Решение задачи осесимметричного изгиба круглых трехслойных пластин c нелинейно-упругим заполнителем Текст научной статьи по специальности «Физика»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ИЗГИБА КРУГЛЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН C НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ

ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Кудин Алексей Владимирович

преподаватель Экономико-юридического колледжа Запорожского национального университета, Украина, г. Запорожье

E-mail: a vk256@gmail. com

SOLUTION FOR AXISYMMETRIC BENDING OF CIRCULAR SANDWICH PLATES WITH NONLINEAR-ELASTIC CORE

Alexey Kudin

teacher of Economics and Law College of Zaporizhzhya National University, Ukraine

Zaporizhzhya

АННОТАЦИЯ

Предложены уравнения изгиба трехслойных круглых пластин симметричного строения с изотропными наружными слоями и нелинейно-упругим заполнителем. Получено аналитическое решение задачи осесимметричного поперечного изгиба трехслойной круглой пластины в линейной и нелинейной постановке. В качестве примера, рассмотрена задача осесимметричного поперечного изгиба трехслойной круглой пластинки, а также задача осесимметричного поперечного изгиба однослойной пластины в линейной постановке.

ABSTRACT

There are proposed round three-ply plate equations of symmetric structure with isotropic outer layers and nonlinear elastic core. An analytical solution to the problem of axisymmetric cross-bending of a round three-ply plate in a linear and nonlinear setting has been obtained. As an example there are considered the problem of axisymmetric cross-bending of a round three-ply plate and also the problem of axisymmetric cross-bending of a one-ply plate in a linear setting.

Ключевые слова: круглая трехслойная пластинка; осесимметричный изгиб; уравнение Бесселя.

Keywords: round three-ply plate; axisymmetric bending; Bessel's equation.

Введение. Трехслойные элементы конструкций широко применяются в авиа и судостроении, космической промышленности, гражданском строительстве, радиоэлектронике и др. отраслях промышленности. Поэтому актуальной является проблема разработки эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния трехслойных элементов конструкций, а также обобщения классических теорий с применением уточненных моделей, отражающих поведение современных материалов.

В настоящей работе приводится вариант уравнений изгиба трехслойных пластин симметричного строения с изотропными наружными слоями и нелинейно-упругим по [4] материалом заполнителя (аналитическая модель). Получено аналитическое решение уравнений аналитической модели путем сведения к уравнению Бесселя.

На примере задачи осесимметричного поперечного изгиба трехслойной круглой пластинки проводится сравнение аналитической модели с известными работами [2, 7, 8]. В качестве частного случая решена задача осесимметричного поперечного изгиба однослойной пластины в линейной постановке; результаты сравниваются с [10].

Напряженное состояние пластинки. Рассмотрим круглую трехслойную пластинку, которая подвергается воздействию произвольной поперечной нагрузки д(г, р). Внешние слои пластинки толщинами ¿1 и ¿2 изготовлены из изотропных материалов, подчиняющихся закону Гука, средний слой пластины толщиной 2Ь выполнен из нелинейно-упругого изотропного материала.

Для внешних слоев, вследствие их малой толщины, принимается гипотеза Кирхгофа-Лява. Напряженное состояние в этих слоях определяется законом Гука [1]

г - 2 (ег + М^рР , „ 2 (ер + Мег), ^гр С£рр,

1 -М 1 -М

* *

* I 1 * * * * I 1 * * * х * У"** *

=—;—гг(£* р °р = —;—"2 (-р ег), *т = Сещ, (1)

1 -(/) 1 -(т )

где: Е, С, т — модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона соответственно материала слоя Ь £ z £ Ь Индекс (*) в (1) относится к механическим характеристикам материала слоя -Ь -82 £ г £-Ь.

Напряженное состояние в среднем слое определяется выражениями [4]

аГ = 3К(1 + С2-о)-о + 2С(1 + ШоУ—г - -о), °<р = 3К(1 + С2-о)-о + 2С(1 + ГгУоХ— -£о), ¿р = С(1 + ГгУо^р ¿г = С(1 + ТУо-, = С(1 + ГгУо—р. (2)

В (2) обозначено: С, К, — модули сдвига и объемной деформации

2

материала; -о, Уо — среднее относительное удлинение и интенсивность деформаций.

£о = 3(-г + £р + £г) ,

2 = 8 / ~2 ~2 ~2 ~~ ~ ~ ~~ \ 2 / „г ~2 ~2 ' уо = 9 -г + -р + -г - £г-р - -р-г - + 3 - гр + —гг + —рг)

/% , % \ 1 3К-2С

% г

£„ = -т-т (-Г + £р), т 1 Д

' 2 3К + С

Параметр тг характеризует изменение формы элемента конструкции в нелинейно-упругой стадии его деформирования, определяется экспериментально согласно [4]; параметр Сг характеризует изменение объема элемента.

Перемещения и деформации пластинки. Деформированное состояние пластинки определяется радиальными перемещениями и1 (г,ф), угловыми перемещениями у1 (г,ф) точек срединных плоскостей внешних слоев (7 = 1,2) и прогибом ш(г,ф).

Исходя из принятых гипотез, перемещения запишутся аналогично [9].

и (г,ф, г) = щ(г ,ф) +

и (г,ф, г) = и2 (г, ф, г) +

Ь 8Л

г - п--1

v 2 у

г + П + —

шг , П £ г £ П +&1,

шг , - П -82 £ г £-Ь,

v

2

у

и(г,ф, г) = щ(г,ф)а^ г) + щ(г,ф)а2( г) + с*( г)шГ , - П £ г £ П,

у(г ,ф, г) = У1(г,ф) +

г - П-

8 2

ш

ф

г

Ь £ г £ Ь +81,

у (г,ф,г) = У2(г,ф,г) +

82

г + Ь + — . 2 ,

ш

Ф

, - Ь -82 £ г £-Ь,

(3)

г

** ш ф

У(г,ф, г) = У1(г,ф)1\(г) + У2(г,ф)Ь2(г) + с* (г, - Ь £ г £ П

В (3) согласно [9] обозначено:

а1(г) = 1 + а2(г), а2(г) = -с?2(г), с*(г) = 1з(г)-сСг),

С0 (г) =1з(г)-ссз( г), ^ г) =1 + аз(г), Ь2( г) = -аз(г), 1з( г) = г - Ь - -1, с = 2Ь + а2{г) = Ф1(г)-Ф1(Н) , с3(г) = ^2^^

2

Ф^Л) -Ф^-Л)

Ф2(Ь) -Ф2{-ЪУ

Ф1(г) = 11(г), Ф2(г) = I £(г).

<

Функции 1 г(г), 1^2 г(г) задают законы изменения тангенциальных напряжений тхг и по толщине среднего слоя.

Относительные деформации представим в виде [4]. Для слоя Ь £ z £ Ь + §:

= -1 1 —1 _ V-

ег — и,г, — + , егф — и,ф + г ■

для слоя _Ь _ §2 £ z £_Ь:

ег и,г-

1*1 *

* 1 * и * 1* * V £ф — ~г%,ф + ~ ■> £гф — ~ги,ф + %,г . ■

для слоя _Ь £ z £ Ь:

~ —и % — 1,% и% ~ — 1

£г — и,г, £ф — %%,ф + , £гф —

г

г

1

£гг — и z + И,г, Е^ — г +

Для получения дифференциальных уравнений равновесия используется вариационный принцип Лагранжа аналогично [11].

Уравнения равновесия для осесимметричного изгиба. Рассмотрим далее задачу осесимметричного поперечного изгиба круглой трехслойной пластины. Пусть поперечная нагрузка д(г) равномерно распределена симметрично относительно оси, проходящей через центр пластины. Внешние слои имеют равную толщину § — §2 — §.

Принимая во внимание симметрию деформированного состояния пластины и отсутствие угловых перемещений в данной постановке задачи (и1 — _и2 — и, — _%2 — V — 0), нелинейные дифференциальные уравнения равновесия примут вид

ггг + В12 И,гг гг + В14 И,г + В5", г + ( г ) + Ф1 = 0,

В21 Игггг + В22 Иггг + В23и,ггг + В24 Игг + В25и,гг +

+В26 Иг + ^7«,г + В28"(г) - гд + Ф2 = 0. (4)

Нелинейные члены уравнений (4) Ф1, Ф 2 и коэффициенты приведены в [6], здесь не приводятся ввиду их громоздкости.

Граничные условия для свободного опирания имеют вид [8]

Полученные уравнения (4) и граничные условия (5), (6) будем далее называть аналитической моделью.

Одним из подходов к решению системы нелинейных уравнений (4) является метод разложения по малому параметру [4], который позволяет рассматривать нелинейные задачи как последовательность уточняющих друг друга решений систем линейных уравнений. Выделим из нелинейных слагаемых системы малый физический параметр 1, связанный с механическими характеристиками нелинейно-упругого среднего слоя соотношением

и(г) = 0, шгг + — и г = 0, и г + —и(г) = 0 при г = Я. (5)

Граничные условия при защемлении на контуре имеют вид [8]

и(г) = 0, = 0, и(г) = 0 при г = Я. (6)

перемещения представим в виде рядов (7)

п п

и(г) = щ(г) + (г); Щ(г) = щ,(г) + (г). (7) 1=1 1=1

Подставляя (7) в (4) и группируя коэффициенты по степеням параметра 1, получаем системы уравнений нулевого и последующих приближений разложения искомых перемещений по малому параметру.

Система уравнений нулевого приближения (линейно-упругая постановка задачи) имеет вид

Первое и последующие приближения запишем в компактной форме, аналогично [6]

Здесь через ^^ и ¥обозначены нелинейные части уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений. Учитывая соотношения между коэффициентами уравнений (8) [6], уравнения (8) можно переписать следующим образом:

В11Щ0, ггг + В12 Щ0, гг + В13и0,гг + ^4 Щ0, г + В15и0,г + 4би0 ( г) = ^ В21Щ0 , гггг

+ В22 Щ0 , ггг

+ В23и0 , ггг + В24 Щ0 , гг + В25и0 , гг + (8) + В26 Щ0, г + В27и0, г + В28и0 ( г)- Щ = 0.

В11ЩКггг + В12 Щ1,гг + В13и1,гг + В14 Щ1,г + В15и1,г + В16и1 (г) = ,

В21Щ1,гггг + В22 Щ1,ггг + В23и1,ггг + В24 Щ,гг + В25и1,гг + (9) +В26 Щ,г + В27и1,г + В28и1 (г) = ¥21.

В12 гщ0 , ггг

+ Щ,

v

I, гг

г

1

Г б2 8

Г" ^51 -_;г ^52 2 6

+гВ141Щ0, г + гВ161и0(г Р = 0

2

/

1

1

л

у

гщ0, гггг + 2 Щ0, ггг — ~ Щ0, гг Щ0, г

г г

+

1 "0(г)л

+(—2В12) ги0,ггг + 2и0,гг--и0,г + У

v г г у

+(—ВЫ ((2Ь — 8)( гщ0, гг + щ,, г) + 2 (г^0, г + Ц>(г))) = дг. (10)

Введем следующие операторы произвольной функции g(г):

Ц g) = - (щ)

г

= g + ^ — ^ У г g,гг + г г2

g

4(g) = гЬ(g) = г%„ + Я г —-

г

4(g) = ( А (^),г = Гg,ггг + 2^гг — ^ + 4 ,

!з( g) = щ:

г /*

А(g) = ( 4(g))г = ^г + g. (11)

Используя операторы (11), уравнения (10) запишутся следующим образом

и

— 8 В151Щ0, г + В15и0

+ и

2

В141Щ0, г + ^-^ В141и0

2п — 8

= 0.

4

< 8 " 6

(3В151 + ^52 ) Щ0,г + бВ151и0

+

+и4 (—В141(2П — 8)Щ0,г + (—2)В141и0 ) = гд.

Проинтегрируем второе уравнение. Система примет вид

и

-0 В151и0,г + В15 и0

+ и

2

В141и0, г + ^-т: В141и0

2п - 0

= 0.

и

<

" 6

(3В151 + В152 ) И0,г + 0В151«0

+

+!з(-Д41(2Л-0)г + (-2)В141«0) = ^ + С\. (12)

Домножим первое уравнение системы (12) на (2П -0) и прибавим к второму. Второе уравнение примет вид

и

\\

02

-0ПВ151 В152

6

И0, г + ( 2ПВ151 +( 2П -0) В152 ) «0

у

уг2

2

+ С.

Проинтегрируем дважды последнее уравнение:

02 ^

-°ПВ151 В152

6

И0,г + (ШВ151 +(2П -0) В152 ) «0

=г 4 г/( ?+С

ёг

у у

ёг.

Или

Здесь

А И),Г + А«0 = &(г). (13)

А =

02

-0ПВ151 В152

6

П1 =( 2ЬВ>151 +( 2П -0) В152 ):

у

Хо(г)—г |[ г{(зг+С) аг1 ^г—^+1 С* 21п(г) _1)+2 с2 г+1с,.

Выразим из уравнения (13) функцию и0 г и подставим в первое уравнение системы (12):

и

2 15

х0(г) _ Ц2и0 А

+ ^5и0

V - V ^ У

/ Г Г , ^ Ъ \

+

+!з

В14

v v

х0(г) _ Ц2и0 А

+ •

2

2Ь _-

В141и0

0

Откуда следует уравнение

и

В[5 2 Ц + -^51^2

л

vv

2 Ц

— и

\

и0 1 1

+ и

-15]

л

2 Ц

В141

v v

В141

2 Ц

л

2Ь _- Ц

л

и0

11

1 Х0(г) _ ¿з ^5>(г)

ц

которое можно сократить на г

и

- и0

11

vv

2Д

+ В141

' 2

2Ь _- Ц

и0

—и

-15]

2 Ц

1 §,(г) _Х0(г)

А

Из этого уравнения следует неоднородное модифицированное уравнение Бесселя

1

1

I (щ )-ЬЧ =^о(г), (14)

где

Ь2 =- В141

2

А

2 Д

2Ь-8 А IБ152А + 8ВШ£2 '

%(Г) =

I

v v

^ Хо(г)] - %Хо(г)

2 А

А

2Д

Б152А1 + 8Б151А2

Решение уравнения (14) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения иоо и частного решения ио1 неоднородного уравнения

ио = иоо + ио1.

Решение однородного уравнения

I (ио )-Ь2ио = о

Известно [2]:

иоо = ¿4 Л(Ьг) + адь). (15)

Здесь ^(Ьг) — модифицированная — функция Бесселя первого порядка, ККДг) — функция Макдональда первого порядка.

Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, частное решение уравнения можно получить, используя два линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения [2, 3].

щ = Шг )|

к(РгЩг ) IV

ёг — !х(Рг) |

Щг Щг)

V

ёг, (16)

где V — определитель Вронского, который равен [5]

V {11, *!} = К^Д — /1,гК1 =

1

г

Таким образом, частное решение (16) в рассматриваемом случае принимает вид

Суммируя (15) и (17), получаем искомое решение для перемещения и0. В результате имеем следующее решение задачи об осесимметричном изгибе трехслойной круглой пластины.

Для решения системы (9) также возможно применить описанный выше подход. Разница в случае нахождения первого и последующих приближений лишь в том, что функции Х0(г) и Щ}(г) будут изменяться в зависимости от вида правой части уравнений системы (9).

Осесимметричный изгиб круглых однослойных пластин. В качестве частного случая рассмотрим вначале поперечный изгиб круглой однослойной

пластины со следующими параметрами: толщина пластинки П = 18 10 м,

и01 =— К1(0г)\ 11(Ьг)щ(г)гёг + ¡1(Рг) | К^гЩг)гёг. (17)

и0 = С4 ¡1(Рг) + С5 КЬг) — К (Дг) |11(Ьг)Щ0(г)гёг + +¡1(Ьг){ К1(Ьг)Щ0(г)гёг,

= ^ Х(г) — В2Щ ёг. (18)

^ = 0,4 м; модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала - в = 8 104 МПа и т = 0,27 соответственно.

Сопоставим значения прогибов, полученные с помощью описанной выше схемы решения системы дифференциальных уравнений (8) с решением Тимошенко [10] для равномерно нагруженной круглой пластинки.

В табл. 1 приводятся результаты такого сопоставления. Через иппах

обозначен максимальный прогиб в центре пластины; я — величина равномерно распределенной поперечной нагрузки. Типы моделей используемых при расчетах, обозначены в табл. 1 следующим образом: 1 — аналитическая модель, 2 — модель Тимошенко круглой однослойной пластины [10].

Таблица 1.

Осесимметричный изгиб круглой однослойной пластинки

Ипах = К0) , 10 м

Тип закрепления

Я, Мпа Свободное опирание Защемление

Модель Модель

1 2 1 2

0,05 0,779 0,779 0,188 0,188

0,07 1,091 1,090 0,263 0,263

0,09 1,402 1,402 0,338 0,338

0,11 1,714 1,714 0,413 0,413

Из сопоставления значений прогибов в табл. 1, можно сделать вывод о соответствии построенной модели решению Тимошенко [10]. Прогибы, полученные по аналитической модели, с точностью до шестого знака после запятой совпадают с прогибами модели Тимошенко, что позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели решению Тимошенко и возможности ее применения для дальнейшего исследования прогибов слоистых пластин.

Осесимметричный изгиб круглых трехслойных пластин с нелинейно-упругим средним слоем. Рассмотрим поперечный изгиб круглой трехслойной

_3

пластины со следующими параметрами: толщина среднего слоя 2Ь = 16 10 м,

_3

толщина внешних слоев 6 = 62 = 6 = 1 10 м, радиус пластинки Я = 0,4 м;

модуль сдвига и коэффициент Пуассона внешних слоев - С = 8 • 104 МПа и 1 = 0,27 соответственно, модуль сдвига и модуль объемной деформации

заполнителя — С = 2,77 • 104 МПа, К = 6 104 МПа, коэффициент

72 = _3.878 • 105. Тангенциальные напряжения тХ2 и туг изменяются линейно

по толщине среднего слоя.

Решение систем уравнений (8) и (9) будем проводить по рассмотренной выше схеме, путем сведения к уравнению Бесселя. При решении систем (9) учитываются первое и второе приближение в разложении (7).

В табл. 2 приводятся значения максимального прогиба в центре пластины в нелинейной постановке при различных граничных условиях.

Таблица 2.

Осесимметричный изгиб круглой трехслойной пластинки с нелинейно-

упругим средним слоем

Я, Мпа -3 ^шах = Ч0) > 10 м

Тип закрепления

Свободное опирание Защемление

№ приближения № приближения

0 1 2 0 1 2

0,05 1,609 1,622 1,622 0,391 0,396 0,396

0,07 2,253 2,287 2,289 0,547 0,560 0,560

0,09 2,897 2,970 2,975 0,704 0,730 0,731

0,11 3,541 3,673 3,689 0,860 0,909 0,910

Сопоставление значений поперечного изгиба круглых трехслойных пластин. В табл. 3 приводятся значения максимального прогиба в центре пластины в линейной постановке (^ = 0) при различных граничных условиях.

Параметры круглой трехслойной пластинки аналогичны предыдущему случаю. Значения максимального прогиба в центре пластинки полученные из работ [2,7, 8] сопоставляются со значениями прогибов полученными из решения уравнений (8). Модели, используемые при расчетах, обозначены в табл. 3 следующим образом: 1 — аналитическая модель; 2 — модель И. А. Михайлова [7], 3 — модель А.П. Прусакова [8], 4 — модель А.Г. Горшкова и др. [2].

Таблица 3.

Сопоставление значений поперечного изгиба круглых трехслойных

пластин

Я, Мпа 3 Щпах = Ч0) > 10 м

Тип закрепления

Свободное опирание Защемление

Модель Модель

1 2 3 1 2 3 4

0,05 1,609 1,430 2,621 0,391 0,348 0,635 0,291

0,07 2,253 2,001 3,670 0,547 0,487 0,889 0,407

0,09 2,897 2,573 4,718 0,704 0,626 1,142 0,523

0,11 3,541 3,145 5,767 0,860 0,765 1,396 0,639

Выводы. В статье предложен вариант дифференциальных уравнений равновесия трехслойных пластин симметричного строения с изотропными наружными слоями и нелинейно-упругим по [4] материалом заполнителя. Изложена методика построения аналитического решения. Отметим, что похожая методика сведения системы дифференциальных уравнений равновесия к уравнению Бесселя использовалась также в работах [2, 8].

В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного поперечного изгиба однослойной круглой пластинки в линейной постановке. Также рассмотрена задача осесимметричного поперечного изгиба трехслойной круглой пластинки в линейно-упругой и нелинейной постановке.

Отметим, что приведенные в табл. 3 модели используют различные упрощающие гипотезы, чем обусловливается разница полученных значений

прогибов. Так, в модели А.Г. Горшкова [2] и И.А. Михайлова [7] для внешних слоев принимается гипотеза Кирхгофа-Лява, для заполнителя же принимаются различные гипотезы о распределении тангенциальных перемещений по толщине пластины. Существенные отклонения результатов расчетов по уравнениям модели А.П. Прусакова [8] объясняются тем, что здесь заполнитель считается легким, в отличие от других вышеупомянутых моделей.

Сравнение полученных значений прогибов на основе аналитической модели с работами [2, 7, 8, 10] свидетельствует об адекватности построенной модели и возможности решения на ее основе более широкого класса задач статики и динамики трехслойных пластин.

Результаты табл. 2 иллюстрируют влияние учета нелинейной упругости материала заполнителя на деформированное состояние трехслойной пластинки.

На основе аналитической модели могут быть получены компактные расчетные формулы для применения в инженерной практике.

Перспективы дальнейшего исследования связаны с рассмотрением задач нелинейной устойчивости и динамики трехслойных элементов конструкций.

Список литературы:

1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. — 360 с.

2. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 576 с.

3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

4. Каудерер Г. Нелинейная механика/ Пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. — 777 с.

5. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. — 288 с.

6. Кудин А.В. Применение метода малого параметра при моделировании изгиба симметричных трехслойных пластин с нелинейно-упругим заполнителем / А.В. Кудин, Ю.Н. Тамуров // Вюник Схщноукрашського нащонального ушверситету iменi Володимира Даля. — 2011. — № 11(165). — С. 32—40.

7. Михайлов И.П. Некоторые задачи осесимметричного изгиба круглых трехслойных пластин с жестким заполнителем // Труды Ленинградского кораблестроительного института, — Вып. 66, — 1969.— С. 125—131.

8. Прусаков А.П. Некоторые задачи изгиба круглых трехслойных пластин с легким заполнителем // Тр. конф. по теор. пластин и оболочек, — № 1, — 1961. — С. 293—297.

9. Тамуров Ю.Н. Вариант обобщённой теории трёхслойных пологих оболочек с учётом обжатия физически нелинейного заполнителя // Прикл. механика, — Т. 26, — № 12, — 1990. — С. 39—45.

10. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1964. — 636 с.

11. Liu Renhuai Nonlinear Bending of Circular Sandwich Plates // Applied Mathematics and Mechanics. English Edition, — Vol. 2, — № 2, — 1981. — pp. 189—208.