CC BY
14
УДК 519.6
М.Р. ПЕТРИК1, Д.М. МИХАЛИК1, М.1. ШИНКАРИК2, О.Ю. ПЕТРИК1
1Терношльський нацiональний технiчний ушверситет iMeHi 1вана Пулюя 2Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ К1НЕТИКИ СИСТЕМ БАГАТОКОМПОНЕНТНО! ДИФУЗ11 В НЕОДНОР1ДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ 1ДЕНТИФ1КАЩ1 IX К1НЕТИЧНИХ ПАРАМЕТР1В
Розглянуто проблему математичного моделювання юнетики дифузшного масопереносу для процеЫв багатокомпонентног дифузи в неоднорiдних середовищах частинок пористог структури на основi результатiв iдентифiкацií ктетичних параметрiв системи. Проведено аналiз та порiвняння модельних кривих ттегральног поглинутог маси для процесу адсорбцн газiв в каталтичному середовищi i3 експериментальними результатами.
Ключовi слова: математичне моделювання, iдентифiкацiя ктетичних параметрiв, багатокомпонентт системи, функцюнал невязки, коефщент дифузп
M.R. PETRYK1, D.M. MYKHALYK1, M.I. SHYNKARYK2, O.Y. PETRYK1
'Ternopil National Ivan Pul'uj Technical University 2Ternopil National Economic University
MATHEMATICAL MODELING OF MULTICOMPONENT SYSTEMS KINETICS OF DIFFUSION IN HETEROGENEOUS MEDIA BASED ON RESULTS OF KINETIC PARAMETERS IDENTIFICATION
Annotation
The problem of mathematical modeling of kinetics of diffusion mass transfer processes for multicomponent diffusion in heterogeneous media particles of porous structure on the basis of the identification of the kinetic parameters of the system are considered. Diffusion coefficient distributions for interparticle space of prorous media on the basis of experimental data for real diffusion processes are obtained. Distribution of kinetic parameters of multucomponent diffusion process in heterogeneous porous media are built. The analysis and comparison of model curves integrated mass absorbed for the process of adsorption of gases in the catalytic media with experimental results are conducted.
Keywords: mathematical modeling, kinetic parameters identification, multicomponent systems, residu functional, diffusion coefficient
Постановка проблеми. Сучасш досягнення з системного анал1зу та математичного моделювання систем складають основу для шформацшних технологш управлшня науковим експериментом i анал1зом стану складних ф1зичних об'екпв. До числа таких об'екп вщносяться i багатокомпонентт системи масопереносу в неоднорщних середовищах, вивчення юнетики яких е важливою проблемою сучасно! фiзики дифузи, зумовлене широким використанням неоднорвдних нанопористих середовищ в рiзних галузях народного господарства: медициш, нафтохiмi!, кататз^ роздшенш рщин та газiв, тощо. Таи середовища складаються з тонких шарiв частинок, що володшть рiзними фiзико-хiмiчними властивостями. Кожен шар середовища у свою чергу мае багаторiвневу систему пор, з яких можна видшити двi головнi пiдсистеми (простори): систему мшропор з високим рiвнем адсорбцшно! мiсткостi та низьким ступенем дифузшного проникнення та систему макропор i порожнин мiж частинками з низьким рiвнем мiсткостi i високою швидшстю проникнення.
Аналiз останшх досл1джень i публiкацiй. Досл1дження, що проводяться у цш областi, як правило, розглядають молекулярний транспорт окремих речовин в пористому середовищ^ зумовлений масопереносом на макрорiвнi без врахування iстотного впливу ефектiв i особливостей мiкро- i нанопереносу в частинках [1-4], яш як вiдомо, е лiмiтуючим i визначальним фактором загально! кiнетики [2]. При цьому, головнi проблеми м1жмолекулярно! взаемоди, що мають мiсце в реальних системах багатокомпонентно! дифузи речовин, зважаючи на принцип Ленгмюра-Хiншенвуда [2], практично не дослвджеш.
Беручи до уваги експериментальнi дослвдження масопереносу [5-6], можна стверджувати, що фiзична картина стану системи багатокомпонентно! дифузи, практично несумюна з аналопчними результатами дослвджень для систем монодифузi! [7]. Тому, важливим для визначення концентрацшних i градiентних розподiлiв для кожно! з дифундованих речовин, е задача вдентифшаци к1нетичних параметрiв переносу, яш власне i визначають швидк1сть протжання процесу на макро - i мiкрорiвнях, а також умови рiвноваги в середовищi.
Метою роботи е числове моделювання шнетики дифузшного масопереносу на основi розв'язку задачi коефщентно! iдентифiкацi! в системах багатокомпонентно! дифузи в неоднорвдних середовищах.
Постановка задачь Розглядаеться масоперенос декiлькох компонент, що дифундують мiж собою в неоднорщному середовищi частинок пористо! структури. При цьому враховуються дифузи на
MaKpopiBHi за рахунок мiжчастинкового простору середовища, та дифузiя на MiKpopiBHi, за рахунок пористостi частинок середовища.
Математична модель багатокомпонентного масопереносу, що враховуе два рiвнi дифузп описуеться у виглядi змшано! крайово! задача побудувати розв'язки системи рiвнянь в частинних похвдних
Ukk z)" _ d " D11k D12k " d U ] 1k 1 d a11k a12k qj^ ^z)]
U2kk z )_ = dz А D22k . dz U 2 . 2k _ R dr a21k a22k _ q2k r, z ^
(1)
на обласл Q^ = (0,T) xQ,, (q, = (l_lk),k = l,n + 1,^ = 0 <lx <... <l+ = l <cc), де R << min (lk _ lk l), R _ радус сферичних мжропористих частинок вщповщно! областi Qk, U (t, z), U2 (t, z) _ концентрацп кожно! iз компонент на макрорiвнi.
Для кожно! пористо! мшрочастинки радiусу R з центром в точщ z eQ при t e(0, T), з концентращями на мiкрорiвнi q (t,r,z), q2 (t, r,z), мае мюце система рiвнянь дифузп
д_
dt
%(t, r, z) q2„(t, r, z)
_L—
r2 dr
Dm a„
Dm a„
dr
%
Початковi умови
Uk (t, z ) U2k (t, z)
?lk (t, r, z) q2l (t,r,z)
= 0, z eQ, к = l, n +1,
= 0, r e(0,R), zeQ, к = 1,n +1.
(2)
(3)
(4)
Крайовi умови по просторовш змiннiй r для q =
41
q2
d dr
D_
Dm D-
qik(t,r,z)
q2k (t, r, z)
= 0, z e Qm, m = 1,n +1, t e(0,T),
/ r =0
q!1, r, z) k 0" U1m(t, z )]
ß2m(t, r, z )_ r=R 0 k2 U2m (t, z)_
zeQm, m = 1,n +1, te(0,T),
Умова (6) е умовою рiвноваги концентращй на меж1 макро - та мжро - простору. Крайовi та штерфейсш умови м1ж тонкими шарами мжропористих частинок, по z для U =
d dz
f
D-
D-
Dinter2^ Dinter22
U (t, z
U21 (t, z)
= 0,
/ z=0
4 (t,z)"
U2n (t, z)
:=l
U (t)" Ul2 (t)
t e(0,T),
(5)
(6)
U1 U 2
(7)
(8) (9)
(10)
Система рiвнянь (1) описуе масоперенос на макрорiвнi, в мiжчастинковому просторi середовища, з поточними концентращями для к-го шару Ui, тмггованою системою впливу на поверхнях сферичних частинок радiуса R. Система (2) описуе масоперенос на мiкрорiвнi, в мшро- й нанопорах частинок для к-
[ U1 m (t, z )_ U1m+1 (t, z )]
z=L
d dz
U1k(t,z ) U2k (t,z)
= 0,
/
d dz
[ U2 m ( ^ z )_ U2 m+1 (^ z )]
= 0
z=L
D:r
U1 (t,z)' U2k+1 (t,z)
= 0, k = 1,n +1, t e(0,T),
d "U11 (t, z )" = 0; z=0 U1n+1 (t, z)" " U (t)"
dz ^ z)_ _U2„+1 (t, z)_ z=l U (t)_
го шару середовища, з поточними концентращями q . Зв'язок мiж концентращями для k-го щару Ui та q визначаеться крайовими умовами адсорбцiйно! рiвноваги на поверхнi сферичних частинок (6).
Кiнетичнi параметри, що визначаються динамiку процесу багатокомпонентно! дифузп представленi у виглядi матриць коефщенпв дифузi! на мiкро- (Dmter k) та макрорiвнях (Dmtra k)
Д_
D.
inter,,, inter,,
D
inter?,, inter?
D„
Dintrailk Dintr312k _Dintra21ii Dlntra22k
(11)
i в загальному випадку е функщями ввд поточних концентрацiй U , q ; i = 1,2.
Для вдентифжацп кiнетичних параметрiв системи багатокомпонентно! дифузi! використовуеться положення теорп управл1ння станом багатокомпонентних систем [7]. Вважаемо, що шуканi кшетичт
параметри - коефiцiенти дифузii Dinter, Dintra 3aAa4i е неввдомими. Однак на поверхнях областей
ут с 0.т, т = 1,n +1, неоднорвдного середовища вiдомi слвди розв'язк1в задачi (1)-(2) у виглядi функцiй концентрацп компонент на макро - та мiкрорiвнi:
Um z) = fm z)
Ут
Ут
qm (t,z )\ут= gm (t,z ),
(12)
- 1 Rf
де qs (t,R/2, z) = —I qs (t,r, z)rdr е середне значення концентрацii i-о! дифундовано! R о
компоненти в мжропорах частинки, зосереджено! в точщ r = Я/2 для т -ого шару середовища.
Функщонал-нев'язку, що визначае величину вщхилення розв'язку вiд слiдiв, отриманих емпiричним шляхом на поверхнях у , записуеться у виглядi
, , N
J (D t , D . ) = У J. (D . , D t ),
\ interip ' intraj < / , i \ inter p' intraip у
i=1
(13)
1 n+1 T 2
J (Diner p, Dintrai p ) =1ZJI II T z,D^, A^ ) - f. +1\%m (t R 2 Dmter, DintrJ - g
V ,p ,Г/ 2 m=1 0 V V ' ^(Ут)
L-2 (Ут)
dT,
де HILу) = 14)2У - квадрат норми. В даному випадку УУт) = |^(t,z)|z=r
Приймаючи на поверхнях ут вiдомi концентрацi! q (t,Я/2) = q (t) te(0, T), функцюнал-нев'язку запишемо у виглядi
N Тт+1
J (u )=£i!K(u; t, я/2)-q, (t)) dt,
(14)
i=1 о т=1
де u eU = R+4, R+ = (0, +<»), Dmtra = u eU.
Результати дослiдження. На основi експериментальних даних адсорбцi! двокомпонентно! сумiшi (бензолу i гексану) у неоднорвдних пористих цеол1тних катал1заторах та градiентного методу вдентифжацп, виконано ввдновлення шнетичних параметрiв системи багатокомпонентного масо переносу.
Отримано результати вдентифшацп кинетики дифузи для рiзних часових зрiзiв по координат товщини шару середовища z. На основi отриманих коефiцiентiв виконано математичне моделювання кинетики масопереносу для систем багатокомпонентно! дифузп та проведено !х порiвняння з результатами експериментальних дослщжень.
k
г.
а) б)
Рис. 1. Результати щентифгсацц коефщенпв дифузп для бензолу а) розподш коефщенпв дифузп для макроршня; б) пор1вняння експериментальноК (1) та модельноК (2) кривих
адсорбци
Рис. 2. Результати щемтифгсацп коефщемпв дифузй для гексану а) розподш коефщемпв дифузп для макрорiвня; б) иоршииими експеримемтальмо! (1) та модельно!" (2) кривих
адсорбци
Проводячи аналiз отриманих результатiв моделювання кинетики процесу дифузп, видно, що
значення модельних та експериментальних профiлiв штегрально! маси М , г) в достатнiй мiрi
узгоджуються мiж собою завдяки одержаним як1сним розв'язкам обернено! задачi, тобто розподiлам коефщенпв дифузп. Деяк1 дiлянки модельних кривих мають практично повний збiг з експериментальними. Максимальна величина ввдносно! похибки для всiх показаних розподiлiв не перевищуе 5%. Такий пох1д забезпечуе досить високу ступiнь адекватностi математичних моделей i методик щентифжацп параметрiв дослiджуваних неоднорвдних розподiлених систем багатокомпонентного переносу.
Висновки.
Виконано числове моделювання та проведено оцшку концентрацiйних профiлiв для процесу багатокомпонентно! дифузп в неоднорiдних середовищах за результатами вдентифжацп к1нетичних параметрiв процесу адсорбцй' вуглеводневих сумiшей в мжро- та макропорах, як функцш положения кристалiтiв в неоднорвдному каталiзаторi, проведено! з використанням методики гращентно! iдентифiкацii та грунтуючись на даних експериментальних дослвджень.
^irepaTypa
1. Kärger J. Diffusion and Adsorption in Porous Solids //Handbouk of Porous Solids // Kärger J. Ruthven D. Ed. by . F. Shuth, K.W. Sing and J.Weitkamp. Wiely-VCH Wenheim (Germeny). - 2002. - P. 2089-2173.
2. Ruthven D. Principles of Adsorption and Adsorption Processes. - New York: Wiley-Interscience, 1984. -464 p.
3. N'Gokoli-Kekele P. An analytical study of molecular transport in a zeolite crystallite bed / N'Gokoli-Kekele P., Springuel-Huet, M.-A.,Fraissard J. - Adsorption.- 2002. - 8(3). - P. 35-44.
4. Kärger, J. Diffusion fundamentals / Kärger, J., Grinberg F., Heitjans P. - Leipziger Unviersite, Leipzig, 2005. - 615p.
5. Springuel-Huet M.-A. 129Xe NMR study of bed resistance to molecular transport in assemblages of zeolite crystallites / Springuel-Huet M.-A., Nosov A., Kärger J., Fraissard J. - J. Phys. Chem. - 1996. - v. 100. -P. 7200-7203.
6. Petryk M. Mathematical modeling and visualization of gas transport in a zeolite bed using a slice selection procedure / Petryk M., Leclerc S., Canet D., Fraissard J. - Diffusion Fundamentals. - 2007. - 4. - P. 11.111.23.
7. Дейнека В. С. Идентификация кинетических параметров однокомпонентного адсорбционного массопереноса в микропористых каталитических средах / Дейнека В.С., Петрик М.Р., Михалик Д.М. - Проблемы управления и информатики. - 2011. - № 2. - С. 11 - 25.
8. Сергиенко И.В. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем / Сергиенко И.В., Дейнека В.С. - Киев, Наукова думка, 2009. - 638с.
9. Петрик М.Р. Моделирование и анализ концентрационных полей нелинейной компетитивной двухкомпонентной диффузии в среде нанопористих частиц / Петрик М.Р., Фрессард Ж., Михалик Д.М. - Проблемы управления и информатики. - 2009.- № 4.- С. 1-12.
10. Петрик М. Р. Математическое моделирование массопереноса в симетрических неоднородных и нанопористых средах с системой n-интерфейсных взаимодействий / М. Р. Петрик. - Кибернетика и системный анализ. - 2007.- № 1.- С. 114 - 134.
