Нелинейные колебания трехслойных неоднородных круговых цилиндрических оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

У статті досліджується задача про нелінійні коливання тришарових неоднорідних кругових циліндричних оболонок. Передбачається, що шари виготовлені з різних неоднорідних ізотропних матеріалів і пружні характеристики є безперервними функціями координати товщини оболонки. Беручи справедливість гіпотези Кірхгофа-Лява для всього елементу, отримана система рівнянь руху оболонки з урахуванням геометричної неліней-ності. Отримане аналітичне рішення задачі

Ключові слова: тришарові кругові циліндричні оболонки, нелінійні коливання, неоднорідний матеріал, амплітудно-частотні характеристики

□-------------------------------------------□

В статье исследуется задача о нелинейных колебаниях трехслойных неоднородных круговых цилиндрических оболочек. Предполагается, что слои изготовлены из различных неоднородных изотропных материалов и упругие характеристики являются непрерывными функциями координаты толщины оболочки. Принимая справедливость гипотезы Кирхгофа-Лява для всего элемента, получена система уравнений движения оболочки с учетом геометрической нелинейности. Получено аналитическое решение задачи

Ключевые слова: трехслойные круговые цилиндрические оболочки, нелинейные колебание, неоднородный материал, амплитудно-частотные характеристики -----------------------□ □--------------------------

УДК 539.3

НЕЛИНЕЙНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

ТРЕХСЛОЙНЫХ

НЕОДНОРОДНЫХ

КРУГОВЫХ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК

С. А. Гусейнов

Докторант Кафедра «Теоретическая и строительная механика» Азербайджанский архитектурно-строительный университет ул. А. Султанова, 5, г. Баку, Азербайджан, Аз1073 E-mail: fisayev@qu.edu.az

1. Введение

Различные задачи об устойчивости и колебании одно- и многослойных пластин и оболочек, изготовленных из однородно упругих материалов, в современной научной литературе освещено достаточно [1-4]. Однако когда конструкции изготовлены из неоднородных материалов и рассматриваются геометрически нелинейные задачи, научные исследования в этой области редко встречаются в литературе.

Поэтому в данной статье дается постановка задачи исследования нелинейных колебаний трехслойных круговых цилиндрических оболочек, слои которого изготовлены из различных неоднородно упругих материалов.

2. Анализ литературных данных

В статье [5] исследуется задача устойчивости и колебании непризматических слоистых призматических элементов мембран. В [6] исследованы колебательные процессы полярно-ортотропных неоднородных круговых пластинок. В [7] дана постановка и исследована задача о колебании двухслойных цилиндрических оболочек из функционально неоднородного материала. В [8] изучается собственные колебания симметрично слоистых цилиндрических оболочек из материала с переменными характеристиками. В статье [9] дана постановка и исследованы собственные колебания нано-пластинок на основе трехмерной теории упругости. В [10] проанализи-

рованы аэроупругое устойчивость и бифуркация слоистых панелей из нелинейного материала. В [11] задача о собственных колебаниях слоистых композитных пластинок исследована на основе метода конечных элементов. В статье [12] исследуется динамические процессы слоистых стержневых систем. В [13] рассмотрены задачи о нелинейной устойчивости и закритическом поведении эксцентрично сжатой цилиндрической оболочки из функционально неоднородного материала.

3. Постановка задачи

Рассмотрим трехслойную круговую цилиндрическую оболочку, изготовленную из неоднородно упругого материала. Координатная система выбрана следующим образом: оси ОХ и ОY расположены в срединной плоскости, среднего слоя пластинки, ось OZ - направлена перпендикулярно им.

Связь между компонентами напряжений и деформаций на основе обобщенного закона Гука имеет вид:

°11 = ^11Є11 +^12Є22, °22 =

= ^21Є11 + ^22Є22, ®12 = ^33Є12(і = 12,3) . (1)

Здесь предполагается, что упругие характеристики материала слоев являются непрерывными функциями координаты толщины т. е.:

ч=ч'»:м.

Используем гипотезу Кирхгофа-Лява для всей толщины элемента оболочки:

£ц = Єц — 2Хц, £22 = Є22 — 2X22, £12 = Є12 — 2X1

(2)

где е11 , е22 , е12 и х11 , х22 , х12 - бесконечно малые изменения деформации и кривизны срединной плоскости.

Компоненты усилий и моментов вычисляются по формулам:

—Ь/2 Ь/2 Ь/2+Ь2

V І + І °2^ + 1 °^,

— Ь, — Ь/2 — Ь/2 Ь/2

(3)

— Ь/2 Ь/2 Ь/2 . Ь2

М^ = | + | o2zdz + | o3zdz .

—Ь1—Ь/2

Ь/2 — Ь/2

Ь/2+Ь2

Ь/2

где Ь1, Ь и Ь2 - толщины соответствующих слоев. С учетом (1), (2) из (3) получим:

Ти = Ап ■ Л°1 ■ ЄЦ + Ап ■ Л°2 ■ Є22 —

7" 2 д 1 7" 2 д 1

А11 ■ Лц ■ Хц А12 ■ Лц ■ Хц,... ,

__2 ___________________2

М11 = А11 ■ Л11 ■ Єн + А12 ■ Л11 ■ Єц — —2 —2

—А11 ■Л21 ■х11 — А12 ■Л22 ■ х22,... .

(4)

(5)

В этих формулах Лук - обобщенные жесткостные характеристики.

Таким образом, получены общие выражения для усилий и моментов рассматриваемой неоднородной трехслойной цилиндрической оболочки в виде (4) и (5). В дальнейшем используя эти выражения, будут получены уравнения движения оболочки в точной и приближенной постановке.

4. Получение уравнений движения оболочки

Как известно [1], уравнения движения прямоугольных пластинок состоит из следующих уравнений:

дТи + ЭТц =УЛ + уЬ + Т2Ь2 д2и

■ Эt2,

Эх Эу

g

ЭТ12 ЭТ22_ у1Ь1 + уЬ + у2Ь2 Э2v

+ = д2,

Эх Эу

g

(6)

э2Мц+2 дМц +9^2+Тх +

Эх2 +2 ЭхЭу + Эу2 + І11Х11 +

+2Т х + Тх + Ти У1Ь1+уь+у2Ь2

-1-^ і-12^-12^ 122^22 г> _ ^ -4,2

К g дї

Здесь у1 , у, у2 - удельные весы материала слоев, g -ускорение силы тяжести, и, V, w -перемещения точек срединной плоскости по направлениям х, у, z - соответственно.

Используем связь между деформациями и кривизнами с компонентами перемещений с учетом геометрической нелинейности:

ди 1 ( ^

' = эХ + 2 [эХ) , Є22

ди ди + ди дw

! ду дх дх ду ’

д2w

дv

ду

дw

ду

w

"К^

д2w

дх2

ду2

д^

дхду

С учетом (4), (5), (8) из (6), (7) получается система нелинейных уравнений движения относительно перемещений рассматриваемой оболочки в общем виде:

_УА +уЬ + У2Ь2 д2и

Ц(и;)=

(і,І = 1,2,3), (и = u,v,w) .

дї2

(9)

Здесь Li- полученные нелинейные дифференциальные операторы.

Следует отметить, что деформации срединное плоскости оболочки должны удовлетворять уравнению совместности деформации :

+д^—2 д2еи ду2 дх2 дхду

д2w

дхду

2

д2w д2w 1 д^

■ V ■■ К э?. (10)

Как видно, полная система уравнений движения рассматриваемой трехслойной оболочки в точной постановке состоит из (9) и (10).

5. Приближенная постановка задачи

В общем виде решение системы уравнений (9) связано с большими математическими трудностями. Поэтому в практике часто используется приближенная постановка задачи. В этом случае предполагается, что в системе (6) можно отбросить инерционные силы. Тогда эти уравнения будут удовлетворены тождественно, если ввести функцию напряжений F следующими соотношениями :

дТ

Т =------ Т =------- Т = —

11 ду2, 22 дх2, 12 дхду

(11)

Для преобразования уравнений (7), (10) к необходимому виду, надо выразить е^ через Ту и х^ из соотношений (4). Тогда после некоторых преобразований из (4) находим:

Є11 = а11Т11 +а12Т22 +Ь11х11 +Ь12х22,

Єц = а^Ти + а22Т22 + Ь^хи + Ь^х^

(12)

е12 = аз3Т12 + Ь33х12.

М11 = Г11Т11 + Г12Т22 + К11х11 + К12х22, М22 = г21Т11 + г22Т22 + К21х11 + К22х22,

(13)

3

М12 _ Г33Т12 + Я33Х12.

В этих формулах коэффициенты а^, Ц, г, Я^ выражаются через обобщенные жесткостные характеристики.

Подставляя выражения (12), (13) в уравнения (7) и (10), после некоторых преобразований получим следующую систему уравнений нелинейных колебаний рассматриваемой оболочки:

Эх4 Эу4

1 Э?

Я Эх2

Э4?

2 Эх2Эу2

Э4w Э4w Эх4 Эу4

+^ ТТ + -

у1Ь1 + уЬ + у2Ь2 Э^

і 'а^.

Dl

+D

дї Эх4 Эу4

Э4w 1 Эх2Эу2

Э4?

Эх2Эу2

1 Э2w 1

2

Э4w Э4w Эх4 Эу4

(15)

Здесь di и Di выражаются через обобщенные жесткостные характеристики пластинки и через L1 -обозначен следующий нелинейный оператор:

Э2ф Э2т Э2ф Э2т Э2ф Э2т

Ll(ф’Т) Эх2 Эу2 + Эу2 Эх2 2

ЭхЭу ЭхЭу

(16)

Таким образом, в приближенной постановке задачи уравнение нелинейных колебаний трехслойной неоднородной оболочки получены в виде (14) и (15).

6. Метод решения задачи

Аналогично работе [4], в частном случае задача сводится к исследованию колебаний полосы единичной ширины, имеющей размер вдоль дуги равной.

В этом случае можно показать, что уравнение движения получится в виде:

Эи _ оЬ А11 1

Эу _-лЦ+а0! "ау2"- 2

^л2

Эу

W ' Я .

Подставляя (18) в (20) из условия (19), нетрудно получить:

А01 о_——

Э4w 1 Эх2Эу2

(14)

А11 ^ 2п п2 I2 + 2 1

АО.

4 Ь2 п Я

(21)

С учетом (21) уравнение (17)-решается методом Бубнова-Галеркина:

ь |/ і

Dз -

Э4W

Эу4

-АО.

А

А11 і 2п п2 12 2 1

А01 Ь2 4 Ь2 п Я

А11 і 2п п2 12 + 2 1

Эу

АО,

4 Ь2 п Я

т<Ь, + уЬ + у,Ь, Э2W1 . пу ,

—і----[2—%_----і 8т_^1у_0. (22)

ё Э12 ь

После некоторых преобразований из (22) получается следуюшее уравнение:

2

Здесь введены следующие обозначения:

2 п4 с2Ь2 г 96 < _1Г -м1' [!+^

9 Ь4

Еюё

Ь2 2

1ЯЬ)

с2ь2 : ь4 -

У1§12 + Т + 82іУ2

8 _ — § _ Ь1

- §21 Ь - §12 Ь -

2

Ф2 (^)_ —Т ■ (“£ + а2^2 + «3^ ) -

Ша

(23)

^ ^ 1з )Э^ ^Э^

Dз-^:г тт-оЬ^-^' 1і) эу эу

у1Ь1 + уЬ + у2Ь2 Э2W оЬ_

ё

- —_ 0. Я

(17)

1 | п4

а _ —

1 Ь ІЕоіЬ2

2 А11 2п

пЯ А01 Ь2

4А01 Ь4

пЯ Е10Ь4

При шарнирном закреплении краев полосы выражения для прогиба можно выбирать в виде:

W _ Ып ^.

(18)

Величину о, входящую в (17), найдем из условия закрепления краев. Взаимное сближение краев принимаем равным нулю:

Д_-| д~ ду _0.

о Эу

Из выражений (3)и (5)получим:

(19)

А11 2па -2

пЯ А01 Ь2

п2А01Ь2

А^ 4 ЕюЬ‘

пА0.

Е10Ь1 Я Е10Ь1

(24)

Перейдем к исследованию амплитудно-частотных зависимостей для рассматриваемой оболочки. Принимая приближенное решение уравнения (23) в виде:

Е =Ато8ШІ .

(25)

£

и удовлетворяя условию ортогональности, % периода конкретном данном случае влияние неоднородности

функции cosюt после некоторых преобразований по- на значение амплитудно-частотной зависимости со-

лучим: ставляет 7-10 %.

v2 =-^21[а1 +—а2А + 3аз 2|, v2 = -^-. (2б)

шLІ 1 3П 2 4 3 ш2

Литература

1.

При конкретных видах функций неоднородности материала слоев, амплитудно-частотные характеристики рассматриваемой оболочки определяются на основе (26).

7. Численные расчеты и анализ

Для проведения численных расчетов функции неоднородности материала слоев принимались в следующем виде:

а«^) = 1+ц^, all(z) = 1+Ц^, а^) = 1 + Ц2^- (27)

п1 п п2

Результаты численных расчетов представлены на рис 1.

- >

J У

(!

1'

Г

Рис. 1. График зависимости амплитудно-частотной характеристики оболочки на основе формулы (25).

1: М1=М2=М=0; 2: |Л=М2=М=1

Здесь пунктирной линией отмечено решение аналогичной однородной задачи.

8. Выводы

В статье дана постановка задачи и получена система уравнений движения трехслойных неоднородных круговых цилиндрических оболочек в точном и приближенном вариантах. Получено решение задачи о нелинейных колебаниях трехслойных оболочек и найдена формула для определения амплитудно-частотной характеристики оболочки.

Анализ проведенных численных расчетов показывает, что учет неоднородности свойства материала слоев может существенно влиять на поведение конструкции в геометрически нелинейных задачах. В

2.

3.

4.

5.

б.

7.

8.

Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А. С. Вольмир. - М.; Наука, 1967. - 984 с. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек [Текст] / А. С. Вольмир. - М.; Наука, 1972. - 432 с.

Ломакин, В. А. Теория упругости неоднородных тел [Текст] / В. А. Ломакин. - М., изд-во МГУ, 1978. -245 с.

Алфутов, Н. А. Расчеты многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов [Текст] /

H. А. Алфутов, П. А. Зиновьев, Б. Г. Попов. - М.; Машиностроение, 1984. - 264 с.

Rajasekaran, S. Stability and Vibration analysis of non-prismaticthin-walled composite spatial member sof-generic section [Text] / S. Rajasekaran, K. Nalinaa // J. Appl. Mechanics. - 2010. - Vol. 77, № 3. - P. 310-319. Pentaras, D. Polar Orthotropic Inhomogeneous Circular plates: Vibration Tailoring [Text] / D. Pentaras,

I. Elishakoff // J.Appl.Mechanics. - 2010. - Vol. 77, № 3. - P. 310-319.

Arshad, S. H. Vibration analysis of bilayered FGM cylindricalshells [Text] / S. H. Arshad, M. N. Naeem, N. Sultana, A. G. Shah, Z. Iqbal // J.Appl.Mechanics. -2011. - Vol. 81, № 8. - P. 319-343.

Viswanathan, K. K. Free vibration of symmetric angle-ply laminated cylindrical shells of variable thickness [Text] / K. K. Viswanathan, Jang Hyun Lee, Zainal Abdul Aziz // J.Acta Mechanica. - 2011. - Vol. 221, № 10. - P. 309-319.

Alibeigloo, A. Free vibration analysis of nano-plate using three-dimensional theory of elasticity [Text] / A. Alibeigloo // J.Acta Mechanica. - 2011. - Vol. 222, № 11. - P. 149-159.

Li, Peng The aeroelastic stability and bifurcation structure of subsonic nonlinear thin panels subjected to external excitation [Text] / Peng Li, Yiren Yang, Wei Xu, Guo Chen // J.Arch.Appl.Mech. - 2012. -Vol. 82. - P. 1251-1267.

11. Avades, K. Free vibration analysis of laminated composite plates with elastical lyrestained edges using FEM [Text] / K. Avades, N. D. Sharma // Central European Journal of Engineering. - 2013. - Vol. 3, № 2. - P. 306-315. Singh, Bhagat Dynamic analysis of damping in layered and welded beams [Text] / Bhagat Singh, Bijoy Kumar Nanda // J. Engineering Structures. - 2013. -Vol. 48. - P. 10-20.

Dao, Van Dung Nonlinear buckling and post-buckling analysis of eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical shells under external pressure [Text] / Van Dung Dao, Le KhaHoa // J.Thin-Walled Structures. - 2013. - Vol. 63. - Р 117-124

9.

10.

12.

13.