CC BY
31
УДК 539.3; 534.1
В.А. Крысько, И.В. Кравцова
ДИНАМИКА И СТАТИКА СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК
Исследуются стохастические колебания гибких сферических сектори-альных оболочек при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки. Изучен характер колебаний секториальных оболочек в зависимости от величины параметра пологости. Исследованы сценарии перехода колебаний секториальных оболочек из гармонических в хаотические в состояние хаоса на основе качественной теории дифференциальных уравнений и теории нелинейной динамики.
V.A. Krysko, I.V. Kravtsova DYNAMICS AND STATISTICS OF SECTORIAL SHELLS
This is a research of chaotic waves of flexible spherical sectorial shells equally distributed at the process of sign-variable load. The article shows the features of waves of sectorial shells dependading on quantity of declivity parameters. The scenario of transition of waves the shell system into the condition of chaos on the base of quality theory of differential equation and the theory of nonlinear dynamics is also described in the article.
Введение
Исследованию хаотических колебаний гибких пластин и оболочек за последние годы начинает уделяться все больше внимания [1-11]. Однако анализ стохастических колебаний гибких пологих секториальных оболочек в настоящее время не проведен. Данная работа ставит своей целью заполнить указанный выше пробел.
Постановка задачи и алгоритм расчета
Рассмотрим неосесимметричную сферическую пологую оболочку, представляющую собой замкнутую двумерную область пространства Я2 в полярной системе координат, ограниченную контуром Г, введенной следующим образом:
(г, 0, г) | ге[0, Ъ], 0 е
пологих оболочек запишем в виде [12]:
a = а + Г = {(г, Є, z)| r є [0, b], Єє [О, Є, ] z Є [_ у2; h/2 } . Систему уравнений динамики
w" + £w' = _ V 2V2 w + N(w, F) + V2 F + 4q,
V2V2F = _ V2w _ N(w, w) ,
~ «>=!?*
V2V2п = аЧ) + 2n)_ 1 ЭД. iэй 2 э4() __2i!£L + 4i4)+±П)
Эг 4 r Эг 3 r2 Эг 2 r3 Эг r2 дЄ2 Эг 2 r3 дЄ2 Эг r4 дЄ2 r4 дЄ4
N(м, Г )
д2 м (1 дГ
дг2
+
1 д2 Г
2
дг г2 д02
2
+
д2 Г
дг2
1 дм
+
м
дг г2 д02
- 2 •
д. (1 дм '1 д (1
дг і г д0 і дг і г д0
N(м, м) = 2 •
д2 м
дг5
2
1 дм 1 дм
----------+
г дг г
2 д02
2 •
д і 1 дм
дг I г д0 ,
Здесь введены безразмерные величины: і = ю0і; ю0 =
уЯ2
V
Х*е, Г:
у£ к
П
Г £к3
w = Л/п ~; г = Ъ —; q = д3 = ^5 ^ГЯ1 ; п = 12(1 -V2); Ъ = 4^—7=, где £ - время; £ - кок с 4 Е \ к) л] Як
эффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки; ^ - функция усилий; w - функция перемещений; Я, с - главный радиус кривизны у опорного контура и радиус опорного контура в окружном направлении соответственно; к - толщина оболочки; Ъ - параметр пологости; V - коэффициент Пуассона; г - расстояние от оси вращения до точки на срединной поверхности; д - параметр внешней нагрузки; ю0 - частота собственных линейных колебаний. Для краткости черточка над безразмерными величинами в уравнении (1) опущена. Производные по £ и далее будем обозначать штрихом. К системе (1) следует присоединить граничные и начальные условия, условия в вершине и условия сшивания.
Г раничные условия запишутся следующим образом:
1. Шарнирное закрепление дуговой кромки:
м
N,1 = 0
дГ
д2 м V дм
ТТ + _ Т" = 0 ’ дг г дг
дг
0, 1 =1, М-1 .
2. Шарнирное закрепление радиальных кромок:
д2
м
мі і = 0, „ 0
1,1 д02
= 0,
д2 Г
Е ; = 0, = 0, і = 0, і = М ; і = 0, N .
^, і
д02
3. Скользящее защемление дуговой кромки
п дм
*N.1 = 0, ^ = 0,
дГ
^N,1 = 0, — = 0, 1 =1, М-1 .
дг
4. Скользящее защемление радиальных кромок
дм
wN, 1 = о, — = о
д0
д2 Г
= 0, = 0, і = 0, і = М ; і = 0, N ;
N, і
д02
(2)
(3)
(4)
(5)
начальные условия:
w = /1 (г, 0) = 0, w' = f2 (г, 0) = 0 в момент времени £=0.
г
г
2
Для сведения распределенной системы (1)-(6) к системе с сосредоточенными параметрами воспользуемся методом конечных разностей с аппроксимацией 0(А ) по пространственным переменным г и 0 (рис. 1). Систему уравнений запишем в операторной форме:
Рис. 1
Л(Лм) + Л ггм(ЛГ + Л ггГ ) + Л ггГ (Лм + Л ггм)-2' Л г0 мЛ г0 Г + ЛГ + 4ді = (м„ +£м()
Л^Г) = -Лггм(Лм + Лггм) + (Лг0м)2 - Лм
где
Л() = Л гг (• )+Л г (), Л г () = Л (•), • Л гг (•) = (•)„, Л „()=--1 (■)„ + і ()
г
2 V /0 V /г0 ■
г г
(7)
Л гг ( •) = Д2 [(' )і+1 - 2(' )і + (' )і-1 ] , Л г (' ) = -2 [( ' )і+1 - (' )і-1 ] •
Д 2 • Д • г
Г раничные условия:
1. Шарнирное закрепление дуговой кромки
V
мN 1 = 0, Л ггм—Л гм = 0,
ь
(8)
FN,. = 0,Лгм = 0, 1 = 1, М -1
2. Шарнирное закрепление радиальных кромок
Щ. ; = 0, Л00w = 0
^,. = 0,Л00^ = 0, } = 0, М; I = 0,N.
3. Скользящее закрепление дуговой кромки
ww,. = 0, Л ^ = 0,
FN,. = 0,ЛгГ = 0, 1 = 1, М -1.
(9)
(10)
4. Скользящее закрепление радиальных кромок
Щ,. = 0, Л00w = 0,
___ (11)
^ = 0,Л00Е = 0, ] = 0, М; г = 0,N .
К системе (6)-(10) следует добавить условия в вершине оболочки и условия сшивания. В большинстве случаев при решении численными методами допускается, что оболочка имеет центральное отверстие малых размеров, что несущественно влияет на характер получаемых решений в достаточном удалении от вершины. В данной же работе при решении неосесимметричных задач 0=2 • п искомые функции в точке г=0 задавались интерполяционной формулой Лагранжа второго порядка. Результирующее выражение имеет вид
/0,. = 3- /1,. - 3- /2,. + /з,., (12)
где /(. = /(гг)., г = --к (г = 0, 1, 2, 3), 0 < . < М - 1, к - расстояние между узлами интер-
поляции. Для законтурной точки выполняется условие симметрии
/-1,. = /1,., для 0 < . < М - 1. (13)
Условия сшивания для неосесимметричных задач 0=2 • п запишутся в виде:
г,. - "г,м+., ^,. = ^,м+. для . = 0; - 1, 0 < г < N - 1. (14)
Задачу Коши (7)-(14) будем решать методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбирается из условия устойчивости решения (А£ = 3.90625 • 10-3).
Нагрузка может изменяться по любому закону, но в работе будут исследованы задачи, когда она изменяется по следующему закону д = д0 8т(юр £), где Юр - частота возбуждения.
Статические задачи, полученные методом установления.
Достоверность получаемых результатов
Разработанный алгоритм и комплекс программ на ПЭВМ позволяет решать задачи статики и динамики. Для решения задач статики используется метод установления, применение которого к задачам теории оболочек принадлежит В.И. Феодосьеву [13,14], идея которого заключается в следующем: для £=£кр строится зависимость {дт, wm(£)}, где т=1,2,... -число значений нагрузки, при которой было получено решение методом установления. Это позволяет рассчитать характеристики д^уст) и исследовать НДС оболочек.
На рис. 1, 2, 3 построены зависимости д^уст) по предлагаемому алгоритму для обо-
3п лочки с углом сектора, равном 0к = — п (рис. 2), для 0к = п (рис. 3) и для 0к = (рис. 4)
3
при разных значениях параметра пологости: для 0к = — п и 0к = п - Ъ=5; 6; 7; 8; 9; 10, а для п
0 к = ^ параметр пологости Ъ=7; 8; 9; 10; 11; 12, т.к. при меньших значениях параметра пологости секториальная оболочка ведет себя как пластинка.
Как видно из графиков, начиная с некоторого значения параметра пологости Ъ, на кривых появляются предельные точки. Расчеты показали, что для оболочки с углом сектора, 3п
равном 0к = — п; п; ^, параметр пологости Ъ=8; 9; 11 соответственно является критическим,
при котором наблюдается явление «хлопка».
Чо
1.2
1
0.3
0.6
0.4
0.2
0
ь = У ъ = 6/
у У / > / у £
ъ = Ь 7/
Ъ = 9
Ь = 8
Ъ = 10
5 10 15 20
Рис. 2
ТО,
5 10 15 20
Рис. 4
%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
'л/ II л II
Ь = 7
Ъ = 8
Ь=Л
= 10/
(<- \ //////у//№///'"
%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
О
10 15 20 ТОпа*
Рис. 3
II N Я /' *
/* Ь = 7 \
Iі* / *
/ /* ¥ Ь-8
■У ^ у.
у
10
Рис. 5
15 ТОтах
Разработанный алгоритм позволяет численно решить широкий класс задач, точное решение которых отсутствует. В связи с этим существенным является подтверждение правильности проводимых вычислений. Достоверность получаемых результатов проверялась путем сравнения их с численными решениями, полученными Г.М. Губой [15]. На рис. 5 представлена зависимость д^уст) для секториальной оболочки с подвижно защемленным
/и/г\г>3 • п
опорным контуром по радиальной и дуговой кромке (4-5), Вк = —^~, параметр пологости
Ь=5; 6; 7; 8; число участков деления по радиусу и углу ^=М=10, У=0,3. Графики, отмеченные точками, получены Г.М. Губой. Сплошная линия иллюстрирует результаты, полученные авторами данной работы. Графики почти полностью совпали.
Динамика секториальных оболочек
Для того чтобы привести все многообразие распределенных систем к общему знаменателю, рассматривают их поведение в фазовом пространстве. Уравнения в частных производ-
ных, описывающие распределенные системы (1)-(6), заменяются уравнениями с сосредоточенными параметрами путем применения метода конечных разностей (7)-(14). С этой заменой связан тонкий момент, который необходимо принимать во внимание, чтобы правильно интерпретировать результаты численного счета. При исследовании конкретных систем рассматриваются не бесконечномерные системы уравнений, а усеченные системы конечной размерности. Предполагается, что с увеличением числа уравнений наступает момент, начиная с которого динамические свойства системы стабилизируются так, что дальнейший рост числа уравнений в аппроксимации не вносит ничего нового. При таком подходе существенным фактором является конечная размерность аттрактора системы. Однако даже если размерность аттракторов ограничена, весьма значительными могут оказаться эффекты, возникающие из-за обрезания (1)-(6) системы уравнений. В случае «неудачного» выбора участков деления радиуса и угла оболочки M и N в конечно-разностной схеме, которая применяется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная усеченная система может обладать аттракторами, качественно отличающимися по свойствам от аттракторов исходной системы.
Это свойство проявляется, например, у двухмерного уравнения, описывающего тепловую конвекцию жидкости. Система Лоренца [16], представляющая собой трехмодовое усечение этого уравнения, демонстрирует сложную, в том числе хаотическую динамику. Увеличение же числа степеней свободы в системе сначала приводит к нерегулярному возрастанию области хаоса, а затем к внезапному уменьшению. При достаточно большом числе степеней свободы хаос исчезает. В работе [17] показано, что для больших чисел Прануля д в рассматриваемой двумерной конвекции Бусинеска имеются критические значения числа Рэлея Ra для возникновения одно- и двухмодового колебательного движения, а при дальнейшем росте Ra система возвращается к периодической одночастотной конвекции. Этот пример показывает, что для получения качественно верного соответствия между динамикой исходной и усеченной системы, полученной на основе применения метода конечных разностей, необходимо учитывать довольно значительное число степеней свободы. Данный вопрос для параметрических колебаний гибких пластин изучался в работе [5].
Проанализируем характер колебания подвижно закрепленной по радиальной и дуговой кромке секториальной оболочки в зависимости от числа участков деления интервала интегрирования по координатам ге [0;b] и 0е [0;0к] методом конечных разностей. Интервалы [0;b] и [0;0к] разбивались на 5; 10; 15; 20; 25 отрезков, т.е. увеличивалось число степеней свободы. Нагрузка - равномерно распределенная по поверхности оболочки, изменяющаяся по гармоническому закону
q = q0 sin wpt . (15)
Исследовались зависимости wmax(q0), шкалы типов сигнала {q0, ю0|, построенные на анализе спектра мощности и ляпуновских показателей, спектры мощности S,db(wp) для середины биссектрисы секториальной оболочки. Колебания во всех точках интервалов [0;b] и [0;0к] были синхронными, поэтому анализ велся только для одной точки. Зависимости
п
wmax(q0) были построены для двух секториальных оболочек: 0к=п, b=9 (рис. 6) и 0 к = ^ , b=10
(рис. 7), шкалы типов сигнала {q0, ю0| в зависимости от числа участков разбиения N=M расположены под графиками. Все условные обозначения указаны на рисунке. Далее используются условные обозначения, приведенные на рис. 6. Все графики были построены на частоте собственных колебаний.
Анализ исследования показал, что уже при N=M=15 характер колебаний не изменяется в зависимости от числа участков деления радиуса и угла оболочки. Наблюдается лишь небольшое смещение бифуркационной зоны на шкалах типов сигнала на рис. 6, графики зависимости wmax(q0) практически совпадают.
Условные обозначения Гармонические колебания Щ Бифуркации
Независимые частоты Ц Хаос
Рис. 6
І І II
Яо
І ІII
I
И = М= 5 Ы = М= 10 ]Ы = М=13 |Н = М=20
Рис. 7
На шкалах типов сигнала обозначены точки, которые были взяты для более детального анализа, графики 8,йЬ(к>р) для них в зависимости от числа разбиения И=Ы приведены в таблице. Рассмотрим точку на шкале типов сигнала {д0, ю0|, которая при И=М=20 находится в зоне бифуркаций при соответствующих параметрах нагрузки: д0=0,25, ю0=0,8; 0к=п, Ь=9 (рис. 8). На рис. 8 приведены сигналы м(%.; м/2; *), 320 < г < 360, а в таблице - спектры
мощности 8,йЬ(Щ) для выбранной точки. При И=М=5 наблюдаются хаотические колебания, Ы=М=10 - гармонические колебания, при Ы=М=15; 20 - наблюдается первая бифуркация удвоения, графики зависимости ; М2; *) на рис. 8 практически совпадают. На основании
этого можно сделать вывод, что, начиная с ^=М>15, процесс бифуркаций описывается верно, поэтому было принято решение в дальнейших исследованиях использовать ^=М=15. Аналогичные результаты в таблице приведены для секториальной оболочки с теми же параметрами и амплитудой вынуждающей нагрузки д0=0,76. Сигнал в зависимости от количества участков разбиения И=М представлен на рис. 9.
"И?
320 325 330 335 340 345 350 355 I
Рис. 8
Рис. 9
0 = п, Ь = 9, д0 = 0,25
п = 5
п = 10
п = 15
п = 20
0 = п, Ь = 9, д0 = 0,76
п = 5
п = 10
п = 15
п = 20
Более подробно рассмотрим колебания подвижно защемленной по радиальной и дуговой кромке секториальной оболочки с углом сектора 0к=п в зависимости от величины параметра пологости Ь. Были построены графики зависимости ^тах(^0) и шкалы типов сигнала (рис. 10). Анализ результатов показывает, что с увеличением параметра полости Ь=11; 12 увеличивается зона независимых частот, а в случае Ь=15 появляется зона хаотических колебаний на шкалах типов колебаний и разрывы первого рода на графике зависимости ^тах(д0), уменьшается зона бифуркаций и гармонических колебаний.
Рис. 10
Переход от гармонических колебаний к хаотическим может осуществляться по четырем известным моделям: сценарий Фейгенбаума, Рюэля-Такенса-Ньюхауза, Помо-Манневиля и Ландау. Однако ни один сценарий в чистом виде не был обнаружен при исследовании колебаний секториальной оболочки под действием равномерно распределенной знакопеременной нагрузки при любом параметре пологости. Величина параметра пологости оказывает существенное влияние на эволюцию системы. Для подвижно защемленной секториальной оболочки с параметром пологости Ь=12; 15 был обнаружен новый сценарий перехода из гармонических колебаний в хаотические, который мы назвали модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза [18]. Сущность данного сценария заключается в следующем. После гармонических колебаний, совершаемых на частоте возбуждения, при движении по параметру д0 появляется новая линейно независимая частота и переход к хаосу осуществляется через серию линейных комбинаций двух частот.
Заключение
Разработанный метод и алгоритм расчета позволяют исследовать колебания неосесимметричных оболочек при различных вариантах поперечных нагрузок, граничных условий и параметра пологости и геометрии оболочки, построить карты управляющих параметров {д0, ю0|, которые управляют колебаниями оболочечных конструкций. Был найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим, который мы назвали модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза.
ЛИТЕРАТУРА
1. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Nonclussical Thermoelastic Problems in Nonlinear Dynamics of shells. Application of the Bubnov - Galerkin and Finite Difference Numerical Methods. «Springer-Verlag», Berlin, New-York, London, Paris, Tokio, 2003. 430 p.
2. Awzejcewicz J.A., Krys’ko V.A., Vakakis A.F. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems, «Springer-Verlag», Berlin, New-York, London, Paris, Tokio, 2004. 356 p.
3. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics // Nonlinear Dynamics 24, 2001. P.373-398.
4. Awrejcewicz J., Krysko V.A, Krysko A.V. Shatial-temporal chaos an solutions exhibited by von Karmana model // J. Bifurcation Chaos. 2002. Vol.12. № 7. P.1445-1513.
5. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Nonlinear coupled problems in dynamics of shells // Journal of Enginering Science 2003. № 41. P.583-607.
6. Awrejcewicz J., Krysko A.V. Analisis of complex parametric vibrations of plates and Shells using Bubnov-Galerkin approach // Archive of Applied Mechanics 2003. № 73. P.495-503.
7. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Narkaitis G.G. Bifurkations of Thin Plate-Stup Excited Transversally and Axially // Nonlinear Dynamics 2003. № 32. P.87-209.
8. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Bruk V.M. On the solution of a coupled thermomechanical problem for non-homogeneons Timoshenko-type shells // J Math. Appl. 2003. № 273. P.409-416.
9. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Krysko A.V. Complex Parametric Vibration of Flexile Rectangular Plates // Mecanica 2004. № 39. P.221-224.
10. Крысько В.А., Щекатурова. Т.В. Хаотические колебания конических оболочек // Известия АН МТТ. 2004. № 4. С.140-150.
11. Крысько В. А., Кравцова И.В. Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. C.3-13.
12. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
13. Феодосьев В.И. Применение шагового метода к анализу устойчивости сжатого стержня // ПММ. 1963. Т.27. № 5. С.833-841.
14. Феодосьев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем // ПММ. 1963. Т.27. № 2. С.265-275.
15. Губа Г.М. Пологие секториальные оболочки при конечных прогибах. Дис. ... доктора физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1986. 248 с.
16. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Atmos. Sci. 1962. Vol.20. № 1. Р.130-141.
17. Curry J.H., Herring J.R., Loncaric J., Orszag S.A. Order disorder in two- and threedimensional Benard convection // S.Fluid Mech. 1984. Vol.147. № 1. Р.1-38.
18. Krysko V.A., Kravtsova I.V. Stochastic vibrations of flexible flat axisymmetric shells exposed inhomogeneous loading // International Conference «Dynamics of system - theory and applications”. Lodz, Poland, 2003. P.189-197.
Крысько Вадим Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета
Кравцова Ирина Владиславовна -
аспирант кафедры «Высшая математика»
Саратовского государственного технического университета
