CC BY
12
УДК 534.1:539.3
Н.В. СМЕТАНК1НА, С В. УГР1МОВ, О.М. ШУП1КОВ, Н.В. ДОЛГОПОЛОВА
1нститут проблем машинобудування iM. А.М. Пщгорного НАН Укра1ни
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ НЕСТАЦЮНАРНОГО ДЕФОРМУВАННЯ ШАРУВАТОГО ОСКЛ1ННЯ ПРИ УДАРНОМУ НАВАНТАЖЕНН1
Запропоновано метод до^дження нестацюнарних коливань шаруватого осклтня при ударному навантажент. Метод Трунтуеться на розвиненнi шуканих функцт у тригонометричш ряди. Динамiчна поведтка осклтня до^джуеться в рамках двовимiрноi теорИ шаруватих пластин. Модель ударно '1 взаемо-дИ базуеться на контактному закон Герца. Розглянуто коливання тришарового ос^ння при ударi твердим тшом. Результати розрахунку деформацш осклтня добре узгоджуються з даними розрахунку на основi метода сктченних елементiв та експериментальними даними.
Ключовi слова: шарувате осклтня, ударне навантаження, нестацiонарнi коливання.
Н.В. СМЕТАНКИНА, С.В.УГРИМОВ, А.Н. ШУПИКОВ, Н.В. ДОЛГОПОЛОВА
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТОГО ОСТЕКЛЕНИЯ ПРИ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИ
Предложен метод исследования нестационарных колебаний слоистого остекления при ударном нагружении. Метод основан на разложении искомых функций в тригонометрические ряды. Динамическое поведение остекления исследуется в рамках двумерной теории слоистых пластин. Модель ударного взаимодействия основана на контактном законе Герца. Рассмотрены колебания трехслойного остекления при ударе твердым телом. Результаты расчета деформаций остекления хорошо согласуются с данными расчета на основе метода конечных элементов и экспериментальными данными.
Ключевые слова: слоистое остекление, ударное нагружение, нестационарные колебания.
N.V. SMETANKINA, S.V. UGRIMOV, O.M. SHUPIKOV, N.V. DOLGOPOLOVA
A.N. Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems of NAS of Ukraine
MODELING OF NONSTATIONARY DEFORMATION PROCESS OF LAMINATED GLAZING AT
IMPACT LOADING
A method for analysis of non-stationary vibrations of laminated glazing at impact loading. The method is based on expansion of sought-for functions into trigonometrical series. Dynamical behavior of glazing is investigated within the framework of the two-dimensional theory of laminated plates. Model of impact interaction is based on the Hertzian contact law. Vibrations of a three-layer glazing are considered at impact by solid. Calculation results of strains are consistent with finite element method and experimental data.
Keywords: laminated glazing, impact loading, non-stationary vibrations.
Постановка проблеми
Одним з основних конструктивних елеменпв транспортних засобiв е шарувате осклшня, яке може тддаватися штенсивним динамiчним навантаженням з подальшим крихким руйнуванням [1].
Найпоширешшими методами дослщження динамiчноl поведшки шаруватого осклшня е чисельш методи, наприклад метод сшнченних елеменпв (МСЕ) та метод граничних елеменпв. Теоретичш методи менш розроблеш, що пов'язано 3i складшстю математичних моделей, як описують процес деформування таких оболонок при штенсивних короткочасних впливах. Для дослщження напружено-деформованого стану (НДС) осклшня також застосовуються спрощеш моделi шаруватих пластин або експериментальш даш [2]. Питання нестацюнарно! динашки шаруватих елеменпв залишаються недостатньо вивченими, що потребуе подальшого розвитку та удосконалення методiв розрахунку таких елеменпв.
Аналiз публжацш за темою дослвдження
Через те, що теоретичне обгрунтування конструкторських ршень практично вщсутне у бшьшосп випадшв проектування шаруватого осклшня транспортних засобiв здшснюеться на основi експерименталь-них даних шляхом емтричного тдбору пакету шарiв [3]. Основними методами дослщження динашчного ввдгуку конструкци на ударш навантаження е чисельнi методи, яш пов'язанi з дискретизацiею розглядувано! системи, наприклад МСЕ [4]. Тому важливою задачею е розробка методiв, яш дозволяють подати розв'язок в аналгтичному виглядi з урахуванням особливостей нестацюнарного деформування шаруватих конструкцiй.
Мета дослщження
Метою роботи е розробка ефективного методу розрахунку нестацюнарних коливань шаруватого осклшня при ударi твердим тшом.
Математична модель шаруватого осклшня. Будемо розглядати скло як шарувату шарнiрно опер-ту пластину, осшльки крiплення осклiння здiйснюеться через гумовий ущiльнювач до рамки, яка жорстко закршлюеться у отворi. Шарувата пластина складаеться з I шарiв стало! товщини М . Пластина вщнесена до декартово! системи координат, яка зв'язана iз зовнiшньою поверхнею першого шару. На координатнiй поверхш Ох\%2 конструкцiя займае область О, обмежену довiльним контуром Г. На оболонку дiють не-
стацiонарнi навантаження Р = {р у (х^, Х2, ()}, ] = 1,3. Припускаеться, що контакт мiж шарами виключае !хне
розшарування та взаемне проковзування.
Поведiнка пластини описуеться рiвняннями узагальнено! теорi! шаруватих пластин [5]
К
и[ (Х1, Х2, Х3,1) = и[ + I
к=1
г-1
I ]Vк + (Х3 -8.--1)ки[к j=1
V = 1,2,
и3 (Х1, Х2, Х3,1) = из + I
^=1
г-1
IН+ (Х3 -5 г-1) и ]=1
^ г 3^
(1)
де Нк = (Ну)к ; 5^ = IНj ; 5г-1 < Х3 < 5г-; г = 1, I; и'а (а = 1,3) - перемщення точки г -го шару у на-
]=1
прямку осi ОХа ; и[, и3, и[к, и3^ - коефщенти розвинення, як1 е функщями аргументiв Х1, Х2, t; К, Ь - максимальш степеш поперечно! координати для площинних (а = 1, 2 ) i поперечних (а = 3 ) пере-мiщень точок г -го шару, яш обираються в залежносп ввд необхiдно!' точностi.
Прийнятi кшематичш гiпотези при К = 1, Ь = 0 еквiвалентнi гшотезам Е. I. Григолюка та П. П. Чулкова, при К = 1, Ь = 1 уточненш теорп першого порядку, при К = 3, Ь = 2 - уточненш теори ви-сокого порядку [5].
Деформацп шарiв визначаються вiдповiдно до формул Кошi. Напруження i деформацi!' у шарах по-в'язанi законом Гука. Рiвняння руху пластини та граничнi умови випливають з варiацiйного принципу Ост-роградського-Гам№тона з урахуванням гiпотез (1).
Рiвняння руху в зусиллях та моментах для пластини мають вигляд [5]
Ьа -1 а 1
+ Ра = °
г=1
Ыгка + Ы'ка - к Ы'ка 1 + Нка 71а,1 + 7а2,2 ка7а3 + Н
"а 11[ьаУ+1 - У1
]=г
- 1г = 0
ака +1 '
(2)
де
Ь = + N°
Г =
1 аг
рМ
11,1
Ка
12,2 '
ь = N° + N° . ь2~ 7 22,2 7 12,1;
Ь = N0, + N°
'13,1
23,2'
и а0,tt + I к=1
г-1
I Н
]=1
к. ] ] и ак ,tt
М
к + г
ак ,tt
а = 1,3, к = 1, Ка, г = 1, I.
Кшьшсть рiвнянь та граничних умов залежить вiд числа шарiв i дорiвнюе (2К + Ь) I + 3 .
Математична модель ударного 1мпульсу при удар1 твердим тшом. При дослвджент вiдгуку шаруватих конструкцш на ударний вплив система рiвнянь, що описуе поведшку пластини, iнтегруеться одно-часно з рiвнянням руху iндентора й умовою сушсносп перемiщень, що враховуе контактне зближення iнде-нтора i пластини. Через те, що удар який наносять уламки конструкцш або камшня, можна вважати низько-швидк1сним, контактне зближення можна визначати на основi розв'язку задачi Герца про вдавлення кулi в пружний пiвпростiр [6].
Нехай пластина розташована горизонтально. Удар наноситься кульовим шдентором радiуса Я i ма-сою М по зовшшнш поверхнi першого шару пластини. 1ндентор у момент зiткнення з пластиною мае шви-дк1сть У2.
г
Якщо iндентор скидаеться на пластину з висоти Н, швидшсть зпжнення може бути визначена за фо-
рмулою
уг=лД§н
(3)
де g - прискорення вiльного падшня.
Рiвняння руху iндентора мае вигляд
М,„ = Mg - Е, 2(0) = 0, ^(0) = ^,
де 2 = 2^) - перемщення iндентора; Е - сила контактно! взаемодп iндентора та пластини. Умова сумюносп перемiщень записуеться як
^о + а - 2 > 0 ,
де а - контактне зближення шдентора та пластини в центрi площi контакту (х0, У0 ); ^0 = У0, ^) -прогин пластини в точщ (х0, У0 ).
Контакт iндентора та пластини вiдбуваеться при перетвореннi дано! нерiвностi на рiвнiсть
^0 + а - 2 = 0 .
Контактне зближення а ураховуеться на основi розв'язання задачi Герца про вдавлення кулi в пру-жний пiвпростiр
де К =
9(9! +е)
256Я
13
а = ^Е 23, 4(1 -v2) 4(1 -V 2)
9^ = —^-z ; 9 = —^-1 ; Е, V - модуль Юнга й коефiцiент Пуассона маЕ Е
терiалу, з якого виготовлений iндентор; Е1, VI - аналопчш характеристики матерiалу першого шару пластини.
Вважаемо, що контактний тиск розподметься по круговiй площадцi радiусом а() за законом
Рз(х, У,{) = Е0({)
1 (х - х0 )2 +(У - У0)2
а 2(0
12
де Х0, У0 - координати точки дотику iндентора й пластини. Функщя рз( х, У, t) повинна задовольняти умовi
2
Е = Л Р3^ = 3 Е0 па
звiдки
Е0 =
3 Е
■ па
Рaдiус областi контакту а() обчислюеться по формулi
а() =
—Е ^ )Я(9 + 91)
16 1
13
Розв'язок рiвняння руху iнденторa одержано за допомогою штегрального перетворення Лапласу. Значення контактно! сили визначаеться з умови сумюносп перемщень на кожному крощ за часом.
Метод розв'язання. Метод розв'язання системи рiвнянь (2) для прямокутних шaрнiрно опертих ша-руватих пластин полягае у наступному. Перемщення i зовнiшнi навантаження розвиваються у ряди по фун-кцiям, як задовольняють грaничнi умови, в результата чого задача про коливання шарувато! пластини зво-диться до штегрування системи звичайних диференцiaльних рiвнянь зi сталими коефiцiентaми. Для пластин, що мають складну форму у плаш, для розв'язання використовуеться метод занурення [7]. Згiдно з цим методом зашсть вихвдно! пластини розглядаеться допом1жна шaрнiрно оперта прямокутна пластина з пею ж композицiею шaрiв. В облaстi О допом1жна пластина навантажена так само, як i вих1дна пластина. Тотож-нiсть НДС в обласп О допом1жно! пластини стану вихвдно! пластини забезпечуеться шляхом додавання
компенсуючих навантажень ^с°шР(ф, t), ] = 1,31 + 3 , яш неперервно розподшеш вздовж контуру Г. Система (2) штегруеться методом розвинення розв'язку у ряд Тейлора [1, 7].
Розв'язання рiвняння руху iнденторa [3] одержуемо на основi iнтегрaльного перетворення Лапласа у
виглядi
2
1 '
г(') = 2(10) + *'('0)(' - '0) + §(' - <0)2 - — |РШ - ,
де '0 визначае початковий момент часу; г = ) - перемiщення iндентора; Р - сила контактно! взаемодп iндентора та пластини; g - прискорення вiльного падiння.
Далi дмнка iнтегрування [0,'] розбиваеться на S в!^зк1в так, щоб ' = . Введемо позначення
= sАt, г ) = ,
де 5 - номер кроку за часом.
Покладаеться, що контактна сила постшна Р(х) = в межах кожного вiдрiзка < х < +1. Зна-чення виноситься за знак штеграла з урахуванням того, що '0 = 5 А', одержуемо остаточний вираз для перемщення iндентора у виглядi рекурентних сшввщношень
+1 = + 4 At + 2 I g - FS + 1 W 2
z5+1 = z5 + | g - -1 Fs+1 1Дt
де zs =0,
= Vz, к -
швцдкiсть зггкнення пластини з iндентором.
Контактний тиск p^ (x, y, t), розподiлений по круговiй площадцi, при ударi кульовим iндентором
по прямокутнш шарнiрно опертiй пластинi подаеться у виглядi розвинення в тригонометричний ряд
го го
Р3(x, ^t) = Z Z P3mn (t) B3mn (x, У),
m=1n=1
(4)
де P3mn =
_ 12F (t) . mnxo . nnyo
ABp
„ sin-sin-
2 A B
mn
sinP m
V p mn
cosp m
; P m
= na(t)
a(t) =
—f (t ще + ео 16 1
13
е1 =
2 2 m n
— + —;
A 2 B 2
41 -V2 ) . е= ^ -V 2 ) .
E1 E
E, V - модуль Юнга й коефщент Пуассона матерiалу, з якого виготовлений iндентор; E1, V1 - аналогiчнi характеристики матерiалу першого шару пластини.
Значення контактно! сили Fs+1 визначаеться з умови сумюносп перемiщень iндентора та пластини, яка е нелшшним рiвнянням. З урахуванням виразiв для коефщенпв розвинення (4) рiвняння мае вигляд
де
к 2 Fs +1 +K1F5+1 +к3 = 0
к 2 = Z Z mn n3?B3mn (x0,У0 ) +
m=1n =1
AC
2M
го го 3I + 3
к3 = Z Z Z Amn°kmnB3mn У0 )-zs - z5 At -
m=1 n=1 k=1
Dmn
12
2
ABP mn
. mnx0 . nny0
sin-°sin——
AB
sinPm
g At ^ 2
Л
Pm
cosPm
Аналiз результа^в чисельних дослiджень. Для перевiрки ефективностi запропоновано! методики розрахунку були проведенi тестовi розрахунки тришарового скла (305 x 305 мм) при ударi кулею M = 2 г, R = 3,97 мм на швидкостях 9,1 м/с, 12,2 м/с, 15,2 м/с i 18,3 м/с [8]. Зовшшт шари конструкцп (h = h3 = 4,78 мм), виготовлеш зi скла силжатного з характеристиками E = 72 ГПа, v = 0,25, р = 2500 кг/м3 i з'еднанi полiвiнiлбутиралем (h2 = 0,76 мм) iз E = 2,5714 ГПа, v = 0,2857, р = 1100 кг/м3 [8]. Характеристики кул E = 200 ГПа, v = 0,29 , p = 7800 кг/м3.
У табл. 1 наведеш результата розрахуншв максимальних значень деформацш посередиш зовнiшньо! поверхнi третього шару за допомогою запропонованого методу, а також аналопчш данi, отриманi МСЕ на базi комплексу DYNA2D, а також експериментальш данi [8].
z
Таблиця 1
Максимальт деформацц шарiв тришарового скла
Швидк1сть, м/с вr-106
запропонований метод МСЕ експериментальш даш
9,1 333 330 360±50
12,2 448 450 420±80
15,2 590 590 580±130
18,3 735 730 790±70
На рис. 1 показано змшення деформацiй у час у середнiй точцi зовшшньо! поверхш третього шару на швидкостях 18,3 м/с (цифра 1 на рисунку), 15,2 м/с (цифра 2), 12,2 м/с (цифра 3) i 9,1 м/с (цифра 4). Су-щльна лiнiя вщповщае результатам розрахунку запропонованим методом, пунктирна - МСЕ на базi комплексу DYNA2D [8]. Результати розрахунку за запропонованою методикою й результати розрахунку за допомо-гою DYNA добре погоджуються.
5 10 15 20
Рис. 1. Змшення деформации у час1
t, МКС
Моделювання поведiнки скла при низько- i високошвидк1сному ударi вiдрiзняeться. У першому ви-падку ютотне значення мае спроможнiсть скла поглинати енерпю, перетворюючи ii в згинш коливання конструкций а в другому - процеси локального руйнування скла.
Одше! з важливих характеристик скла е здатшсть його поглинути енерпю при удар^ Розглянемо двошарову композицш, що складаеться зi скла силшатного та полiкарбонату (E = 2 ГПа, v = 0,25 , р = 1200 кг/м3). Шари м1ж собою не зв'язаш. Розмiр скла й композицiя шарiв показанi на рис. 2, а умови закршлення скла - на рис. 3. Таке скло використовувалося при експериментальному дослiдженнi, результати якого наведеш в робоп [9].
Поликарбонат 0,3 см
Рис. 2. Двошарова пластина
Рис. 3. Умови закршлення
Проведено розрахунок мщносп скла для двох швидкостей удару 61 м/с i 100 м/с. У ходi експериме-нтальних дослiджень було встановлено, що при таких ударах спостериаеться розтрюкування скла силшат-ного шд точкою удару, а пол1карбонат явних ушкоджень не отримав [9]. При цьому спостерiгалося вщки-дання ударника назад, швидшсть зворотного руху ударника склала 3 i 8 м/с вщповщно [9]. При цьому енер-
гiя, яка поглинена склом, становить майже 99 %. Пiд поглиненою енергiею розумiеться МУ2 ¡2 — МУ^ ¡2,
де У0 - швидк1сть вiдкидання.
Профшь швидкосп руху ударника показаний на рис. 4. Сущльною лшею показаш результати, отримаш запропонованим методом, а пунктирною - з використанням «первдинамiчноro» формулювання [9]. Видно, що метод на стади гальмування ударника добре узгоджуеться з результатами, наведеними в ро-ботi [9]. Результати на етат ввдкидання ударника дещо вiдрiзняються. При цьому обидвi розрахунковi моде-лi дають завищене значення швидкосп вiдкидання ударника в порiвняннi з експериментальними значениями. Це може бути наслщком як прийнятих умов крiпления зразка, як1 складно реалiзувати в розрахунку, так i застосуванням у розрахунках спрощено! модел1 руху ударника.
Рис. 4. Еволющя швидкостi ударника
Вiдзначимо, що спрощений опис деформацiй ударника й енергп, що йде на розтрiскування скла, приводить до завищених значень швидкосп вщкидання й, вiдповiдно, до занижених значень енергп, яка по-глинаеться склом при ударi.
Висновки й перспективи подальших дослiджень
Розроблено аналггико-чисельний метод дослiдження нестацiонарних коливань шаруватих елементiв осклiння при ударному навантаженш, який дозволяе подати розв'язок задачi у виглядi тригонометричного ряду.
Можливосп методу проiлюстрованi на прикладi розрахунку деформацш тришарових шарнiрно опе-ртих елеменпв осклiння при ударi кульовим iндентором. Добре узгодження теоретичних i експерименталь-них даних подтвердило вiрогiднiсть результатiв, одержаних за допомогою запропонованого методу.
Надалi метод можна застосувати до розрахунку шаруватих неплоских елеменпв з рiзною формою плану та рiзними граничними умовами при дослщженш коливань енергетичних, транспортних i будiвельних конструкцiй шд дiею iнтенсивних швидкоплинних навантажень.
Роботу виконано у рамках Цшьово! комплексно! програми наукових дослщжень НАН Укра!ни «Проблеми ресурсу i безпеки експлуатацi! конструкцiй, споруд та машин» («Ресурс--2»).
Список використаноТ лтгератури
1. Heimbs S. A numerical method for blast shock wave analysis of missile launch from aircraft / S. Heimbs, J. Ritzer, J. Markmiller // Intern. J. of Aerospace Engineering. - 2015. - Vol. 2015. - P. 1-8.
2. Juhachi O. Dynamic fracture experiment of laminated glass and its considerations / O. Juhachi, K. Sotoaki, K. Michitaka, K. Masashi, I. Makoto // Trans. JSME. Ser. A. - 1990. - Vol. 56, № 524. - P. 924-929.
3. Yang J. Experimental and FEM study of windshield subjected to high speed bird impact / J. Yang, X. Cai, C. Wu // Acta Mechanica Sinica. - 2003. - Vol. 19, № 6. - P. 543-550.
4. Tessler A. Refined zigzag theory for homogeneous, laminated composite, and sandwich beams derived from Reissner's mixed variational principle / A. Tessler // Meccanica. - 2015. - Vol. 50, № 10. - P. 2621-2648.
5. Нестационарные колебания многослойных пластин и оболочек и их оптимизация / А. Н. Шупиков, Я. П. Бузько, Н. В. Сметанкина, С. В. Угримов. - Харьков: Изд-во ХНЭУ, 2004. - 252 с.
6. Jones N. Structural impact / N. Jones. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. - 320 p.
7. Сметанкина Н. В. Нестационарное деформирование, термоупругость и оптимизация многослойных пластин и цилиндрических оболочек / Н. В. Сметанкина. - Харьков: Мюькдрук, 2011. - 376 с.
8. Dynamic strain in architectural laminated glass subjected to low velocity impact from small projectiles / R. A. Behr, P. A. Kremer, L. R. Dharani, F. S. Ji, N. D. Kaiser // J. of Materials Science. - 1999. -Vol. 34. -P. 5746-5756.
9. Impact damage on a thin glass plate with a thin polycarbonate backing / W. Hu, Ye. Wang, J. Yu, Ch.-F. Yen, F. Bobaru // Intern. J. of Impact Engineering. - 2013. - Vol. 62. - P. 152-165.
