CC BY
33
519.711.3:532.135+678.057
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИРОВИТАМИННОЙ НА ЧИНКИ ВНУТРИ ЗЕРНОВОЙ ОБОЛОЧКИ В КАНАЛЕ МА ТРИЦЫ ЭКСТР УДЕРА
И.О. ПАВЛОВ, А.Н. ОСТРИКОВ, Л.И. ВАСИЛЕНКО,
Ф.Н. ВЕРТЯКОВ
Воронежская государственная технологическая академия
Одним из важнейших перспективных направлений производства функциональных продуктов питания заданного состава и с программируемыми свойствами является получение коэкструдированных продуктов питания. Введение в центральную часть экструдированной зерновой оболочки жировитаминной начинки во многом позволяет решить эту проблему, однако до настоящего времени не изучен характер движения жировитаминной начинки внутри экструдированной зерновой оболочки, что в значительной степени сдерживает разработку новых оригинальных конструкций матриц экструдеров.
Цель данной работы - математическое описание характера течения жировитаминной добавки внутри экструдированной зерновой оболочки в канале матрицы экструдера.
Применительно к процессу течения вязкой жидкости - жировитаминной начинки - такие характеристики процесса, как плотность р, давление Р и температура Т являются скалярными величинами, скорость движения жидкости V- векторной величиной, а напряжение сдвига х, возникающее в результате действия вязких сил, определяется симметричным тензором второго ранга [1-3].
Для описания характера течения жировитаминной начинки использовали уравнения Навье - Стокса, включающие уравнения неразрывности, переноса импульса (количества движения) и уравнение энергии однокомпонентной среды, которые в векторной форме в цилиндрической системе координат имеют вид [2]
— +1 — (рги Г)+ (ри0)+ — (ри2 )= 0, (1)
дг Г —Г^ ’ Г д 0^ 4 д2КУ г)
йиг диг и0 ди
йі г дг г д0
др
дг
йи0
ди г дг
дт г
(2)
11(гт гг) +1 дтг0 -1* +дтп г дг г д0 г дг
# Р8Г;
йі 1 др г д0
- +
дир дг
(
г
Цє. "Цр
г д0
+ -
и г^0
дир
дг
2 д^'
(3)
г д0
■ + -
дг
+ря о;
р
йиг диг и0 диг
—1 # уг—^ #-°—^ # V йі дг г д0
др
дг
ди г
дг
1 д, ч 1 дт0г дт гг
-----(гТ гг )#--01 #—гг-
г дг г д0 дг
(4)
#Р£г;
рС
дТ дТ и0 дТ дТ
-----# и г------І- —----# иг—
ді дг г д0 дг
1 д_
г дг
г%
зт_
дг
+ -
1 д_
г д0
дТ
"д0
+ -
дг
-Т
&дР
(дТ р
1 д(ги г) + г дг
где Ф - диссипативная функция
1 # ди г
г д0 дг
дТ
дг - Ф.
- (5)
диг т00
Ф = т —- # —
гг
дг г
# Т г
ди0
д0
- + и г
ди г # т гг----------------#
гг дг
д &ц0 1 ди г ди г ди г
г— # т гг # -
дг г # г д0 дг дг ,
# (6)
# т0
1 диг , дЦр
г д0 дг
II у
= ’
где II у - квадратичный инвариант тензора скоростей деформаций
II у = 4
диг
дг
#
1 ди 0 иг
-----0 #—-
г д0 г
#
ди г
дг
#
#2
#2
1 ди г д
----------# г—
г д0 дг
дЦр # 1 "ц
дг г д0
#2
диг диг
—1 #---------1
дг дг
#
(7)
Уравнения состояния связывают тензор напряжений и тензор скоростей деформаций. Для несжимаемых ньютоновских жидкостей связь между компонентами тензора напряжений Хр и тензора скоростей деформаций ар определяется уравнением связи
Х = лли х) = -|хур, ,,) = г, 0, ^ (8)
где т - коэффициент динамической вязкости, Па • с.
Развернутая форма уравнений связи (8) в цилиндрической системе координат представляется системой уравнений
2
2
2
2
2
и
0
г
2
р
г
р
г
, "и г
-2Л-Г-; Хее =-2Л "г
1"е # иг
г "Є г
_ "у7 -2п—1; "7
Хг = ХЄг = “Л Хеі =Х1Є =-11
Х7г = Х„ =-1
ие
"г
"у,
"7
дг
# 1"Цг
г "е
і # 1"цг
г "е
"и7 "иг)
—- #------- !.
"г "7 *
(9)
1 = т0е
а(Т-То )
-IIу
п- 1 2
(10)
(11)
По условию на стенке Ф г = 0, следовательно, имеется только одна ненулевая компонента скорости Ф 2, являющаяся фу нкцией только г. Три компоненты уравнения движения (1)-(5) примут вид
"Р 0 "Р 0 "Р 1 " , ,
— = 0; — = 0; — =--------------------------(гх „).
"г "е "г г "г
(12)
Касательное напряжение в жгуте начинки определяется уравнением [2]
тг* т— 1
х я = —Ку у 7
(13)
уг=^2(^=]
ёг
СФ.
ёг
(14)
После подстановки (14) в определяющее уравнение (13) получим
& СФ 7 2 II £ ---К СФ 7
" Сг ёг Сг
СФ г Сг
. (15)
Используя зависимости (11)-(15), получаем уравнение для профиля скорости
Определяющие уравнения материалов, реологические свойства которых зависят от напряжений - внешних воздействий - и скоростей деформации - реакций вещества, - нелинейны, и их называют неньютоновскими. Реологические свойства таких пищевых смесей выражаются обобщенным степенным законом
ф.(Х)=
w
3т+ 1
т+ 1
т+1
1- г т
, В,
(16)
В В АР'
я + 3 . 2К 1 ,
Рассмотрим установившееся изотермическое ламинарное, полностью развившееся течение несжимаемой степенной жидкости в горизонтальном слое экструда-та под действием гидравлического давления, приложенного к одному из концов трубы. Требуется определить профиль скорости и объемный расход. Из соображения симметрии считаем, что в направлении 0 течение отсутствует и Ф0 = 0. Движение полностью развившееся, это означает 9Ф 2 / 9/ = 0. Уравнение неразрывности принимает вид
где ^ ср - средняя скорость течения жидкости определяется из объемного расхода ^Ср = Q/S или, если известен коэффициент консистенции, по формуле
(17)
где & = кВ2 - площадь сечения жгута начинки, м2, я = 1/т.
На рис. 1 представлены профили скорости при различных значениях реологического параметра т: кривая 1 - т = 1; 2 - т = 0,33; 3 - т = 3 (К(£, 1); У(%, 1/3); У(Х, 3) соответственно).
При построении математической модели распределения температуры считается, что задан профиль температуры начинки на входе в экструдат, температура экструдата (стенки канала течения начинки) постоянна.
Уравнение энергии и краевые условия для нахождения распределения температуры в неньютоновских жидкостях при ламинарном течении начинки в слое экструдата запишутся в виде
Ф (\ "Т і 1 "
Р--Ф-(г)т;=1 г "г
,т
"г
"Ф 7 (г)
"г
Т( 7 г) 7= 0 =Т>;
Т( 7, г)г=, =Т; "Т
0,
(18)
(19)
(20)
(21)
Х= 0
где т - динамическая вязкость, Па • с; р - плотность, кг/м ; еу- теплоемкость при постоянном объеме, Дж/(кг • К); 1 - теплопроводность, Вт/(м • К).
где К - мера (индекс) консистенции жидкости; т - реологический параметр, характеризующий степень неньютоновского поведения мате риала.
Из уравнения (13) видно, что для всех т < 1 вязкость убывает с ростом скорости сдвига (псевдопла-стические среды), а для всех т > 1 вязкость увеличивается с ростом скорости сдвига (дилатантные жидкости). При т = 1 степенной закон сводится к выражению Ньютона. Константы К, т справедливы только для определенного диапазона скоростей сдвига.
Здесь
Рис. 1
х
гг
т-1
т- 1
я
w =
ср
2
Последний член в правой части выражения (18) учитывает диссипацию энергии. Подставляя в уравнение (18) функцию профиля течения вязкой жидкости (17), получаем уравнение энергии в виде
P-VWc
3m+1
1
1-
+m
dr
3m+ 1
m+ 1
1-
m+ 1 m
dT -1 d
dz r dr
'dT
dr
+
m +1 '
r m
, R *
(21)
Pe —
w R
■ - критерий Пекле; a - коэффициент темпе-
ратуропроводности (с = 1/(ар)), м2/с. Получим уравнение энергии и краевые условия в безразмерных переменных
3m+ 1
m+ 1
—1 d - X dX
m+ 1
1-x m
rdT
X—
dx
+
dT
dZ
2
mwcp
3m+ 1
t( Z, XL 0 - T>;
t(zx)x-, -t-t; dT
dX
- 0.
(22)
(23)
(24)
(25)
X- 0
T(M, t)t-0 - f(M); T(M, t)s - jMs, t),
(27)
(28)
¡[t(m, t)]s - ф(Мх,t),
(30)
заданный на поверхности тогда рассматриваемая задача представляется следующей формулировкой
дГ_
dt
- i[t(m,t)]; [t(mt)]t-0 - f(M);
{¡[T(M> t)]>S - jMS ,t).
(31)
При использовании методики определения приближенного решения методом совместного интегрального преобразования Лапласа и ортогональной проекции решение задачи (22)-(25) приводится к виду
Введем новые переменные X- —, Z - — —, где
R R Pe
d
dX
.. dT
3m+1
m+1
m+1
1- X m
г . , ЦЯ)2р (3m +1) І#1
?sT(X,s)-T]X+^-—Xm •
dx
- 0.
(32)
(33)
X- 0
Применим метод ортогональной проекции [4] к граничной задаче (22)-(25). Для пояснения методики решения этой задачи рассмотрим общее уравнение теплопроводности при начальных и граничных условиях
"Т
ср = С/у\1 gгadT( М, / )] + д„(М, /); (26)
где М < О, Ms < S, S - площадь поверхности проводника теплоты, занимающего объем О; /М) - заданная функция координаты М, задающая начальное распределение температуры; ф(Ms, ?) - функция, определяющая условия на поверхности (в точках Ms) проводника теплоты; ду(М, /) - локальная удельная мощность.
Запишем уравнения в операторном виде. Для этого введем дифференциальный оператор второго порядка
Ь[т(М, /)] = — |с/у\ 1gгadT( М, /)] # М, /)}(29)
ср
заданный внутри объема О, дифференциальный оператор I первого или нулевого порядка
Определим базисные координатные функции пространства, в котором находится приближенное решение граничной задачи.
Вид системы базисных координат [ук(Х)], к = 1, 2, ..., п функционального пространства, в котором находится оптимальное приближенное решение граничной задачи (32)-(33), зависит от свойств функции ф(Х) и наличия или отсутствия в уравнении (32) диссипативного члена.
Решение граничной задачи без учета теплоты трения находится в семействе линейной композиции вида
_ п к
Тп(Х 5) = ф( 5)+@«к(5)(1-Х2 ) , (34)
к= 1
удовлетворяющего граничным условиям.
Коэффициенты ак (5) находят методом ортогональной проекции Бубнова - Г алеркина.
Решение задачи представляется в виде
п
Тп( х, Х) = Т( х,0)+@ак ( Х)Ук( Х). (35)
Принимаем ф(х) = Тс = const. Подставляя значение j s) = Tc/s в выражение (35), получим уравнение для нахождения а 1 (s)
где
a-A
( A + Bs)al ( s) - D. dy 1
d_
dX
dX1
(36)
(37)
е - -
3m+ 1 m+
г A
1-X
D -
3m +1
m+
г ( t - T0 )A
y 1 (Xd ;
XV1 (X)dX ; (38)
m+1 '
1-X~ Xy 1 ( X)dX . (39)
2
w
cp
X
a
22
X
m
m
0
Из уравнения (36)
а Д s) -
D
A + Bs
(40)
Поскольку А, В и Б - числа, то обратным преобразованием Лапласа получаем
€ 1 (x)-€ 1 (x)- (D/B) exp
- Ax
B
Окончательное решение получаем в виде
Т( X, X)-Т- + ( Т 0-Т-) D ( 1-X2 )exp
B
- AX B
.(41)
.(42)
Для псевдопластической жидкости (т = 1/3) получаем А = 1, В = 9/40, Б = 5/16, и формула (42) приобретает вид
Т( X.A- )-Т- + (Т 0 - Т-) 18 ( 1- X2 )exp |-" x
9
(43)
Рис. 2
На рис. 2 приведено распределение температурных полей по сечению начинки при T0 = 65°C, Тс = 150°С при установившемся течении (кривые: 1, 2, 3, 4, 5 - Т0, Ть Т2, Тз, Т4 соответственно).
Проведенные теоретические исследования показывают, что вдали от входа стабилизированное распределение температуры параболическое. Сравнительный анализ решений проводился на ЭВМ в системе аналитических вычислений Maple [5] и в математическом
пакете Mathcad [6]. Полученные результаты отличаются незначительно - на 3,5%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аладьев В.З., Богчавичус М.А. Maple 6. Решение мате -матических, статистических и физико-технических задач. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. - 824 с.
2. Тадмор З., Гогос К. Теоретические основы переработки полимеров. - М.: Химия, 1984. - 632 с.
3. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров (Механика процессов). - М.: Химия, 1977. - 464 с.
4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970. - 512 с.
5. Дьяконов В.П. Maple 7. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2002. - 672 с.
6. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2003. - 448 с.
Кафедра процессов и аппаратов химических и пищевых производств
Поступила 21.03.07 г.
664.292:66.02
МЕХАНИЗАЦИЯ И АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОДСТВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПЕКТИНО СОДЕРЖАЩИХ НАПИТКОВ
Л.В. ДОНЧЕНКО, С.А. ДРОЖЖИНА, С.Н. ЕДЫГОВА,
Т.Б. КОЛОТИЙ
Кубанский государственный аграрный университет Майкопский государственный технологический университет
В связи с ухудшением экологической обстановки в ассортименте безалкогольных напитков лечебно-профилактического назначения все большая роль отводится напиткам, обогащенным пектиновыми веществами (ПВ), так как именно в гидратированной форме пектин оказывает на организм человека более эффективное физиологическое воздействие [1-3].
Установлено, что «жидкие» пектины, т. е. пектиновые экстракты, обладают повышенной способностью к комплексообразованию с радиоактивными и тяжелыми металлами, с накапливающимися в организме человека шлаками. Также они обладают антиатеросклеро-тическими свойствами в большей степени, чем раство-
ры сухих пектинов [3]. Поэтому целесообразно получение лечебно-профилактических функциональных напитков на основе жидких пектиновых экстрактов с повышенным содержанием ПВ [1-3].
Известно, что наибольшей комплексообразующей способностью обладают гидратопектины с концентрацией 0,1-1,0%; использование концентратов с содержанием ПВ более 1,0% нецелесообразно из-за вязкости получаемых растворов [2, 3].
По рекомендациям медиков, профилактическая су -точная доза ПВ составляет 2-4 г в сутки. Таким образом, достаточно выпить 1-2 стакана функционального напитка в день для получения профилактической суточной дозы ПВ [3].
Для разработки рецептур функциональных напитков за базовую основу было взято содержание ПВ 0,5%, так как эта концентрация обеспечивает их суточную профилактическую дозу [3].
