CC BY
24
(т.е. большая часть относится к сумме всех четырёх, т.е. к длине всего отрезка).
Числа Д, у4 и р4 удовлетворяют следующим уравнениям: Р4 + ¡3\ -1 = 0, РА и 0,819172513396164;
744 + Г3 + Г2 -1 = 0, Г4~ 0,518790063675884;
р4 + р43 + р2 + р -1 = 0, р и 0,682327803828019.
Список литературы:
1. Евклид. Начала. - М.; Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948. - 446 с.
2. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. - М.: Наука, 1983.
3. Бендукидзе А.Д. Золотое сечение // Квант. - М., 1973. - № 8.
4. Ковалёв Ф.В. Золотое сечение в живописи. - К.: Выща школа, 1989.
5. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении // Отечество. - София, 1983. - № 10.
6. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. - М.: Молодая гвардия, 1990. -238 с.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАГРЕВА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ1
© Обухов А.Г.*, Абдубакова Л.В.*
Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень
В работе предложен один вариант математического моделирования локального нагрева поверхности Земли, обладающего набором определенных свойств. Приведенная аналитическая зависимость локального прогрева поверхности Земли от координат точек поверхности и времени позволяет адекватно моделировать возникающие при этом течения газа, которые являются основной причиной восходящих закрученных потоков газа.
Ключевые слова: математическое моделирование, система уравнений газовой динамики, нестационарные течения газа.
1 Исследования поддержаны РФФИ (проект № 11-01-00198) и Министерством образования и науки РФ (проект № 1.8490.2013).
* Профессор кафедры «Высшая математика» Тюменского государственного нефтегазового университета, доктор физико-математических наук, доцент.
* Ассистент кафедры «Алгебра и математическая логика» Тюменского государственного университета.
Для исследования сложных течений газа в восходящих закрученных потоках [1,2], применяется численное построение решений либо системы уравнений газовой динамики [3, 4, 5], либо полной системы уравнений Навье-Стокса [6, 7].
В первом случае изэнтропические течения газа представляются как движение сжимаемой сплошной среды, а система уравнений газовой динамики, являющейся квазилинейной системой уравнений с частными производными гиперболического типа, в дифференциальной форме передает законы сохранения массы, импульса и энергии.
Во втором случае полагают, что движущаяся сплошная среда дополнительно обладает и диссипативными свойствами - вязкостью и теплопроводностью. При этом полная система уравнений Навье-Стокса имеет смешанный тип, поскольку состоит из гиперболической и параболической частей.
Основной причиной возникновения восходящих потоков газа [1, 2] является локальный прогрев поверхности Земли и поэтому для математического моделирования возникающих при этом течений газа необходимо адекватно смоделировать нагрев участка земной поверхности.
Для расчета трехмерных нестационарных течений в качестве расчетной области берется прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием и единичными (в безразмерном случае) длинами сторон, в котором строится равномерная прямоугольная расчетная сетка. Расчет ведется по явной разностной схеме. Квадрат, лежащий в плоскости основания параллелепипеда, обозначающий поверхность Земли, и содержит область нагрева.
Исходя из общих физических соображений, область нагрева должна обладать следующими свойствами.
1. Нагрев предполагается симметричным относительно точки (х0, у0) -геометрического центра квадрата в основании параллелепипеда.
2. Диаметр пятна нагрева должен быть равен примерно пятой части длины стороны квадрата, то есть ё = 0,2.
3. Минимальная температура нагрева равна масштабному значению температуры Т00 = 1 (размерное значение 288о К = 15о С) вне круга диаметром ё = 0,2.
4. Максимальная температура нагрева равна 1.125 (размерное значение 324о К = 51о С) должна быть в геометрическом центре в основании параллелепипеда.
5. Переход от минимальной температуры к максимальной должен осуществляться плавно без скачков и резких изменений.
6. Поверхность, изображающая температуру нагрева как функцию координат точек плоскости, лежащих в плоскости основания параллелепипеда, вблизи окружности диаметром ё должна быть вогнутой.
7. Нагрев до максимальной температуры должен происходить не мгновенно, а постепенно и достаточно медленно.
Далее заданные параметры и свойства нагрева нижней плоскости параллелепипеда предлагается моделировать с помощью функции трех переменных, содержащую экспоненциальный множитель и степень косинуса в виде:
T(x, y, t) = 1 + 0.125 (1 - eM ) cos" ( A J (x - xo )2 + (y - yo )2) (1)
где T - температура;
x, y - координаты точек плоскости в основании параллелепипеда; t - время;
M - коэффициент, определяющий скорость нарастания максимального значения температуры; n - показатель степени косинуса, определяющий степень вогнутости графика функции температуры от координат точек плоскости, лежащих в плоскости основания параллелепипеда, вблизи окружности диаметром d; A - коэффициент, определяющий диаметр пятна нагрева.
Приведенная формула (1) позволяет учесть все перечисленные выше условия, накладываемые на температуру в нижней плоскости параллелепипеда.
Первое условие симметричности нагрева относительно геометрического центра квадрата в основании параллелепипеда обеспечивается наличием квадратного корня от суммы квадратов координат точек в основании параллелепипеда в аргументе функции косинуса.
Минимальное значение температуры T(x, y, t)|t = 0 = 1, частично отмеченное третьим свойством, достигается для начального момента времени t = 0 за счет множителя с экспоненциальной функцией времени.
С ростом времени за счет указанного множителя температура в области нагрева, постепенно, со скоростью определяемой коэффициентом M, достигает своего максимального значения 1.125, то есть выполняются свойства седьмое и четвертое. Следует заметить, что максимальная температура наблюдается в точке с координатами x = x0, y = y0, в которой обращается в ноль аргумент косинуса. Эта точка является геометрическим центром квадрата в основании параллелепипеда.
Плавный переход от минимальной температуры к максимальной по пятому свойству обеспечивается плавным изменением функции косинуса, а направление вогнутости графика температуры по шестому свойству - показателем n степени косинуса.
Что касается коэффициента A, то он связан с диаметром d пятна нагрева (свойства второе, частично третье и шестое) и для его определения следует воспользоваться следующими соображениями. Поскольку аргумент косинуса имеет вид:
А (х - х )2 + Су - у0)'
(2)
то ширина полупериода косинуса равна % / А, что совпадает с диаметром пятна нагрева d. Поэтому имеем равенство:
откуда при d = 0,2 имеем:
% = а
А
А =% = 3.14 = 15.7
а 0.2
(3)
(4)
В расчетах значения коэффициентов принимались М = 10, а п = 2. Поэтому окончательно моделирование локального нагрева поверхности Земли осуществлялось формулой:
Т(х,у, 0 = 1 + 0.125 (1 - ) сов2 ( 15.7^ - хо)2 + (у -у)2 )
(5)
На рис. 1 приведен график функции температуры Т(х, у) для одного рассчитанного момента времени.
Рис. 1
Список литературы:
1. Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. - Новосибирск: Наука, 2008. -
96 с.
2. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. - Новосибирск: Наука, 2012. - 152 с.
3. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование и численный расчет течений в придонной части тропического циклона // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. - № 4. - С. 175-183.
4. Обухов А.Г. Математическое моделирование и численные расчеты течений в придонной части торнадо // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика - 2012. -№ 4. - С. 183-189.
5. Баутин С.П., Обухов А.Г. Одно точное стационарное решение системы уравнений газовой динамики // Известия вузов. Нефть и газ. -2013. -№ 4. - С. 81-86.
6. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 2009. - 368 с.
7. Баутин С.П. Представление решений системы уравнений Навье-Сток-са в окрестности контактной характеристики // Прикладная математика и механика. - 1987. - Т. 51, вып. 4. - С. 574-584.
ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДИАЛОГО-ГРАФИЧЕСКОЙ СРЕДЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ СПЕКТРОВ
© Подосенова Т.Б.*
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
г. Москва
В работе рассматривается структура программно реализованной диалого-графической среды, позволяющей эффективно использовать возможности компьютера как для интерактивного графического представления спектров и результатов их обработки, так и для создания, редактирования и выполнения различных схем обработки спектральных данных.
Ключевые слова обработка спектров, визуализация спектров.
1. Задачи моделирования, численной обработки и интерпретации спектральных данных для многих классов экспериментов математически весьма близки. Исходные спектры предполагаются линейчатыми, т.е. представляющими собой суперпозицию одиночных линий типа дельта-функций. Изме-
* Старший научный сотрудник лаборатории обратных задач, кандидат физико-математических наук.
