CC BY
19
УДК 534.1:539.3
Н.В. СМЕТАНК1НА, С В. УГР1МОВ, О.М. ШУП1КОВ
1нститут проблем машинобудування iM. А.М. Пiдгорного НАН Укра1ни
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ НЕСТАЦЮНАРНОГО ДЕФОРМУВАННЯ БАГАТОШАРОВОГО ОСКЛ1ННЯ ПРИ РОЗПОД1ЛЕНИХ ТА ЛОКАЛ1ЗОВАНИХ СИЛОВИХ НАВАНТАЖЕННЯХ
У cmammi розглядаються питання математичного моделювання напружено-деформованого стану багатошарового осклтня при розподшених та локалгзованих у просторi навантаженнях. Поведтка осклтня моделюеться на основi р1зних двовимiрних теорт багатошарових пластин. До^джено напруження у триплексах при iмпульсному та ударному навантаженнях. Результати розрахунку порiвнюються i3 експериментальними даними та даними розрахунку на основi методу сктченних елементiв.
Ключовi слова: багатошарове осклтня, напружено-деформований стан, локал1зоване навантаження, удар.
Н.В. СМЕТАНКИНА, С.В.УГРИМОВ, А.Н. ШУПИКОВ
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНОГО ОСТЕКЛЕНИЯ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ И
ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НАГРУЖЕНИЯХ
В статье рассматриваются вопросы математического моделирования напряженно-деформированного состояния многослойного остекления при распределенных и локализованных в пространстве нагружениях. Поведение остекления моделируется на основе разных двумерных теорий многослойных пластин. Исследованы напряжения в триплексах при импульсном и ударном нагружении. Результаты расчета сравниваются с экспериментальными данными и данными расчета на основе метода конечных элементов.
Ключевые слова: многослойное остекление, напряженно-деформированное состояние, локализованное нагружение, удар.
N.V. SMETANKINA, S.V. UGRIMOV, O.M. SHUPIKOV
A.N. Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems of NAS of Ukraine
MATHEMATICAL MODELING OF NONSTATIONARY DEFORMATION PROCESS OF MULTILAYER GLAZING AT DISTRIBUTED AND LOCALIZED LOADINGS
The paper presents problems of mathematical modeling of the strain-stressed state of a multilayer glazing at the distributed and localized in space load. The glazing behavior is modeled based on different two-dimensional theories of multilayer plates. Stresses in triplexes are investigated at impulse and shock load. Calculation results are compared with experimental data and results of calculation by the finite element method.
Keywords: multilayer glazing, strain-stressed state, localized loading, impact.
Постановка проблеми
Багатошарове осклшня широко використовуеться у сучасних транспортних засобах та будiвництвi. Багатошарова структура дозволяе створити бшьш безпечш в експлуатаци конструкцп, яш мають меншу вагу. Таке осклшня складаеться з декшькох шарiв силшатного скла (СС), мiж якими знаходяться тонш шари полiвiнiлбутираля (ПВБ). Також у деяких варiантах осклшня використовуеться оргашчне скло та полжарбонат, але вони е менш стшкими до поверхневих пошкоджень та втрачають iз часом сво! оптичш характеристики. При цьому СС сприймае основне силове навантаження, а ПВБ поеднуе шари у пакета При цьому фрагменти СС при руйнуванш шарiв залишаються на клейовому шарi та не е додатковою загрозою для людини у виглядi уламшв.
Iснуючi правила проектування свiтлопрозорих конструкцiй грунтуються на аналiзi !х мiцностi при впливi рiзних навантажень в залежностi ввд призначення осклiння. Наприклад, це дiя вирового навантаження на осклiння будiвль [1, 2], навантаження при згткненш птаха з осклшням кабiни лiтака [3], тощо. Цi навантаження розподiленi на ввдносно великiй частинi поверхнi скла, характерний розмiр яко! значно перевищуе товщину пакету. Але досить часто осклшня знаходиться шд впливом локалiзованих
навантажень. Так, осклшня локомотивiв проектуеться з урахуванням можливого удару твердим тiлом, а при проектуванш будiвельного скла у деяких странах враховуеться вплив часток, що принесенi вiтром [4, 5].
Аналiз публiкацiй за темою дослвдження
У бiльшостi випадк1в розрахунок напружено-деформованого стану (НДС) осклiння базуеться на застосуванш класичних двовимiрних теорiй багатошарових конструкцiй, якi е орiентованими на аналiз мiцностi вiдносно тонких пластин з неютотною вiдмiннiстю механiчних властивостей шарiв при дИ розподiлених навантажень. Аналiз НДС осклiння при впливi локалiзованих навантажень потребуе використання бшьш точних теорiй. Ще складнiшою е проблема розрахунку вiдгуку осклiння на удар твердим тшом, коли навантаження е локалiзованим в просторi, а контактна сила та розмiр зони контакту змшюються у часi та заздалепдь невiдомi. Детальний аналiз сучасних двовимiрних теорiй багатошарових пластин наведено у роботах [6, 7].
Таким чином, розробка ефективних методiв розрахунку нестацюнарних коливань багатошарового осклiння при локалiзованому навантаженнi залишаеться актуальною задачею.
Мета стати
Метою роботи е розробка ефективного методу розрахунку параметрiв НДС осклшня при локалiзованому навантаженш, викликаному ударом твердим тiлом.
Основна частина
Математична модель багатошарового осклшня. Будемо розглядати багатошарове скло як багатошарову шарнiрно оперту пластину, осшльки крiплення осклiння здiйснюеться через гумовий ущiльнювач до рамки, яка жорстко закршлюеться у отворi. Багатошарова пластина складаеться з I шарiв стало! товщини Н/. Пластина вщнесена до декартово! системи координат, яка зв'язана iз зовнiшньою поверхнею першого шару. На координатнiй поверхнi Ох^х^ конструкщя займае область О, обмежену довiльним контуром Г. На оболонку дiють нестацiонарнi навантаження Р = {ру (х\, Х2,?)}, У = 1,3.
Припускаеться, що контакт м1ж шарами виключае !хне розшарування та взаемне проковзування.
Поведiнка пластини описуеться рiвняннями узагальнено! теорi!' багатошарових пластин [8 - 10]
К '
п\, (Х1, Х2, Х3,1) = uV + X к=1
X Н^к + (хз-5/-1) кп[,к
У =1
Ь
и3 (Х1, Х2, Х3,1) = из + X I=1
V = 1,2,
/ -1
X Н^1и3>1+(хз-5/-1)^ и31
_ 1=1
•„к _п„ \к
(1)
де Нк = (Ну) , 5/ = X Ну, 5/-1 < Х3 <5/, / = 1,I; и1а (а = 1,3) - перемщення точки / -го шару у
у =1
напрямку осi Оха; uV, из, uVk, и3^ - коефiцiенти розвинення, як1 е функц1ями аргументiв Х1, Х2, (; К,Ь - максимальнi степенi поперечно! координати для площинних (а = 1, 2 ) i поперечних (а = 3) перемщень точок / -го шару, яш обираються в залежносп ввд необхвдно! точностi.
Прийнятi шнематичш гiпотези при К = 1, Ь = 0 екивалентш гшотезам Е.1. Григолюка та П.П. Чулкова [11], при К = 1, Ь = 1 уточненш теори першого порядку [8, 12], при К = 3, Ь = 2 - уточненш
теори високого порядку [8].
Деформацп шарiв визначаються вiдповiдно до формул Кошi [8]. Напруження i деформаци у шарах пов'язанi законом Гука. Зусилля i моменти / -го шару визначаються за формулою
5/ _ <3 = ^ва=|(х3-5/-1 )крарйх3, а,р = 1,2,3, / = 1,1, 5/-1
де Рар - компоненти тензора напружень в / -му шарi.
Рiвняння руху багатошарово! пластини та граничнi умови випливають з варiацiйного принципу Остроградського-Гамшьтона з урахуванням гiпотез (1).
Рiвняння руху в зусиллях та моментах для багатошарово! пластини мае вигляд [8, 10]:
X [4-1 а 1 ]+ Ра = ° /=1
Tika
Tika
Tika
N10a + Nk2,2 - kaKfl + ^
I -lr
ZJ1 - J
-11 = 0 aka +1 '
(2)
J =1
де
L = Nl01 + Ni0
12,2'
L-, = N2022 + Ni0
12,1'
L = N\° i + Ni0
Ii = Pih
1ar ~
(
Ka
u a 0,tt + Z k=1
i-1 Z1h
j=1
k-uj + J uak ,tt +
Щ i
, uak ,tt k + r
13,1 Л
23,2'
a = 1,3, ka = 1, Ka, i = 1, I.
Кшьшсть рiвнянь та граничних умов залежить ввд числа шарiв i дорiвнюe (2К + Ь)1 + 3.
Метод розв'язання. Метод розв'язання системи рiвнянь (2) для прямокутних шаршрно опертих багатошарових пластин полягае у наступному. Перемiщення i зовнiшнi навантаження розвиваються у ряди по функщям, як1 задовольняють граничнi умови, в результата чого задача про коливання багатошарово! пластини зводиться до штегрування системи звичайних диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiентами. Для пластин, що мають складну форму у плаш, для розв'язання використовуеться метод занурення [8, 12, 13]. Зпдно з цим методом зашсть вихщно! пластини розглядаеться допом1жна шарнiрно оперта прямокутна пластина з тiею ж композищею шарiв. В областi О допомiжна пластина навантажена так само, як i вихвдна пластина. Тотожнiсть НДС в области О допом1жно! пластини стану вихвдно! пластини забезпечуеться
шляхом додавання компенсуючих навантажень q
comp j
(ф, t), у = 1,31 + 3 , яш неперервно розподiленi вздовж контуру Г.
Математична модель ударного iмпульсу при ударi птахом. Модель iмпульсу тиску, що виникае при зггкненш багатошарового осклiння зi птахом, базуеться на гшотез^ що птах розглядаеться як елшсо!д обертання з твосями а , Ь i с . Експериментально встановлено, що область взаемоди птаха з елементом осклшня е елiптичною площадкою [13], а компоненти вектора зовшшнього навантаження в системi (2) можуть бути подаш у виглядi
Р1 = Р2 = 0 >
Р3 = 1[1 + signta -1)]F(t),
де Ть - час дп iмпульсу;
F (t ) = P
1 -
(x - X1) (y - У1)
ub
vb
12
ub
Vb - niBOCi площадки
навантаження, як! встановлюються на основi експериментальних даних; х^ и у - координати точки перетинання траектори центра маси птаха з елементом осклшня.
Залежшсть Р0 = Рд (t) також встановлюеться на основi експериментальних даних [3, 13].
Низькошвидккний удар твердим тшом по осклiнню. Дослвджуеться динашчна поведiнка вертикально закрiпленого багатошарового скла при ударi твердою часткою по зовшшнш поверхнi першого шару осклшня зi швидкiстю Уд . Аналопчно роботi [4], частка моделюеться кулею радiусом Я i масою М .
Припускаеться, що область взаемоди кулi зi склом е круг радiусу a(t), а контактний тиск розподiлений по площадцi навантаження, вщповвдно до закону
Р3(Х1, Х2, t) = P)(t)
1 -
22 (x1 - x10) + (x2 - x20) „2
Р1 = Р2 = 0 =
де Х1д, Х20 - координати точки зикнення частки зi склом в початковий момент часу.
Система рiвнянь, яка описуе нестацiонарну поведiнку пластини (2), доповнюеться рiвнянням руху тша, що завдае удар, та умовою сумюноси перемiщень iндентора та пластини
М3 (Хю ,Х20,0/) + а^) - z(t) > 0 , де а^) - контактне зближення, г = z(t) - перемiщення iндентора.
Контактне зближення визначалось на основi закону Герца
а = кР2!\
Коефщент к , який залежить вщ форми i матерiалу взаемодiючих тш обчислювався за допомогою формул, отриманих О.М. Дiннiком [14 ]
k =
9 (01 +9)
2
256
R
13 2 2
4(1 -V12) 0 = 4(1 -v2)
E
E
r
и
де Е- модуль Юнга и коефщент Пуассона для матерiалу кул^ Е\у\ — аналогiчнi характеристики для першого шару пластини.
Радiус обласп контакту а(^) обчислюеться за формулою
а($) =
3
— ЯР^) (0 + 01) 16 1
13
Розв'язок рiвняння руху iндентора одержано за допомогою штегрального перетворення Лапласу. Значения контактно! сили визначаеться з умови сумюносп перемiщень на кожному крощ за часом.
Аналiз результат чисельних дослiджень. Розглянуто процес нестацюнарного деформування багатошарових пластин при локатзованому iмпульсному та ударному навантажениях.
Дослщжено розподiл напружень вздовж товщини тришарових пластин (триплексiв) при
розподiлених i локалiзоваиих навантаженнях. 1мпульсне навантажения Р1 = Р2 = 0,
Рз = Ро (Н(^) — Н(^ - ^1)) рiвномiрно розподiлено по прямокутнiй площадцi ау < ху < Ь^ (/ = 1,2) на
зовнiшнiй поверхнi першого шару (Н(^) — функцiя Хевiсайда). Час дп навантажения 11 = 1,8 • 10 с.
На рис. 1 наведено розподiл напружень вздовж товщини посередиш тришарово! пластини
(А = 0,42 м, В = 0,47 м, И = Из = 0,012 м, И2 = 0,002 м), зовшшш шари яко! виконаш iз СС з такими
4 3 з
характеристиками: Еу = 6,67 -10 МПа, ру = 2,5 -10 кг/м , уг- = 0,22 (У = 1,3). Другий шар виконано iз
2 3
ПВБ: Е2 = 2,74-10 МПа, р = 1,2 • 10 кг/м3, V2 = 0,38. Тут Еу — модуль пружносп, V; — коефщент Пуассона, ру — щiльнiсть 7 -го шару. На рис. 1, а показано розподш напружень вздовж товщини пластини при iмпульсному навантаженш, рiвномiрно розподiленому по всiй поверхнi першого шару (Р0 = 10,13 кПа), а на рис. 1, б — при iмпульсному навантаженш, яке рiвномiрно розподiлено по квадрату iз стороною 5 мм посередиш пластини (Р0 = 80 МПа). Суцшьна лiнiя вiдповiдае теори {3,2}, а пунктир -теори {1,0}.
Встановлено, що шд час дп локалiзоваиих наваитажень розподiл напружень вздовж товщини пластини тд площею навантаження, мае нелiнiйний характер, який не вщображуе теорiя {1,0}. При впливi розподiлених наваитажень розподiл напружень е лшшним, а данi, яш отриманi за теорiями {1,0} та {3,2}, практично сшвпадають.
КОМПОЗИЦ1Я
£ //
£ / /
см 1—1 ' / у
' / /
см;
Е
£ / /
1-М /
1—1 У/
-2 -1 0 1 2
^ч 0,5- ^, МПа
"ч Ч
[■О си
2,5- х3,мм ^
-60 -40 -20 0 20
'ч ¿>3, МПа
0.5"
1.0 -
Х\-
\\
2.0- V
2.5- х3\ \
а б
Рис. 1 Розподл напружень вздовж товщини
Для перевiрки вiрогiдностi отриманих результатiв проведено порiвияния результата розрахунку НДС реального осклiния при ударному впливi з експериментальними даними. Розглянуто деформування авiацiйного осклiния при ударi птахом та архiтектурного осклшня при ударi твердими частками. У першому випадку осклiния пiдлягае впливу навантаження, що розподшене по значнш частинi поверхнi скла, а у другому мае мюце локалiзоване навантаження.
Теоретично й експериментально дослвджено реакцш елемента осклiния лiхтаря кабiни лтгака АН-24
на удар птаха. Шари осклшня виконаш з матерiалiв з наступними характеристиками: Еу = 6,12 -104 МПа
(модуль пружностГ), v¿ = 0,22 (коефiцiент Пуассона), г = 1, 3,5 ; Е2 = 1 МПа, Е4 = 280 МПа, VI = 0,39,
I = 2,4; ру = 2500 кг/м3, I = 1,3,5, ру = 1200 кг/м3, I = 2,4 (густина матерiалу); И1 = 5 мм, И2 = 5 мм,
И3 = 6 мм, И 4 = 2 мм, И5 = 10 мм (товщини шарiв). Розрахунок проводився на основi теорi!' {1, 0}. Удар
наносився в середину покривного скла паралельно ос фюзеляжу. Експериментальне дослвдження проводилося методом динашчно! широкосмугово! тензометрп [3, 8, 13].
На рис. 2 показана розрахункова схема елемента осклшня й позначена точка С, у якш дослщжувалися деформацп. Геометричнi параметри елемента осклiння так1: /1 = 0,36 м, ¡2 = 0,39 м,
¡3 = 0,34 м, ¡4 = 0,45 м, Я = 0,04 м, i = 1,4. На рис. 3 наведена залежнють ввд часу головно! деформацп
в5 в точцi С при ударi птаха 1,74 кг зi швидк1стю 99,07 м/с. Результатам розрахунку вiдповiдаe суцiльна лiнiя, результатам експерименту - пунктирна. Добре узгодження розрахункових i експериментальних даних пвдтверджуе вiрогiднiсть результатiв, одержаних за допомогою розроблено! методики, що застосовуеться для розрахунку напружень в елементах осклшня.
Рис. 2. Розрахункова схема елемента осклшня Рис. 3. Реакщя елемента осклшня на удар птаха
Дослщжено динамiчну поведiнку тришарового архiтектурного скла (305x305 мм) рiзноl товщини
при ударi твердою часткою М = 2 г, Я = 3,97 мм на швидкосп 9,1 м/с посередиш зовшшньо! поверхнi
першого шару. (табл.1). Зовнiшнi шари конструкцп виготовленi iз СС з характеристиками Е = 72 ГПа,
3 2
V = 0,25, р = 2500 кг/м та з'еднаш за допомогою ПВБ з характеристиками Е2 = 2,74 -10 МПа,
V2 = 0,38, р = 1100 кг/м3 . Характеристики твердо! частки Е = 200 ГПа, v = 0,29, р = 7800 кг/м3. Розрахунок проводився на основi теорil {3, 2}.
У табл. 1 наведено результати розрахуншв максимальних значень деформацш посерединi зовнiшньоl поверхнi третього шару за запропонованим методом при використанш теорil {3,2}, методом ск1нченних елеменпв на базi комплексу LS-DYNA 2D [4, 5], а також експериментальш данi [4, 5].
Таблиця 1
Товщини та деформащ'1 шар1в тришарового скла_
Скло Товщина шарiв, мм Деформацп, вг ■ 106
1 шар 2 шар 3 шар Запропонований метод метод скшченних елеменпв експеримент
1 2,98 0,76 2,98 590 580 580
2 4,78 0,76 4,78 333 330 360
3 4,81 1,52 4,81 265 310 260
4 4,66 2,29 4,66 290 310 280
На рис. 4 показано змшення деформацш за часом посередиш зовшшньо! поверхш третього шару для скла № 2. Суцшьна лiнiя вiдповiдаe результатам розрахунку за запропонованим методом, пунктирна - за методом сшнченних елементiв на базi комплексу LS-DYNA2D [4, 5].
Висновки й перспективи подальших дослщжень Розглянуто процеси деформування багатошарового осклшня при розподшеному та локалiзованому навантаженнях. На основi узагальнено! теори запропоновано метод визначення НДС осклiння при ударному навантаженш. На рядi приклащв розрахунку тришарового осклiння показано працездатшсть та високу ефективнiсть запропонованого методу. Встановлено, що при розподшеному навантаженш характер розпод^ напружень вздовж товщини пластини е лшшним, а при локатзованому - нелiнiйним. Тому використання теорiй, заснованих на лiнiйному розподш перемщень, призводить до значних похибок для випадку, коли розмiри площi навантаження е близькими до товщини пластини.
Запропонований пiдхiд дозволяе скоротити витрати i час на передпроектш дослiдження i натурнi випробування.
Роботу виконано у рамках Щльово! комплексно! програми наукових дослiджень НАН Укра!ни «Проблеми ресурсу i безпеки експлуатацi! конструкцш, споруд та машин» («Ресурс-2»).
Список використаноТ л1тератури
1. ДСТУ Б В.2.6-23-2001 (ГОСТ 23166-99) Конструкцп будиншв i споруд. БЛОКИ В1КОНН1. Загальнi технiчнi умови - На замшу ГОСТ 23166; Чинний ввд 01.01.2002. - УДК691.11.023.1/2:006.354; МКС 91.060.50.
2. Борискина И.В., Шведов Н.В., Плотников А.А. Проектирование современных оконных систем гражданских зданий. - М.: АСВ, 2000. - 176 с.
3. Shupikov A.N. Bird dummy for investigating the bird-strike resistance of aircraft components / A.N. Shupikov, S.V. Ugrimov, N.V. Smetankina, V.G. Yareshchenko, G.G. Onhirsky, V.P. Ukolov, V.F. Samoylenko, V.L. Avramenko // Journal of Aircraft.- 2013.-Vol. 50, N 3.- P. 817-826.
4. Behr R.A Dynamic strain in architectural laminated glass subjected to low velocity impact from small projectiles / R.A. Behr, P.A. Kremer, L.R. Dharani, F.S. Ji, N.D. Kaiser // Journal of Materials Science.-1999.-Vol. 34.-P. 5746-5756.
5. Flocker F.W. Low velocity impact resistance of laminated architectural glass / F.W. Flocker, L.R. Dharani // Journal of Architectural Engineering - 1998.- Vol. 1, N 4. - P. 12-17.
6. Григолюк Э.И., Статика упругих слоистых оболочек / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков. - М.: НИИ Механики МГУ, 1999. - 215 с.
7. Пискунов В.Г. Развитие теории слоистых пластин и оболочек / В.Г. Пискунов, А.О. Рассказов // Прикл. механика. - 2002. - Т. 38, № 2. - С. 22-56.
8. Шупиков А.Н. Нестационарные колебания многослойных пластин и оболочек и их оптимизация / А.Н. Шупиков, Я.П. Бузько, Н.В. Сметанкина, С.В. Угримов. - Харьков: Изд-во ХНЭУ, 2004.- 252 с.
9. Ugrimov S.V. Layered orthotopic plates. Generalized theory / S.V. Ugrimov, A.N. Shupikov // Composite Structures. - 2015. - Vol. 129, N 1. - P. 224-235.
10. Ugrimov S.V. Generalized theory of multilayer plates //Int. J. Solids and Structures.- 2002.- Vol. 39, N4.-P.819-839.
11. Григолюк Э.И. Теория вязкоупругих многослойных оболочек с жестким заполнителем при конечных прогибах / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков // Журн. прикл. механики и техн. физики. - 1964. - № 5.- С. 109-117.
12. Smetankina N.V. A noncanonically-shape laminated plate subjected to impact loading. Theory and experiment / N.V. Smetankina, A.N. Shupikov, S.Yu. Sotrikhin, V.G. Yareschenko// Trans. ASME. J. Appl. Mechanics. - 2008.- Vol. 75, N 5. - P. 051004-1-051004-9.
13. Сметанкина Н.В. Нестационарное деформирование, термоупругость и оптимизация многослойных пластин и цилиндрических оболочек / Н.В. Сметанкина.- Харьков: Мюькдрук, 2011.- 376 с.
14. Динник А.Н. Избранные труды: В 2-х т. / А.Н. Динник.- Киев: Изд-во АН УССР, 1952. - Т.1. -350 с.
