CC BY
33
Фестник^Т^ИЖ № 2, 2012
УДК 636.085.54
Профессор В.Н. Василенко, профессор А.Н. Остриков,
(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра процессов и аппаратов химических и пищевых производств, тел. (473) 255-35-54 профессор В.И. Ряжских
(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра высшей математики, тел. (473) 255-35-54
Математическая модель течения двух вязкопластичных сред в формующем канале экструдера при коэкструзии
На базе классических уравнений изотермического напорного течения двух реологически различных несмешивающихся вязкопластичных сред в цилиндрическом канале, подчиняющихся закону Оствальда-де-Виля, синтезирована модель течения двух таких сред в формующем канале экструдера при коэкструзии. Предложена методика выбора диаметра дозирующего патрубка по требуемой величине отношения объемных расходов экструдата и начинки.
On the basis of the classical equations of an isothermal pressure head current of two rheology the various not mixing up viscou- plastic environments in the cylindrical channel, Ostvald-de-Vil submitting to the law, the model of a current of two viscous-plastic environments in the moulding channel extruder is synthesised at co-extrusion on which basis the technique of a choice of diameter of a dosing out branch pipe on the demanded value of the ratio of volume expenditures of two viscous-plastic environments (extrudat and stuffings is offered).
Ключевые слова: коэкструзия, течение материалов, дозирующий канал, экструдат, рецептура продукта.
Композиционное совмещение в одном продукте растительных и животных составляющих с заданной рецептурой может быть достигнуто с помощью коэкструзии, использование которой позволит значительно расширить ассортимент и номенклатуру выпускаемых поликомпонентных продуктов, сбалансированных по химическому составу и с программируемыми свойствами. При их производстве внутренний слой формируется из жировита-минной начинки, а внешняя оболочка - из экс-трудата, полученного на основе зерно-
вых [1].
Процесс коэкструзии в каналах формующей головки будет стабильным, если при давлении, достаточном для распределения материала, время пребывания в нем экструдата будет минимальным [2]. Решение данной задачи требует точного описания течения материалов в формующем канале.
Рассмотрим цилиндрическую формующую головку (рис. 1), в которую подаются две неньютоновские среды с различными реологическими законами без взаимного перемешивания.
© Василенко В.Н., Остриков А.Н., Ряжских В.И., 2012
Протекание изучаемого процесса зависит от соблюдения абсолютного равенства условий в подводящем патрубке и предматричной зоне.
Рис. 1. Расчетная схема течения экстру-дата и начинки в формующем канале экструдера: 1 - корпус формующей головки; 2 - подводящий патрубок; 3 -предматричная зона
В изотермических средах векторная запись уравнений неразрывности и движения примет вид [5]:
" (1)
Dt
p— = -VP + [V-rl + p-Dt
Фестник&ГУМт:, № 2, 202
где D - полный дифференциал; t - текущее время; p - плотность среды; V - градиент; v -вектор скорости движения среды; VP - градиент давления; т - касательное напряжение; g - вектор ускорения силы тяжести.
Принимая, что среда несжимаема (р = const) и сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с действующим градиентом давления, запишем уравнения (1) и (2) в цилиндрической системе координат с учетом симметричности оси в компонентной форме:
1 d ( ч дт2 --(r -тг) + —- = 0.
Р
vr
r дг
dvr дг
dz
(3)
■ + vz
dvr
dz
Р
dp 1 d ,
= — +--(r ■тг
dr r dr
dvz dvz vr —- + vz
) +
drrz
dz
(4)
dr
dz
dp 1 d , ч drz
= — +--(r ■Trz ) + —zL
dz r dr dz
(5)
где г, z - локальные цилиндрические координаты; Уг, V - координаты вектора скорости V ; Т т Тг - компоненты тензора напряжений т.
Учитывая высокую вязкость сред, концевыми эффектами (начальный гидродинамический участок и выходное сечение формующего канала) можно пренебречь, тогда течение будет однонаправленным, то есть компоненты скорости будут зависеть только от цилиндрической координаты г. В этом случае система (3)-(5) упрощается:
1 д , ч др
(6)
(r■т ) = ^-
n V rz) - '
r dr dz
а компонента тензора напряжения т в соответствии с законом Оствальда-де-Виля примет вид
Т = ц(дУ2/дг), (7)
в котором динамическая вязкость:
j = j
dvz
dr
n—1
(8)
где п - вязкость среды при скорости сдвига, равной 1 с-1, п - индекс течения, соответствующий при 0 < п < 1 вязкопластической среде, а при п > 1 - дилатантной.
Таким образом, на основании (6)-(8) можно выразить однонаправленное движение неньютоновской среды:
1 dL
r dr
rj
dv„
dr
n—1
v
dr
dp
Так как при этом в канале выполняется условие (ду г/ дг ))0 , то
j d r dr
i
dvz
dp
(9)
V дг )
При течении экструдата и начинки в формующем канале экструдера уравнение (9) справедливо, поэтому течение двух несмеши-вающихся вязкопластичных сред в цилиндрическом канале описывается системой
r1
r dr
r dr
fv J * dp
V dr J _
'dv2 ^—2" dp
dr J ~~dz
= -Z-, (10)
(11)
где Ц1, ц - вязкость экструдата и начинки при скорости сдвига, равной 1 с-1; П1, пг - индекс течения экструдата и начинки; у, Уг - скорость экструдата и начинки, м/с.
Система (10) и (11) замыкается граничными условиями "прилипания" на корпусе формующего канала
V (г0 ) = 0,
равенства скоростей течения экструдата и начинки на границе их раздела
V (а)=у2 (8)
и касательных напряжений
Г1
dvx (S)
de
= r2
'dv2 (S)
d r
а также условием симметричности оси
dv2 (0)
dro
= 0.
где Го, 8 - радиусы подводящего патрубка и формующего канала, м.
Решая дифференциальные уравнения (10) и (11), получаем:
v(r) =
n1 +1
1 dp 2j1 dz
\ — 1+n1
f .Л
1+ —
1 —
(12)
ФестникРЯУИЩ № 2, 202
•X ^ ) =
П2 + 1
1 др
V 2Ъ дг
1+п,
(5Л
Г
V О /
1+п2 1+п2
( г V
г
V О /
+
П +1
1 ф
дг
1+п,
1 -
(5Л
Г
V о /
1+п.
.(13)
В относительном виде (12) и (13) запишем при условии А < R < 1
1+П]
V (R) = 1 - R П ;
при 0 < R < 1
V(*) = 1 -А п + К
( 1+п2
А П2 - R
1+п2 Л
где
К = -
■ (П1 +1) ^ Г гО дР Л лт
\ (п2 +1) — V 2 дг
Л 2
V ( Л ) =
у1(г)
V (* )=-
др
п1 +1V 2^! дг :( Г )
п +1
1 др
\ 1+п1
и. -
V 2л1 &
* = г1гО и А = 5 гО . Вычислительный эксперимент проводили для случая, когда экструдат и начинка -вязкопластические среды, то есть 0 < П1,
«2 < 1. Заметим, что нет никаких затруднений
4 = 0,5: и, = 0,3: п2 = 0,6; К: 1-5; 2-1; 3-0,1
2.01
при рассмотрении не только дилатантных сред, но и смешанных. Вязкопластическое течение проявляет характерную черту вязких жидкостей, особенно у стенки канала. Физический смысл параметра К идентичен градиенту давления (рис. 2). Чем больше перепад давления в канале, тем выше скорость течения среды у его оси, причем характеристики пристенного течения остаются постоянными. Варьирование индекса течения у жидкости, текущей у стенки, сильно влияет на расходные характеристики.
Анализ вычислительных экспериментов показал, что при дозировании сред в формующем канале, если задано соотношение объемных расходов экструдата и начинки, необходимо определять гидравлический диаметр дозирующего патрубка.
Так, если
а/Q2=у,
где
_1
0>1 = 2я\гу^Г = 2ЯГО2У\(*) dR
0>2 = 2ж\гу^Г = 2ЯГУ\ ЛУ2 (*)dR,
5 о
то радиус дозирующего канала (относительно А) определяем из трансцендентного уравнения:
( 1+3п1 Л
1 (1 -А2
^ > 1+3п
V
( 1 1 Л"
2'
1 -А
= уА
1-А
А п - К Ап
п
1 + 3п2
К Ап
.(14)
2,01
А = 0.5; К = 1;
1-я, = 0.1: п2 = 0.6:
2- п, = 0.9: и2 = 0,6
Л = 0,5; К = I;
1- и, - 0.3; = 0.9:
2- п, = «.3; п2 = 0,1
Рис. 2. Профили скоростей при различных значениях К; п1 и п2
V
X
г.
5
А
и
1
п
Фестник.<ВГУМЩ № 2, 2012
Пример расчета. Определим диаметр дозирующего патрубка при получении полнорационного комбикорма с начинкой методом коэкструзии. Реологические характеристики зерновой смеси и жировой начинки в соответствии с [3] таковы: j = 11724 Па-сп, п\ = 0,549; Tj2 = 196 Па-с, П2 = 1 радиус формующего канала экструдера Го = 3,5-10-3 м, длина AZ = 9,87-10-3 м, давление в предматричной зоне P1 = 7 МПа, атмосферное давление P2 = 0,1 МПа, сбалансированное соотношение зерновой составляющей и жировой начинки 2:1 [5], то есть у = 2.
Градиент давления в формующем канале
dE » (P ~P) = 7,8-108 Па/м, K = 0,593. dz Az
В результате решения трансцендентного уравнения (14) методом бисекции [4] находим A = 0,1091, 8 = 3,8-10-4 м. Если при определении объемных расходов компонентов комбикорма исходить из соотношения площадей проходных сечений течения экструдата и начинки, то радиус дозирующего канала равен 8= 2-10-3 м. Таким образом, ошибка в рецептуре комбикорма в этом случае может достигать существенных значений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Остриков, А.Н. Процессы и аппараты пищевых производств [Текст] / А.Н. Остриков [и др]. Кн. I. - СПб.: Гиорд, 2007. - 704 с.
2. Остриков, А.Н. Процессы и аппараты пищевых производств [Текст] / А.Н. Остриков [ и др ]. Кн. II. - СПб.: Гиорд, 2007. - 608 с.
3. Остриков, А.Н. Современное состояние и основные направления совершенствования экструдеров [Текст] / А. Н. Остриков, О. В. Абрамов, В. Н. Василенко, К. В. Платов. - М., 2004. - 41 с.
4. Остриков, А.Н. Технология экстру-зионных продуктов [Текст] / А.Н. Остриков, Г.О. Магомедов, Н.М. Дерканосова [и др.]. -СПб.: Проспект Науки, 2007. - 202 с.
5. Зубкова, Т.М. Повышение эффективности работы одношнекового экструдера для производства кормов на основе параметрического синтеза: Автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.20.01 / Оренбург. гос. аграр. ун-т. -Оренбург, 2006. - 39 с.
6. Микаэли, В. Экструзионные головки для пластмасс и резины. Конструкция и технические расчеты [Текст] / под ред. В.П. Володина. - СПб.: Профессия, 2007. - 472 с.
7. Тадмор, З. Теоретические основы переработки полимеров [Текст] / З. Тадмор, К. Гогос; под ред. Р.В. Торнера. - М.: Химия, 1984. - 632 с.
