CC BY
34
УДК 539.3, 534.1
В.А. Крысько, Н.Е. Савельева УПРАВЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫМ ХАОСОМ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ
Исследуется вопрос о возможности управления хаосом в замкнутых цилиндрических оболочках. Под процессом управления хаосом понимаем преобразование хаотического поведения системы в регулярное или хаотиче-
ское, но с другими свойствами, с помощью малых целенаправленных продольных знакопеременных периодических воздействий, а также действия поперечной нагрузки в противофазе.
V.A. Krysko, N.E. Saveleva TIME CHAOS CONTROLLING IN CYLINDRICAL SHELLS
The question of an opportunity of chaos controlling in closed cylindrical shells is investigated here. As managerial process by chaos we understand transformation of chaotic behavior of system in regular or chaotic, but with other properties, with the help of small purposeful longitudinal sign-variable periodic influences, and also actions of shearing loading in an antiphase.
Введение
Хаотические колебания - это возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах. Такие движения и ранее обнаруживались в механике жидкостей, но недавно их заметили в механике пластин и оболочек [1-6]. Вопрос о существовании и единственности решения динамической задачи для оболочек типа Тимошенко исследовался в [7,8].
Математическая модель цилиндрических оболочек построена на основе кинематической модели Кирхгофа - Лява и учете нелинейной зависимости между деформациями и перемещениями. Это приводит к системе неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций прогиба и усилий. Для сведения распределенной системы к системе с сосредоточенными параметрами по пространственным переменным применяется метод Бубнова - Г алеркина в высших приближениях, что позволяет рассматривать цилиндрическую оболочку как механическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Система обыкновенных дифференциальных уравнений по времени решается методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности, тем самым мы реализуем колебательный процесс.
У правлению временным хаосом в известной нам литературе посвящено ограниченное количество исследований, причем, в основном эти исследования касаются простых моделей распределенных систем в виде цепочки связанных отображений. Впервые задача об управлении хаосом была поставлена в статьях Хюблера и Люгера [9], Джексона [10, 11] и ставшей классической работе Отто, Грелоджи, Йорка [12]. В обзоре [13] можно найти ссылки на более ранние источники, которые в той или иной степени имеют отношение к данной идее. Задачи об управлении хаосом рассматривались в гидродинамике [14], химии [15], биологии и медицине [16]. В теории оболочек этой проблеме в известной нам литературе внимания не было уделено. В настоящей работе проведено изучение управления временным хаосом в таких сложных объектах как цилиндрические оболочки, находящиеся под действием неравномерного внешнего воздействия.
Математическая модель
В рамках нелинейной классической теории пологих оболочек рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку кругового сечения конечной длины с постоянными жесткостью и плотностью при действии неравномерного знакопеременного внешнего давления.
Введем систему координат: ось x направлена по продольной координате, ось y - по окружной координате, ось z - по нормали к срединной поверхности (рис. 1). Цилиндрическая оболочка как трехмерная область Q. в данной системе координат определяется
П = {х,у,г1 (х,у)е [0;I]х[0;2п],-к < г < к}.
Исходными являются уравнения теории пологих оболочек в безразмерном виде [17]:
1 / 4 \ дР д щ дщ 12,, , ,3 » .
——-^ (V щ)-ку—^ - Ь(w,р) - —— -е—+ ку q(x, у, г) - Рх(х, у, 1)—^ = 0
12(1 -ц2) у дх дг дг у дх
д 2 щ 1
V4 Р + к " '2 + — Ь( щ) = 0, у д х ~
2
(1)
где Ь(щ,Р) - известный нелинейный оператор.
Система (1) приведена к безразмерному виду с использованием известных безразмерных параметров [18] (черточка над безразмерными величинами для простоты опущена). В (1) ц - коэффициент Пуассона, е - коэффициент демпфирования, Х=ЫЯ, где Ь и Я=Яу - длина и радиус круговой цилиндрической оболочки, ку=1/Яу - кривизна оболочки по у, д(х,у,*) - внешнее давление.
Г раничные условия:
д2 щ д2 Р
щ = -—- = 0; Р =^~т = 0 при х = 0;1,
д х2
д х2
щ =
д2 щ
э7
= 0; Р =
д2 р
д у2
= 0 при у = 0;2п.
Начальные условия:
(2)
(3)
Рассмотрим диссипативную систему при приложении поперечного внешнего давления по полосе 0<ф<ф0, 0<х<1, изменяющегося по гармоническому закону д(г)=д08т (юР*), где и юР - амплитуда и частота вынуждающей силы, ц=0,3, е=9, Я=Ь/^=2.
Метод исследования - метод Бубнова - Г алеркина в представлении Фурье
Исследуем шарнирно опертую по криволинейному контуру замкнутую цилиндрическую оболочку с однородными граничными условиями (2) и начальными условиями (3). Искомые функции, являющиеся решением уравнений (1), аппроксимируем выражением, содержащим конечное число произвольных параметров, зависящих от времени, и представим в виде произведения двух функций по пространственным переменным, каждая из которых зависит только от одного аргумента, удовлетворяющих краевым условиям (2). Пробные функции в данном случае имеют вид:
фу (х, у) = 8т(г п х) 008 (у у) . (4)
Это решение основано на пробных функциях, являющихся энергетически ортонорми-рованными, т.е. таких, что
[0, при г, у Ф п, т
(V 4(фу ), ф пт ) =•
1, при г, у = п, т
тогда
МхМу МхМу
щ = ЕЕАц(г)81П(гпх)оо8(у у), Р = XXва(*)8т(гпх)оо8(у у) .
(5)
г=1 у=0
г=1 у=0
После применения метода Бубнова - Г алеркина в высших приближениях по пространственным координатам получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Бір которая решается методом обратной матрицы, и систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 2-го порядка относительно коэффициентов Ар, которая редуцируется к нормальной и решается методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности:
КрБр = ^( Ар), (7)
&АР = у
Лі р йХ;
(8)
&
+ £ Хр = ^2 (Ар, Б1},0, і = 1,Мх, р = 0,М
где Ку в (7) - матрица коэффициентов линейной алгебраической системы уравнений относительно неизвестных параметров Вгу; Р1(Агу) - столбец свободных членов, зависящий от параметров Агу, (8) - нормальная система ОДУ первого порядка относительно неизвестных Ау и
-3
Ху Шаг по времени выбирается из условия устойчивости решения (А*=1,9531-10 ).
Предварительно была установлена сходимость метода Бубнова - Галеркина по приближениям, т.е. в зависимости от числа членов ряда (6). Так как нагрузка прикладывается по всей длине цилиндрической оболочки, то число членов ряда по координате х не играет роли и можно удержать в (6) один член ряда (Мх=1). В ходе исследования было установлено, что оптимальным количеством членов в ряде (6) по окружной координате является Му=15. Более подробно о сходимости примененного метода см. в работе [19].
Следует отметить, что численные результаты для стационарной задачи, полученные в настоящей работе, полностью совпадают с результатами работы [20], что подтверждает достоверность полученных результатов с использованием метода Бубнова - Галеркина в высших приближениях [21].
Управление хаосом
Под процессом управления хаосом понимаем преобразование хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами, с помощью малых целенаправленных продольных знакопеременных периодических воздействий рх(х,г)=р0(х)8т (Юрг), а также действия поперечной нагрузки в противофазе.
Здесь следует отметить, что хаотические колебания в цилиндрических оболочках были получены при управлении множеством {д0,юр} под действием полосовой поперечной нагрузки д(х,у,0=д0(х,у)8т (Юрг), где д0(х,у) - вынуждающая сила, зависящая от координат (х,у), Юр - частоты вынуждающей нагрузки. Анализ проводится при помощи анализа фазовых портретов, спектральной плотности мощности, спектра ляпуновских характеристических экспонент, отображения Пуанкаре. Это дает нам возможность определять структуру многочастотных и стохастических колебаний, анализировать механизм перехода между различными колебательными режимами и управлять ими.
Рассмотрим случай приложения поперечной знакопеременной внешней нагрузки в противофазе, т.е. д(х,у,0=д0(х,у)8т (юрг+2п), где д0(х,у)=оои81 (рис. 2). Анализ характера колебаний будем проводить на основе зависимости щ^х^) и щ^хД^) для двух случаев расположения полосовой нагрузки:
- нагрузка приложена по одной полосе, шириной ф0=180°;
- нагрузка приложена по двум полосам, каждая шириной ф°,1=ф°,2=90°.
Здесь щ^х^) - максимальные прогибы в зависимости от амплитуды для случая д(х,у,0=д0(х,у)8т (юр), щ^хд^) - максимальные прогибы в зависимости от амплитуды для случая д(х,у,г)=д0(х,у)8т (юрг+2п).
Рис. 2. Зависимости ^тах(д,0) и ^тах,1(д0) и шкалы характера колебаний
Следует отметить, что характер зависимости щ^^) и щ^д^) в обоих вышеописанных случаях существенно зависит от противофазы, но при малой амплитуде вынуждающей силы (д0<0,4 для ф°д=ф°,2=90° и д0<0,52 для ф0=180°) максимальные прогибы совпадают.
Таким образом, путём изменения характера нагрузки мы получили возможность управлять поведением колебаний оболочек, а именно существенно увеличить зону гармонических колебаний. Действием поперечной нагрузки в противофазе мы добились того, что в системе увеличилась критическая нагрузка, при которой происходит жесткая потеря устойчивости, и при этом существенно снизилось закритическое значение прогиба (табл. 1).
Таблица 1
Внешняя нагрузка, ф0=180° ^докр Я0, кг УУзакр
д(х,у,0=до(*,у)8т (М 1,2671 0,384 12,963
д(х,у,0=до(*,у)в1п (Юр?+2п) 1,2887 0,415 3,4796
Проанализируем также шкалу характера колебаний для щ^^) и щ^д^) (рис. 2). Идентификация типа колебаний цилиндрической оболочки при построении шкал характера колебаний {д0,Ю)} для каждого сигнала щ(г) проводилась с помощью анализа спектра мощности £(ю) и ляпуновских показателей. Условные обозначения приведены на рис. 2. Под хаотическими колебаниями понимаем возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах.
Можно отметить, что приложение нагрузки в противофазе оказывает существенное влияние на тип колебаний цилиндрической оболочки, при этом увеличивается зона гармонических колебаний при больших значениях амплитуды внешней нагрузки д0, поэтому прило-
жение нагрузки в противофазе можно считать эффективным способом управления хаотическими колебаниями.
Рассмотрим случай приложения совместно с поперечным внешним гармоническим давлением q(x,y,t)=q0 sin (fflpt) продольной нагрузки, также изменяющейся по синусоидальному закону px(x,t)=p0(x) sin (fflpt). Здесь юр=ю0 - частота собственных линейных колебаний цилиндрической оболочки. На рис. 3 показаны зависимости wmax(q0) при фиксированном значении p0. Анализ шкал характера колебаний показывает, что приложение продольной нагрузки приводит к смене типа колебаний механической системы, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим (или к возникновению бифуркаций Андронова - Хопфа), так и наоборот, т.е. от гармонических колебаний к хаосу. Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можем получить хаотические колебания при других.
Рис. 3. Зависимости wmax(q0) и шкалы характера колебаний
Зафиксируем амплитуду поперечной нагрузки ^о=0,71 (пунктирная линия на карте характера колебаний, рис. 5,а) При отсутствии продольных колебаний механическая система находится при таком значении q0 в состоянии хаоса. Затем приложим к цилиндрической оболочке продольное воздействие. На рис. 4 представлена зависимость ^шах(р0), анализ которой совместно со шкалой характера колебаний приводит к выводу о том, что таким образом система в данной точке ^0,Юр}={0,71, юр| вышла из состояния хаоса и перешла в состояние гармонических колебаний с присутствием мягких бифуркаций Андронова - Хопфа.
Рассмотрим влияние действия продольной знакопеременной нагрузки на множестве
частот колебаний
ю0 ю0 | (рис. 5, а,б). Для этого построим карты характера коле-
баний для множества управляющих параметров ^0,кр}, где q0 меняется в пределах [0,32; 0,8], а частота вынуждающей силы
ю0 ю0
ю0 ——; ю0 + ——
2
2
Рис. 4. Зависимость wmax(q0) и шкала характера колебаний
а б
Рис. 5. Карты управляющих параметров {q0,: а) действие поперечной нагрузки q=q0 sin (opt); б) действие поперечной нагрузки q=q0 sin (opt) и продольной нагрузки р=20 sin (opt)
Можно отметить, что общая картина при совместном действии поперечной и продольной нагрузок сохраняется, т.е. наблюдаем большую область гармонических колебаний на всех частотах (q0<0,47 для действия только поперечной нагрузки и q0<0,52 для совместного действия поперечной и продольной нагрузок), затем появляются лепестки, состоящие из зон бифуркаций Андронова - Хопфа, зон двухчастотных колебаний и областей хаоса. Однако следует заметить, что возникновение таких лепестков при действии продольной нагрузки происходит при большей амплитуде внешней поперечной нагрузки. Также существенно сократились как зоны мягких бифуркаций, так и области хаотических колебаний.
Однако те точки карты, которые находились в зоне двухчастотных колебаний (см. первую контрольную линию), перешли в область хаотических колебаний после приложения продольного давления. Следовательно, приходим к выводу о том, что приложение продольной нагрузки совместно с поперечным внешним давлением приводит к смене типа колебаний механической системы на всех изученных частотах, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим, так и наоборот, т.е. от гармонических
колебаний к хаосу. Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можем получить хаотические колебания при других.
Рассмотрим поведение системы в пространстве. Для этого проследим, какое влияние оказывает приложение продольной нагрузки на различных уровнях нагружения на поведение цилиндра в целом при изменении х и у в пределах 0<х<1; 0<у<2п и на формы поперечного сечения при фиксированном значении х=0,5; 0<у<2п. В табл. 2 представлены такие формы волнообразования и соответствующие им поперечные сечения цилиндрической оболочки.
Таблица 2
Получаем, что при движении по амплитуде продольного нагружения р0 число полуволн по окружной координате остается неизменным и равно 7 (р0<5,0), но происходит распределение максимальных прогибов. Так, при малых значениях (р0=0,05) максимальные прогибы сосредоточены внутри зоны приложения поперечного внешнего давления, затем, по мере плавного роста амплитуды продольной нагрузки р0 максимумы распространяются и на зоны, свободные от поперечного нагружения. Затем, при некотором контрольном значении ро=7,0 число полуволн по окружной координате сокращается до 5, при этом существенные изменения касаются только зоны, свободной от поперечного нагружения, внутри же нагруженной области число полуволн и характер прогибов не меняются.
Такая картина в пространственном поведении цилиндрической оболочки остается до р0=50. При этом критическом продольном нагружении число полуволн резко увеличивается до 12 и расположение полуволн становится симметричным относительно линии приложения поперечного давления.
Следовательно, одним из способов управления пространственно-временным хаосом в механических системах в виде замкнутых цилиндрических оболочек является воздействие на систему малых целенаправленных продольных знакопеременных периодических воздействий.
Таким образом, в системе с хаотическим аттрактором изменение поведения системы можно достигнуть малыми, определенным образом заданными управляющими воздействиями. Кроме того, в ней сосуществует счетное множество неустойчивых регулярных состояний, что в принципе неограниченно расширяет выбор возможных режимов работы механической системы.
Такого рода методика связана с задачей управляемой (или принудительной) синхронизации. Это дает возможность с помощью указанной процедуры определить хаотические подмножества, соответствующие синхронные движения идентичных систем можно преобразовать в устойчивые по одним собственным направлениям при сохранении неустойчивости по другим. В результате осуществляется управление переходом от асинхронных хаотических колебаний к режиму полной синхронизации хаоса.
Заключение
В работе предложен способ управления хаосом путем преобразования хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами, с помощью малых целенаправленных продольных знакопеременных периодических воздействий, а также действия внешней поперечной нагрузки в противофазе.
Приложение продольной нагрузки приводит к смене типа колебаний механической системы, причем изменение может происходить как от хаотических колебаний к гармоническим (или к возникновению бифуркаций Андронова - Хопфа), так и наоборот, т.е. гармонических колебаний к хаосу. Таким образом, выводя систему из состояния хаоса при одних значениях нагрузки, можем получить хаотические колебания при других. Во втором случае мы добились снижения критических нагрузок для механической системы и уменьшения закритического прогиба. Также удалось снизить области хаотических колебаний, переведя их в гармонические.
ЛИТЕРАТУРА
1. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics // Nonlinear Dynamics. 2001. № 24. P.373-398.
2. Awrejcewier J., Krysko V., Krysko A. Spatial - Temporal Chaos and Solutions Exhibited by Von Karman Model // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2002. Vol.12. № 7. P.1465-1513.
3. Awzejcewicz J., Krys’ko A.V. Analysis of complex parametric vibrations of plates and shells using Bubnov - Galerkin approach // Archive of Applied Mathematics. 2003. № 73. P.495-504.
4. Awrejcewicz J., Krysko V. Nonclassic Thermoelastic Problem in Nonlinear Dynamics of Shells. Springer - Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo, 2003. 430 p.
5. Awzejcewicz J., Krys’ko V.A., Vakakis A.F. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo, 2004. 356 p.
6. Крысько В.А., Щекатурова Т.В. Хаотические колебания конических оболочек // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. № 3. С.18-24.
7. Krys’ko V.A., Awrejcewicz J., Bruk V.M. On the solution of a coupled thermomechanical problem for non-homogeneous Timoshenko-type shells // Journal of Mathematical Analysis and Applications.2003. № 273. P.409-416.
8. Krys’ko V.A., Awrejcewicz J., Bruk V.M. On existence and uniqueness of solutions to coupled thermomechanics problem of non- homogeneous isotropic plates // J. Appl. Anal. 2002. № 8(1). P.129-139.
9. Habler A.W., Luscher L. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations // Naturwissenschaft. 1989. Vol.79. Р.67.
10. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems // Physica D. 1991. Vol.50. P.341-366.
11. Jackson E.A. The entrainment and migration Controls of multipleattractor Systems // Physica, Lett. A. 1990. Vol.151. P.478-484.
12. Ott E., Grelogi C., Yorke J.A. Controlliny Chaos // Physica Rev. Lett, 1990. Vol.64. P.1196-1199.
13. Using small perturbations to control Chaos / T. Shinbrot, C. Grelogi, E. Ott, J.A. Yorke // Nature. 1993. Vol.363. P.411-417.
14. Singer J., Wang Y., Ban H. Controlling chaotic Systems // Physica, Rev. Let, 1991. Vol.66. P.1123.
15. Controlling chaos in the Belounsov - Zhalotinsky reaction / V. Petrov, V. Gaspar, J. Massere, K. Showalter // Nature. 1993. Vol.361. P.240.
16. Controlling chaos in thebrain / S.F. Schiff, K. Jerder, D.H. Duong, et al. // Nature. 1994. Vol.370. P.615-620.
17. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.
18. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек. Саратов: СГТУ, 1999. 202 с.
19. Крысько В.А., Савельева Н.Е. Статика и динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неоднородном нагружении // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Труды Междунар. конф. СПб., 2004. С.210-221.
20. Андреев Л.В., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988. 208 с.
21. Крысько В.А., Савельева Н.Е. Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном неравномерном знакопеременном внешнем давлении // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 7. С.3-14.
Крысько Вадим Анатольевич -
доктор технических наук, Соросовский профессор,
Заслуженный деятель науки и техники РСФСР, заведующий кафедрой «Высшая математика»
Саратовского государственного технического университета
Савельева Наталья Евгеньевна -
аспирант кафедры «Высшая математика»
Саратовского государственного технического университета
