CC BY
13
5. ШФОРМАЦШЙНШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ!
УДК 536.24 Доц. Л.Д. Величко, канд. техн. наук; викл. С.Я. Вовк -
Львiвський державний утверситет безпеки житт£дшльност1; доц. А.Р. Дзюбик, канд. техн. наук - НУ "Львiвська полiтехнiка"
РОЗПОД1Л СТАЦ1ОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В БАГАТОШАРОВОМУ ЦИЛ1НДР1
Визначено стацюнарне температурне поле в багатошаровш цилшдричшй стшщ за щеального теплового контакту мiж шарами та наявносп граничних умов першого i третього типiв. Наведено методику використання теоретичних результат у розв'язуванш задачi.
Ключов1 слова: температурне поле, багатошарова цилiндрична стiнка, граничнi умови.
Assoc. prof. L.D. Welychko; lecturer S.J. Wowk - Lviv state university of safety of vital functions; assoc. prof. A.R. Dsjubyk - Lviv Polytechnic National University
Distributing of the stationary temperature field is in multi-layered cylinder
In this article scientifically proved results of experimental research determination of the stationary temperature field in a multi-layered cylinder wall at an ideal thermal contact between layers and the maximum terms of the first and the third type is carried out in the article.
Keywords: temperature field, multi-layered cylinder wall, maximum terms.
Постановка проблеми. Знания розподшу температурного поля в n-шаровому порожнистому цилшдр1 потр1бне: для визначення температурних напружень у тш, оскшьки вони можуть призвести до руйнацп конструкцп; для здшснення розрахунюв з визначення товщини протипожежних перегородок на випадок пожеж у примщеннях.
А • • • • ^ • • »J Г\
АналiЗ останшх дослщжень i публжацш. Задачу з визначення температурного поля в багатошарових тшах переважно розв'язують методом спряження [1] або чисельними методами. Однак розв'язку ще! задач1 для довольного n-шарового цилшдра не досягнуто.
Мета дослвдження - отримати розв'язок задач1 теплопровщносл для n-шарового цилшдра за наявносл щеального теплового контакту м1ж шарами для випадку осесиметрично! задач1 теплопровщносп за граничних умов першого або третього тишв.
Основний матерiал. Розглядаемо безмежну цилшдричну стшку, яка складаеться з п -1зотропних шар1в. Товщини шар1в вщповщно дор1внюють r - r0;r2 - ri;...;rn - rn-1. Вважаемо, що багатошаровий цилшдр порожнистий, тобто Г) ^ 0. Нехай внутршня та зовшшня поверхш багатошарово! цилш-дрично! стшки 1зотерм1чш поверхш та внутр1шш джерела теплоти вщсутш, тобто qV = 0. Температурне поле за цих умовах е функщею тшьки вщ коорди-нати r - t(r). Р1вняння теплопровщносп для /-го шару мае вигляд
Ш+ит = 0, (Г-1 < г < г; / = й). (1)
аг2 г аг
Вважаемо, що мiж шарами юнуе iдеальний тепловий контакт, тобто виконуються такi умови:
и(п) = и+1(г); Л^-2- = Л+1 1. 1 , (- = 1 п -1). (2)
аг аг
Величину узагальненого коефiцiента теплопровiдностi для п-шарового цилiндра визначаемо за формулою
1п Г. - 1п Г0 + 1п Г2 - 1п г + + 1п гп - 1п Гп-1 = 1п гп - 1п го (3)
Л. % Л Лу
Приведет товщини шарiв стiнки, вщповщно, дорiвнюють: 1п Г1 - 1п Го = 1п Г1у - 1п Го ; 1п Г2 - 1п Г1 = 1п Г2у - 1п Г1у ; ; 1п Гп - 1п Ги-1 = 1п Гпу - 1п Гп-1,у (4)
Лу Лу Лп Лу
Просумувавши лiвi та правi частини рiвнянь (4), отримаемо, що Гп = Гпу . Вводимо нову метрику для кожного шару цилшдра
1п Г - 1п Го = 1п Гу - 1п Г). 1п Г - 1п Г1 = 1п Гу - 1п !\у ; ; 1п Г - 1п Гп-1 = 1п Гу - 1п Гп-1у (5) Л Лу Л2 Лу Лп Лу
1з спiввiдношень (5) отримаемо, що координата гу для кожного шару залежить вiд координати г таким чином:
Л г Л г Л г 1пгу = 1пго +—1п —; 1пгу = 1пт\у + —1п—; ...; 1пгу = 1пгп-1у + —1п-. (6)
Л1 Го Л2 г Лп Гп-1
Диференцiальнi залежност мiж координатою г та координатою гу на основi залежностей (5), (6) матимуть вигляд
, Л Л , Л2 Л2 л Лп Лп л
Л1 1------Л2------Лщ ----
аг = Л1 г0 ЛугЛу агу; аг = -2 ЩуЛугЛ агу; аг = — Гп-1Гп-}УуЛу агу. (7)
у у у
Умови щеального теплового контакту мiж шарами стшок (2), врахову-ючи (3)-(7), набудуть вигляду:
Фу) = и+1(гу) , ^ = ; а = . (8)
агу агу
Рiвняння теплопровiдностi (1) в приведених координатах таю:
^+±!№. = о, (Г--,, < Гу < г„и = й). (9)
агу Гу агу
Розв'язок системи диференцiальних рiвнянь (9) матиме вигляд:
и(гу) = Сц 1п Гу + Съ, (Г-1,у < Гу < гу; \ = 1 п). (Ю)
Враховуючи умови iдеального теплового контакту мiж приведеними шарами (8) та рiвняння (1о), отримаемо, що Сц = Су+1, С2г- = +1;(/ = 1 п -1).
Отже, температура в приведеному багатошаровому цилiндрi розподi-ляеться за законом:
и(гу) = С\ЫГу + С2, (г--1,у < Гу < гу;I = 1,п). (11)
Гранична умова першого типу. Нехай на внутрiшнiй та зовшшнш поверхнях багатошарово! стiнки задано значення температур:
-(Г)) = *М0; КГп) = -тп . (12)
Пiдставляючи рiвняння (11) у граничш умови (12), отримаемо систему рiвнянь для визначення сталих С1 та С2 :
С11п го+С2 = т, С11п гп + с 2 = т.
Розв'язуючи систему рiвнянь, визначаемо сталi iнтегрування
С = -тп — -т0 с = то 1п Гп — -тп 1п Г0
1п Гп — 1п го' 1п Гп — 1п Го
Тепер рiвняння (11) набудуть вигляду
. ( ) = (¿тп — -т0о) гу + -тО ^ гп — -тп ^ г0 ( < < . . = 1 ) (13)
п(гу) = " " 5 (гг'—1,у < гу < г-у; I = 1 п) • (13)
1п Гп — 1п ГО
Використовуючи вираз (6), здiйснимо перехщ вiд приведено! коорди-нати гу до координати г, тобто отримаемо таку залежшсть мiж ними:
1п гу = 1п го 1п Г+Х 1п Г2 +... + Х 1п—. (14)
Х Го Х Г1 Х Г-—1
Отже, розподш температурного поля в багатошаровш цилiндричнiй стiнцi при щеальних теплових контактах мiж шарами (2) та заданих температурах на границях тша (12) матиме вигляд
(-тп -т0о)
/ Х Г + +А_ 1пШ + г л
+ т 1п Гп — Хтп 1п Го
1п го + 1п- +... + 1п — + 1п —
т =-V-^-4-1 г—2 Х г'—1--, (15)
1п Гп — 1п Го (Г —1 < Г < Г{; I = 1, п).
Градiент температури по товщиш цилшдрично! багатошарово! сiнки
• / ч йЬ(г) Ху (-тп -то) / ^ ^ • л \
змшюеться за законом: ^гаащ) = —— = -, (г—1 < г < г;I = 1, п).
аг Х г(1п гп — 1п го)
Густину теплового потоку ц визначаемо, використовуючи закон
Фур'е
ц = —^гаЖ-(г) = Ху—Ь^^-^т^, (г—1 < г < г;' = 1,п).
г(1п Гп — 1п го)
Кiлькiсть теплоти Q, яка передаеться за час т, через дiлянку труби
довжиною I, дорiвнюе Q^(г) = 2пг1цт = 2ж1тЛу--то—.
1п Гп — 1п го
Гранична умова третього типу. Нехай внутрiшню поверхню порож-нистого багатошарового цилiндра омивае рщина (газ) з середньою температурою -р0, а зовнiшню поверхню - рщина (газ) з температурою -рп. Вва-жаемо, що на поверхнях цилiндра юнуе конвекцiйний теплообмiн мiж рiдина-ми (газами) та тшом
а^т) ап(гп)
Л —;— = озд(го) - ¡ро); -Лп —-— = апЦп(Гп) - ¡рп) .
(16)
аГ аГ
Граничнi умови (16), враховуючи (4) i (7), в приведених координатах наберуть вигляду
^(то) мп(гп)
Лу-= ао(^(то)-¡ро); -Лу—— = ап(ЦГп)-¡рп).
агл>
агл>
(17)
уу
Шдставляючи рiвняння (11) в граничш умови (17), отримаемо систему рiвнянь для визначення сталих С1 та С2:
Лу
V Гоао
- 1п Го
С1 - С2 = -¡то ;
Лу
V гпап
+ 1п гп
С1 + С2 = ¡т
Розв'язуючи систему рiвнянь, отримаемо, що
С =-
¡рп ¡ро
Лу
Л
Лу
¡ро + 1п Гп С2 = V гпап_,
+ г
рп
Лу
V Гоао
1п Го
^ + +
Л
Лу
^ + +
Гоао Гпап Го тоао Гпап то
Температурне поле в приведеному багатошаровому цилiндрi опи-суемо сшввщношеннями
(¡рп - ¡ро)1п Гу + ¡ро
¡-(Гу) =■
Лу
V гпап
+ 1п гп
/
+ X
рп
Лу
^ - 1п Го
V Гоао
Лу + Лу + 1п
, (г-1,у < Гу < гу; / = 1 п). (18)
Гоао Гпап го
Переходячи вiд приведено! координати гу до координати г iз враху-ванням (14), отримаемо, що розподш стащонарного температурного поля в багатошаровiй цилшдричнш стiнцi за iдеальних теплових контаклв мiж шарами (2) та конвекцшному теплообмiну на границях тша (16) матиме вигляд
(¡¡рп ¡ро)
¡-(Г) = ■
Лу, Г.
Лу
1п го + ^ +... + 1п —
Л1 Го Л Т-1
+ ¡ро
Лу
V гпап
+ 1п гп
/
+ t
рп
Лу
^ - 1п то
V Гоао
Лу | Лу + Т
"'(19)
Гоао гпап то (т-1 < г < т; / = 1 п).
Грaдiент температури за товщиною багатошарового цилiндра змь
Ж-(г) = Лу_(¡рп - ¡ро)
нюеться за законом: gгaаtj(г) =-
аг л
Лу + Лу
+ 1п тп
, (Т-1 < Г < Г{;1 = 1 п).
V тоао Гпап Го у
Густину теплового потоку д визначаемо, використовуючи закон Фур'е
д = -Лgгaаtj(г) = Лу
tро - t
рп
Л
Лу
-,(т-1 <Г <т;- = 1 п).
V тоао Гпап то у Кшьюсть теплоти Q, яка передаеться за час т, через дшянку труби довжиною I, визначаемо за формулою:
Г
Г
(г) = 2пг1дт = 2п1тЛу
!■ р0 -
рп
Лу
+
+ 1п ГЛ
№о Гпап П)
Практичне застосування. Визначити розподш температурного поля в чотирьохшаровш цилiндричнiй стiнцi, якщо середня температура газу в се-редиш цилiндра tp0 = 800°С , а зовш - стiнка обдуваеться повiтрям температура якого tp4 = 20°С . Перший шар - стальна труба, розмiри яко! г0 = 0,2м i Г = 0,25м . Другий шар - сухий шсок, розмiри якого г = 0,25м i г = 0,3м. Тре-тш шар виготовлено з мiдi, розмiри якого г = 0,3м i г = 0,35м . Четвертий шар виготовлено iз мшерально! вати, розмiри якого г3 = 0,35м i г4 = 0,4м. Коефь цiент тепловiддачi вщ газу до внутршньо! чотирьох шарово! стiнки
„ „ ^ Вт . ^ Вт , ,.
а0 = 34,95—2—, а вiд мшерально1 вати до повiтря - а4 = 5,82—-—. Мiж шара-
м2К м2К
ми iснуе iдеальний тепловий контакт.
Коефщент теплопровiдностi для сталi описуеться законом Л$) = 58 - 0,042t i тому теплопровiднiсть сталi за температури 8000С дорiвнюе
Вт
Л1(800) = 58 - 0,042 • 800 = 24,4-. Коефщенти теплопровiдностi для сухого
мК
Вт Вт Вт шску Л2 = 0,35-, для мщ Л3 = 345-i для мшерально1 вати Л4 = 0,056-.
мК мК мК
Узагальнений коефiцiент теплопровщност для цилшдрично! стiнки,
враховуючи (4), визначаемо за формулою
1п * 1п * 1п г2 1п г3 1п —
г0 = г0 + г + 12 + г
Лу Л1 Л2 Л3 Л4
Пщ-
ставляючи данi, отримаемо
1п
0,4 0,2
1п
0,25 ~02~
1п
Лу
24,4
+ -
0,3 0,25
1п
0,35
+ -
0,35 0,3
1п
0,4
345
+ _035 або Лу = 0,23779 ^ 0, 056 мК
Розподш температурного поля в першому шар^ враховуючи (19), такий:
(tp4 - tp0)
tl(г) =■
1п Г0 + — 1п — Л1 р у
+ tp°
Лу
V
г4а4
+ 1п г4
+ tp4
Лу
—0а0
1п —0
Лу
■ +
Лу
—4
(г0 < г < —).
^ +1п^ —4«4 —0
Пщставляючи данi, отримаемо t1(г) = 753,252 - 9,1661п г, (0,2 < г < 0,25). Температура на краях стального шару дорiвнюе
t1(0,2) = 753,252 - 9,166 • 1п0,2 = 7680С i ^(0,25) = 765,960С . Розподш температурного поля в другому шар^ враховуючи (19), дорiвнюе:
(tp4 - tp0)
t2(г)
1п ю + ^ 1п г + ^ 1п г
Л1 р Л2 г1 у
+ tp0
Лу
\ г4а4
+ 1п г4
+ tp4
Лу
Г)ao
1п г
Лу
г0а0
■ +
Лу
г4
гЩ4 г0
(r < r < r2). Шдставляючи значення величин, отримаемо, що
t2(r) = -119,889 - 639ln r, (0,25 < r < 0,3).
Температура на краях шару, виконаного з шску, дорiвнюе
t2(0,25) = -119,889 - 639 • ln 0,25 = 765,960С i t2(0,3) = 649,450С .
Розподш температурного поля в третьому шар^ враховуючи (19), дорiвнюе
Л - ln Г0
t3(r) =■
(tp4 - tp0) ln r +—ln—ln—ln— + tp0 —— + ln r4 + tp4
Л r0 ¿2 r Л r2
/ 1 л
У
Л
У a J
уУ У
^^ + А_ + 1П —
Г)«0 а Г0
Пiдставляючи данi, отримаемо, що
г3(г) = 648,674 - 0,6481п г, (0,3 < г < 0,35).
Температури на краях шару, виконаного з мщ, дорiвнюють /3(0,3) = 648,769 - 0,569 • 1п0,3 = 649,45°С i /3(0,35) = 649,35°С.
Розподiл температурного поля в четвертому шар^ враховуючи формулу (19), дорiвнюе
/4(г) = -3543,399 - 3993,781п г, (0,35 < г < 0,4).
Температури на краях шару, виконаного з мшерально! вати, дорiвнюють
?4(0,35) = -3543,399 -3993,78 -1п0,35 = 649,350С ^ /4(0,4) = 116,060С .
Висновки. Внаслщок виконаних дослiджень отримано вирази для визначення стащонарного температурного поля в багатошаровш цилшдрич-нiй стiнцi за щеального теплового контакту мiж шарами та наявност гранич-них умов першого i третього типiв. Наведену методику використання теоре-тичних результат у розв,язуваннi задачi. Показано, що характерною особли-вiстю дослщжувано! в робот цилшдрично! чотирьохшарово! стiнки е те, що змша величини температури в шар^ виконаному з мад, незначна.
Лiтература
1. Лыков Н.Н. Теория теплопроводности. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1967. - 559 с.
УДК 634.31 1нж. 1.В. Бичинюк - НЛТУ Украти, м. Львiв
РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДУ РОЗРАХУНКУ ЩОГЛИ ПРОМ1ЖНО1 ОПОРИ
Наведено розрахункову схему опори з розтяжками. Визначено зусилля та де-формацп опори, розв'язано статично-невизначену задачу. Отримано залежшсть для визначення зусилля, що дiе на щоглу та обгрунтовано i'l основш параметри.
Eng. I.B. Bychynyuk - NUFWT of Ukraine, L'viv
Calculation method development of intermediate support mast
The calculation chart of support is resulted with stretching. Certainly efforts and deformations of support considering a statically-indefinite task. Dependence is got for determination of effort, that operates on a mast and grounded its basic parameters.
