланса [2]. Для применения метода использовалась трехмерная сетка и все элементы конструкции разбивались на равные кубы. Для каждого элемента разбиения (ЭР) составлялось уравнение теплового баланса. Благодаря данному способу разбиения, каждый ЭР имеет контакт максимум с шестью другими элементами и соприкасается с ними по всей поверхности грани.
Формула для расчета температуры ЭР имеет вид