CC BY
21
Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. - № 4. - С. 175-183.
4. Обухов А.Г. Математическое моделирование и численные расчеты течений в придонной части торнадо // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. -№ 4. - С. 183-189.
5. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование придонной части восходящего закрученного потока // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51, № 4. - С. 567-570.
6. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Обухов А.Г., Баутин К.В. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчеты, эксперименты. - Новосибирск: Наука; Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. - 215 с.
7. Баутин С.П., Обухов А.Г. Одно точное стационарное решение системы уравнений газовой динамики // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. -№ 4. - С. 81-86.
8. Баутин С.П., Обухов А.Г. Об одном виде краевых условий при расчете трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 5. - С. 55-63.
УРАВНЕНИЕ ИМПУЛЬСА ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ1
© Обухов А.Г.*, Сорокина Е.М.*
Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень
В работе выводится уравнение импульса в переменных Эйлера, представляющее собой дифференциальную форму второго закона Ньютона применительно к движению вязкой упругой сплошной среды. Уравнение импульса входит в систему уравнений газовой динамики и полную систему уравнений Навье-Стокса, которые применяются при описании сложных течений вязкой жидкости или газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса. Уравнение записывается в прямоугольной системе координат.
Ключевые слова тензор напряжений, принцип Даламбера, ускорение Кориолиса, полная система уравнений Навье-Стокса.
1 Исследования поддержаны Министерством образования и науки РФ (проект № 2014/229).
* Профессор кафедры «Высшая математика» Тюменского государственного нефтегазового университета, доктор физико-математических наук, доцент.
* Старший преподаватель кафедры Естественнонаучных дисциплин Филиала военного учебно-научного центра сухопутных войск «Общевойсковая академия Вооруженных Сил Российской Федерации».
Уравнение импульса можно получить либо исходя из феноменологического подхода [1, 2], когда постулируются определенные соотношения между механическим напряжением и скоростью деформации, либо из кинетической теории [3].
Следуя [1], выделим в вязкой упругой сплошной среде с плотностью р некоторый объем а, ограниченный замкнутой поверхностью (рис. 1).
Рис. 1
На выделенный объем а действуют массовые и поверхностные силы. Массовая сила действует на расстоянии и чаще всего - это сила тяжести. Поэтому главный вектор массовых сил, приложенных к объему а, выражается интегралом
f g pda.
(1)
Вследствие третьего закона Ньютона силы взаимодействия между внутренними частицами объема a уравновешиваются. Поэтому к поверхностным силам относятся силы взаимодействия между частицами среды, лежащих снаружи поверхности S, и приложенные к поверхностным частицам
объема a. Если через Pn обозначить вектор поверхностной силы, отнесенной к единице площади, то на элементарной площадке ds будет приложена поверхностная сила Pnds и главный вектор поверхностных сил, приложенных к объему a выразится интегралом
f Pnds. (2)
Строго говоря, вектор р зависит от ориентации площадок ds и может быть представлен в виде
P = cosa-р + cos^-P + cosf-р, (3)
где cosa, cos^, cos^ - косинусы углов, образованных с осями координат внешней нормалью к площадке ds, а р, P , р - векторы поверхностных сил для площадок, внешние нормали которых параллельны и сонаправлены
С7
с осями координат. Другими словами вектор Р является тензором упругих напряжений.
Согласно принципу Даламбера все силы, приложенные к выделенному объему а, уравновешиваются. Поэтому
| (§ - а - 2ОхУ) Р& = 0,
(4)
где а + 2Ох V - ускорение элемента йапри учете Кориолисова ускорения, О - вектор угловой скорости вращения Земли, а
(а + 2Ох V) рйа
(5)
представляет собой главный вектор сил инерции.
Преобразуем поверхностный интеграл, входящий в (4), в объемный. По теореме Гаусса с учетом (3) имеем
{Р& = < (
■I
Рх 008 а + р 008 р + р 008 х) ds = = | П&ст ,
'дР дРу дРЛ
+ —+ дх ду д2
(6)
где П =
П П П
ух
П П П
ху уу
П П П
(7)
симметричный тензор напряжений. Уравнение (4) с учетом (6) приобретает вид
{[ (§ - а - 2О хУ )р + П] &а = 0
(8)
и с учетом произвольности объема а подынтегральная функция должна быть равна нулю, то есть
§ - а - 2О хУ +—П = 0. Р
(9)
Для всех газов и большинства жидкостей упругое напряжение в некоторой точке линейно зависит от скорости деформации. Такие сплошные среды называются ньютоновскими и для них получен общий закон деформации [2], который связывает тензор напряжений с давлением и компонентами скорости:
сг
а
а
П =- Р3. + и
Г ди1 ды. ^
дх. дх. V . г У
+ , г , ., к = 1,2,3, (10)
11, / =.
где символ Кронекера 3.. = ■ ; иь и2, и3 - компоненты вектора скоро-
сти V; хь х2, х3 - координаты радиус-вектора точки; /и - коэффициент динамической вязкости; / - второй коэффициент вязкости, который при отсутствии ударных волн полагается равным
, 2
и=- ^ и
С учетом (11) тензор напряжений можно записать как
П =-+и
дх. дх.
V . г У
ЙЫк.
3 3 дх.
/,к = 1,2,3,
(11)
(12)
или в подробной записи в прямоугольной системе координат с учетом обозначений для координат точки х, у, 2 и компонент скорости V - и, V, V
П хх =- Р + и
ды ды | 21 ды ду д^ дх дх у 3 ^ дх ду дг
. _ ды 2 ды 2 ду 2 дw | 2 („ ды ду дw'
= -/> + /1 2-—--—--—-—- \ = -р + -и 2~—----—
дх 3 дх 3 ду 3 дг
дх ду дг
Г ды ду
П ху =П ух = и(д;+йу
'.ды дw)
П ' =П' =и.ды + ,
(13)
(14)
(15)
п уу =- Р + и
ду ду | 2 (ды ду дw
—+— I—I — + — + —
ду ду у 3 V дх ду дг
, „ ду 2 ду 2 ды 2 дw | 2 („ду ды дw
= - р + и 2----------= - р + — Щ 2-----
ду 3 ду 3 дх 3 дг ^ 3 I ду дх дг у
(16)
(ду дw
П уг =П * = + ^
П гг =- р + М
ди дм — + —
дг дг
2 (ди ду дм 31 дх ду дг
, „ ди 2 дм 2 ди 2 ду | 2 („ди ди ду |
= -р + 2----------= -р+—Щ 2-----.
дг 3 дг 3 дх 3 ду) 3 ^ дг дх ду)
(18)
С учетом (13)-(18) проекции й/уП на оси координат можно записать так:
(&у П)х =
дП дП у
дх
ду
дП
дг
д_
дх
2 ( ди ду ди - р +—щ 2-----
3 1 дх ду дг
ду
(ди ду М\ —+—
^ду дх
дг
ди ди
М\ —+—
дг дх,
д у 2 д2и
др 4 д2и 2 -— + ~М—г —, ,
дх 3 дх 3 дхду 3 дхдг
д2и_
2
д у
М-+ щ—г + щ-+ щ—-т + щ-= (19)
^ ^ ду дудх дг дгдх
дх
др ( д2и д2и д2и ) 1 д2и 1
дх2
дудх д2у
д2и_
2
д2и
1 д2и
+-м-
ду2 дг2) 3' дх2 3' дхду 3' дхдг
-— +1 Щ—( &1уУ\ + щАи. Яг ^ Яг ^ '
(&у П) у =
дП дП дП,
дх
- + -
ду
- + -
дг
д_
дх
(ди ду М\ —+—
^ду дх
ду
2 ( ду ди ди -р + — Щ 2-----
3 1 ду дх дг
дг
ду ди дг ду у
д2и д2у др 4 д2у 2 д2и
дхду ' дх2 ду 3^ ду2
2 д2и д2у д2и
— М-+ М—Т-+И-= (20)
3 дудг дг дгду
др
= я +М ду
д у д у д у 1 1 д у 1 д2и 1 д2и
дх ду дг ) 3 ду
+ -М—Т + -М
дхду 3 дудг
-— +1 Щ—( V) + м Ау.
ду 3 ду
_д_
дх
(ди ди М\ —+—
I дг дх
д и
д и
(&У П)г =
дПхг | + дПг дх ду дг
д +—
ду
д2у
ду ди Щ ~дг +~ду
д 2 („ди ди ду |
+--р +—м\ 2-----I
дг 3 1 дг дх ду)
д и
'М^Т + М—Т + М-+ М—;---+ ~М ,
дх дудг ду ^
дхдг
др дг
д^и д2
2 д и
— щ---
3 дгдх 3
2 д2у
дгду
+
д
д
д
д
др ( д2 w д2 w д2 w
=—~ + — -Т +-т +
& I дг2 ду2
[ дх2 ду2 дг2
= -др +1 м±( &уУ) + — Ам>.
Ят ^ Ят V '
1 д (ди ду дw
+ - ——I — + — + — 1 =
3 дг ( дх ду дг
дг 3 дг
Учитывая, что § = (0,0, - §), V = (и, у, w),
Си Су dw С^ С^ С/
ди ди ди ди --+ и--+ у--+ w—,
^дt дх ду дг'
ду ду ду ду
--+ и--+ у--+ w—,
д/ дх ду дг
дw дw дw дw
--+ и--+ у--+ w—
д/ дх ду дг ^
-2QxV = (20зту-у - 20 еозу-w, - 20 зту-и, 20 еозу-и) =
= (ау — bw, — аи, Ьи),
а у - широта точки на поверхности Земли, получим три декартовые проекции уравнения импульса
ди ди ди ди , 1 др — 1 д
--+ и--+ у--+ w— = ау - bw----I—
д/ дх ду дг р дх р
1 д( Сгу! ) т. янЛ /
ду ду ду ду 1 др и
--+ и--+ у--+ w— = -аи----1—
д/ дх ду дг р ду р
3 дх 1 д
+ Аи
--( Лу!) +Ау
з дИ '
(22) (23)
дw д^ дw д^ , 1 др и
--+ и--+ у--+ w— = Ьи - §----I—
д/ дх ду дг р дг р
1 _д_
3 дг
( divV ) + Aw
(24)
Три скалярных уравнения импульса (22)-(24) можно записать одним векторным уравнением
^ + (у .V) я* У )
д/
V)V = § - 2 0x1?-—Vp + — р р
1 v( ау!)
+ AV
(25)
Уравнение неразрывности, наряду с уравнениями импульса и энергии, входит в систему уравнений газовой динамики и в полную систему уравнений Навье-Стокса, описывающей, например, течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа.
Список литературы:
1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В.Теоретическая гидромеханика. Часть 1. - М.: Физматгиз, 1963. - 584 с.
2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 708 с.
3. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. - М.: ИЛ, 1961. - 928 с.
