CC BY
10
Физико-математические науки
161
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОСХОДЯЩЕГО ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА ГАЗА, ИНИЦИИРОВАННОГО ХОЛОДНЫМ ПРОДУВОМ1
© Обухов А.Г.* *, Абдубакова Л.В.*
Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень
В работе предложен численный расчет энергетических характеристик сложного трехмерного течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в восходящем закрученном потоке, который возникает при холодном продуве газа вертикально вверх. Приведены результаты расчета зависимости от времени различных видов кинетической энергии в подобных сложных течениях газа, сравнительного анализа безразмерных численных значений полной кинетической энергии, кинетической энергии вращательного движения, кинетической энергии вертикального движения исследуемого потока. По результатам расчетов сделан вывод о том, что с ростом времени расчета основной вклад в полную кинетическую энергию дает кинетическая энергия вращательного движения в восходящем закрученном потоке.
Ключевые слова: математическое моделирование, система уравнений газовой динамики, нестационарные течения газа.
Для описания сложных течений газа используются модели упругой сплошной среды, основанные на численном решении полной системы уравнений Навье-Стокса [1]. Подобного рода решения наиболее адекватно описывают физические процессы в указанных течениях, поскольку в них учитываются диссипативные свойства упругой сплошной среды - вязкости и теплопроводности.
Исследования, проведенные в работах [2-6], подтвердили предложенную в [7] общую схему возникновения и функционирования восходящего закрученного потока. Основная идея предложенной в [7] схемы возникновения восходящего закрученного потока заключается в том, что в результате локального прогрева поверхности суши или водной поверхности появляется восходящий поток воздуха. Замещающее его радиальное течение под действием силы инерции Кориолиса приобретает осевую закрутку.
1 Исследования поддержаны РФФИ (проект № 11-01-00198) и Министерством образования и науки РФ (проект N° 2014/229).
* Профессор кафедры «Высшая математика» Тюменского государственного нефтегазового университета, доктор физико-математических наук, доцент.
* Старший преподаватель кафедры «Алгебра и математическая логика» Тюменского государственного университета.
162
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Для появления радиального движения воздуха не имеет значения способ создания первоначального восходящего потока - это либо нагрев подстилающей поверхности, либо холодный вертикальный продув. Последний способ получения восходящего закрученного потока был успешно реализован в лабораторных условиях [8, 9]. Поэтому, несомненный интерес представляет попытка математически и численно смоделировать возникновение и развитие восходящего закрученного потока именно с использованием холодного продува воздуха. Тем более что в работах [10-12] предприняты попытки исследований сложных течений газа, предполагающих математическое моделирование и численные расчеты трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа в целом.
Целью данной работы является численный расчет энергетических характеристик трехмерного нестационарного течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа в восходящем закрученном потоке, вызванного вертикальным холодным продувом.
Используемая для численного моделирования такого рода сложных течений газа полная система уравнений Навье-Стокса в безразмерных переменных с учетом действия сил тяжести и Кориолиса в векторной форме имеет следующий вид [1]:
pt + И-Vр + pdivV = 0
гр r
Vt +(V -V)V + — Vp +1VT -g -2DX V + p 1 v(divV) + -aV
Tt + V ■VT + (r-l)TdivV = KAT + Por(r ^ j (ux - vy) +
(1)
+ (Ux - Wz ) +(vy - wz ) + - (Uy + Vx ) +(uz + Wx ) +(vz + Wy )2
2
где значения безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности: p0 = 0,001, ко ~ 1,458333p0. В системе (1): t - время; x, y, z - декартовы координаты; p - плотность газа; V = (u, v, w) - вектор скорости газа с проекциями на
соответствующие декартовы оси; T - температура газа; g = ( 0,0, - g) - вектор ускорения силы тяжести; -2Dx V = (av- bw, - au,bu) - вектор ускорения силы Кориолиса, где a = 2D. sin p, b = 2D cos p, D = |D| ; D - вектор
угловой скорости вращения Земли; p - широта точки O - начала декартовой системы координат Oxyz, вращающейся вместе с Землей.
В качестве начальных условий в данной работе берутся функции, задающие точное решение [10] системы (1):
Физико-математические науки
163
к II о II о II о (2)
lx T0 (z) = 1—kz, k = T00 l = 0.0065—, x00 = 5 -104 м, T00 = 288oK, м (3)
Р0( z) = (1 - kzY-1; v=^^ = const > 0 k (4)
Расчетная область представляет собой прямоугольный параллелепипед с длинами сторон х0 = 1, у0 = 1 и z0 = 0,02 вдоль осей Ox, Oy и Oz соответственно.
Для плотности на всех шести гранях параллелепипеда задается условие непрерывности потока [11].
Краевые условия для компонент вектора скорости газа на гранях берутся из условий непротекания или симметрии [11].
Для температуры на всех шести гранях задаются условия теплоизоляции [11].
Через квадратное отверстие размером 0,1 х 0,1 в центре верхней грани расчетной области задается вертикальная скорость течения газа в виде функции
w(t) = 0.0125-[i-exp (—10t)], (5)
моделирующей вертикальный продув газа в диапазоне скоростей 0^0,0125.
Расчетная область заполняется трехмерной прямоугольной сеткой узлов Xi = i - Дх, yj = j - Ду, zk = к - Az. Разностные шаги по трем пространственным переменным Дх = Ду = 0,005 (размерное значение 250 м), Az = 0,002 (размерное значение 100 м), а шаг по времени At = 0,001 (размерное значение 0.15 с).
По известным в начальный момент времени t = 0 во всех точках прямоугольного параллелепипеда всем искомым функциям
u I = и0
It=0
с помощью явной разностной схемы
Un+1 = Un + At - F(Un);
U =
u
v
w
T
VT У
(6)
(7)
164
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
вычисляются значения функций во внутренних точках прямоугольного параллелепипеда. После этого, используя граничные условия, значения искомых функций определяются во всех точках граней, ребер и вершин расчетной области.
Найденные во внутренних узлах расчетной сетки компоненты скорости, плотности и температуры дают возможность рассчитать безразмерное значение различных видов энергии движения газа в каждый фиксированный момент времени в расчетной области V. В работе была рассчитана полная кинетическая энергия W восходящего закрученного потока, учитывающая все три компоненты вектора скорости частиц газа
W=111 г
2 2 2 u + V + w
dv -ZZZp.
2 2 2 ui,j,k + vi,j ,k+wi,j,t
,j,k
■AxAyAz (8)
Кинетическая энергия Wxy, обусловленная только первой и и второй v компонентами скорости
W„ =Шр-
V
2 2 u + V
dV -ZEE a
ulj,k+vlj,k
j ,k
■AxAyAz
(9)
Кинетическая энергия Wz, обусловленная только вертикальной w составляющей скорости
Wz =Ша Т dV-ZZZa
w.
ij,k
i,j,k
■AxAyAz
2
(10)
Проектируя вектор скорости в узле V на радиальное и тангенциальное направления, можно найти радиальную S и окружную s<р скорости движения частиц газа в каждой внутренней точке расчетной области. Это позволяет провести расчет кинетической энергии, связанной с движением газа в полярной системе координат
W*=£fp-
V
sr 2 + А
-dV -ZZZPk
sr2 + A2
si,j,k + si,j,k
j,k
■AxAyAz
(11)
и энергию только вращательного движения газа
... Ф ?фФ
W = Ж a—dV ~ ZZZPi,j,k - (12)
V 2 i j k 2
На приведенных далее рис. 1-4 представлены результаты расчетов всех пяти видов кинетических энергий для одинакового рассчитанного проме-
Физико-математические науки
165
жутка времени от начала продува (п - количество расчетных шагов по времени). Данный промежуток времени соответствует начальной стадии возникновения и развития восходящего закрученного потока.
Рис. 1. Полная кинетическая энергия
Рис. 2. Кинетические энергии без учета вертикальной скорости
Рис. 3. Кинетическая энергия вертикального движения
Рис. 4. Кинетическая энергия вращательного движения
Максимальные безразмерные рассчитанные значения энергии, приведенные на графиках, составляют соответственно W = 7,5482 • 10-7, Wxy = Wrv = 7,5425 • 10-7, Wz = 5,7397 • 10-10, Wv = 7,3446 • 10-7. Совпадение
значений энергий Wxy и Wrv наблюдается для всех рассчитанных моментов времени, поэтому два графика соответствующих энергий представлены на рис. 2 совпадающими друг с другом. Это свидетельствует о корректности вычислительной процедуры, поскольку это одни и те же энергии, но рассчитанные разным способом.
Сопоставление численных значений кинетических энергий позволяет сделать вывод о том, что основной вклад порядка 97 % в общую кинети-
166
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ческую энергию восходящего закрученного потока дает кинетическая энергия вращательного движения. Именно эта часть энергии была получена восходящим закрученным потоком от энергии вращения Земли.
Список литературы:
1. Баутин С.П. Представление решений системы уравнений Навье-Стокса в окрестности контактной характеристики // Прикладная математика и механика. - 1987. - Т 51, Вып. 4. - С. 574-584.
2. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. - Новосибирск: Наука, 2012. - 152 с.
3. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование и численный расчет течений в придонной части тропического циклона // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. - № 4. - С. 175-183.
4. Обухов А.Г. Математическое моделирование и численные расчеты течений в придонной части торнадо // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. -№ 4. - С. 183-189.
5. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование придонной части восходящего закрученного потока // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51. - № 4. - С. 567-570.
6. Баутин С.П., Крутова И.Ю., Обухов А.Г., Баутин К.В. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчеты, эксперименты. - Новосибирск: Наука; Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. - 215 с.
7. Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. - Новосибирск: Наука, 2008. -96 с.
8. Баутин С.П., Баутин К.В., Макаров В.Н. Экспериментальное подтверждение возможности создания потока воздуха, закрученного силой Кориолиса // Вестник УрГУПС. - 2013. - № 2 (18). - С. 27-33.
9. Макаров В.Н., Горбунов С.А., Баутин К.В., Баутин С.П. Исследование циркуляционного течения атмосферного воздуха под действием силы Кориолиса // Известия Уральского государственного горного университета. - 2013. - № 2 (30). - С. 35-38.
10. Баутин С.П., Обухов А.Г. Одно точное стационарное решение системы уравнений газовой динамики // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. -№ 4. - С. 81-86.
11. Баутин С.П., Обухов А.Г. Об одном виде краевых условий при расчете трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 5. - С. 55-63.
12. Обухов А.Г., Сорокина Е.М. Математическое моделирование и численный расчет трехмерного конвективного течения газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 6. - С. 57-63.
