CC BY
17
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
А.А. Коломоец, А.С. Модин
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАГРУЖЕННОЙ НЕСОВЕРШЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕРАВНОМЕРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ
Рассматривается влияние предварительного статического нагружения внешним давлением, приложенным к части поверхности несовершенной цилиндрической оболочки, на колебания оболочки. Составными частями алгоритма численного решения задачи являются метод Бубнова в высших приближениях, метод Ньютона-Канторовича и метод Рунге-Кутта. Приведены результаты численного эксперимента.
Цилиндрические оболочки, неравномерное внешнее давление, нелинейная установка, начальные несовершенства
A.A. Kolomoets, A.S. Modin
NONLINEAR DYNAMICS OF A PRELOADED IMPERFECT CYLINDRICAL SHELL UNDER NON-UNIFORM EXTERNAL PRESSURE
The paper considers the imperfect cylindrical shell dependency on different preload levels. The algorithm involves the Bubnov method with higher approximations, the Newton-Kantorovich and Runge-Kutta methods. The article contains the results of numerical experiments.
Cylindrical shell, non-uniform external pressure, nonlinear setting, initial imperfections
Введение
Замкнутые цилиндрические оболочки являются составными частями многих конструкций машиностроения, глубоководной техники, летательных аппаратов. Потребность исследования колебаний и устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек вызвала появление ряда работ [3-12]. Исследованию деформирования, колебаний и устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления посвящены работы [3-7,10].
В [2] А.С. Вольмир отмечает, что для тонкостенных конструкций типа пластин и оболочек наиболее опасным является сочетание статических нагрузок с разного типа динамическими воздействиями. Экспериментальные исследования [12] показывают, что наличие статического давления существенным образом изменяет картину динамического выпучивания оболочки.
Новизной данной работы является исследование нелинейных колебаний несовершенной замкнутой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем воздействии, находящейся под действием предварительного статического нагружения.
§1. Постановка задачи
Исследуются колебания замкнутой несовершенной цилиндрической оболочки конечной длины при предварительном статическом нагружении неравномерным внешним давлением. По краям оболочка шарнирно закреплена. Внешнее давление приложено к части поверхности оболочки
l-pi < x < l + pi, -aR < y < aR,
Здесь х - продольная координата, у - окружная координата.
Для определения предварительного напряженно-деформированного состояния статически нагруженной оболочки используем нелинейные дифференциальные уравнения статики теории пологих оболочек в смешанной форме [1]:
БУ 4 ^ - w0 ) = L(w,f) + V р + q ,
-1- V4р = -1 [L{w, w)-L{w0, w0 )]-у2 & - w0). Еп 2
(1)
Краевые условия:
Э 2 w Э 2
w = 0, ^^ = 0, (р = 0, = 0 при х = 0 и х = I.
'Эх2
Эх2
(2)
Здесь
V 4 = + 2 Э
ЕП3
Эх4
_+ _Э.!_ У 2 = к Б =_
Эх2Эу2 Эу4' к у Эх2' 12(1 -V2)'
т, ч Э2w Э2р „Э2w Э2р Э2рЭ2^ т, ч „ L(wj) = ^гт^2r - ^ ; L(w, w) = 2
Эх 2 Эу 2 ЭхЭу ЭхЭу Эх 2 Эу
V
Э2 w Э2 w
Г Э2w ^2
Эх2 Эу2
ЭхЭу
q - внешнее давление, Е - модуль Юнга, w и ф - прогиб и функция усилий, Ку =--кривизна обоИ
лочки.
Система (1) приводится к безразмерному виду следующим образом: х = 1х, у = Иу, w = Пт , <р = ЕИЗр,
^ п
I
ЕП4 _
(3)
ку = ку И2 'Л = И' q = 12 И2
q, q = ^ • Ку.
Решение краевой задачи (1) - (2) ищем в виде
к р) = X X (4у, Ду ^п грх сое /
уу
(4)
¿=1 у=0
методом Бубнова в высших приближениях. Численно исследуется сходимость метода.
При исследовании колебаний предварительно нагруженной несовершенной оболочки используем систему нелинейных дифференциальных уравнений динамики гибких пологих оболочек в смешанной форме [2]:
БУ4^ - w0 ) = L(w,р)+V2р + q- —
£
ч Эг2 Эt у
(5)
-1- V 4р = -1 [L(w, w)-L(wo, Wo )]-У2 (w - Wo). Еп 2
Начальные условия имеют вид:
Эw
w = w ,р = р ,-= 0 при г = 0.
Эг
(6)
Краевые условия имеют вид (2). Здесь у - удельный вес материала, £ - ускорение свободного падения, г - время, е - коэффициент демпфирования среды.
Дополнительно к (3), вводятся безразмерные параметры:
1И
г
и
7 -
— • г ,е Е£
Ъ_
ту
Е£ -
— •£ .
7
w0 и - прогиб и функция усилий, полученные в результате решения задачи (1) - (2) при qх = 0.08 в точке (0,5;0).
§2. Алгоритм расчета
Составными частями алгоритма решения начально-краевой задачи (5), (2), (6) являются методы Бубнова и Рунге-Кутта.
Решение ищется в виде:
(w,j)= XX (4(t}вг] (t))sinipxcos jy (7)
i=i ]=0
Численные расчеты проводились при X = 1.5, Ky = 112.5, а = 0.3, в = 0.2, N = 4, M = 12.
Решая краевую задачу (1), (2) при заданной нагрузке q 1, находим коэффициенты Ai]- и В].
После применения метода Бубнова к (5) получаем систему N(M + 1) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и N(M + 1) нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai]( t), Bj( t). Коэффициенты Bj( t) аналитически выражаются
через Ai]( t ). Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Ai]( t ) решается методом Рунге-Кутта.
В качестве начальных условий берём коэффициенты Aj полученные из решения задачи (1), (2).
§3. Механические эффекты
В данной работе были рассмотрены, для примера, начальные несовершенства вида w0 = 0.2sinipx при i = 1, 2, 3 и случайные начальные несовершенства, заданные по нормальному и
показательному законам распределения.
На рис. 1 представлены колебания несовершенной оболочки при i = 1. Кривая 1 описывает колебание оболочки при q1 = 0.08 без предварительного статического нагружения. Кривая 2 описывает колебание оболочки при q1 = 0.08 без предварительного статического нагружения, с коэффициентом демпфирования e = 30. Кривая 3 соответствует случаю, когда предварительное статическое нагружение оболочки рассматривается при q 1 = 0.08 и далее колебание оболочки происходит при q1 = 0.06. Кривая 4 соответствует случаю, когда предварительное статическое нагружение оболочки рассматривается при q j = 0.08 и далее колебание оболочки происходит при q х = 0.10.
Рис. 1
На рис. 2-5 кривые описывают колебания оболочки с несовершенствами при 7 = 2, 7 = 3, случайными начальными несовершенствами заданными по нормальному и показательному законам распределе-
ния соответственно. На указанных рисунках кривая 1 описывает колебание оболочки при q 1 = 0.08 без
предварительного статического нагружения. Кривая 2 описывает колебание оболочки при q 1 = 0.08
без предварительного статического нагружения, с коэффициентом демпфирования £ = 30. Кривая 3 соответствует случаю, когда предварительное статическое нагружение оболочки рассматривается при
q 1 = 0.08 и далее колебание оболочки происходит при q 1 = 0.06. Кривая 4 соответствует случаю, когда предварительное статическое нагружение оболочки рассматривается при q 1 = 0.08 и далее колебание оболочки происходит при q 1 = 0,10.
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5 ЛИТЕРАТУРА
1. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 419 с.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
3. Коломоец А. А., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая устойчивость гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении // Проблемы машиностроения и автоматизации 1993. № 1-2. С. 49-53.
4. Коломоец А.А., Крысько В.А., Куцемако А.Н. Нелинейное деформирование и устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при произвольном внешнем давлении // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1985. № 2. С. 32-36.
5. Крысько В.А., Коломоец А.А., Рыжов С.А. Динамическая потеря устойчивости гибкой цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления // Прикладная механика. 1990. 26. № 2. С. 76-82.
6. Коломоец А.А., Болдырева Н.А. Применение метода И.Г. Бубнова - Б.Г. Галеркина к исследованию нелинейного деформирования, колебаний и устойчивости цилиндрических оболочек //
11
Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2003. Т. 8. Вып. 3. С. 349-350.
7. Кабанов В.В., Курцевич Г.И., Михайлов В.Д. Предельное состояние и устойчивость цилиндрической оболочки при неоднородном неосесимметричном внешнем давлении // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. № 4. С. 129-134.
8. Колосов Г.И. Устойчивость равновесных состояний сжатой в осевом направлении замкнутой круговой цилиндрической оболочки к малым возмущениям // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 2. С. 77-83.
9. Кукуджанов С.Н. Колебания и динамическая устойчивость оболочек вращения, близких к цилиндрическим, находящихся под действием нормального давления и меридиональных усилий // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 2. С. 48-59.
10. Коломоец А.А., Модин А.С.Устойчивость равновесных состояний цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления // Известия вузов. Строительство. 2014. № 1. С. 13-17.
11. Григолюк Э.И., Сребовский А.И. Тонкие круговые цилиндрические оболочки под действием импульса внешнего давления // Механика твердого тела. 1968. № 3. С. 110-118.
12. Минеев В.Е. Исследование устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек при динамическом действии всестороннего сжатия // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казан. ун-та. 1970. Вып. 6-7. С. 596-623 .
Коломоец Анатолий Андреевич -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Прикладная математика и системный анализ Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Модин Алексей Сергеевич -
аспирант кафедры Прикладная математика и системный анализ Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Anatoly A. Kolomoets -
Ph.D., Associate Professor Department of Applied Mathematics and System Analysis,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Aleksey S. Modin -
Postgraduate;
Department of Applied Mathematics and System Analysis,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 10.08.15, принята к опубликованию 10.09.15
