CC BY
35
УДК 636.085.54
Профессор В.Н. Василенко, докторант Л.Н. Фролова, аспирант И.В. Драган, студентка К.Ю. Русина
(Воронеж. гос. ун-т. инж. тех.) кафедра технологии жиров, процессов и аппаратов пищевых и химических производств. тел. (473) 255-35-54 E-mail: [email protected]
Professor V.N. Vasilenko, doctoral L.N. Frolov, graduate I.V. Dragan, student K.Y. Яшта
(Voronezh. state university of engineering technology) Department of technology of fats, processes and devices of food and chemical industries. phone (473) 255-35-54 E-mail: [email protected]
Аналитическое определение температурных полей биополимеров в формующем канале экструдера при коэкструзии
Analytical determination of temperature fields of biopolymers in the form of channels coextrusion during extrusion
Реферат. Совершенствование теории и методов расчета экструзионного оборудования является задачей, решение которой обеспечит оптимальное конструирование его узлов с целью получения продукции требуемого качества. Так как качество экструдата, производительность экструзионной машины в значительной степени определяются режимом работы предматричной зоны червяка, то в статье рассмотрена математическая модель процесса экструзии именно для этой зоны экструдера. Использование коэкструзии позволит значительно расширить ассортимент и номенклатуру выпускаемых поликомпонентных продуктов, сбалансированных по химическому составу и с программируемыми свойствами. При их производстве внутренний слой формируется из жировитаминной начинки, а внешняя оболочка - из экструдата, полученного на основе зерновых. Для обеспечения стабильности процесса коэкструзии каналы формующей головки должны быть сконструированы так, чтобы давление, создаваемое в них, было достаточным для распределения материала, а время пребывания в нём экструдата было минимальным. Решение данной задачи требует точного описания течения материалов в формующем канале. Статья содержит математическое описание процесса коэкструзии кормовых смесей в канале матрицы экструдера. Приведено аналитическое определение распределения температурных полей в жировитаминной начинке. Предложена методика выбора диаметра дозирующего патрубка по требуемой величине отношения объемных расходов экструдата и начинки. Проведен анализ течения термолабильных неньютоновских сред в каналах экструдера с учетом диссипативных явлений и неизотермичности. Аналитическое определение распределения температурных полей в жировитаминной начинке экструдатов было проведено для участков от выхода насоса до корпуса экструдера, по толщине корпуса, в предматричной зоне и коэкструзионной формующей головке. Полученная математическая модель легко адаптируется для других участков экструдера.
Summary. Improvement of the theory and methods of calculation of extrusion equipment is a problem whose solution provides the optimal design of its components in order to obtain the desired product quality. As the quality of the extrudate , extrusion machine performance is largely determined by the mode of pre matrix zone worm , article considers the mathematical model of the extrusion process for this particular zone of the extruder. Using co-extrusion will greatly expand the range of multicomponent products , balanced chemical composition and with programmable features. In their manufacture the inner layer is formed from fat-vitamin fillings and an outer shell - of the extrusion obtained cereal-based . To ensure the stability of the co-extrusion process forming head channels must be designed so that the pressure generated therein is sufficient to distribute the material and the residence time therein of the extrudate is minimized. Solution of this problem requires an accurate description of the flow of materials in the form of channels . This article contains a mathematical description of the process of co-extrusion feed mixtures in the channel matrix of the extruder. The analytical determination of the distribution of temperature fields in fat-vitamin stuffing. A method for selecting the diameter of the dispensing nozzle to the desired value of the ratio of volumetric flow rates of the extrudate and fillings is proposed. The analysis of the flow of heat-labile non-Newtonian fluids in channels extruder with allowance for dissipative phenomena and nonisothermal is conducted. Analytical determination of the distribution of temperature fields in fat-vitamine filling extrudates was conducted for the sites from the pump outlet to the extruder housing ,in the pre matrix zone and co-extrusion head shape . The resulting mathematical model can be easily adapted to other areas of the extruder.
Ключевые слова: коэкструзия, течение материалов, дозирующий канал, экструдат, рецептура продукта.
Keywords: co-extrusion, for material dispensing port, extrudate product formulation.
© Василенко В.Н., Фролова Л.Н., Драган И.В., Русина К.Ю., 2014
Отдельным сегментом на рынке экстру-дированных комбикормов являются коэкстру-дированные продукты. Это продукты, состоящие из зерновой оболочки, внутри которой находится начинка (жировая, белковая, витаминная и т.д.). Коэкструдаты являются самыми «молодыми» на отечественном рынке.
Анализ течения термолабильных неньютоновских сред в каналах экструдера требует дополнительной оценки тепловой обстановки, так как неучет диссипативных явлений и не-изотермичности может привести к нежелательным эффектам перегрева и снижению качества готовой продукции.
Рассмотрим экструдер для получения коэкструдированного продукта с расположением жировитаминной начинки внутри зерновой оболочки.
Целью работы является аналитическое определение распределения температурных полей в жировитаминной начинке, которая термо-
лабильна. В результате декомпозиции каналов по тепловой обстановке выделены следующие участки (рисунок 1): от выхода насоса до корпуса экструдера (I); по толщине корпуса (II); пред-матричная зона (III); коэкструзионная формующая головка (IV). Рассмотрим последовательно теплообмен на всех этих участках.
Теплообмен на участке I можно рассматривать как теплообмен при стационарном движении среды в режиме идеального вытеснения по трубопроводу диаметром 2 мм и длиной 21 мм с температурой среды на выходе, составляющей 60 °С и температурой окружающей среды 20 °С.
Дифференциальное уравнение энергии для стационарного течения с умеренными скоростями в круглой трубе в отсутствие внутренних источников тепла, градиентов концентрации и градиента давления в цилиндрической системе координат (г, г, О) таково:
дг дг ир—+^р—-
дг дг
1 д ( . дг Л 1 д (. дг Л д (. дг Л --гХ— +--2— ^— 2 —
г дг ^ дг ) г2 дв ^ дв ) дz ^ дz )
Х— +— Х-
=0,
(1)
где и, V - скорости среды аксиальном направлении г и радиальном г соответственно; р, X - плотность и теплопроводность среды; О - угловая координата; г - локальная температура; г - энтальпия среды.
Ограничимся рассмотрением случая течения среды с постоянными физическими
свойствами, тогда
= срЖ, где Ср - тепло-
дг
дг
ир с р &+с р дт-
X д_
г дг
емкость среды.
В этом случае (1 ) принимает следующий вид.
Следует заметить, что для несжимаемой жидкости уравнение (2) справедливо и без допущения об отсутствии градиента давления.
Далее будем рассматривать гидродинамически стабилизированное и осесимметрич-
ное течение (V = 0, д2г / д02 = 0), тогда (2) упрощается:
1А
г дг где а = X рс среды.
д г
д 2г
и дг „ч
+-з =--, (3)
) дг а дг температуропроводность
Рисунок 1. Расчетная схема течения экструдата и начинки в формующем канале экструдера: 1 - корпус формующей головки; 2 - подводящий патрубок; 3 - шнек
Без потери точности можно пренебречь аксиальной теплопроводностью по сравнению
с радиальной (д 2tj dz2 = 0 ).
1 dS da V и да
r дг ^ дгJ a dz . (4)
Для отыскания частного решения уравнения (4) замкнём его граничными условиями
t (r, 0 ) = tf;
d (0 z) = 0;
dr
а ( rp,z ) = W (7)
где r0 - радиус канала; tf, tw - температура начинки на входе в экструдер и температура стенки.
В силу предположения идеального течения среды следует, что и = const. Для дальнейшего анализа системы (4)-(7) приведём её к безразмерному виду с учётом того, что tf > tw, с помощью относительных параметров
R = r/r0; Z = z/r0; T = (t - tw)j(tf - tw); Pe = ur0 /a к виду:
(5)
(6)
I Af r dT =Pe dT;
R dR \ dR J dz T (R, 0 ) = 1; dT(0 z) = 0.
(8) (9)
dR
T (1, z) = 0
Раскроем слагаемые в левой части уравнения (8):
(10) (11)
1 d
.dT
R dR I R dR J R
d 2Tл
dT+r—
dR dR2
d 2T dR2
1 дТ •
Я дЯ' (12)
С учетом (12) математическая модель теплообмена на участке I примет окончательный вид:
dT = pe-1
dZ
T (R, 0 ) = 1; dT ( 0, z )
( Я2.
d 2T 1 dT
\
dR1 R dR
(13)
(14)
= 0;
дЯ Т (1, 2) = 0
Применим в системе (13)-(16) интегральное преобразование Лапласа по переменной X.
(15)
(16)
ST -1 = Pe~l
f d T
1 dTr
v dR2 R dR J
dTL (0 S) _n.
= 0;
dR
TL (1, s) = 0,
где s, Tl - изображение Z и Т. После преобразования (17) имеем:
(17)
(18) (19)
d T 1 dTr
S
T +■
1
= 0
(20)
dR2 R dR Pe- L Pe-1
Запишем соответствующее однородное уравнение для (20):
d T
+ ■
1 dT
S
dR2 R dR Pe
T = 0.
-1 ^ L
Умножим (21-3.79) на R2:
2 ^L DdTL
L + R—L
R
2d 2T
dR2 Пусть:
- s/n----2
Pe = j R
dR Pe'1 U = iyjs/Pe
S 2 r2Tt = 0.
(21)
(22)
2 d 2T „ dT
L + R^ + j R2TL
тогда 0,
ёЯ2 ёЯ ' " ' (23) а это есть уравнение Бесселя, которое имеет следующее общее решение.
R)
Ть (Я, ) = СЛ У—Ре ' Я) + С2К0 У-Ре-
где 10, Ко - модифицированные функции Бесселя и Ганкеля; С1, С2 - константы интегрирования.
Частные решения неоднородного уравнения определяется из соотношения:
--—уТ + = о,
Ре_1 ь Ре_1
откуда Ть = 1/ £
и общее решение уравнения (20) станет. Т (Я,) = С/о (^Рв^Я ) + С2К0 (^Рв^Я ) -
Постоянная С2 = 0, т. к. при Я^-0
S
K0 (ylSlPeR ^-ад),
тогда:
T
( R, s ) = C1I0 У S/Pe-R ) + -1.
(19):
Константу С\ определим из условия
Tl (1, s) = CI0 (VS/Pe- ) + -1 = 0.
с=-
1
На основании этого решение задачи в изображениях таково:
Т (К, з ) = ^
SL
(24)
Как видно из (24) для отыскания оригинала соблюдены все условия применения второй теоремы Ващенко-Захарченко. Применим оператор обратного преобразования Лапласа к (24):
их[Ть (К, )] = ь-
1 S
- ь
-1
I
)
Г0 )
Очевидно, что ь
-1
1
S
1.
Для определения оригинала второго слагаемого введём обозначения:
фф) = ОS/Ре-); Ц) = з^ООфё
Найдем корни Ц/^) = 0: 1. 8 = 0; 2. и множество корней уравнения:
Iо (V ^Ре'1 ) = 0,
но 1о(4^ре-]=ро^^^ре-], поэтому это уравнение эквивалентно уравнению:
J0 (») = 0. (25)
Вычислим Ц'(3) :
Ц (з) = 10 (VS/Ре1) + I, (л1 з/Ре 1).
Определим:
ф(К,0) = 1; 0) = 1; ф(К, м) = Jo (мК);
Ц(м) = У з/Ре-1! ^ 3 Ре— ) = | /^^Ре-1/^ л/^Рё71
= - 2 М^х {^RPe^) = - 2 МР (м)
С учетом формулы обращения:
ЦО ехр (-М Ре-г)
0) п=1 Ц (мп) у '
получим окончательное решение задачи:
Т(К, 2) = 2I ММехр(-МРе) п=1 МпР1 (М.) К '
Найдем среднюю по сечению темпера-
туру:
1 10 ) Т ( 2 ) = 20 КТ (К 2 № = 4! М^^ехР (-М2пРе-12 ).
п=1 м
Анализируя полученное решение, можно сделать вывод о том, что на этом участке происходит охлаждение среды. Для получения количественных показателей необходимо определить критерий Ре.
Воспользуемся формулой Дарси: 2
Ар = 4
ри I
Т'
(26)
где 4 - коэффициент сопротивления трения; йг = 2го; I - длина канала,
В силу высокой вязкости жировой начинки - режим течения ламинарный, поэтому 4 = 16/Яе, где Яе - число Рейнольдса
_ йги 2гпи Яе = —— = —
М М
4
тогда:
8м
гои
Подставляя (27) в (26), получим:
8м ри2 I 2р1им
(27)
Ар ■■
г0и 2 2г0 г0
2 '
Откуда:
и
Арго2
(28)
2р1м
Перепад давления:
Ар = р 1 - р2= 7 - 0,1 = 6,9 МПа = 6,9106 Па; г о = 1-10-3 м; р = 886 кг/м3; /л = 196 Пас; I = 21-10-3 м, тогда:
и =
6,9 • 106 -(1 • 10-3)
о оог 0 1 ш-3 1П ^ = 1 •
= 1 -10-3 м / С
2 • 886 • 21 • 10-3 • 196
Коэффициент температуропроводности равен а = рс р), где:
Х = 0,177 Вт/(мК); р = 886 кг/м3; с р = 2303 Дж/(кгК), тогда:
а = -
0,177 886•2303
= 8,67•Ю-8 м2/с
и „ иг0 1 40-3 • 1 • 10-3 В итоге: Ре =_0 =
а
8.67.10"
8
= 11,53.
1
е
Для инженерных расчетов можно применять приближённую формулу.
Т(X) « -^ехр(-^2X / Ре) №1
На выходе из участка I: X = 21 • 10-3/1 • 10-3 = 21, первый корень уравнения (25) ц = 2,4048, тогда.
Т ( X )=- 4
T ( Z ) =
(2,4048) t -1
-expl -2,40482-^ | = 1,8• 10-5-
11,53
t, -1
f w
= 1,8 • 10-5; t«t,.
Полученный результат свидетельствует о понижении температуры начинки на участке I, что может привести к забивке канала. Во избежание этого необходимо теплоизоляция канала на участке I. Следует заметить, что полученная математическая модель легко адаптируется и для других участков.
Рассмотрим участок II. В стационарных условиях устанавливается линейный профиль температур по толщине корпуса. Если температура внутренней стенки составляет 150 °С, а внешней 20 °С, то средняя температура стенки равна 85 °С. Расчеты показывают, что в этом случае температура начинки, прошедшая через корпус составляет как раз 85 °С. Нет смысла в этом случае продолжать последовательные вычисления, ясно, что при заданной геометрии и скорости течения среды, температура начинки на входе в формующий канал превысит допустимую, что приведет к необратимым изменениям в виде разложения жировых составляющих. Для решения этого вопроса необходимо существенное увеличение числа Ре, что может быть достигнуто увеличением скорости или диаметра канала для начинки или одновременно их увеличении.
Таким образом, необходимо решить оптимизационную задачу по выбору режимных и геометрических параметров. Если иметь в виду неизменность конструкционных характеристик экструдера, то решение этой задачи может быть получено следующим образом.
Пусть Ре есть скорость функции начинки, т. е. Ре = Ре (и).
На выходе из участка I температура среды есть.
Ч = ^ +('/1 - ^ ) ехр [-А2 2,1Ре(и) ]. (29)
На выходе из участка II температура среды есть.
t2 = tw2 +1
(t1 -twi) exp [J 2/Pe(u)
. (30)
На выходе из участка Ill температура среды есть:
t3 =w + 1
(t2 -tw3 ) exp [-u1ZJPe(u)_
(31)
На выходе из участка IV температура среды есть:
t4 =tw4 +1
(t3 -tw4)exp[-tfZJPe(U)_
(32)
Т а б л и ц а 1
Численные значения решения трансцендентного
Pe t* ,oC и, м/с
250 121,67 0,021
500 99,07 0,043
750 88,20 0,065
1000 81,99 0,087
1250 78,01 0,108
1500 75,24 0,130
1750 73,21 0,152
2000 71,65 0,173
Эта температура должна быть '4 = ' .
Задача: выбрать и для реализации этого условия.
Редукцией (29)-(30) можно свести эти выражения в одно трансцендентное уравнение относительно Ре в зависимости от и решить его (таблица 1).
Результатом решения и будет требуемое Ре, а, следовательно, и скорость при заданном г0 и известном а, т. е. и = Ре • -г0.
- = 8,67 •Ю-5; У = 8,67-10-5 Ре Г0
Вывод: приемлемая скорость течения начинки 0,087 м/с.
ЛИТЕРАТУРА
REFERENCES
1 Василенко В.Н. Исследование и идентификация параметров математической модели процесса коэкструзии кормовых смесей // Вестник ВГТА. 2009. № 2. С. 40 -44.
1 Vasilenko V.N. Research and identification of parameters of the mathematical model of the process of co-extrusion feed mixtures. Vestnik VGTA. [Bulletin of VSTA], 2009, no. 2, pp. 40-44. (In Russ.).
2 Василенко В.Н., Остриков А.Н., Ряж-ских В.И. О влиянии расположения дозирующего патрубка в формующем канале матрицы экструдера на гидродинамическую структуру потоков при коэкструзии // Вестник ВГТА. 2010. № 2. С. 46-49.
3 Остриков А.Н., Василенко В.Н., Тата-ренков Е.А., Попов А.С. Моделирование течения расплава биополимера в динамической матрице экструдера // Хранение и переработка сельхозсырья. 2011. № 8. С. 66-69 .
4 Василенко В.Н., Остриков А.Н., Ряж-ских В.И. Математическая модель течения двух вязкопластичных сред в формующем канале экструдера при коэкструзии // Вестник ВГУИТ. 2012. № 2. С. 64-67.
5 Василенко В.Н., Остриков А.Н. Техника и технологии экструдированных комбикормов. Воронеж: Издательство ВГТА, 2011. 456 с.
2 Vasilenko V.N., Ostrikov A.N., Ria-zhskikh V.I. On the influence of the location of the dispensing nozzle in the form of channels matrix extruder hydrodynamic flow patterns in coex-trusion. Vestnik VGTA. [Bulletin of VSTA], 2010, no. 2. pp. 46-49. (In Russ.).
3 Ostrikov A.N., Vasilenko V.N., Tatarenkov E.A., Popov A.S. Modeling of biopolymer melt extruder in the dynamic matrix. Khranenie i pererabot-ka sel'khozsyr'ia. [Storage and refining agricultural raw materials], 2011, no. 8, pp. 66 - 69. (In Russ.).
4 Vasilenko V.N., Ostrikov A.N., Ria-zhskikh V.I. Mathematical model of flow of two viscoplastic media in the form channels of co-extrusion extruder. Vestnik VGUIT. [Bulletin of VSUET], 2012, no. 2, pp. 64-67. (In Russ.).
5 Vasilenko V.N., Ostrikov A.N. Tekhnika i tekhnologii ekstrudirovannykh kombikormov [Technique and technology of extruded feed]. Voronezh, Izdatel'stvo VGTA, 2011. 456 p. (In Russ.).
