CC BY
13
УДК 539.3:517.9
О.В. КУД1Н, О.В. СПЕЛЬЧУК
Запорiзький нащональний ушверситет
РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ1 СТАТИЧНО1 СТ1ЙКОСТ1 КРУГЛИХ ТРИШАРОВИХ ПЛАСТИН З НЕЛ1Н1ЙНО-ПРУЖНИМ ЗАПОВНЮВАЧЕМ МЕТОДОМ ПОСЛ1ДОВНИХ НАВАНТАЖЕНЬ
Запропоновано функцюнал повно'1 енергИ тришарових круглих пластин симетрично'1 будови з i-зотропними зовнiшнiми шарами i нелШйно-пружним i-зотропним заповнювачем. Описано методику розв 'язання задачi статично! стгйкостг, яка включае застосування метода Рiтца та метода по^довних навантажень. В якостi чисельного прикладу, розглянуто задачу визначення критичних навантажень тришарово! кругло! пластини в нелттно-пружтй постановцi за Каудерером, виконано порiвняння отриманого розв 'язку з тшими до^дженнями.
Ключовi слова: тришарова пластина, статична стшюсть, нелШйна пружтсть.
А.В. КУДИН, О.В. СПЕЛЬЧУК
Запорожский национальный университет
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КРУГЛЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
С НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
НАГРУЖЕНИЙ
Предложен функционал полной энергии трехслойных круглых пластин симметричного строения с изотропными наружными слоями и нелинейно-упругим изотропным заполнителем. Описана методика решения задачи статической устойчивости, которая включает применение метода Ритца и метода последовательных нагружений. В качестве численного примера, рассмотрена задача определения критических нагрузок трехслойной круглой пластины в нелинейно-упругой постановке по Каудереру, выполнено сравнение полученного решения с другими работами.
Ключевые слова: трехслойная пластина, статическая устойчивость, нелинейная упругость.
O.V. KUDIN, O.V. SPELCHUK
Zaporizhzhya National University
BUCKLING PROBLEM OF SANDWICH PLATES WITH NONLINEAR CORE SOLVED BY METHOD OF CONSECUTIVE LOADING
Full energy functional for sandwich round plates of a symmetric structure with isotropic outer layers and a nonlinearly elastic isotropic core are proposed. A technique for solving the static buckling problem is described, which includes the Ritz method and the method of consecutive loading. As a numerical example, we consider the problem of determining the critical loads of a sandwich circular plate in a nonlinearly elastic formulation by the Kauderer. The obtained solution is compared with other works.
Keywords: sandwich plates, static buckling, nonlinear elasticity.
Постановка проблеми
Розробка шдход1в до розрахунку напружено-деформованого стану шаруватих елеменпв конструкцш е досить актуальною задачею. Це зумовлено широким застосуванням, зокрема, тришарових пластин та оболонок в ав1а- та суднобудуванш, косм1чнш промисловосп, цившьному буд1вництв1, радюелектрошщ та шших галузях народного господарства. Актуальною е проблема розробки ефективних шдход1в до розв'язання задач мехашки деформ1вного твердого тша з урахуванням ф1зично! нелшшносп матер1ал1в шар1в.
Аналiз останшх дослвджень i публжацш
На даний момент опублжовано значну шльшсть дослвджень з теорп тришарових пластин та оболонок. Одшею з перших публшацш в обласп моделювання тришарових конструкцш е робота [10], яка присвячено визначенню критичних навантажень тришарових пластин.
Постановщ i розв'язанню нелшшно-пружних задач присвячеш монографп [3, 6, 9]. Задач1 згину й стшкосп тришарових пластин, виконаних з нелшшно-пружних матерiалiв, дослвджуються в роботах [1, 4, 7, 8].
Посилання на роботи з моделювання тришарових елеменпв конструкцш можна знайти в оглядах [11, 14]. Детальний аналiз класичних та уточнених моделей розрахунку тришарових i багатошарових конструкцш проводиться в статтях [12, 13].
Виходячи з аналiзу проблемно! обласп, можна зробити висновок, що порiвняно невелика к1льк1сть робiт присвячена моделюванню шаруватих елементiв конструкцiй з урахуванням фiзично-нелiнiйних матерiалiв. Це пов'язано з необхвдшстю розв'язання достатньо складних систем нелшшних диференцiальних рiвнянь. Одним з методiв розв'язання таких систем може бути метод продовження розв'язку за параметром та його варшцц. Бiльш докладно про застосування цього методу в нелшшних задачах пластин та оболонок йдеться в роботах [2, 5, 6].
Формулювання мети дослщження Метою стати е визначення критичних навантажень тришарово! пластини з нелшшно-пружним заповнювачем при ди стискаючого навантаження в площинi пластини. Для розв'язання задачi використовуеться пвдхвд на базi методу Рiтца та методу послвдовних навантажень В.В. Петрова.
Викладення основного матер1алу досл1дження Розглядаеться задача статично! стшкосп тришарово! кругло! пластини при ди стискаючого навантаження Р в площиш пластини. Будемо вважати, що Р настiльки мале, що плоска форма рiвноваги пластини е стшкою. Визначимо критичне значення Ркр, при перевищенш якого початкова плоска форма
рiвноваги може стати нестшкою i пластина шд дiею малих збурень перейде до ново! стшко! форми рiвноваги з викривленою серединною поверхнею. Задача розглядаеться в вюесиметричнш постановщ.
Вважаеться, що зовнiшнi шари однаково! товщини 5 виготовленi з iзотропного матерiалу з модулем Юнга Е , коефiцiентом Пуассона ц та пiдкоряються закону Гука, приймаються гiпотези Кирхгофа. Середнiй шар товщини 2Н виготовлено з нелiнiйно-пружного, у формi Г. Каудерера, iзотропного матерiалу та приймаеться гiпотеза про лшшний закон розподiлення тангенцiальних напружень по товщиш заповнювача.
Фiзичнi спiввiдношення для матерiалу заповнювача мають наступний вигляд [3]:
&г = 3К(1 + ^о + 2<~(1 + П^оХв - во),
°р = 3К~(1 + Х2в0 )в0 + 2<~(1 + )(вр - в0),
(1)
1тр
= <~(1 + Y2^0)вrр, Тгг = <~(1 + Г2Г0)в
= <~(1 + Г2¥0)вр
де <, К - модулi зсуву та об'емно! пружносп матерiалу; в , ^0 - середне ввдносне подовження i iнтенсивнiсть деформацш зсуву.
Параметр у2 характеризуе зм^ форми елемента конструкцi! в нелшшно-пружнш стадi!' деформацi!' i визначаеться експериментально [3, 9]; параметр Х2 характеризуе змшу об'ему елемента, далi вважаемо Х2 = 0.
Основнi рiвняння теорi! пружностi для дано! задачi наведено в статтi [4]. Випишемо далi функцiонал повно! енергi!' в загальному виглядi ввдносно неввдомих функцш: перемiщення в площинi пластини и (г) та прогину w(г):
(
2жК
е=Я
0 0
И+5 ЕИ\ 1 + ц12 г
Е12\ Ц +12
2г (1 -ц2) + 2(1 -ц2 )
Е13| 1 + ц14
+ Г - 1 г
-И-5 2гЧ -
Е14\ Ц +12
(1 -ц2) + 2(1 -ц2)
dz +
+ Г —(2<~/12(Л3Г2 +1) + 3К/14)+ — (2<~/15(Л6Г2 +1) + 3КИ4)
-И
+
\
+ -
32И
182 (113у2 + l)dz - Р
dw(г) dг
ЫМр.
(2)
В (2) використовуються наступш позначення:
2
.. 2 9К2 -402 . . ё^(г) ( , 5) „ ё^(г) ( , 5) ёи(г)
А1 = --т-——-11 = и (г) + —— I г - к--1, 12 =-г - к--1 + ——
3 (3К + 0+ 20) У ' ёг У 2) ёг2 I 2) ёг
13 = -и (г) + ^ ( г + к + 5) , 14 = ( г + к + 5)-^, 15 = -2 г5ё^ + 4 ги(г),
ёг У 2) ф2 У 2) ёг ёг
16 = 17 = ёи(г)(1 - к~1 18 =
^ (4к - 25) + 4и(г),
2к ёг 2 ёг У к ) ёг
19 = — -16 +17, 110 = -16 +17, 111 = 16 +17, 112 = 15 + —19 + — , (3) 4гк 6 3
113 = -1522--211115 + А1519 + 4А119110 + -182- + 81102 + 2 А12192, 18г 2к2 9гк 9гк 9 24к2 9 9
114 = - А19 +1110 , 115 = + А19 + 2110, 116 = 113 + —15(111 -110). 12гк 6 3 12гк 6 3 9гк У '
В якосп апроксимацiй перемiщень вщповщно методу Рiтца обрано наступнi координатш функци. Для защемлення на контура
( / \2 )2 п с \21 / \п . \2г +1
^(г) = Н 0 +
1 - г Я
£н- (г] • и(г)=ц+[' - я£ц (п . <4)
Тут , ¿у, 7 = 0, п - параметри, як1 визначаються за методом Рида.
Пiсля пiдстановки (4) в функцюнал (2) та диференщювання за параметрами координатних функцш, отримаемо в загальному випадку систему нелiнiйних алгебра1чних рiвнянь:
др яр _
/у (Н, Ц, Р) = — = 0, gi (Ну, Ц, Р) = —= 0. (7 = 1, п) (5)
дНу дЦ
Одним з методiв, що використовуються для розв'язку нелiнiйних задач мехашки деформiвного твердого тiла е метод послвдовних навантажень, розроблений В.В. Петровим [5, 6]. Узагальненням цього методу е метод продовження розв'язку за параметром. Використання методу послiдовних навантажень разом з наближеними аналiтичними методами при розв'язанш задач нелшшно! мехашки описано в монографп [6].
Будемо вважати, що параметри координатних функцш залежать вщ навантаження Ну = Ну (Р), Цу = Цу (Р). Шсля диференщювання системи (5) за параметром Р отримаемо систему диференщальних
ёНу ёЦ
рiвнянь, лшшних в1дносно -- i —-
ёР ёР
ё^Н + ё^ёЦь+=0
ёНу ёР ёЦ ёР ёР '
у у (6)
ё^Н+ё§^ёЦь+^=0
ёН1 ёР ёЦ ёР ёР ' Початковi умови випливають з фiзичного змюту задачi: (0) = Ц (0) = 0.
Зпдно з методом послвдовних навантажень, розв'язок системи (6) визначаеться наступною розрахунковою схемою
Ну,у +1 = Ну, у + А Ну, у, Ц у +1 = Ц у + Ш, у , Ру+1 = Ру + АРу, (7)
де АРу - крок навантаження, який задаеться, а АН у, у i АЦу, у визначаються з системи лшшних алгебрш'чних рiвнянь
(ну, у , Ц", у , Р К, у + ^ (нУ, у , Ц", у , Р )АЦг,у + ё1 К у , Ц", у , Ру )АРу = 0,
Н (н^ , у, Р +ки, , Р )АЦу, у + ёg7 , , Р )арУ =0,
Ч/г
СН;
dHi
Нг, ] +
АН,
г, ]
Цг, ] +
АЬг
г, ]
Р,
АН г,у +
+
с1Р,-
Н г, ] +
/ АН,
Нг, ] +-
г,]
2
Ьг, ] +
\
АЬ
АНг,] т АЬ, у 2 ,] 2
Р]
АЦг, ] +
^ ]
2
Р]
АР] = o,
Н г, ] +
АН
г, ]
Ьг, ] +-
АЬ
'г, ]
л
Р]
А Нг, ] +
/
Н г, ] +
V
/ АН 2
г, ]
Ьг, ] +-
АЬ
г, ]
Р]
А Ьг, ] +
+
с§1
(
V
~ АНг, ]
Н1 ] +—— г, ] 2
г АЬг,]-
Ц 1 +—— г,] 2
Р
АР] = 0.
Наведена розрахункова схема мае порядок точностi о(аР^ ) [4].
Як чисельний приклад розглянемо задачу визначення критичного стискаючого навантаження для
-3
тришарово! кругло! пластини з параметрами: товщина середнього шару 2И = 16 -10 м, товщина зовшшшх шарiв 5 = 1-10 м, радiус пластинки Я = 0,4 м; модуль зсуву та коефщент Пуассона зовшшшх шарiв -О = 8 -104 МПа та ц = 0,27 вiдповiдно, модуль зсуву та модуль об'емно! деформацi! заповнювача -
<~ = 2,77 -104 МПа, К = 6 -104 МПа (сплав алюмшш Д16Т). При врахуванш нелiнiйно!' пружностi матерiалу Д16Т розглянутих елементiв конструкцiй, приймаемо наступнi значення коефiцiентiв:
У2 = -3,878 -105, Х2 = 0 [4]. В розрахунках розглядаеться тiльки жорстке защемлення кра!в пластини. Табл. 1 мютить порiвняння отриманих в статгi результата з розрахунками роботи [4].
Таблиця 1
Критичт навантаження тришарово! пластини
Ркр -106, Н/м кр
1 2 3
Лiнiйний випадок 4,712 4,712 5,402
Нелшшний випадок 4,491 4,691 -
Математичш моделi, що використовуються при розрахунках, позначен в табл. 1 наступним чином: 1 - аналгшчна модель [4], 2 - метод послвдовних навантажень, 3- сшнченно-елементна модель [4].
Рис. 1 мютить iлюстрацiю крошв методу послiдовних навантажень. Критерiем втрати стiйкостi в даному випадку е необмежене зростання прогину при досягненш критичного навантаження.
о.осюю
0.00008
0.00006
с;
0.00004-
0.00002
4 4.1 42 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.3 4.9
Рис. 1. Кроки методу послвдовних навантажень. Нелшшний випадок.
2
2
2
2
2
Висновки
1. Наближено розв'язано задачу визначення критичних навантажень кругло! тришарово! пластини з нелшшно-пружним заповнювачем.
2. При порiвняннi отриманих в статп результатiв з iншими роботами показано, що вiдхилення значень критичних навантажень ввд iнших моделей складае 4% - 12%.
3. В цшому, метод послвдовних навантажень в поеднанш з методом Рiтца е досить ефективним при дослвдженш нелiнiйних задач, оскшьки дозволяе звести нелiнiйну задачу до послщовносп лiнiйних та легко алгоршшзуеться.
4. Перспективи подальших дослщжень пов'язанi iз застосуванням метода послщовних навантажень до задач стiйкостi шдкршлених пластин та оболонок з врахуванням геометрично! та фiзично! нелiнiйностi.
Список використаноТ лiтератури
1. Зеленський А.Г. Метод зниження порядку неоднорiдних диференщальних рiвнянь iз частинними пох1дними в теори пластин середньо! товщини / А. Г. Зеленський // Вюник Дшпропетр. ун-ту. Серiя механiка. - 2012. - Т. 20, №5. - С. 60-66.
2. Ильин В.П. Численные методы решения задач строительной механики: Справ. Пособие / В.П. Ильин, В.В. Карпов, А.М. Масленников - Мн.: Выш. шк., 1990. - 349 с.
3. Каудерер Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер ; пер. с нем. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961. -777 с.
4. Кудш О.В. Статична стшшсть круглих тришарових пластин з нелшшно-пружним заповнювачем / О.В. Кудш // Вюник Запорiзького нацюнального ушверситету: Збiрник наукових статей. Фiзико-математичш науки. — 2015. — № 3. — С. 127-135.
5. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек /
B.В. Петров. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 119 с.
6. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика / В.В. Петров. М.: Инфра-Инженерия, 2014. - 480 с.
7. Тамуров Ю.Н. Вариант обобщённой теории трёхслойных пологих оболочек с учётом обжатия физически нелинейного заполнителя / Ю.Н. Тамуров // Прикл. механика. -1990. - Т. 26, №12. -
C. 39-45.
8. Тамуров Ю.Н. Уравнения изгиба и устойчивости трехслойных оболочек с ортотропными и нелинейно-упругими свойствами материалов / Ю.Н. Тамуров // Исслед. по теор. пластин и оболочек. - 1990. - №20. - С. 102-112.
9. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов / И.А. Цурпал. Техника, 1976. - 176 с.
10. Hoff N.J. Buckling of sandwich-type panels / N.J. Hoff and S.E. Mautner // Journal of the Aeronautical Sciences. - 1945. - vol. 12(3). - pp. 285-297.
11. Carrera Е., Brischetto S. A Survey With Numerical Assessment of Classical and Refined Theories for the Analysis of Sandwich Plates // Applied Mechanics Reviews, Vol. 62, 2009.
12. Kien T Nguyen. A refined higher-order shear deformation theory for bending, vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich plates / Kien T Nguyen, Tai H. Thai and Thuc PVo // Steel and Composite Structures. - 2015. - vol. 18(1). - pp. 91-120.
13. S.M.R. Khalili. Buckling analysis of composite sandwich plates with flexible core using improved highorder theory / S.M.R. Khalili, M.M. Kheirikhah, Fard K. Malekzadeh // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2015. - vol. 22(4).
14. Noor A.K. Computational Models for Sandwich Panels and Shells // Applied Mechanics Reviews, Vol. 49, No. 3, 1996. - pp. 155-199.
