Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

№1

2004

539.3; 534.1

СТОХАСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГИБКИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ШАРНИРНО-ПОДВИЖНЫХ ПО КОНТУРУ СФЕРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК

Д-р техн. наук, проф. В.Л. КРЫСЬКО, асп. И.В. КРАВЦОВА

Предложен подход к исследованию стохастических колебаний детерминированных механических систем в виде пологих осесимметричных сферических оболочек. Данные системы непосредственно применимы для расчета пологих сферических оболочек, гофрированных мембран и т.п. Такие детали широко используются как чувствительные элементы датчиков давления в приборостроении, машиностроении и т.д. Построены карты управляющих параметров поперечной, равномерно распределенной знакопеременной нагрузки. Исследуются сценарии перехода колебаний оболочечной системы в состояние хаоса на основе качественной теории дифференциальных уравнений и теории нелинейной динамики.

The approach to probe of stochastic oscillations of the determined mechanical systems as slanting axisymmetrical spherical shells is in-process offered. Datas of system immediately usable for calculation of slanting spherical shells, convoluted diaphragms, etc. Such details are widely used as countermeasure feelers of pressure control devices in instrumentation technologies, engineering industry, etc. Charts of controlling parameters of the transversal equipartition reversal load Built. Scripts ofpassage of oscillations ofshell system in a condition of chaos are examined on the basis of the qualitative theory of differential equations and the theory non-linear dynamic loudspeakers.

Исследованию стохастических колебаний гибких пологих оболочек в настоящее время уделяется ограниченное внимание. В основном исследованы задачи статики и задачи динамической потери устойчивости при действии импульсных нагрузок, постоянных во времени, действию же знакопеременной поперечной нагрузки уделено меньше внимания. Это связано с тем, что теория нелинейных диссипативных механических систем только начинает развиваться. Мы ставим своей целью заполнить указанный выше пробел. Следует отметить, что исследованию параметрических колебаний прямоугольных в плане пластин посвящены работы [1—6].

Метод и алгоритм расчета

Рассмотрим сферическую осесимметричную пологую оболочку, представляющую собой замкнутую двухмерную область пространства Я2 в полярной системе координат,

Г . и к ]

введенной следующим образом: £1 - Система уравнений

динамики пологих осесимметричных оболочек запишется в виде [7]:

W + £w

э4

W

2 Э3

W

Эг4

Эг3

1 э2

w

•2 Эг2

1 dw Ф г3 Эг г

/ Л2 Л ^ О W

Э2Ф 1 ЭФ 1 ЭФ dw

Эг2 г дг

г2 дг дг

дг2 ;

У

2г дг

ЭФ дг

1 dw г дг

-4 q\

№ 1

2004

где Ф = ——. Система (1) приводится к безразмерному виду по методике, изложенной в

ог

[7]. Безразмерные величины: г - ш0/; о)0 =

_ , г _ _ л/п с 4 Е

^2

\ уЛ2 ЯЛ3 Л/ /I

; Г| = 12(1 — V2); Ъ = ^/т] Д— , где Г —время; 8 —коэффи-

циент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки, Р — функция усилий, и> — функция перемещений, — главный радиус кривизны у опорного контура, с— радиус опорного контура в окружном направлении, /г —толщина оболочки, Ъ — параметр пологости, V — коэффициент Пуассона, г — расстояние от оси вращения до точки на срединной поверхности, д — параметр внешней нагрузки. Для простоты черточка в (1) в обозначениях параметров опущена. Производные по г и далее будем обозначать штрихом. К системе (1) следует присоединить граничные и начальные условия и условия в вершине. Для шарнирно-подвижного контура в меридиональном направлении граничные условия запишутся в виде

Э2и> V

Ф = и> = 0,—- + —= при г = (2)

ог г

начальные условия и> = /х(г,0), у/ = /2(г,0), 0 < г < . (3)

В малой окрестности вершины оболочки справедливы следующие соотношения:

Ф ~ Аг; Ф' ~ А; + и/~2Сг; и/'-2 С; и/"-0.

(4)

Для сведения распределенной системы (1—4) к системе с сосредоточенными параметрами воспользуемся методом конечных разностей с аппроксимацией 0(А2). Запишем систему (1—4) в конечно-разностных соотношениях по пространственной переменной г:

МЛ +8МЛ = --

2А

1 Ф -Ф

1 /+1

2гА

/

гЛ

Ф +

1

Ф „ -Ф

2А

А4

гЛ3 д'

Ф

_1_

г,

Ф

/+1

1

1

А2 2 г. А

+ Ф

А2

1

+ф

(-1

А2 2 гЛ

у

V

■Щ-

2А

1 ~ Щ-

АгА

¿-1

(5)

где А -Ып \ п — число участков деления радиуса оболочки;

граничные условия: Фп = 0; ууп + х = = 0 при гп = Ъ, (6)

начальные условия \уп = (гк, 0), м/ = /2(гЛ, 0), (0 < к < п), 0 < Г < <» . (7)

Если пренебречь малыми слагаемыми и заменить дифференциальные операторы центральными конечно-разностными при г- А, получим условия в вершине

^ ^ ^ 4 1 8 8

Ф0 =Ф2-2Фр м/0 --м/2; - -и/2 + и/3.

(8)

Нагрузка может изменяться по произвольному закону, по пространственным координатам и по времени.

№1

2004

Задачу Коши (5)—(8) будем решать методом Рунге—Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбираем из условия устойчивости решения (Дг = 3,90625 -10"3).

В результате численного эксперимента было установлено, что шаг по пространственной координате А равен 0,2 (для знакопеременной поперечной нагрузки исследование числа разбиений интервала [0; Ъ] при Ь = 4 будет приведено ниже).

Разработанный алгоритм и комплекс программ на ПЭВМ позволяет решать задачи статики и динамики. Для решения задач статики применяется метод установления В.И. Феодосьева [9, 10], идея которого заключается в следующем: для 8 = 8кр строится зависимость {дт,мт(г)}, которая позволяет рассчитать характеристики Ц0(мтлх) и исследовать НДС оболочек. На рис. 1 построены зависимости д0(™т.1Х) по предлагаемому алгоритму и по методу, разработанному Н.В. Валишвили [7] для значений, указанных на рисунке. Графики, полученные с помощью двух подходов, полностью совпали.

Рис. 1. а — для опорного контура с подвижным защемлением; б — для опорного контура шарнирно-подвижного

Рассмотрим поведение диссипативной системы 8 = ОД [5—8] при действии поперечной, равномерно распределенной нагрузки. Нагрузка изменялась по следующему закону:

271

д = д0 8т(0)^0, где со^ = —, Т— период вынуждающей силы. Разработанный выше алгоритм и методика расчета динамики гибких пологих осесимметричных оболочек позволил построить карты управляющих параметров этой нагрузки Для параметра пологости Ъ- 4 эта карта приведена на рис. 2.

Все условные обозначения указаны на рисунке. Три вертикальные прямые проведены для частот: средняя линия для ор =(х)0 — частоты собственных линейных колебаний,

со0 ш0 _

правая и левая линии от нее соответственно для со„--- и со +— . Все величины на

р 4 4

рисунках безразмерные. Анализ этой карты показывает все многообразие сложных колебаний сферических оболочек. Переход колебаний механической системы из гармонических в хаотические осуществляется по сценарию Фейгенбаума [8] (получение хаоса с помощью удвоения периода). Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых математических моделях. Известно, что бифуркация удвоения хорошо описана в аттракторе Рейслера и др. Данное явление также обнаружено в рассматриваемой задаче. В табл. 1 для центральной точки оболочки (остальные точки

Численный эксперимент

с

с

№ 1 2004

0.051 -0.034 -

0.017 -

0.0 I_■ _■__. _

0.269 0.344 0.419 0.494 0.569 0.644 ¿¿р

I—¡Гармонические колебания |— I_Iна,частоте ¿¿р I_1^аос

гн Гармонические колебания Н Бифуркации I—'на частоте ^р/2 или ^р/З

Рис. 2

интервала [0; Ь] при Ъ - 4 колеблются синхронно, поэтому все последующие исследования будут проводиться для вершины оболочки) приведены зависимости для граничных значений д0 (под граничными значениями мы понимаем такие значения д0, при которых положение практически не меняется): фазового портрета >у(и/), спектра мощности 5,^(0)^) и отображения Пуанкаре т^Дм^ + Т), где Т— период вынуждающей силы. Таблица 1 приводит нас к сходящейся последовательности с1п

с1п = = 4,65608466..., п = 5.

Чо,п + \~ 00, п

Теоретическое значение с1 = 4,66916224... [10]. Различие теоретических расчетов с данным численным экспериментом составляет 0,28%. Значения последовательности д0 п и последовательности приведены в табл. 2.

В результате колебательного процесса пологой осесимметричной оболочки Ь = 4 появляются хаотические аттракторы — аттракторы Смейла [11]. Такие аттракторы называют аттракторами Фейгенбаумоновского типа или странными аттракторами.

Очень важным вопросом в задачах стохастических колебаний является вопрос об истинности хаоса. Проанализируем характер колебания сферической оболочки с указанными выше параметрами в зависимости от числа разбиения интервала интегрирования [0, Ь] при Ъ = 4 методом конечных разностей. Интервал [0, Ь] разбивался на 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80 отрезков, т.е. увеличивалось число степеней свободы. На карте |д0, со^ } была выбрана точка с координатами = 0,14; со^ = 0,521. Исследовались сигналы м^(0,Г), фазовые портреты >у(м/), спектры мощности 5, ¿й>(й)), отображение Пункаре м?г( + т ) для вершины оболочки. Колебания во всех точках интервала [О, Ь] были синхронными, поэтому анализ велся только для одной точки. Указанные характеристики приведены в табл. 3. Условные обозначения: а — 20 точек, Ъ — число точек приведено в первом столбце таблицы (число точек разбиения [0, Ь\).

Анализ данных результатов показывает, что увеличение точек разбиения [0, 1] приводит к сходящейся последовательности {м>(0,0}л» {м>(и/)}л , +г)} , т.е. наблюдается «истинный хаос» или «истинная турбулентность». Под истинной турбулент-

№1

до

Фазовый портрет и>(и>')

Спектр мощности 5, М(сор)

2004

Таблица 1

Отображение Пуанкаре

^ К+г)

г-о

Э, db О

-5

-10

- -

у -

1

0.5

сч

1-4

О

ио

СП

со

С<1

сч

1П

со

о

-5

ьь1, \ 1 V2! -

\

_ ьи2 А

\ л ^ 1 1

0.1

0.2 <*>р

со чо

со

№ 1 2004

Продолжение таблицы 1

qo Фазовый портрет и^и/)

Спектр мощности 5, с1Ь(сор)

Отображение Пуанкаре

ин

СП

0.05 0.1 <Ур

сь

ЧО СП

г-ип

СП

3,с]Ь

-5

0 V/

-10

ьь

11-3 ЬЬ"

ьь ч

ыт

■Д

ЬРГ

4—1

о

и

•'Лч г

J_1_

0_0.05 0.1

- 2 0 2

1+Т

СП

г^

СП

г-ш

СП

0 V/

0.2 ^Р

Таблица 2

Последовательность Бифуркации

1 2 3 4 5

Яо,п 0,1335 0,13522 0,13563 0,135718 0,1357369

¿п — 4,19512 4,659091 4,656084 —

ностью мы понимаем не конкретное гидродинамическое явление, а собирательный образ, основанный на предположении о типичном поведении распределенных систем. Данное исследование было предпринято с тем, чтобы показать: увеличение числа степеней свободы не приводит к исчезновению в системе состояния хаоса, в отличие от модели Лоренца [12].

Оболочечные конструкции при действии поперечных нагрузок различной природы обладают свойством потери устойчивости. Для динамических задач теории оболочек имеется ряд динамических критериев потери устойчивости, их анализ приведен в [13]. Динамического критерия потери устойчивости гибких оболочек при действии поперечных знакопеременных нагрузок нет. Нами сделана попытка получения нового динамического критерия потери устойчивости. На рис. 3 приведена зависимость и>тах(д0) для статической задачи (кривая 7), динамической при действии импульса бесконечной продолжительности во времени (кривая 3) и динамическая задача при действии поперечной знакопеременной нагрузки для частоты возбуждения со^ =0,521 (кривая 2). На этом же графике приведены про-

№ 1

2004

Таблица 3

Сигнал М

Фазовый портрет

Спектр мощности 5, <1Ь((ор)

Отображение Пуанкаре

о

СО

з,с1ь

-10

О w'

>

0 0.3 Юр

-10 о ^

1+Т

О V/

) - ЬК1 ^р -

С_I_

0 0.3 Юр

-10 о ю

1+Т

о

о

СО

I

Б.сИэ

-10

0 0.3 ¿¿>р

-10 о V-/

1+1

о V'/

0 0.3 &>р

0 у/'

0 0.3 ^Р

о V/

О 0.3 Юр

-ю о ^

№ 1 2004

Продолжение таблицы 3

Сигнал МО, Г)

Фазовый портрет

Спектр мощности 5, йЪ{(Ор)

Отображение Пуанкаре

^ К+г)

о

оо

сТ

СО

I

0.3 Юр

Таблица 4

Яо Сигнал мЧО, 0 Фазовый портрет Спектр мощности 5, с1Ь(сор) Отображение Пуанкаре ^ к+т0

V1/ 20 0 0 -10

0.16212 1 20 - .и 1 ц/5 I I - ' X 1 1 0 -Ш 1 -я -1

зоо з: -10 0 ум' 3 0.3 Юр -10 0

0.16213 УМ 1 1 а V-/ 20 0 о Э.йЬ 0 -10 - 1 у 1 УА^ 0 -10 1 1

зоо з: 25 1 10 0 УМ' 0 0.3 Юр -10 0

странственные сигналы и для 268 < г <318 , а также фазовые портреты \viyv')

для гармонических колебаний (д0 = 0,07), первой бифуркации Андронова-Хопфа (д0 = 0,1335) и хаотических колебаний (д0 = 0,16). Кроме того, на рис. 3 приведена шкала зависимости д0 от типа колебаний, основные обозначения указаны на рис. 2 при фиксированном значении сор = 0.521. При исследовании хаотических колебаний не строились диаграммы орбит, как это обычно делается при исследовании функций в случае широкого класса двузначных отображений интервала в себя, а строилась шкала бифуркаций как отмечалось выше (рис. 3). Зависимость и>тах(д0), шкалы бифуркаций и Ляпуновские показатели хорошо согласуются между собой. При положительном показателе Ляпунова, характеризующего появление хаоса, на это указывает и шкала бифуркаций, и и>тах(д0), где наблюдается биение и серия жестких бифуркаций, т.е. динамическая потеря устойчивости. Рассмотрим точки а и б на кривой 2 (рис. 3). Точка 2а — д0 = 0,16212, а точка 26 — д0 = 0,16213, т.е. изменение амплитуды знакопеременной нагрузки на 1-Ю"5 приводит систему к резкому увеличению прогиба, т.е. к жесткой потере устойчивости. В табл. 4 для указанных параметров д0 приведены сигнал м^(0, г), фазовый портрет м>(м>'), спектр мощности Б,с1Ь((йр) и отображение Пуанкаре и>,(>у/ + г) для центра оболочки.

ша^"

22 20 18 16 14 12 10

-1-Г

0.07

д0= 0.1335

17

2Ба

I—¡Гармонические колебания I_1на частоте о>р

|—¡Гармонические колебания I—'на частоте или ^/3

□ Хаос

И Бифуркации

1 -Ш □ w,

36^'

|3а

/

>

X

_1_

_1_

_1_

_1_

_1_

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07.

Рис. 3

№ 1 2004

Оболочка из состояния хаоса, на что указывают приведенные характеристики, хлопком переходит в состояние гармонических колебаний — q0 = ОД6213 . Точки с буквой «а» на кривых <?(wmax) являются критическими значениями, а «б» — за критическими. Как видно из графика величина динамической критической нагрузки существенно зависит от типа нагрузки, если нагрузка зависит от времени и является знакопеременной, то она выше, чем для импульсной нагрузки, а статическая qKp находится между ними. Описанный выше сценарий жесткой потери устойчивости оболочки можно трактовать как динамический критерий потери устойчивости при знакопеременной поперечной нагрузки. Данный критерий является новым и обобщает известный критерий динамической потери устойчивости, приведенный в [13].

Выводы

Разработанный метод и алгоритм расчета позволяют исследовать колебания осесим-метричных оболочек вращения при различных поперечных нагрузках, выявлять механизмы перехода колебаний механической системы в хаос, построить карты управляющих параметров которые позволяют управлять колебаниями оболочечных конструк-

ций. Получена константа Фейгенбаума для осесимметричной оболочки Ъ = 4. Предложен новый критерий динамической потери устойчивости оболочек под действием знакопеременных поперечных нагрузок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Nonclussical Thermoelastic Problems in Nonlinear Dynamics of shells. Application of the Bubnov—Galerkin and Finite Difference Numerical Methods. Berlin, New-York, London, Paris, Tokio; Springer, 2003. — 430 p.

2. Awrejcewicz J., К г у s k о V. А, К г у s k о A. V. Shatial-temporal chaos an solutions exhibited by von ICarmana model // Jnt J. Bifurcation Chaos, 2002. — Vol. 12. — № 7. — P.p. 1445—1513.

3. Awrejcewicz J., Krysko V. A. Nonlinear couped problems in dynamics of shells // Jnt. Journal of Engieneering Science 41(2003). — P.p. 587—607.

4. Awrejcewicz J., Krysko V. A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics // Nonlinear Dynamics 24: (2001). — P.p. 373—398.

5. Крысько В. А., Сопенко А. А., Салий E. В. Сложные колебания геометрически и физически нелинейных пологих оболочек на прямоугольном плане // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. — №1—2. — С. 92—103.

6. Крысько В. А., Сопенко О. В. Сложные колебания оболочек в температурном поле // Известия вузов. Машиностроение.— 2003. — № 1. — С. 3—13.

7. ВалишвилиН. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ — М.: «Машиностроение», 1976. — 279 с.

8. F е i g е n b a u m М. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformation // J. Stat. Plys. — 1978. — Vol. 19. —№ 1. —P.p. 25—52.

9. Феодосьев В.И. Применение шагового метода к анализу устойчивости сжатого стержня // ПММ. — 1963. — Т. 27. — № 5. — С. 833—841.

10. Феодосьев В. И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем // ПММ. — 1963. — Т. 27. — № 2. — С. 265—275.

11. S m а 1 е S. Dinamical Systems and turbulence // Lect. Notes Math. — 1962. — № 615. — P.p. 365—381.

12. Lor en z E.N. Deterministic nonperiodic flow// Atmos. Sci. 1962. — Vol. 20. — № 1. — P.p. 130—141.

13.Крысько В. А.,Крысько А. В. Проблемы бифуркаций и жесткой потери устойчивости нелинейной теории пластин / Механика оболочек и пластин в XXI веке. — Саратов. Изд-во СГТУ, 1999. — С.50—67.