CC BY
52
УДК 678.027.3(045)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ РАСПЛАВА ПРОДУКТА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИИ ПРЕДМАТРИЧНОЙ ЗОНЫ ДВУХШНЕКОВОГО ЭКСТРУДЕРА
А.Н. Остриков, А.С. Попов, И.О. Павлов
Воронежская государственная технологическая академия Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: двухшнековый экструдер; моделирование процесса экструзии; предматричная зона; расплав; формующий узел.
Аннотация: Приведено численное решение математической модели течения вязкой жидкости в предматричной зоне двухшнекового экструдера. Определены поля скоростей и давления в рассматриваемой области, что позволило оптимизировать формующий узел двухшнекового экструдера. В оптимизированной формующей матрице устранены застойные зоны, уменьшено время нахождения расплава продукта в предматричной зоне и повышена равномерность формования экструдата, что позволяет улучшить качество готового продукта.
Обозначения
[К] - матрица системы;
{Ф} - вектор узловых значений искомой функции;
Д - диаметр конуса в данном сечении, м;
{^} - вектор глобальной системы алгебраических уравнений;
Fx, ¥у, - компоненты вектора объемной силы вдоль оси х, у и 7 соответственно, м/с2;
Гг - число Фруда;
I 2 - квадратичный инвариант тензора скоростей деформаций; т - индекс течения; и1 - частота вращения шнека, с-1;
N, N рі - функции форм для скоростей и давлений;
{и} , {V} , {р} - векторы узловых скоростей и давления;
V , Ь - масштабы скорости и длины; а - коэффициент релаксации;
Р - температурный коэффициент вязкости, 1/К;
у - коэффициент, учитывающий тип системы координат;
|10 - эффективная вязкость, Па-ст; р - плотность жидкости, кг/м3;
А - лапласиан скалярной функции.
Одним из основных элементов экструдера является формующий узел, имеющий канал, продвигаясь по которому поток расплавленного материала формируется в изделие заданного профиля (рис. 1). Для устойчивой работы экструдера необходимо добиться устранения застойных зон предматричной зоны экструдера. Предматричная зона - область, занятая расплавом продукта и ограниченная стенками формующего узла экструдера, конусами его шнеков.
Целью математического моделирования являлась оптимизация конструкции предматричной зоны двухшнекового экструдера за счет выявления и устранения застойных зон, возникающих в предматричной зоне двухшнекового экструдера.
Движение расплава экструдата описывается уравнениями Навье-Стокса [4 -6], которые для однородной несжимаемой вязкой жидкости принимают вид:
du ^ дст гг до Р— = pFx +—— + —— dt дх ду
dv доху до уу
Р— = pFv +---------------— +——
dt дх ду
до до UKJxz + yz
дх ду
dw
P~^ = PFz + dt
ух
до.
дг
до
гу
дх
до zz дх
ди Dv Dw
— + — + — = 0;
дх ду дх
= - p + 2ц
ди
дх
уу
, Dv
= -Р + 2ц— , охх =-Р + 2Ц
ду
Dw
дх
(1)
(ди ду Л (ду дw Л (дw ди Л
а = °ух = ^у+дХ); Стуг = ст^ ={& + эУ); Стх2 = ст"х = {~д£+ &). (2)
Первые три уравнения системы (1) представляют собой систему уравнений динамики в напряжениях, последнее уравнение - уравнение неразрывности.
Реологические свойства пищевых смесей учитываются уравнением, которое выражается в виде степенного закона:
т-1
-р(Т-То)(1J 2 1 2
(3)
12 = 4
дu +( ди42
д x ) +1 д у
,, д u д и 12 J д w 12 ( д w 12
+2|ду+дхГ2ЬуГ2I ' (4)
В зависимости от конкретной физической ситуации при моделировании движения вязкой жидкости уравнение Навье-Стокса дополняются следующими видами граничных условий [1]:
- граничные условия на непроницаемой твердой поверхности £, называемые обычно условиями прилипания;
- условия симметрии, представляющие специальный тип граничных условий, возникающие вследствие определенных предположений о свойствах симметрии течения.
Уравнения (1) совместно с начальными условиями Ux0 = Ux (^ ^, т = 0) , Uy^j = Uy (x, у, т = 0), po = p (x, у, т = 0) и соответствующими граничными условиями представляют замкнутую систему, позволяющую определять поля скорости и давления однородной несжимаемой вязкой жидкости и их изменение со временем.
При выполнении вычислений обычно используется безразмерная форма записи исходных уравнений, начальных и граничных условий [1]. Выбирая в качестве масштабов скорости и длины V и L соответственно, а для параметров р, V, f - их значения, заданные условиями задачи, можно записать исходную систему уравнений (1) в безразмерной форме следующего вида:
-= + (Uv)U = -gradp + — Ш + F ■ п ; (5)
дт ' — Яе _
divU = 0 , (6)
где Яе = VL - число Рейнольдса, представляющее отношение сил инерции к силам вязкости и определяющее интенсивность вынужденной конвекции; F = Роf ,
Ро = ^- - критерий подобия, представляющий отношение сил масс к силам
V 2
инерции; ро = 1 . Для времени т и давления р используются масштабы в ви-
т/¥Г
2
де и рV , соответственно.
Использование безразмерной системы преследует две цели: приведение значений вычисленных величин к соответствующей шкале, а также расчет и обработка результатов в общей критериальной форме.
Уравнение Навье-Стокса в приближении Буссинеска, записанное в безразмерной форме, принимает следующий вид:
диг диг диг др 1 ( у . „
- + иг—- + иу—- + —---------Аиг --!-иг = 0 ;
дт х дх у ду дх Re ( х х2
диу диу диу др 1
-------\ их---------\ и,,------\---------Аи у — 0;
дт х дх у ду ду Re у
дих у диу
—х + — их +—^- — 0, (7)
дх х ду
где у = 0, используя декартовые координаты и у = 1, используя цилиндрические
координаты (x = г , у = 2) в случае осесимметричной задачи.
Система уравнений для стационарного процесса решается методом конечных элементов [1 - 3]. Скорости в пределах конечного элемента аппроксимируются следующими выражениями:
их = (г, 5) = ^ ]{и}; иу = (г, 5) = ^ ]{v},
г=1 г=1
а давление выражением следующего вида
Пр
Р = Ь ЫР1 (Г, 5) =[ ЫР ]^-Р}‘ (8)
г=1
Для выбора типа аппроксимации скоростей и давления рассмотрим тензор напряжений, действующих в вязкой жидкости
Ъ,, = - Р§,, + Н-
^ ди, ди j ^
—— + —-
дх, дх,
\ j 1 I
(9)
Компоненты этого тензора зависят от производных скорости и давления. Для представления скорости следует использовать функции форм более высокого порядка, чем для давления. Если Nр1 - линейные функции, то N - должны быть
квадратичными. Если этого не учесть, то для ряда задач получается несовместимая система уравнений. Поэтому, для аппроксимации давления используем четырехугольный линейный изопараметрический конечный элемент, а для аппроксимации скоростей - четырехугольный квадратичный изопараметрический конечный элемент.
Глобальная система уравнений выражается в следующем виде
[К]{Ф} = ^}. (10)
Для повышения устойчивости решения, на каждой итерации решение усредняется, после чего уточняется вектор неизвестных
{Кеш } = (1 -а){ЯоЫ } + а{Я, } . (11)
Для определения полей скоростей и давления в предматричной зоне экструдера проводили их расчет в пяти вспомогательных сечениях с шагом 0,005 м, одна из них - плоскость 3 (на рис. 1 заштрихована).
На первом этапе моделирования производится разбивка сечения на конечные изопараметрические элементы (рис. 2). Производится запись узлов, входящих в каждый конечный элемент, а также записываются их координаты.
На втором этапе задаются граничные условия Дирихле и Неймана. Считаем, что на поверхности стенок матрицы скорость расплава продукта равна нулю, исходя из условия прилипания продукта к стенке. А на поверхности конусов шнеков она равна окружной скорости, с которой они вращаются
и = пБп1, (12)
*Zl iiz
Рис. 3 Поле скоростей в первом сечении
На третьем этапе данные вносятся в исходные данные программы, и производится расчет представленного сечения. Полученные в результате расчета данные Ух, Уу, Р предоставлены в виде полей скоростей (рис. 3). Аналогично рассчитываются оставшиеся сечения (рис. 4-6). Значение скорости расплава продукта пропорциональны длинам векторов с учетом приведенного масштаба на рис. 3-6.
Полученные данные позволяют определить наличие застойных зон при движении расплава продукта в предматричной области. Необходимо отметить тот факт, что скорость по сечению распределяется неравномерно в связи с разным гидравлическим сопротивлением различных участков предматричной зоны двухшнекового экструдера. Влияние вращающихся шнеков на гидродинамику движения расплава продукта падает с уменьшением частоты вращения и диаметров конусов шнеков.
Рис. 4 Поле скоростей во втором сечении
Рис. 5 Поле скоростей в третьем сечении
Рис. 6 Поле скоростей в четвертом сечении
Рис. 7 Оптимизированная форма предматричной зоны экструдера
Давление расплава экструдата в предматричной зоне, создаваемое за счет вращающихся конусов шнеков (~ 5 Па), по сравнению с давлением, развиваемым экструдером при его работе (5...15 МПа), незначительно, поэтому им можно пренебречь.
Полученное численное решение математической модели течения вязкой жидкости в предматричной зоне позволило установить характер изменения скорости и давления расплава экструдата в предматричной зоне под воздействием вращающихся конусов шнеков экструдера. На основании полученных данных предоставлена рекомендуемая форма предматричной зоны двухшнекового экструдера (рис. 7).
Список литературы
1 Аладьев, В.З. Maple 6. Решение математических, статистических и физико-технических задач / В.З. Аладьев, М.А. Богчавичус. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. - 824 с.
2 Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541 с.
3 Сигерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сигерлинд. -М.: Мир, 1979. - 392 с.
4 Скульский, О.И. Механика аномально вязких жидкостей / О.И. Скуль-ский, С.Н. Аристов. - Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2003. - 156 с.
5 Торнер, Р.В. Теоретические основы переработки полимеров / Р.В. Торнер // Механика процессов. - М.: Химия, 1977. - 464 с.
6 Швыдский, В.С. Механика жидкости и газов / В.С. Швыдский, Ю.Г. Ярошенко, Я.М. Гордон и др. - М.: ИКЦ Академкнига, 2003. - 464 с.
Modeling of Motion of the Product Melt for Optimization of Structure of Pre-Matrix Zone of Two-Screw Extruder A.N. Ostrikov, A.S. Popov, I.O. Pavlov
Voronezh State Technological Academy
Key words and phrases: extrusion; forming knot; melt; modeling extrusion process; pre-matrix zone; two-screw extruder.
Abstract: Numerical solution to the mathematical model of viscous liquid flow in pre-matrix zone of two-screw extruder is given. Fields of velocity and pressure in the examined area are determined; it enabled to optimize the forming knot of two-screw extruder. In optimized forming matrix stagnant zones are eliminated, the time of melt product in pre-matrix zone is reduced and the uniformity of extrudate formation is increased, thus enabling to improve the quality of finished product.
Modellierung der Bewegung der Produktschmelze fur die Optimierung der Konstruktion der Vormaternzone des
Zweiwellenextruders
Zusammenfassung: Es ist die numerische Losung des matematischen Modells der Stromung der zahflussigen Flussigkeit in der Vormaternzone des Zweiwellenextruders angefuhrt. Es sind die Felder der Geschwindigkeiten und die Drucke auf dem betrachteten Gebiet bestimmt, was den Formenknoten des Zweiwellenextruders zu optimisieren erlaubt. In der optimisierenden Formenmatrix sind die stagnierenden Zonen entfernt. Es ist die Zeit des Auffindens der Produktschmelze in der Vormaternzone verringert und es ist die GleichmaBigkeit der Extrudatformung erhoht, was die Qualitat des fertigen Produktes zu verbessern erlaubt.
Modelage du mouvement de la fusion du produit pour l’optimisation de la construction de la zone d’avant matrice de l’extrudeuse a double vis
Resume: Est donnee la solution numerique du modele mathematique du courant du liquide visqueux dans la zone d’avant-matrice de l’extrudeuse a double vis. Sont determines les champs des vitesses et de la pression dans le domaine examine ce qui a permis d’optimiser le noeud de formage de l’extrudeuse a double vis. Dans la matrice optimisee de formage sont supprimees les zones de stagnation, est diminue le temps de la fusion du produit et est augmentee la regularite du formage de l’extrudeuse ce qui permet d’ameliorer la qualite du produit fini.
