CC BY
48
УДК 539.3; 534.1
В.А. Крысько, И.В. Кравцова
ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕОДНОРОДНОГО НАГРУЖЕНИЯ
Исследуются хаотические колебания детерминированных механических систем в виде гибких сферических осесимметричных оболочек. Проблема исследования хаоса в детерминированных системах является чрезвычайно сложным и перспективным направлением научных исследований, поскольку хаотические колебания встречаются довольно часто в технике и могут возникать в системах различной природы.
Для управления колебаниями гибких осесимметричных оболочек построены карты параметров внешнего неоднородного знакопеременного воздействия. Исследования проведены для одного типа граничных условий -шарнирно-подвижного опорного контура. Исследованы сценарии перехода колебаний оболочечной системы в состояние хаоса на основе качественной теории дифференциальных уравнений и теории нелинейной динамики.
V.A. Krysko, I.V. Kravtsova
CHAOTIC VIBRATIONS OF THE SPERICAL SHELLS UNDER THE INFLUECE OF INHOMOGENEOUS LOADS
The chaotic fluctuations of the determinated mechanical systems as flexible spherical axisymmetric shells are statid in this article. The problem of research of the chaos in the determinated systems is an extremely complexed and perspective direction of scientific researches because the chaotic fluctuations can be found quite often in technics and in systems of different nature as well.
For the control of fluctuations flexible axisymmetric shells maps of parameters of external in homogeneous sign-variable influence were constructed. The studies were done for one type of boundary conditions - a hinged movable support contour. Scripts of the transition of fluctuations membraned systems in a chaotic condition were researched on the basis of the qualitative theory of the differential equations and the theory of nonlinear dynamics.
Введение
Исследованию хаотических колебаний гибких пологих оболочек в настоящее время уделяется ограниченное внимание. В основном исследованы задачи статики и задачи динамической потери устойчивости при действии импульсных нагрузок, постоянных во времени, при действии же знакопеременной поперечной нагрузки уделено меньше внимания и совсем не изучались колебания при действии неоднородного нагружения. Это связано с тем, что теория нелинейных диссипативных механических систем только начинает развиваться. Данная работа ставит своей целью заполнить указанный выше пробел. Здесь следует отметить, что исследованию параметрических колебаний прямоугольных в плане пластин посвящены работы [1-8]. Вопросам существования решений посвящена работа [9]. Настоящая работа является продолжением исследований [10], выполненных в данном направлении.
Метод и алгоритм расчета
Рассмотрим пологую сферическую осесимметричную оболочку, представляющую собой замкнутую двухмерную область пространства Я2 в полярной системе координат, введенной следующим образом: П = { (г, г) | гє[0, Ь], - 2< г < 2 }. Система уравнений динамики пологих осесимметричных оболочек запишется в виде [11]:
№ +е№ =
д4
№
2 д3
№
дг4 г дг3
+
1 д2
№
дг2
г
1 д№
~ дТ
д 2 № Л
дг2
д 2Ф 1дФ + —
дг2
дг
1 дФ г2 дг
д№ Л 1 д№Л
дг I 2г дг у
дФ ( 1д№Л
^ I1 - 7 з7)+ц'
(1)
где Ф = 22. Здесь введены безразмерные величины: г = ю0г; ю0 = дг \
ё=
№
I— № _
ЧП-т’; г: к
и г - - Л Чз Ь~; Ч = Чз = ~г— с 4 Е
Я
п
12(1 -V2); Ь =
е,
уЕ к
где г -
' ЕИ ' ' к с " " "'4 Е ^ к ) ' ' ' ” ' л/як’
время; е - коэффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки; 2 - функция усилий; w - функция перемещений; Я, с - главный радиус кривизны у опорного контура и радиус опорного контура в окружном направлении соответственно; к - толщина оболочки; Ь - параметр пологости; V - коэффициент Пуассона; г - расстояние от оси вращения до точки на срединной поверхности; q - параметр внешней нагрузки; ю0 - частота собственных линейных колебаний; - частота возбуждения. Для краткости черточка над без-
размерными величинами в уравнении (1) опущена. Производные по ? и далее будем обозначать штрихом. К системе (1) следует присоединить граничные и начальные условия и условия в вершине. Для шарнирно-подвижного контура в меридиональном направлении граничные условия запишутся в виде:
1) Ф = № = 0,
д 2 № д№
—— + V — дг дг
= 0, при г = Ь ;
(2)
2) для случая действия опорного знакопеременного момента неоднородные граничные условия запишем в виде:
Ф = № = 0,
д 2 № д№
дг2 дг
= М0 8Іп(юрг), при г = Ь;
(3)
2
г
г
2
с
начальные условия: н = /1(г, 0), н' = /2 (г, 0), 0 < г < ^. (4)
В малой окрестности вершины оболочки справедливы следующие соотношения:
Ф ~ Аг; Ф'~ А; и>~5 + Сг2;
(5)
где
Для сведения распределенной системы (1)-(5) к системе с сосредоточенными параметрами воспользуемся методом конечных разностей с аппроксимацией О (А2) по пространственной переменной г (рис. 1):
у-Л(Лн)+Лгг(ЛР -ЛггР) + ЛггР(Лн-Лггн) +ЛР + 4д; = (на + £н();
Л^Р) = -Лггн(Лн -Лггн)-Лн,
Л(-) = Л гг ()+Л г (), Л г () = Л (-)г , Л гг (■) = ()„ ,
(6)
Л гг ( ) = Т2)г+1 - 2( ^ + ()-1], Л г (■ ') = -2 )г+1 - ( )г-1] •
А2 2 ■ А■г
Г раничные условия:
1) для шарнирно-подвижного опорного контура в меридиональном направлении:
Ф = 0, н м =- н ,
п ’ п+1 п-1
А2
'п
1 V
■ + —
Л
А2 г
V А гп у
(7)
2) для оболочки с шарнирно-подвижным опорным контуром при действии опорного знакопеременного момента:
(
Фп = 0 Нп+1 =
(
М 0 8Ш(Ю *) - Нп-1
А2
п у у
Л
1 V
—7 +-------
, А2 г
V п У
(8)
где А = Ь / п, п е N ; п - число участков деления радиуса оболочки. Начальные условия:
нп = Л (гк> 0)> н = /2(гк, 0)> (0<* <п). 0 < г . (9)
Если пренебречь малыми слагаемыми и заменить дифференциальные операторы центральными конечно-разностными при г = А, получим условия в вершине:
4
1
88
Ф0 = Ф2-2Ф1; н0 = зн1-зн2; н-1 = ^н1 “н2 + нз .
1
з 1 з
(10)
В настоящей работе рассматривается решение задачи при п=20. Предварительно исследовался вопрос о сходимости решения в зависимости от числа п разбиения радиуса оболочки [10] и было установлено, что п=20 является оптимальным по времени и точкам разбиения.
После сведения задачи (6)-(9) к нормальному виду задачу Коши будем решать методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбирается из условия устойчивости решения (Аг = 3.90625 ■ 10-3). Достоверность получаемых результатов для гармонических и хаотических колебаний была показана в работе [10].
г
V
/
Динамика оболочек при действии однородного и неоднородного знакопеременного нагружения
Анализ проводился на основе качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Исследовались сигналы w (/), фазовые и модальные портреты
w(w'), w
Э,
соответственно, отображение Пуанкаре wt (wt+T), спектры мощности, по-
строенные на базе быстрого преобразования Фурье £ (юр), зависимости wшax (д0), wшax (М0), карты управляющих параметров |д0, ю }, {м0, ю }, где ^0 и М0 - амплитуды вынуждающей нагрузки, построенные на базе анализа спектра мощности и старшего ляпуновского показателя при разбиении областей {д0, ю }, {м0, ю } на N х N. Причем проводилась сходимость полученных результатов для карт управляющих параметров в зависимости от N. Характер колебания на картах и шкалах отмечен соответствующей цветовой гаммой. В зависимости от характера нагружения был сформулирован ряд задач, анализ которых проводится ниже. Причем, для выяснения именно характера колебания в зависимости от типа нагрузки на оболочку были рассмотрены оболочки с одним параметром пологости - Ь=4 и одним типом краевых условий - шарнирно-подвижным опорным контуром (7) или (8), начальные условия ^ = 0 и = 0 , 0 < I < п, I е X .
Задача 1. Оболочка при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки q=q0 sin (ffl^ t), краевые условия (7)
Согласно программе исследования, приведенной выше, была построена характеристика wmax(q0) для собственной линейной частоты Шо=Юр=0,644 (рис. 2), там же приведена шкала характера колебаний в зависимости от q0. Далее в работе используются условные обозначения, приведенные на рис. 2.
Условные обозначения | | Гармонические колебания
Независимые частоты и их линейные комбинации
Бифуркации
Хаос
Рис. 2. График зависимости штах(д0)
В данной динамической задаче переход колебаний механической системы из гармонических в хаотические происходит по сценарию Фейгенбаума [12] (последовательность бифуркаций). Следует отметить, что сценарий Фейгенбаума при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки развивается на частоте юр/2. Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых математических моделях.
2
0.6
В результате исследования мы обнаружили шесть бифуркаций Хопфа и была вычислена константа Фейгенбаума - 4.6689... Теоретическое же ее значение равно 4.66916224... Различие теоретических расчетов с данным численным экспериментом составляет 0,004%. В обоих случаях наблюдается сценарий, который описан в работе [13] (переход от гармонических колебаний в хаотические через две
|'1 I II ■■■ и
линейно независимые частоты и их линейные комбинации - модифицированный сценарий Рюэля-Такенса). Переход от хаотических колебаний к гармоническим сопровождается жесткой потерей устойчивости. Шкала типов сигнала подтверждает этот факт. Карта управляющих параметров {д0, юр| для оболочки с шарнирно-подвижным опорным контуром при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки приведена на рис. 3. Все условные обозначения указаны на рис. 2. Три вертикальные прямые на рисунке проведены для частот: средняя линия для юр=ю -частоты собственных линейных колеба-
f Í 1 J 1— и
5 Jff 1 i Лг'-’- . ■- •• - j
f i ,i ■ ЕдГ.й
jL ' >i V í :■. -- - Vi
W ' . jtfrtTlA: iu.i i и
0.322
0.483
0.644
0.805
0.966
Рис. 3. Карта управляющих параметров {q0, гар}
га.
га.
ний, правая и левая линии от нее соответственно для юр------и юр + . Анализ этой кар-
4
ты показывает все многообразие сложных колебаний сферических оболочек при действии указанной в заголовке нагрузки.
Анализируя карту, можно отметить обширные зоны хаотических колебаний на высоких частотах, на низких частотах наблюдаются зоны бифуркаций. Переход от гармонических колебаний к хаотическим осуществляется по Фейгенбаумскому сценарию, о чем свидетельствуют небольшие зоны, закрашенные черным цветом. Также можно отметить вкрапления зон колебания оболочек по сценарию работы [13], т.е. по модифицированному сценарию Рю-эля-Такенса.
Задача 2. Действие только гармонических M=M0 sin (гар t) воздействий на опорном контуре оболочки
Рассмотрим характер колебаний оболочки при действии гармонических M=M0 sin (гар t) воздействий на опорном контуре для оболочки с краевыми условиями (8). На рис. 4 представлен график зависимости максимального прогиба от амплитуды вынуждающей нагрузки M=Mo sin (гар t), где гао=гар=0,644. График зависимости wmax(M0) для данной задачи очень схож с графиком для оболочки при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки (рис. 2). При данном нагружении оболочки переход из гармонических колебаний в хаотические происходит также по сценарию Фейгенбаума.
Удвоение периода происходит на частоте гар/3. Для данной задачи были обнаружены четыре бифуркации Хопфа и также вычислена константа Фейгенбаума, которая равна 4.60863204... Различие с теоретическим значением составляет 1,289%. Аналогично предыдущей задаче здесь наблюдаются вкрапления зон колебаний - переход от одного типа колебаний к другому происходит по сценарию, описанному в [13] - модифицированному сценарию Рюэля-Такенса.
Переход от хаотических колебаний к гармоническим сопровождается жесткой потерей устойчивости. Также была построена карта управляющих параметров для оболочки с неоднородными граничными условиями {M0, гар}
(рис. 5). Данная карта управляющих параметров имеет большое сходство с картой, построенной для оболочки при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки. Здесь можно отметить обширную зону хаотических колебаний на высоких частотах, небольшие зоны бифуркаций Хопфа на низких частотах, присутствуют зоны колебания оболочек, происходящих по сценарию работы [13], т.е. модифицированный сценарий Рюэля-Такенса.
Задача 3. Действие локальной знакопеременной нагрузки q=qo sin (гар t)
Рассмотрим поведение оболочки с шарнирно-опорным контуром при действии локальной нагрузки. Нагрузка q=q0 sin (гар t) была приложена к пяти точкам 8<i<12, где 0<i<n; i, n^Z в окрестности четвертей, в остальных точках q=0. График зависимости wmax(q0) приведен на рис. 6. При данном нагружении оболочки также присутствует фейгенбаумовский сценарий. По результатам численного эксперимента мы обнаружили пять бифуркаций Хоп-фа и рассчитали значение константы Фейгенбаума, равное 4/67784., разница с теоретическим значением составила
0,168%. Зона хаотических колебаний меньше, чем в первых двух задачах.
Присутствуют две жесткие бифуркации. Первая жесткая бифуркация, соответствующая жесткой потере устойчивости, происходит при переходе от гармонических колебаний к первой бифуркации Хопфа, а вторая - при переходе от хаотических колебаний к гармоническим, о чем свидетельствует шкала типов сигнала. Также была построена карта управляющих параметров для оболочки с указанной нагрузкой {q0, гар} (рис. 7). Карта управляющих параметров для данного типа нагружения напоминает по внешнему виду карты предыдущих двух задач. Здесь можно отметить обширную зону хаотиче-
Рис. 4. Г рафик зависимости wmax(M0)
Мо I И III
0.322 0.483 0.644 0.805 0.966
Рис. 5. Карта управляющих параметров {M0, гар}
Рис. 6. Г рафик зависимости wmax(q0)
o.ol_____
0.322
0.644
0.805
0.966
Рис. 7. Карта управляющих параметров {q0, юр}
ских колебаний на высоких частотах, небольшие зоны бифуркаций Хопфа на низких частотах, присутствуют вкрапления независимых частот и их линейных комбинаций.
Задача 4. Действие локальной знакопеременной нагрузки q=q0 sin (ffl^ t), приложенной к оболочке в окрестности центра
Рассмотрим поведение оболочки с шарнирно-опорным контуром при действии локальной нагрузки. Нагрузка q=q0 sin (ffip t) была приложена к пяти точкам 0<i<4, где 0<i<n, i, n^Z в окрестности центра, в остальных точках q=0. График зависимости wmax(q0) приведен на рис. 8. График зависимости wmax(q0) более гладкий, отсутствует разрыв первого рода, как в предыдущих случаях. На шкале типов сигнала имеется небольшая зона мягких бифуркаций, зона хаотических колебаний отсутствует.
В результате колебательного процесса осесимметричной пологой оболочки при действии всех рассмотренных типов нагружения b=4 появляются хаотические аттракторы - аттракторы Смейла. Такие аттракторы называют аттракторами Фейгенбаумского типа или странными аттракторами. При исследовании хаотических колебаний в данной работе не строились диаграммы, как это обычно делается при исследовании функций в случае широкого класса двузначных отображений интервала в себя, а решалась обширная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и на ее основе строилась шкала бифуркаций, которая зависит от {qo, ffipj, |Мо, op|.
Карта управляющих параметров, полученная при воздействии на оболочку локальной знакопеременной нагрузки, приложенной к окрестности центра оболочки, представлена на рис. 9. Характер колебаний изменился по сравнению с предыдущими задачами. На карте управляющих параметров мы видим обширные зоны регулярных колебаний. Небольшая зона хаотических колебаний смещается в область низких частот. Не наблюдается вкраплений независимых частот и их линейных комбинаций.
Рис. 8. Г рафик зависимости wmax(q0)
Рис. 9. Карта управляющих параметров {q0, юр}
Динамика оболочек при совместном воздействии распределенной нагрузки
и знакопеременного нагружения
Рассмотрим две задачи о хаотическом колебании сферических оболочек под действием равномерно распределённой знакопеременной нагрузки q=q0 sin (ffip t) с учётом двух типов периодических возмущений:
1) Локальная поперечная знакопеременная нагрузка q=0,6 sin (0,886 t) была приложена к пяти точкам 8<i<12, где 0<i<n, i, n^Z.
2) Опорный знакопеременный момент M=3,4 sin (0,859 t).
Задача 1. Хаотические колебания пологих оболочек при совместном
воздействии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки и локальной нагрузки
Проанализируем поведение системы при воздействии на неё первого типа вынуждающей нагрузки. Как при рассмотрении предыдущих задач настоящей работы, построим карту управляющих параметров {q0, ffip} (рис. 10), графики зависимости wmax(q0), которые приведены на рис. 11-12. На карте мы видим обширные зоны хаотических колебаний.
В случае двухчастотных колебаний система переходит к гармоническим колебаниям только в том случае, когда частоты вынуждающих сил близки. В этом случае на карте прослеживается область гармонических колебаний, расположенная вблизи частоты, на которой воздействует локальная нагрузка. Области на частоте собственных колебаний и на частоте ffip=0,886, где две вынуждающие силы совпадают, были исследованы более подробно. Для этих двух случаев были построены графики зависимости максимального прогиба от амплитуды вынуждающей нагрузки. Анализируя график зависимости wmax(q0) на рис. 11, можно отметить полное отсутствие гармонических колебаний. Хаотические колебания составляют две трети всей площади шкалы типов сигнала. Следует отметить многочисленные разрывы первого рода, которые совпадают с зоной хаотических колебаний на шкале типов сигнала. В зонах бифуркаций график зависимости wmax(q0) гладкий.
Чо 1 и III
0.322 ' 0.483 0.644 0.805 0.966
Рис. 10. Карта управляющих параметров {q0, юр}
0 0.2 0.4 0.6 0.S Яо
1
Рис. 11. Г рафик зависимости wmax(q0)
w-
30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Яо
III 1
Рис. 12. График зависимости wmax(q0)
Рис. 14. График зависимости wmax(q0)
Анализируя график зависимости wmax(q0) на рис. 12, можно отметить большую зону гармонических колебаний. Хаотические колебания в данном случае составляют примерно одну пятую всей площади шкалы типов сигнала. Многочисленные разрывы первого рода совпадают с зоной хаотических колебаний на шкале типов сигнала. Следует отметить две жесткие бифуркации, которые сопровождаются сменой типов сигнала: переход от гармонических колебаний к хаосу происходит вместе с жёсткой потерей устойчивости; переход от хаотических колебаний к гармоническим также сопровождается жесткой потерей устойчивости.
Задача 2. Действие равномерно распределенной знакопеременной нагрузки и знакопеременного опорного момента
Рассмотрим поведение оболочки при совместном воздействии на него двух типов вынуждающей нагрузки: равномерно распределённой знакопеременной и знакопеременного опорного момента. Была построена карта управляющих параметров (рис. 13) для оболочки при действии опорного знакопеременного момента M=3,4 sin (0,859 t) и распределённой нагрузки. Область гармонических колебаний была изучена более подробно, для анализа были построены графики зависимости wmax(q0). Анализируя карту, следует отметить, что область гармонических колебаний образуется на карте, как в предыдущей задаче, только в том случае, когда частоты двух вынуждающих сил близки. Если частоты отличаются в целое число раз, на карте образуется область бифуркаций, иначе можно выделить область независимых частот и их линейных комбинаций.
Были построены для двух случаев графики зависимости максимального прогиба от амплитуды вынуждающей нагрузки.
Г рафик зависимости wmax(q0) для оболочки, на которую воздействуют знакопеременный опорный момент M=3,4 sin (0,859 t) и распределенная нагрузка q=q0 sin (0,644 t), представлен на рис. 14.
Анализируя график зависимости wmax(q0) на рис. 14, можно отметить полное отсутствие гармонических колебаний, как и в первой задаче при воздействии вынуждающих сил на различных частотах. Хаотические колебания продолжают занимать значительную часть шкалы типов сигнала.
График, иллюстрирующий поведение системы при действии локальной нагрузки q=0,6 sin (0,886 t) и распределенной нагрузки q=q0 sin (0,644 t), представлен на рис. 15.
Как и в предыдущей задаче при совпадении частот вынуждающих сил, происходит существенное изменение характера колебаний, значительную часть карты занимают области гармонических колебаний, смена характера колебаний по-прежнему сопровождается жёсткой потерей устойчивости.
Окна периодичности Шарковского
Один из типичных механизмов, реализующих переход от системы Морса-Смейла к системе с хаотическим поведением, состоит в бесконечно сходящейся последовательности бифуркаций удвоения периода предельных циклов. Этот тип перехода наблюдается в системах со сжатием трехмерного элемента фазового объема и начальной стадии перехода к хаосу и приводит, как правило, к образованию подковы Смейла [14]. Вблизи критической точки при условии, что степень сжатия по всем направлениям существенно превышает растяжение, локально имеющее место только по одному из собственных направлений, переход можно описать с помощью одномерных отображений. При исследовании гладких однозначных, но необратимых одномерных отображений была установлена возможность реализации серии бифуркаций удвоения периода. Наличие каскада бифуркаций удвоения периода отображения и закономерности в последовательности их реализации непосредственно следует из замечательной теоремы А.Н. Шарковского (1963 г.) для гладких необратимых отображений отрезка [15].
В 1978 г. М. Фейгенбаум [12] установил универсальные количественные закономерности перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, присущие определенному классу одномерных отображений xn+1 = f (xn, c). Класс функций f(x,c) определяется требованием гладкости и невырожденности, а также возможностью квадратичной аппроксимации f(x) вблизи максимума.
На рис. 16 приведены некоторые участки (иногда называемые обрамлением) множества Мандельброта fc(z)= z2 + С > 0 (рис. 16, а) [16], соответствующие существованию притягивающих периодических точек различных периодов. Орбитная диаграмма fc (x) = x2 + С (рис. 16, в) говорит о том, что происходит на вещественной оси множества Мандельброта. Каждая бифуркация соответствует новому обрамлению, которое пересекает ось x, и период в этом случае соответствует числу ветвей орбит диаграммы. Часто точку С«, называют точкой Фейгенбаума. В диаграмме между C=1/4 и С„ удвоение периода происходит по мере того,
как С——Сто. На другом участке, где С> С«, называют областью хаоса, окно периодичности 3 находится в окрестности С=-1/7548777... Это белая полоса на рис. 16, в. Наличие орбиты периода 3 означает наличие орбит с периодом и=1,2,3,...
а) периоды обрамлений отображений
/с (г) = г2 + С
II
||| яй Ь--
еЁШш
г С . .-Г-
.25
б) окно 3 из рис. а) - область трех периодичности множества Мандельброта
в) бифуркационное дерево для отображения г) показатель Ляпунова для отображения
/с (г) = X2 + С /с (г) = X2 + С
Рис. 16
На рис. 16, г приведена зависимость показателя Ляпунова Х1 для логистического отображения /С (х) = х2 + С . Анализ рисунков а), в), г) показывает, что хаотический режим
прерывается, где последовательность |/Си (х)| вновь оказывается в пределе периодичности,
что соответствует неравенству А,1<0.
Вышеприведенный анализ показывает, что построение для простых динамических систем одномерных отображений дает возможность иметь качественно подобные бифуркаци-
онные механизмы перехода механических систем в состояние хаоса. Для таких сложных распределенных динамических систем, как оболочки, подобную картину можно иметь, когда рассматривается система с одной степенью свободы. Для распределенной системы динамика гораздо сложнее, но тем не менее в картах управляющих параметров {д0, юр| мы можем наблюдать подобласти с периодами 3; 5; 7; 9; 11... и также 2-3; 2-5; 2-7; 2-9; 2-11.
На наш взгляд, теорему Шарковского можно расширить на более сложный класс функций, описывающих нелинейную динамику распределенных систем для оболочек. Например, при исследовании оболочки с шарнирно-подвижным опорным контуром при действии знакопеременной распределенной нагрузки среди области хаоса наблюдались окна периодических колебаний из упорядочивания Шарковского. Зависимости: сигнал ^(0, 0 фазовый портрет w(w'), спектр мощности ^(юр), отображение Пуанкаре ^(^+т) представлены в таблице. В области хаоса были найдены следующие окна: 2^5 - в этом случае отображение Пуанкаре состоит из десяти точек, фазовый портрет представляет собой аттрактор; 2^3 - отображение Пуанкаре разделяется на два подмножества, содержащих по три точки каждое.
Яо Ai
Спектр мощности
S(rap)
Сигнал
w(0, t)
Фазовый портрет w(w”)
Отображение Пуанкаре Wf(wf+T-)
ЛИТЕРАТУРА
1. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Nonclussical Thermoelastic Problems in Nonlinear Dynamics of shells. Application of the Bubnov - Galerkin and Finite Difference Numerical Methods. «Springer», Berlin, New-York, London, Paris, Tokio, 2003. 430 р.
2. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Vakakis A. F. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems. «Springer-Verlag», Berlin, 2004. 356 p.
3. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics // Nonlinear Dynamics. 2001. № 24. Р.373-398.
4. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Krysko A.V. Shatial-temporal chaos an solutions exhibited by von Karmana model // J. Bifurcation Chaos. 2002. Vol. 12. № 7. Р.1445-1513.
5. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Nonlinear coupled problems in dynamics of shells // Journal of Enginering Science. 2003. № 41. Р.583-607.
6. Awrejcewicz J., Krysko A.V. Analisis of complex parametric vibrations of plates and Shells using Bubnov-Galerkin approach // Archive of Applied Mechanics. 2003. № 73. Р.495-503.
7. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Narkaitis G.G. Bifurkations of Thin Plate-Stup Excited Transversally and Axially // Nonlinear Dynamics. 2003. № 32. Р.87-209.
8. Крысько В.А., Щекатурова Т.В. Хаотические колебания конических оболочек // Изв. РАН. 2004. № 2. С.16-22.
9. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Bruk V.M. On the solution of a coupled thermomechanical problem for non-homogeneons Timoshenko-type shells // J. Math. Appl. 2003. № 273. Р.409-416.
10. Крысько В.А., Кравцова И.В. Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек // Изв. вузов. Машиностроение. 2004. № 1. С.3-13.
11. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 279 с.
12. Feigenbaum M.J. Quantitative Universally for a Class of Nonlinear Transformation // J. Stat. Phys. 1978. Vol.19. № 1. Р.25-52.
13. Krysko V.A., Kravtsova I.V. Stochastic vibrations of flexible flat axisymmetric shells exposed inhomogeneous loading // International Conference «Dynamics of system - theory and applications», Lodz, Poland, 2003. Р.165-176.
14. Shilnikov L.P. Bifurcation Theory and Turbulence. Nonlinear and Turbulent Processes. New York: Gordon and Breach, Harvard Academic Publishers, 1984. Vol.2. Р.1627-1635.
15. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения в себя // УМЖ. 1964. Т.16. № 1. С.61-71.
16. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, Freeman, 1982. 286 с.
Крысько Вадим Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета
Кравцова Ирина Владиславовна -
аспирант кафедры «Высшая математика»
Саратовского государственного технического университета
