CC BY
20
2. Кулиев В.Д. Новая формула суммирования функциональных рядов и некоторые ее приложения (ч. 1) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - № 1 (15). - С. 107-120.
3. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. - М.: Физматлит, 2005.
4. Кулиев В.Д. К теории дзета-функции Римана (ч. 2) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. -2013. - № 2 (16). - С. 163-184.
5. Кулиев В.Д., Измайлова Н.В., Лелявин С.Н. Метод Вилона-Кулиева для суммирования рядов для дзета-функции Римана // Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты. - 2014. - № 12. - С. 94-99.
6. Кулиев В.Д. К теории теплопроводности в конечном стержне. Ч. 3 // Вестник ЧПГУ - 2013. - № 3 (17).
7. Харди Г.Г. Расходящиеся ряды. - М.: «Наука», 1983.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ФОРМИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОГО ВОСХОДЯЩЕГО ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА1
© Обухов А.Г.*, Баранникова Д.Д.*
Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень
Рассматривается полная система уравнений Навье-Стокса при учете силы тяжести, силы Кориолиса и диссипативных свойств газа в восходящем закрученном потоке. Предлагаются конкретные соотношения для отдельной начально-краевой задачи, реализация которых рассматривается при численном расчете и детальном анализе особенностей сложных течений вязкого сжимаемого теплопроводного газа на начальной стадии формирования восходящего закрученного потока. Закрученный поток вызван локальным прогревом подстилающей поверхности.
Ключевые слова система уравнений газовой динамики, полная система уравнений Навье-Стокса, краевые условия.
Восходящие закрученные потоки достаточно часто наблюдаются в природе. В качестве примеров таких потоков можно привести многочисленные
1 Исследования поддержаны РФФИ (проект № 11-01-00198) и Министерством образования и науки РФ (проект № 2014/229).
* Профессор кафедры «Высшая математика» Тюменского государственного нефтегазового университета, доктор физико-математических наук, доцент.
* Ассистент кафедры «Алгебра и математическая логика» Тюменского государственного университета.
вихри, смерчи, торнадо и тропические циклоны. Исходя из предположения, что все перечисленные атмосферные явления имеют одинаковую газодинамическую природу, в работе [2] предложена общая схема возникновения и последующего функционирования восходящего закрученного потока. Теоретические и численные исследования, проведенные в работах [3-7], подтвердили эту схему и были посвящены изучению течения газа в придонной части восходящего закрученного потока. Основная идея предложенной в [2] схемы возникновения восходящего закрученного потока заключается в том, что в результате локального прогрева поверхности суши или водной поверхности появляется восходящий поток воздуха. Замещающее его радиальное течение, направленное к центру области нагрева, под действием силы инерции Кориолиса в Северном полушарии приобретает осевую закрутку в положительном направлении.
Целью данной работы является численный расчет и детальный анализ возникающих сложных течений вязкого сжимаемого теплопроводного газа на начальной стадии формирования восходящего закрученного потока, вызванного локальным прогревом подстилающей поверхности.
Полная система уравнений Навье-Стокса, передающая в дифференциальной форме законы сохранения массы, импульса и энергии в движущейся сплошной среде в безразмерных переменных с учетом действия силы тяжести и Кориолиса в векторной форме имеет следующий вид [7]:
pt + V-Vp + pdivV = 0,
V +{V-v)V +—Vp +1VT = g-2Qx V + J 1 v(div V) + 3aV
' \ ' yp у p|_4 1 ' 4
T + Vvt+(y-i)—divV = ^ at + *y2(y-1){[(u, - v,) 2+ (1)
+ (u-wz) 2+(vy -wz)2] + 3[(uy + vx) 2+(uz + ) 2+(vz + wy)2]},
где постоянные значения безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности следующие: j = 0,001, к и 1,458333jq.
В системе (1): t — время; x, y, z — декартовы координаты; p— плотность газа; V = (и, v, w) — вектор скорости газа с проекциями на соответствующие декартовы оси; T — температура газа; g = (0,0, - g) — вектор ускорения силы тяжести; у= 1,4 — показатель политропы для воздуха; -2QxV = (av - bw, - аи, bu) — вектор ускорения силы Кориолиса, где а = 2Q sin ц, b = 2Q cos ц, Q = |q| —
модуль вектора угловой скорости вращения Земли; ц — широта точки O — начала декартовой системы координат xyzO, вращающейся вместе с Землей.
За начальные условия при описании соответствующих течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа в случае постоянных значений коэффициентов вязкости и теплопроводности принимаются функции, задающие точное решение [9] системы (1):
-
u = 0, V = 0, w = 0, T (z) = 1-kz, k =
T '
T00 (2)
I = 0.0065—, -00 = 105 м, T00 = 288o K м
и
P(z) = (1-kz)"-1; " =— = const > 0. (3)
k
Расчетная область представляет собой прямоугольный параллелепипед с длинами сторон X = 1, y0 = 1 и z0 = 0,02 вдоль осей Ox, Oy и Oz соответственно.
Для плотности на четырех боковых гранях параллелепипеда берутся значения из стационарного состояния, а на нижней и верхней гранях ставится «условие непрерывности» потока.
Краевые условия для компонент вектора скорости газа берутся из «условий непротекания» для нормальной составляющей вектора скорости и «условий симметрии» для двух других компонент вектора скорости течения [10]. Для температуры на всех боковых гранях задаются значения из стационарного распределения, на верхней грани - условия непрерывности [10]. На плоскости z = 0 температура задается функцией
T (x, y, t) = 1 + M (1 - exp(-10t)) exp
( (x - 0.5)2 + (y - 0.5)2 ^
r2
(4)
где М - превышение максимального безразмерного значения температуры над масштабным единичным значением, г0 - безразмерное значение радиуса области нагрева.
Расчеты проводились при следующих входных параметрах: масштабные размерные значения плотности, скорости, расстояния и времени равны соответственно р00 = 1.2928-Кг, и00 = 333м, х00 = 100000м, ¿00 = х00 /и00 =
м с
= 300,3 с. Разностные шаги по трем пространственным переменным Ах = Ау = = Аг = 0,01, а шаг по времени Аt = 0,001.
В данной работе особый интерес представляют результаты расчета трех компонент скорости движения частиц газа и построенные на их основе мгновенные линии тока, являющиеся по существу траекториями движения частиц газа в сложном течении восходящего закрученного потока. Интерес
вызван обнаруженной при расчетах особенностью поведения движущегося потока газа в начальные моменты формирования восходящего закрученного потока при локальном нагреве нижней плоскости расчетной области.
Нагрев нижней плоскости г = 0, моделируемый формулой (4), происходит постепенно. Температура изменяется в локальной области с осевой симметрией радиусом г0 = 0,1 от масштабного единичного значения до максимального значения. График функции температуры Т(х, у) в некоторый фиксированный момент времени нагрева представлен на рис. 1 в виде поверхности. Соответствующий график функции давления р(х, у) в тот же фиксированный момент времени нагрева представлен на рис. 2. Видно, что давление газа внутри области нагрева в начальные моменты времени тоже возрастает, тогда как вне области нагрева давление газа пониженное и с увеличением расстояния от центра области нагрева постепенно выходит на стационарные значения.
Рис. 1. Температура на 600 шаге Рис. 2. Давление на 600 шаге
Благодаря такому распределению давления в начальные моменты времени следует ожидать и соответствующее поведение газа, как движущейся сплошной среды. Газ в начале нагрева движется в двух встречных направлениях. Одно из них радиальное направлено от центра пятна нагрева к его границе, а другое также радиальное, но направленное в противоположном направлении - от периферии к границе пятна нагрева.
Поскольку движущиеся вдоль горизонтальной поверхности потоки газа под действием силы Кориолиса отклоняются вправо в Северном полушарии, то встречные потоки на границе области нагрева имеют противоположное направление закрутки. Это приводит к возникновению в этой области нескольких локальных вихрей с противоположной направленностью вращения. На рисунках 3-6 представлен вид сверху на мгновенные линии тока участвующих в таком сложном движении частиц газа вблизи поверхности г = 0 в различные фиксированные моменты времени. Образовавшиеся к 500 расчетному шагу по времени два противоположно закрученных вихря взаимодействуют друг с другом. С увеличением времени счета верхний на
рисунках и закрученный в отрицательном направлении вихрь поглощается нижним закрученным в положительном направлении вихрем.
Рис. 3. Линии тока на 500 шаге Рис. 4. Линии тока на 1000 шаге
Рис. 5. Линии тока на 5000 шаге Рис. 6. Линии тока на 10000 шаге
Дальнейшее развитие восходящего закрученного потока при нагреве подстилающей поверхности идет без описанных выше особенностей, сопровождается возрастанием окружной скорости и соответствующим изменением всех газодинамических параметров. Несомненно, что установленная численными методами особенность в поведении течения газа в начальной стадии формирования восходящего закрученного потока требует анализа, осмысления и, возможно, теоретического обоснования.
Список литературы:
1. Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. - Новосибирск: Наука, 2008. -
96 с.
2. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. - Новосибирск: Наука, 2012. - 152 с.
3. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование и численный расчет течений в придонной части тропического циклона // Вестник
Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. - № 4. - С. 175-183.
4. Обухов А.Г. Математическое моделирование и численные расчеты течений в придонной части торнадо // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. -№ 4. - С. 183-189.
5. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование придонной части восходящего закрученного потока // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51, № 4. - С. 567-570.
6. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Обухов А.Г., Баутин К.В. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчеты, эксперименты. - Новосибирск: Наука; Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. - 215 с.
7. Баутин С.П., Обухов А.Г. Одно точное стационарное решение системы уравнений газовой динамики // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. -№ 4. - С. 81-86.
8. Баутин С.П., Обухов А.Г. Об одном виде краевых условий при расчете трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 5. - С. 55-63.
УРАВНЕНИЕ ИМПУЛЬСА ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ1
© Обухов А.Г.*, Сорокина Е.М.*
Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень
В работе выводится уравнение импульса в переменных Эйлера, представляющее собой дифференциальную форму второго закона Ньютона применительно к движению вязкой упругой сплошной среды. Уравнение импульса входит в систему уравнений газовой динамики и полную систему уравнений Навье-Стокса, которые применяются при описании сложных течений вязкой жидкости или газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса. Уравнение записывается в прямоугольной системе координат.
Ключевые слова тензор напряжений, принцип Даламбера, ускорение Кориолиса, полная система уравнений Навье-Стокса.
1 Исследования поддержаны Министерством образования и науки РФ (проект № 2014/229).
* Профессор кафедры «Высшая математика» Тюменского государственного нефтегазового университета, доктор физико-математических наук, доцент.
* Старший преподаватель кафедры Естественнонаучных дисциплин Филиала военного учебно-научного центра сухопутных войск «Общевойсковая академия Вооруженных Сил Российской Федерации».
