CC BY
12
УДК 534.1:539.3
О.М. ШУП1КОВ, Н.В. СМЕТАНК1НА, С.В.УГР1МОВ, Н.В.ДОЛГОПОЛОВА, е.В.СВЕТ
1нститут проблем машинобудування ím. А.М. Пщгорного НАН Укра1ни
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕРМОПРУЖНОГО СТАНУ БАГАТОШАРОВИХ ЦИЛ1НДРИЧНИХ ОБОЛОНОК П1Д ВПЛИВОМ НЕСТАЦ1ОНАРНИХ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛ1В
Запропоновано метод до^дження термопружного стану багатошарових незамкнених цилiндричних оболонок неканонiчноi форми у планi. Задача розв'язуеться на основi прийому занурення та зводиться до iнтегрування системи iнтегро-диференцiальних сингулярних рiвнянь. Деформування оболонок розглянуто у рамках уточнено'1' теорИ першого порядку, яка враховуе деформацИ поперечного зсуву та обтиснення вздовж товщини у кожному шарi. Розроблений метод дозволяе одержати розв 'язок задачi в аналiтичному видi та пiдвищити яюсть розв 'язання задач термопружностi багатошарових оболонкових елементiв конструкцш.
Ключовi слова: багатошарова оболонка, складна форма плану, термопружнкть, плiвкове джерело
тепла.
А.Н. ШУПИКОВ, Н.В. СМЕТАНКИНА, С.В.УГРИМОВ, Н.В.ДОЛГОПОЛОВА, Е.В.СВЕТ
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
Предложен метод исследования термонапряженного состояния многослойных незамкнутых цилиндрических оболочек неканонической формы в плане. Задача решается на основе приема погружения и сводится к интегрированию системы интегро-дифференциальных сингулярных уравнений. Деформирование оболочек рассматривается в рамках уточненной теории первого порядка, учитывающей деформации поперечного сдвига и обжатие по толщине в каждом слое. Разработанный метод позволяет получить решение задачи в аналитическом виде и повысить качество решения задач термоупругости многослойных оболочечных элементов конструкций.
Ключевые слова: многослойная оболочка, сложная форма плана, термоупругость, пленочный источник тепла.
O.M. SHUPIKOV, N.V. SMETANKINA, S.V. UGRIMOV, N.V. DOLGOPOLOVA, Ye.V. SVET
A.N. Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems of NAS of Ukraine
MATHEMATICAL MODELLING OF THERMOELASTIC STATE OF MULTILAYER CYLINDRICAL SHELLS AT NONSTATIONARY THERMAL FIELDS
A method for research of the thermal stressed state of multilayer non-closed cylindrical shells with a non-canonical plan form is offered. The problem solution is obtained on the basis of the immersion method and reduced to integration of a system of the integral-differential singular equations. Deformation of shells is considered within the framework of the first-order refined theory taking into account of transverse shear strains and reduction over thickness in each layer. The method developed allows to obtain the problem solution in an analytical form and to improve quality of solving of thermoelasticity problem for multilayer shell elements of structures.
Keywords: multilayer shell, complex plan shape, thermoelasticity, film heat source.
Постановка проблеми
Багатошаров1 оболонки е елементами вщповвдальних конструкцш у р1зних галузях сучасно! техшки, тому що вони забезпечують високу мщшсть, жорстшсть, полшшеш звуко- i тепло1золяцшш характеристики при малш вазi конструкцп [1] тд впливом рiзних силових та температурних полiв.
Основш методи розв'язання задач квазистатично! термопружносп багатошарових оболонок можна роздшити на аналгтичш i чисельш. Найбшьш поширеним у практищ розрахуншв е метод сшнченних елеменпв, але застосування чисельних методiв до розв'язання задач термопружносп конструкцш складно! геометри не знижуе актуальшсть розвитку ефективних аналiтичних методiв розв'язання цих задач, особливо для конструкцш, виконаних з рiзнорiдних матерiалiв [1].
Аналiз публiкацiй за темою дослщження
Чисельнi методи не завжди е ефективними при розв'язанш задач термопружносп багатошарових елементiв конструкцiй, тому що !х розв'язання зводиться до розв'язання систем лшшних рiвнянь великого порядку. Тому багато дослщнишв звертаються до розробки аналiтичних або чисельно-аналiтичних методiв
розв'язання таких задач. Наприклад, у стати [2] з використанням методу фундаментальных розв'язшв розглянута задача термопружносп нерiвномiрно нагрiтих вздовж товщини цилiндричних ортотропних оболонок. У монографп [3] методом фжтивних канонiчних областей отримаш окремi розв'язки плоских i осесиметричних задач термопружностi. Стаття [4] присвячена розрахунку напружено-деформованого стану нерiвномiрно нагргго! сферично! оболонки за допомогою варiанта методу компенсуючих навантажень. Метод заснований на нових функ^х Грiна, побудованих авторами. Розподiл температури е розв'язком задачi стацюнарно! теплопровiдностi.
Кожен з методiв мае сво! переваги i недолiки, що обмежують область застосування. Тому розробка нових методiв i удосконалення iснуючих методiв розрахунку оболонок залишаються актуальними задачами.
Мета статт
Метою роботи е розробка методу розв'язання задачi термопружностi багатошарових цилшдричних оболонок складно! форми в плаш при впливi нестацiонарних температурних полiв, який дозволяе подати розв'язок задачi у виглядi розвинень у тригонометричш ряди.
Основна частина
Задача термопружност багатошаровоТ оболонки. Розглянемо незамкнену шарувату цилiндричну оболонку, яка зiбрана з I iзотропних шарiв стало! товщини Н- (г = 1,1) та ввднесена до декартово! системи координат, яка пов'язана iз зовнiшньою поверхнею першого шару (рис. 1).
На координатнш поверхнi оболонка займае область О, обмежену контуром Г: хр = ), уг = у (я), де 5 - поточна довжина дуги.
На оболонку дшть температурнi поля i силовi навантаження Р = {ру (х, у)} , у = 1,31 + 3,
(х, у) е О, О с О . Температурш поля е результатом дп плiвкових джерел тепла. Позначимо верхню i
I , _
нижню поверхш оболонки як Од та ОI, бiчну поверхню - Ор, причому О = Од , Ор = ХОр , - = 1, I.
г=1
Деформування оболонки описуеться на основi гiпотез, яш враховують деформацi! поперечного зсуву та обтиснення вздовж товщини у межах кожного шару оболонки
. г -1 _
ик = ик + XНju3+I(к-1)+у + (г -5г-1 )и3+1(к-1)+!,к = 1,2,3, г = 11, (1)
у=1
де и к = и к (х, у), к = 1,2,3 - перемщення точки координатно! площини в напрямку координатних осей;
из+!(к-1)+г = и3+1(к-1)+г (х, У), к = 1,2 - кути повороту нормального елемента в г -му шарi навколо
координатних осей; и3+21 +,- = и3+21+,- (х, у) - обтиснення нормального елемента в межах г -го шару,
г _
5, = X Ну, 5,- _1 < г <5,, г = 1, I. Деформаци шарiв визначаються вiдповiдно до формул Кош^ а У=1
напруження i деформацi! в шарах вiдповiдно до ппотези Дюамеля-Неймана зв'язанi законом Гука. Рiвняння термопружно! рiвноваги багатошарово! оболонки
[Л] и = Рг - Р, (х,у)е О (2)
i граничнi умови на контурi Г
ВГ] и = РГ, (х,у)е Г (3)
одержуемо з принципу можливих перемщень.
Елементи симетричних матриць [л] i
ВГ
наведено в роботi [5], и - вектор, компонентами
якого е функци (1)
РТ = \р1т,х, С2Т,у, - С2Т /Я, В{т,х, П2т,у, - С\Г - п2т /Я};
РГ = {с/т/2 + с2>т12у, (сТ -с2>т)гх1у,0,пух + в2т12у, (Пт -в2т)ху,о};
сТ = Х< , с2т = Х^2т , = Нн 1 + Ы[т, п2т = Н-ХУ + м2т;
I=1 I=1 У=, У=,
- 5 Г \ 77 „г 5
^От г т-11+г к, ^2т = ^От
1 -V, ^ I Я ) т 1 -V
г 5гМ ^ ^ Уг 5,-1
М[т = ^ | г*(2-5*)Гх+|\ь, М2т = ^ /т(2-5М)ъ,
де Я - радiус оболонки; 1х, 1у - напрямт косинуси нормалi до контуру Г; Е* - модуль Юнга; V* -коефщент Пуассона; аТ - коефiцieнт лiнiйного температурного розширення матерiалу * -го шару;
Т1 = Т1 (х, у, 2) - температура в * -му шар^
Розподiл температури в шарах оболонки е результатом розв'язання задачi нестацюнарно! теплопровiдностi. На поверхнях оболонки ввдбуваеться конвективний теплообмiн. Рiвняння теплопровiдностi i граничнi умови для багатошарово! оболонки випливають iз варiацiйного рiвняння теплового балансу [6].
Варiацiйне рiвняння дозволяе записати умови на зовшшшх поверхнях
-^к ^ + 4Н1Т1 - Тв )= 0, (х, у, 2 )е^с; £ + (Т7 - Тн) = 0, (х, у, 2) е П (4)
i на границ контакту шарiв оболонки
5Т, дТ +1 * /-V Т* тт*+1
"к*+1 "аг"=о; Т =Т, ^=5*, 5*=X, *=1,7-1. (5)
У рiвняннях (4), (5) Т1 - температура в * -му шарi оболонки; к* - коефщент теплопровiдностi матерiалу * -го шару; Н та Н 7 - коефщенти конвективного теплообмшу на верхнiй та нижнiй поверхнях
оболонки; Тв i Тн - температура середовища на меж1 з верхньою та нижньою поверхнями; дП (х, у, t) -штенсившсть * -го плiвкового джерела тепла, розташованого на границi контакту шарiв, (х, у) е Пд, t -
час. Коефщенти ^1, ^2, та ^2 дають можливiсть моделювати задан граничнi умови.
Температура в шарах Т1 та на бiчнiй поверхш ТГ, а також питомi потужностi внутрiшнiх джерел тепла $ подаються у виглядi розвинення в ряд за полшомами Лежандра [6]
го
Т (х, у, 2,0 = X Тгг (х, у, 0/; (2), (х, у) еП, 2 е[5*-1,5* ], (6)
г=0
го го
Т* (х, у, 2, Т*г (х, у, t)/,r (2), (х, у )е Г , $ (х, у, 2, t)= X $ (х, у, t)/ir (2), (х, у)еПг , (7)
г=0 г=0
де /Г* (2) - полшом Лежандра степеня г . У рiвняннях (6), (7) враховуються першi чотири члени ряду (г = 0,1, 2,3), що забезпечуе достатню точнiсть розв'язку. Метод розв'язання
В основу розв'язання задачi (2), (3) покладено метод занурення [5, 6], який дозволяе подати розв'язок задачi у виглядi розвинень у тригонометричш ряди. Вихiдна багатошарова оболонка довшьно! форми в планi занурюеться у допом1жну, яка охоплюе багатошарову оболонку з пею ж композицiею шарiв. Форма оболонки, що охоплюе задану, i граничнi умови на и бiчнiй поверхнi обирають таким чином, щоб можна було одержати простий аналiтичний розв'язок. У данiй робот роль допомiжно! оболонки виконуе шаршрно оперта оболонка прямокутно! форми в плаш. Тодi розв'язок задачi можна одержати у виглядi розвинень у тригонометричш ряди.
Щоб забезпечити виконання заданих граничних умов (3), до допомiжно! оболонки додаються
додатковi компенсуючi навантаження QcomP = (х, у) }, у = 1,37 + 3, яш розподшеш вздовж контуру
Г. Таким чином, вихвдна крайова задача (2), (3) перетворюеться на задачу про деформування допомiжно! шаршрно оперто! оболонки прямокутно! форми в плаш i описуеться системою рiвнянь термопружно! рiвноваги, граничними умовами на контурi прямокутно! оболонки та умовами на контурi Г
[Л] и = РТ - Р - Рсотр, (8)
Вг
ВГ
и = 0, х = 0, А, у = 0, В (9)
и = РГ, (х,у)е Г. (10)
У piBHHHHfl термопружно! piBHOBara оболонки (8) компенсуючi навантаження входять у BmraAi таких iнтегpaльних спiввiдношень:
3I +3
pcomp y)= ^ | Ljkqckomp (í)^(x - хг, y - yr)ds . (11)
k=1 г
З урахуванням сшввщношень (11) система (8)-(10) перетворюеться на систему сингулярних iнтегpо-дифеpенцiaльних piвнянь. Невщомими функцiями е функцп пеpемiщень U (1) i компенсуючих
навантажень Pcomp (11).
Метод розв'язання системи (15)—(17) полягае в розвиненш функцш перемщень, заданих i компенсуючих навантажень в тригонометричш ряди за функщями, як1 задовольняють гpaничнi умови допом1жно1 оболонки прямокутно! форми в плаш
да да да да
u j(x,y) = ZZ^jmnBjmn (x, У), Pj (x, У)= Z Z P jmnB jmn (x, У),
m=1n=1 m =1 n=1
да да да да _
Pi (x, У ) = Z Z PTmnBjmn (x, У), pC0mP (x, y)= ZZ P^ Bjmn (*, y), j = 1,31 + 3,
m =1n=1 m=1n=1
B1mn = COS«mxsinРпУ, B2mn = sin^xcos^пУ, B3mn = sinamxsinРпУ ,
B3 + imn = B1mn, B3+1 +imn = B2mn, B3+2I +imn = B3mn, am = mVA, Pn = nVB , i = 11, де A - довжина тшрно! допомiжноl оболонки; B - довжина напрямно! ще! оболонки.
Функцп компенсуючих навантажень, а також граничних пеpемiщень розвиваються в ряд уздовж контуру Г [5]. В результата система (8) зводиться до системи лшшних алгебрачних piвнянь, пiсля чого обчислюються пеpемiщення (1) та напруження в шарах вихвдно! оболонки.
Аналiз результат чисельних дослщжень
Як iлюстpaцiя розв'язана задача термопружносп п'ятишарово! оболонки, контур яко! складений з вiдpiзкiв прямих i сполучених з ними дуг к1л.
На рис. 1 наведена розрахункова схема оболонки paдiусa 2,5 м з такими геометричними
параметрами: /1 = 0,74 м, /2 = 0,16 м, I3 = 0,75 м, /4 = 0,26 м, Rk = 0,03 м, k = 1,4. Шари оболонки
виконаш з мaтеpiaлiв з характеристиками E¡ = 6,8 -104 МПа, Vi = 0,22, ai = 9 -10-6 °С-1, i = 1,3,5;
E = 2,2-102 МПа, vi = 0,38, aTT = 8,3-10-5°С-1, i = 2,4; h1 = 0,005 м, h2 = 0,003 м, h3 = 0,012 м, h4 = 0,002 м, h5 = 0,008 м. Силовi навантаження ввдсутт.
Поле температурних навантажень одержано з розв'язання нестацюнарно! зaдaчi теплопpовiдностi багатошарових оболонок [6] з урахуванням впливу пл1вкового джерела. Бiчнa поверхня оболонки вважаеться идеально теплоiзольовaною. Задача теплопровщносп розв'язана з такими вихвдними даними: ki = 1,08 Вт/(м-°С), i = 1,3,5; k¿ = 0,22 Вт/(м-°С), i = 2,4 (коефiцiенти теплопpовiдностi мaтеpiaлу i -го шару); H1 = 433 Вт/(м2-°С), H2 = 20 Вт/(м2-°С) (коефiцiенти конвективного теплообмшу на веpхнiй i
нижнш поверхнях оболонки); T = -30o С, T2 = 20o С (температура середовища на гpaницi з верхньою й
нижньою поверхнями). Плiвкове джерело тепла потужшстю q = 6 кВт/м2 розташоване мiж першим i
другим шарами оболонки. Розташування джерела показано штриховою л1шею.
На рис. 2 показано розподш температури та головного напруження с1 (i = 1, I) вздовж товщини
оболонки в точщ D. Напруження одержат в момент часу, коли температура на поверхш iз джерелом тепла досягае нaйбiльшого значення. Видно, що на цiй поверхш вщбуваеться piзке змiнення температури та напруження, викликане нaявнiстю джерела тепла. При цьому напруження не перевищуе свого допустимого значення.
О 10 20 Т,° С -5 0 5 oifMna
г, мм г, мм
Рис. 1. Розрахункова схема оболонки Рис. 2. Розподш температури та напруження вздовж товщини оболонки
Висновки та перспективи подальших досл1джень
Запропоновано метод розв'язання задач термопружносп багатошарових цилiндричних оболонок, який дозволяе подати розв'язок задачi у виглядi тригонометричного ряду. Це дозволяе проаналiзувати структуру розв'язку, виявити притаманнi йому властивостi та особливостi. Дослщжено стан багатошарово! оболонки складно! форми у плаш шд дiею температурних полiв, отриманих iз розв'язку задачi нестацюнарно! теплопровщностг Одержанi результати можуть бути використаш при проектуваннi оболонкових елеменпв транспортних, енергетичних i будiвельних консгрукцш.
Робота виконана у рамках Цшьово! Комплексно! програми наукових дослщжень НАН Укра!ни «Проблеми ресурсу i безпека експлуатацп конструкцiй, споруд та машин» («Ресурс»).
Список використано! лтератури
1. Telega J.J. Controllability and stabilization in elasticity, heat conduction and thermoelasticity: review of recent developments / J.J. Telega, W.R. Bielski // J. Global Optimization.- 2000.- Vol. 17, №. 4.- P. 353-386.
2. Шевченко В.П. Использование итерационной теории изгиба ортотропных пластин при сосредоточенных температурных воздействиях / В.П. Шевченко, А.С. Гольцев, Т.О. Филимонова // Доповщ НАН Укра!ни.- 2007.- № 3.- С. 77-82.
3. Ясницкий Л.Н. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред / Л.Н. Ясницкий. -М.: Наука, 1992.- 128 с.
4. Баженов В.А. Применение метода компенсирующих нагрузок для решения задачи термоупругого равновесия сферической оболочки. Кн. 1 / В.А. Баженов, Чан Дык Тинь // Будiвельнi конструкцп.-2003.- Вип. 59. - С. 300-306.
5. Сметанкина Н.В. Нестационарное деформирование, термоупругость и оптимизация многослойных пластин и цилиндрических оболочек / Н.В. Сметанкина. - Харьков: Мюькдрук, 2011.- 376 с.
6. Shupikov A.N. Nonstationary heat conduction in complex-shape laminated plates / A.N. Shupikov, N.V.Smetankina, Ye.V. Svet // Trans. ASME. J. Heat Transfer.- 2007. - V. 129, № 3. - P. 335-341.
