Математическое моделирование изменений агрегатного состояния водорода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8:544.2

А. В. ЖИБЕР, Н. М. ЦИРЕЛЬМАН

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ВОДОРОДА

Исследован процесс фазового превращения водорода с изменением агрегатного состояния. С помощью нелокальных преобразований двухфазная задача затвердевания жидкого водорода в ограниченной области сведена к краевой задаче для линейного уравнения теплопроводности. Построено точное решение задачи затвердевания жидкого водорода в полупространстве. Жидкий водород;затвердевание; плавление; фазовое превращение

ВВЕДЕНИЕ

Использование жидкого водорода встречает большие трудности, обусловленные низкой температурой его кипения (« 20К), узким температурным диапазоном существования жидкого состояния и малой плотностью («71 кг / м3). Это побуждает исследователей к поиску путей преодоления влияния перечисленных отрицательных факторов. В настоящее время изучаются возможности хранения водорода в виде сухого гидрида металлов, проводятся работы по получению ге-леообразного и шугообразного водорода. Последний представляет собой смесь твердого и жидкого водорода и, например, в качестве ракетного топлива может рассматриваться «шуга» при массовом соотношении фаз примерно 1:1. В свете сказанного представляется актуальным решение проблемы об изменении агрегатного состояния водорода.

1. ЗАДАЧА

О ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ ДЛЯ ВОДОРОДА В ОДНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Математическая модель исследуемого процесса относительно изменения во времени температур и и координаты границы включает в себя

уравнения теплопроводности в твердом и жидком водороде соответственно

с)Т г) ( г)Т \

С(р.г1)^ = - [МТ)^у 0 < * < :ф. t > 0.

(1.1)

<лгр о / Ъгр \

С(р.Г2)^ = - (а2(Г)-^). хЦ) < х <и> 0.

(1.2)

описание начального распределения температуры в имеющихся при слоях твердого и

жидкого водорода

Т\(х, 0) = Т°(х), 0<х<а, х(0) = а, (1.3)

Т2(х,0) =Т°(х), а<х<Ь, (1.4)

задание температуры затвердевания на границе раздела старой и новой фаз

и условия Стефана на ней

йх(і) (т,дті , 1т^дт2 х = х(і), і > 0,

(1.6)

задание плотности теплового потока на наружных поверхностях старой и новой фаз

-МТ1)-^ = Х = 0, 1>0, (1.7)

х = Ь, і > 0.

(1.8)

Примем объемные теплоемкости С(р, Г,.), теплопроводности и объемную теплоту затвердевания Ь для водорода равными

с(р,Ті) = иіт?, Хі(Ті) = /V?,/,(<•-•< + Т,

С-11 =

4Ьа

«і

* = 1,2, 1

«і

4 Ь Тч4 + «22

(>21 — (>22

(1.9)

41

«і ' (1.10)

Зависимости (1.9), (1.10) приведены в [1-3].

Рассмотрим задачу (1.1)-(1.8) с невырожденной начальной фазой, когда в начальный момент времени часть заданного объема заполнял твердый водород, а оставшуюся жидкий, т. е. ,

.

При использовании точечной замены

Т, =

Си

в,

(>2І

1/4

і = 1,2.

(1.11)

исходная задача (1.1)—(1.8) при выполнении условий (1.9) примет относительно функций в\{х,Ь), и вид

дв1 = о1в2д2в1

ді

«і 1 дх2

0 < х < х(і), і > 0, (1.12)

дв2 £>2д,а202 п ^

— = —^2-^-5-) х(Ь)<х<Ь, ¿>0, (1.13)

от «1 ох/

вг(х,0) = в°(х), 0 < х < а, х(0) = а, (1.14)

@2(х,0) = в^х), а<х<Ъ, (1.15)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-0197909-р-агидель а)

Т1(х(і),і)=Т2(х(і),і)=Т„, і>0 (1.5)

ві(х(і),і) = в-2(х(і),і) = вя, í > О дв

(1.16)

(1хШ „ дв± „

~(ЇГ = ~дт ~ х = х(і), *>о.

дві(ол.)

дх

дв2(ьл)

дх

дх

= Рі(*), і > О, = Г2(#), #>0.

Здесь обозначены: 03 =

('12 О 2 Сц

(■цР і ’ 41

(1.17)

(1.18)

(1.19)

В, =

вя =

Сц

+ ('21 ^^=1,2.

р. (А =

41

в?(г) = -

(Т°(х))* + (ы Решение краевой задачи (1.12)-(1.19) основано на нелокальном преобразовании

, , > , д'и.і(у.і) ,

Зі (їх = и, (у, і) (1у + Пі —^------(1і,

і'А.н-і) = ві(х,і),

ду і = 1,2.

(1.20)

Здесь постоянные.

Преобразование типа (1.20) использовались для построения точных решений нелинейного параболического уравнения в работах [3—5]. В [6-8] эти преобразования применялись при исследовании краевых задач теории тепломассопереноса: в частности, в [6] с их использованием исследована однофазная задача со свободной границей для водорода.

При замене (1.20) нелинейным уравнениям (1.12) и (1.13) соответствуют линейные уравнения теплопроводности

дп (Я С, дг-2 (Рґ2

~ді~Пі~д^ и ~т~П2~ду*

Для этих уравнений рассмотрим следующую краевую задачу: найти г^(£, у), *=1,2 и у(£) такие, что

9Щ = сц%тг, У\^) <У <уЦ), t>0, (1.21)

ді

дю2

ду2

02

г^2

у{і) <У <У2ІІ), і>0, (1.22)

~дї = а'2~д^'

щ(у, 0) = в° (Ф]™1 (:</)), с < у < о, «2 (У, 0) = в°2 (Фз ^У)) і 0 < у < (1, Му{*)Л) = у2(у(і)Л) = вя, і > 0, (1у(і) = ^дУі(у(і)Л) _ к^)2(у(і),і)

(И

ду

ду

(1.23)

(1.24)

(1.25)

і > 0,

(1.26)

_ Рі(і)і)і(уі(і)Л) = 0, і > о,

ду

дУ2ІУ2ІІ)Л)

ду

(1.27)

Р2(І)у2(У2(І)Л) = 0, í > 0,

(1.28)

где имеем а,

і = 1,2, а

А

=

«і

Ф«(аг)

в2

«1

&

от

і

Рі(т)(1т, о

і

/ Щт)(1т, Ь2

Р2 У

Уі(*) =

У2ІІ) =

Аїр 2

ві

-я4

, , и выполнено соотношение .

Краевые задачи со свободной границей для линейных параболических уравнений типа (1.20)— (1.27) исследовались многими авторами (см., например, [9,11]).

Непосредственно проверяется, что при выполнении условий (1.10) решение 6\{х,Ь), 02 (ж, £),

ж(£) задачи (1.12)—(1.19) вычисляется по формулам

х(і) = и -

Му(т),т) (1у(т)

Зі (1т

ві(х,І) = Уі(фі(х,І),І)

Оі дУі (у(т),т)

А '

ду ¿=1,2,

(ІТ,

(1.29)

где функции задаются неявным обра-

зом соотношениями

х =

(Хі

Зі

дщ{£.,

де,

-(Іт + а, і = 1, 2.

(1.30)

Здесь — кривая, соединяющая точки (0,0) и и лежащая в области у ^ 0, I > 0}, а Ь2 — кривая, соединяющая точки и и лежащая области

.

Отметим, что в силу уравнений (1.20) и (1.22) криволинейные интегралы в правой части формул

(1.30) не зависят от пути интегрирования.

Теперь решение исходной задачи (1.1)—(1.8)

определяется формулами (1.11), (1.29) и (1.30), где функции — решение

вспомогательной задачи (1.21)—(1.28).

Приведем также формулы, обратные к (1.29),

(1.30). Пусть функции 01 (ж, £), 02(ж,£), ж(£) задают решение задачи о фазовом переходе (1.12)— (1.19). Тогда имеем

дві (х(і)л)

дх

(ІТ,

<■,(!!■ I) = ві(ірі(у,і)Л), і = 1, 2,

где функции X = <-Рі {у, і) определяются из соотношения

У =

А

•ІІ

-(%

а.і дві (£,т)

їЬ де

(Іт. ¿=1.2.

Здесь — кривая, соединяющая точки и

области ,

а — кривая, соединяющая точки и

области .

В заключении этого параграфа рассмотрим задачу затвердевания жидкого водорода в ограниченной области, когда в начальный момент времени весь заданный объем заполнен жидким водородом.

В этом случае а = 0 и начальное условие (1.3) отсутствует. Таким образом, мы имеем краевую задачу (1.1), (1.2), (1.4)—(1.8), которая заменой (1.11) при выполнении условий (1.9) приводится к задаче (1.12), (1.13), (1.15)—(1.19).

Для построения решения этой задачи рассмотрим вспомогательную (1.21), (1.22), (1.24)— (1.28) с вырожденной фазой ( ). Как и (

). Как и выше, прямым вычислением нетрудно показать, что формулы (1.29) и (1.30) дают в случае решение краевой задачи (1.12), (1.13),

(1.15)—(1.19).

2. ЗАТВЕРДЕВАНИЕ ЖИДКОГО ВОДОРОДА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Рассматривается задача затвердевания жидкого водорода вида

(2.1)

ад - 3 1 ^ 1(Д ЗА

5# (З.г ' } <3.т

< X < х(г), 1 > 0,

дт2 - 9 1 Л2(Т2 <?Д

5# дх '

.т(£) < х < ос, t > 0,

Д(и, £) = Т°, t > 0, х(0) = и,

Т'2 (х, 0) = Т2°, и < X < ос.

Т1(.т(*),*) = т2(х(г)л) = т„, * > о, ах{1) дТг дт2 1^Г-Х1{Т1)Ж^ЫТ2)Ж-

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

X = х(£), t > О,

(2.6)

Здесь , — постоянные, а функции ,

АДГ,), * = 1,2 определяются формулами (1.9) и (1.10).

После точечной замены задача (2.1)—(2.6) примет вид

двг Д я2 &2вг

п 9 , а<х<х(Ь), ¿>0, (2.7)

их

т

дв2

~д¥

«1 * (?.'Г2

^2/12^^-, х^)<х<оо, ¿>0, (2.8)

«1 " &;

01 (а, £) = 0°, # > 0, а = .т(0),

02(-'С, 0) = 6*2, а < .т < ос,

01 (х(/:),/:) = 02(.т(£),£) = вя, # > 0,

(&:(*) (?01 302 ,

—— = П3—-----------------П±—, х = х{г),

(М ох ох

Здесь, как и в п. 1, обозначены:

Сц

в°{х) =

(Т,

о\4

¿ = 1,2,

0* =

(2.9)

(2.10)

(2.11)

* > 0. (2.12)

сц

А =

(•ц А ’ 4Ь

Д =

С‘12 Д2 ’ 4 Ь

Для построения точного решения краевой задачи (2.7)—(2.12) рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

32«1

= «1^-, шС#) < у < у у), * > 0,

01 ' ду

д,-2 д2,-2

= СК9

¿Л . г-1

а/; ау

(2.13)

2 , у(£) <у <00, г>0, (2.14)

ах

МЫ*),*) = 0°, #>0 ЗМг/1 (*),*)_ + ()0(Ыг)

(2.15)

= 0, * > 0, (2.16)

ду ' "1 м Ъ2{у,Щ = в°2, 0<у <00, (2.17)

ь1(уЦ),Ь)=ь2(у(Ь),Ь)=в8, £>0, (2.18)

(А/ , (?«1 , (?«2 , > „

л= 1~ду~ У = г/^’ *>0- (2л9)

где величины определены в п. 1.

Следуя [12], решение краевой задачи (2.13)— (2.19) будем искать в виде

' *

ухЦ) = у(£) = рл/£. (2.20)

Здесь обозначено

Ф(;г) = У °хр(-с2)^-

о

Подставляя функции (2.20) в (2.13)—(2.19), получаем

2^аГ \4aiy \2^а7

0°У А ^ У2

С1 = -

Л2 = 0.?

д? =

0. - 0?

0. - 0?

ф

Г4 + (‘21

(2.21)

где постоянные pnq системы уравнений

решение трансцендентной

Ф

Р

2

—)

2^01/

в°і q

-—Ä-i охр 2«!

в„ - 0?

ф

г - р-

4а і

= вя-в

1:

Ф

: ОХр

4а-2

= 0, (2.22)

при .

Теперь, используя преобразования (1.21), нетрудно показать, что решение краевой задачи (2.7)—(2.12) определяется формулами

x(t) = и -

Ув„ - ggf

А

(2.23)

0j (х, t) = Vi (фі (х, t),t) .

где функции , задаются неяв-

ным образом, а именно соотношениями

X = и ■

X = и ■

Vi (С,

ßi «2(С,г

-fií + “Г

«1 Öüi(£,r)

+ ir ß'2

ßi де

а2 dv2(e,T)

де

dr,

dr

(2.24)

соответственно. Здесь Ь\ — кривая, соединяющая точки (0.0) и (у, £) в области q^/i. ^ у ^ /)\Д, ^ 0,

а — кривая, соединяющая точки и в областир\Д. ^ у < ос, # > 0.

Таким образом, решение исходной задачи (2.1)—(2.6) вычисляется с помощью формул (1.11), (2.20)—(2.24).

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ж и ^ — координата и время;

ж(£) — координата границы раздела фаз;

и — текущее значение температуры и температуры затвердевания;

и — изобарная объемная теплоемкость и коэффициент теплопроводности фаз;

— плотность теплового потока к ограничивающей поверхности тела;

— объемная теплота затвердевания (плавления);

р — давление.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гамбург, Д. Ю. Водород: свойства, получение, хранение, транспортирование, применение /

Д. Ю. Гамбург, Дубовкин Н.Ф.. М. : Химия, 1989. 672 с.

2. Свойства твердого и жидкого водорода. М.: Изд-во стандартов, 1969. 136 с.

3. Rosen, G. Nonlinear heat conduction in solid H / G. Rosen // Physical Rev. 1979. Vol. 19, No. 4. P. 2398-2399.

4. Bluman, G. On the remarkable nonlinear diffusion equation / G. Bluman, S. Kamei // J. Math. Physics. 1980. Vol. 21, No. 5. P. 1019-1023.

5. Жибер, А. В. Точные решения задачи динамики адсорбции-десорбции с нелинейной изотермой сорбции / А. В. Жибер, Н. М. Цирельман // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 5. С. 107-112.

6. Цирельман, Н. М. Теплофизика изменений агрегатного состояния водорода / Н. М. Цирельман, А. В. Жибер // Вестник УГАТУ. Уфа, 2002. Т. 3, № 1. С. 45-52.

7. Жибер, А. В. Определение температурных полей в пространственно неоднородной нелинейной среде / А. В. Жибер, Н. М. Цирельман // Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей. Уфа, 2004. С. 421-431.

8. Жибер, А. В. Нелокальные преобразования в теории тепломассопереноса / Жибер А.В., Цирель-ман Н.М. // Вестник УГАТУ. Уфа, 2005. Т. 6, № 2. С. 45-51.

9. Рубинштейн, Л. И. Проблема Стефана / Л. И. Рубинштейн. Рига : Звайзгне, 1967. 457 с.

10. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. М. : Мир, 1968. 425 с.

11. Мейерманов, А. М. Задача Стефана / А. М. Мейерманов. Новосибирск : Наука, 1986. 239 с.

12. Тихонов, А. М. Уравнения математической физики / А. М. Тихонов, А. А. Самарский. М. : Наука, 1966. 726 с.

ОБ АВТОРАХ

Жибер Анатолий Васильевич,

проф., вед. науч. сотр. ИМ УНЦ РАН. Дипл. математик (Ново-сиб. гос. ун-т, 1969). Д-р физ.-мат. наук по диф. уравнениям (защ. в ИМиМ УрОрАН, Екб., 1994). Иссл. в обл. совр. группового анализа диф. уравнений.

Цирельман Наум Моисеевич,

проф. каф. теории авиац. и ра-кетн. двигателей. Дипл. инж.-мех. (Одесск. технол. ин-т пищевой и холодильной пром-ти, 1963). Д-р техн. наук по мат. моделированию (защ. в Казанск. гос. техн. ун-те, 1995). Иссл. в обл. числ.-аналитич. и эксперим. методов тепломассопереноса.