CC BY
221
УДК 681.5.01
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ИМПУЛЬСНОГО ПОВЫШАЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
НАПРЯЖЕНИЯ
И.В. Капустин, А.В. Лукашенков
Рассмотрен подход к разработке математических моделей импульсных преобразователей электрической энергии как объектов управления, учитывающих различные режимы работы и основанный на методе усредненных переменных состояния. Предлагаемая обобщенная модель позволяет проводить анализ и синтез замкнутых систем управления электроэнергетическими параметрами преобразователей.
Ключевые слова: математическая модель, импульсный преобразователь, ши-ротно-импульсная модуляция, пространство состояний, метод усреднения.
Принцип работы импульсных преобразователей электрической энергии, имеющих высокие электроэнергетические параметры и позволяющих решать проблемы энергосбережения, основан на периодической, высокочастотной коммутации электронных ключей. Управление выходными электроэнергетическими переменными осуществляется с помощью широтно-импульсной модуляции (ШИМ) коммутирующих периодических импульсов. В течение периода коммутации схема преобразователя может несколько раз изменять свою структуру и иметь несколько интервалов непрерывности. При этом количество интервалов непрерывности зависит от режима работы и нагрузки преобразователя. Такие преобразователи являются нелинейными, нестационарными динамическими системами с периодически коммутируемыми параметрами, что существенно усложняет анализ их как объектов управления и синтез систем управления.
Повышающий преобразователь напряжения (рис. 1) имеет три интервала непрерывности в режиме прерывистых токов и два - в режиме непрерывных токов [1]. Математическая модель преобразователя для целей управления должна отражать как статические свойства и регулировочные характеристики преобразователя независимо от режима работы, так и динамические свойства и характеристики, позволяющие проводить синтез замкнутых систем управления, адаптирующихся к текущему режиму работы и к переходу из одного режима в другой. На основе такой универсальной модели преобразователя возможно создание адаптивных систем управления, обеспечивающих высокое качество функционирования преобразователя, устойчивую и надежную работу при различных внешних условиях и нагрузках с высокими электроэнергетическими показателями.
Рассмотрим построение для целей автоматического управления обобщенной математической модели повышающего преобразователя напряжения на основе усреднения переменных состояния, отражающей
126
как режимы прерывистых, так и непрерывных токов, а также переходы из одного режима в другой.
и Ь УО
о—►-
г7У
"VI
1тл
га
ос
УТ
С
-*—О
я
Рис. 1. Схема импульсного повышающего преобразователя постоянного напряжения
Режим прерывистых токов является наиболее сложным и специфичным, поэтому будем рассматривать построение математической модели повышающего преобразователя напряжения как объекта управления, начиная с режима прерывистых токов. На рис. 2 показаны сигналы токов и напряжений элементов преобразователя на различных интервалах непрерывности в режимах прерывистых (РПТ) и непрерывных (РНТ) токов.
Рис. 2. Диаграммы токов и напряжений на элементах преобразователя в режиме прерывистых токов (а); в режиме непрерывных токов (б)
На каждом интервале непрерывности внутри периода коммутации схема преобразователя описывается определенной системой линейных
дифференциальных уравнений. Рассмотрим работу преобразователя на каждом из интервалов непрерывности.
Интервал накопления энергии в индуктивности. Длительность данного интервала On определяется длительностью управляющего импульса, открывающего транзисторный ключ. На интервале t е [0, to*] транзисторный ключ открыт, все входное vj* (t) напряжение приложено к индуктивности L. Поведение схемы на интервале накопления описывается в базисе переменных состояния следующей системой дифференциальных уравнений второго порядка:
dJLr = TV* (t),
, , t е[0, to*], iL(0) = 0, (1)
d-C(t) 1 ,, (f)
~CT=~ Wi vc (t 1
T
где [z'l (t), vc (t)] - вектор переменных состояния; iL (t) - ток входной индуктивности; vc(t) - напряжение выходной емкости; vj*(t) - внешнее входное напряжение. Напряжения vjn (t) и v^(t) являются медленно изменяющимися переменными, в течение периода коммутации они остаются практически постоянными: vj*(t) = vj* , vc (t) = vc . На интервале накопления происходит линейное нарастание тока индуктивности iL (t) от нулевого уровня (рис. 2)
iL (t) = ^'t (2)
и накопление в ней энергии. При этом диод находится под обратным напряжением и закрыт, выходная цепь отделена от входной, емкость С медленно разряжается через сопротивление нагрузки R. К концу интервала toN ток индуктивности возрастает до максимального значения
JL max = -^'О . (3)
Интервал отдачи энергии индуктивностью и заряда конденсатора. Во время интервала отдачи энергии транзисторный ключ VI закрыт, а диод VD открыт под действием суммы входного напряжения и ЭДС самоиндукции индуктивности L. К индуктивности приложена разность входного и выходного напряжений. Ток индуктивности, линейно снижаясь от максимального уровня Il max
iL (t) = Il max - 't, (4)
протекает через диод VD и заряжает выходной конденсатор. На данном интервале ток диода определяется током индуктивности iyD (t) = iL (t) и накопленная в индуктивности энергия отдается в нагрузку. При этом схеме
соответствует система дифференциальных уравнений в пространстве состояний в том же базисе, что и на интервале накопления:
А ="L•VC(t) + L•VIN(i)', t е[tON, tON + tOFF], . (5) itdH = 1. ,L(t) -_L. VC (t), ' (t0N) = il max .
Длительность интервала отдачи энергии Off в режиме прерывистых токов определяется временем от момента закрывания транзисторного ключа до момента снижения тока индуктивности от ¡l max до нуля (4):
OFF = LlLmax ■ (6)
VC - VIN
В результате длительность интервала Off является зависящей от длительности интервала накопления On , которая является управляющим воздействием, и от соотношения входного и выходного напряжений
OFF = ——— t0N ■ (7)
VC - VIN
Сумма двух рассмотренных интервалов в режиме прерывистых токов остается меньше периода коммутации:
vc
on + OFF =--on ^ ts ■ (8)
vc - VIN
Интервал отсечки (характерен только для режима прерывистых токов). На данном интервале ток индуктивности равен нулю, при этом не происходит ни накопление, ни передача энергии. Транзисторный ключ и диод закрыты, происходит только разряд выходной емкости. Длительность интервала отсечки tCTF определяется от момента снижения тока индуктивности до нуля до момента окончания периода коммутации:
tCTF = ts - t0N - off ■ (9)
Интервалу отсечки соответствует следующая система дифференциальных уравнений:
diL (t) _ q
л , tt0N + off, Т] ,l(ON + off) = q. (1q)
dvc(t) _ 1 v (Л
~cr - ос ■vc (t),
Управление током и выходным напряжением преобразователя при широтно-импульсной модуляции (ШИМ) осуществляется путем изменения длительности открытого состояния транзисторного ключа On, т.е. длительности интервала накопления энергии. При этом будут изменяться длительность и соотношение других интервалов toFF и tcTF, поскольку из-
меняется ток индуктивности. Однако сумма трех интервалов постоянна и
равна периоду коммутации: ¿о^ + ¿оее + ¿СТЕ = .
Приведенные системы дифференциальных уравнений (1), (5), (10)
для различных интервалов непрерывности имеют единый базис перемент
ных состояния [¡I (^), Ус ($)] - ток индуктивности и напряжение емкости, общее внешнее воздействие ^), а отличаются только коэффициентами в правой части. Эти системы могут быть объединены и представлены одной общей системой дифференциальных уравнений, справедливой для всех интервалов, для любого момента времени с помощью ступенчатых периодических коммутирующих функций, определяющих каждый из интервалов непрерывности на периоде коммутации:
t е[0, О ■ Т$]
t ■ (о+лоее\ (11)
dON (t) = dON (t + TS ) =
dOFF(t) = dOFF (t + TS ) :
dCTF (t) = dCTF (t + TS )
t e[(dON+dOFF)■ ts, ts]; 0, t e[0, dON ■ Ts],
1 t e [dON ■ TS, (dON + dOFF^ TSL (12)
0, t e [(dON + dOFF)■ TS, TS]; 0, t e[0, dON ■ Ts],
0 t e [dON, (dON + dOFF^ TSL (13)
,1, t e[(dON + dOFF У TS, TS L где dON = tON / Ts - относительная длительность интервала накопления энергии в индуктивности (коэффициент заполнения управляющих импульсов), соответственно dOFF = tOFF /Ts, dCTF = tCTF /Ts, причем
dON + dOFF + dCTF = 1, dON (t) + dOFF (t) + dCTF(t) = 1.
В результате, умножая каждую систему (1), (5), (10) на соответствующую коммутирующую функцию (11), (12), (13) и суммируя их, получим единую общую систему дифференциальных уравнений, описывающую электромагнитные процессы в преобразователе в произвольный момент времени t на любом периоде:
diL (t) = dt dvC (t)
1 vC ■ dOFF (t) +1 vIN (t) ■ [dON (t) + dOFF (t)],
1 *L (t) ■ dOFF (t)
1
(14)
VC (t).
Л С ^ о— КС Эта система является системой дифференциальных уравнений с разрывными периодическими (с периодом Т$) коэффициентами, моменты переключения которых на периоде коммутации изменяются в процессе управления. Для текущего момента времени общая система (14) превращается в одну из частных систем (1), (6), (10). Использовать такую систему
130
<
для анализа и синтеза замкнутых систем управления преобразователями затруднительно и практически не представляется возможным.
При управлении электроэнергетическими параметрами импульсных преобразователей для потребителя представляют интерес не высокочастотные внутренние колебания, а средние значения переменных выходных токов и напряжений за период коммутации Т$ . Средние значения переменных могут рассматриваться как непрерывные, относительно медленно изменяющиеся постоянные составляющие ряда Фурье сигналов на периоде коммутации Т$ для текущего момента времени г [2]:
__1 г
х(г) = (х(г })0 = — | х(т)(т. (15)
ТЯ г-т
I
На основе оператора усреднения (15) преобразуем общую систему для мгновенных значений переменных (14) в систему для средних значений, входящих в уравнения компонентов на периоде коммутации Т$ для текущего момента времени г :
(ИЬ (г) 1 —-— 1
-уС(г) ■ (0РР (г) + - уш (г) • [(ом (г) + й0РР (г (г Ь Ь (16)
(Ус (г) = — ¡Ь (г) ■ (0 ¥¥ (г) —— ус (г). (г СЬ 0¥¥ ЯС с
Только в том случае, когда одна или обе перемножаемые функции времени имеют незначительную величину высших гармонических составляющих (пульсаций) и изменяются относительно медленно, можно пользоваться приближенным определением среднего произведения как произведения средних значений. В данном случае медленно изменяющимися переменными с небольшим уровнем пульсаций являются входное напряжение (() и выходное напряжение емкости у с((). Тогда для средних значений слагаемых правой части первого уравнения можно получить простые соотношения
УС (г) ■ (0¥¥ (г) = УС (г) ■ (0¥¥ (г) = УС (г) ■ (0¥¥ ,
Ут (г) ■ [(0И(г) + (0¥¥ (г)] = Ут (г) ■ ((0И + (0¥¥ ). (17)
В то же время необходимо учитывать, что ток индуктивности (^)
в режиме прерывистых токов имеет значительные пульсации на периоде, соизмеримые с постоянной составляющей (см. рис. 2) и для среднего значения первого слагаемого правой части второго уравнения системы (16) подобным упрощением нельзя воспользоваться, поскольку
¡Ь (г) ■ (0¥¥ (г) * ¡Ь (г) ■ (0¥¥ (г) . С учетом полученных соотношений для средних значений (17) представим систему для средних значений (9) в следующем виде:
<
^^Ь () —1. -и —
- ус (г) • й0РР + - ^) • (0 + й0РР),
Ь Ь (18)
^) = ^ 'I (') • ¿0ЕЕ (')^^ (?).
^ С ^ ^С
Полученная система уравнений не является системой в усредненных переменных состояния, поскольку слагаемое 'ь ) • dоFF ^) не выражено через усредненные переменные состояния.
Для определения среднего значения произведения 'ь ) • dоFF (О воспользуемся непосредственно аналитическим представлением (2), (4) колебаний мгновенных значений тока индуктивности (I) (см. рис. 2).
При этом среднее значение 'ь ) • dоFF(^) = 'уб (^), являющееся средним значением тока диода заряжающего конденсатор С, будет вычислено точно на основе реальной формы колебаний тока индуктивности ¡^ (£) и коммутирующей функции dоFF(*), без каких либо допущений о малости переменных составляющих этих сигналов.
В результате вычисляя среднее значение тока диода в соответствии с выражением для мгновенного значения тока диода (4) и его формы (см. рис. 2) на интервале от получим
~УвС) = 'Ьс)• dоFFО) = -1 \'Ь(х)• dоFF(^х = • dоFF . (19)
Т81-Т 2
I т в
Для приведения системы уравнений (18) к усредненным переменным состояния необходимо выразить среднее значение тока диода 'уб (I) через среднее значение тока индуктивности 'ь (?), которое является переменной состояния. Для установления между ними взаимосвязи вычислим 'ь (?) аналогично (19):
— 1 1 1 тт
'Ь (0 — I 'Ь (х)dх = — | 'ь (х)dх = • ^оы + d0FF ). (20)
TSt-T Т8 Х-Т 2
I t
Сравнивая полученные выражения для средних значений тока диода (19) и тока индуктивности (20), установим их взаимосвязь:
'УБ ^) = d0FF = УЩ (21)
'ь (t) + d0FF УС
_Т/а d0FF
или ув ^) = 'ь ^) = 'ь ^) -. (22)
УС й0Ы + d0FF
Как видно из (22), полученная взаимосвязь нелинейно зависит от текущей относительной длительности интервала отдачи dоFF . И только в
<
граничном режиме сумма интервалов накопления и отдачи равна периоду коммутации йо^ + = 1 и эта зависимость становится линейной:
УБ ) = (0 • йО¥¥ . (23)
С учетом установленной взаимосвязи (22) получим систему дифференциальных уравнений, описывающую электромагнитные процессы в базисе усредненных переменных состояния для режима прерывистых токов
-vc (t) • dOFF +-vIN (t) ■ (dON + doFF X
Л L L (24)
dVcHl-1 - (t) • d0FF---L v^ (t).
dt С doN ^ doFF RС
Результирующая система (24) в базисе усредненных переменных состояния будет иметь вид
diL(t) _ 1w*) d0FF , ^—(Л l --Т vC (t) —I--+ -Т vIN (tЛ
dt L d0N+ d0FF L (25)
d^cit) -1 - (t) ._d0FF---^—(t).
dt N doN + doFF RN
В режиме прерывистого тока dopp однозначно связана со средним током индуктивности (20). Из этого выражения определим текущее значение doFF в зависимости от управляющего воздействия doN и текущих значений усредненных переменных для режима прерывистого тока:
(doN + doFF ) - ■ iL(t) - ■ doN - ^^ ■ doN * 1, (26)
IL max vINTS vIN
doFF - 2lL (t) fsL ■ doN - doN * 1 - doN, (27)
vIN
d - doFF -1--°--1 -^JIN--d2N * 1 - doN, (28)
doN + doFF doN + doFF 2lL (t) ■ fSL
где d - параметр управления.
Таким образом, для произвольного режима работы преобразователя параметр управления d в общем случае определяется наименьшим значением из рассчитанных для РПТ на основе среднего значения тока индуктивности и для РНТ на основе коэффициента заполнения управляющих импульсов (28). Тогда система (25) в усредненных переменных состояния дополнится третьим алгебраическим нелинейным уравнением, определяющим параметр управления d в зависимости от текущего режима:
ат (г) 1 —.. 7 1 —..
= -- Vс (г) ■ С + т VN (г), аг т т
^ =1 от (г) ■ а^с (г),
Сг С т ЯС с
(29)
с=ыт
1 -
VN
21ь (г) ■ Ьт
■ аОN,1
а
ON
Полученная система является обобщенной моделью и описывает процессы преобразователя как для режима прерывистых, так и непрерывных токов в зависимости от текущего состояния, нагрузки и входного напряжения. На рис. 3 и рис.4 показаны процессы перехода преобразователя из режима непрерывного в режим прерывистого тока и наоборот.
<
Рис. 3. Временные диаграммы тока индуктивности при переходе из режима непрерывных токов в режим прерывистых токов
г
Рис. 4. Временные диаграммы тока индуктивности при переходе из режима прерывистых токов в режим непрерывных токов
Как видно результаты разработанной усредненной модели совпадают с результатами импульсной имитационной модели, что подтверждает справедливость предлагаемого подхода и позволяет использовать синтезированную обобщенную модель преобразователя для исследования режимов работы и синтеза замкнутых систем управления.
Список литературы
1. Мелешин В.И. Транзисторная преобразовательная техника. М.: Техносфера, 2005. 632 с.
2. Sanders, Seth R., Noworolski, J. M., Liu, Xiaojun Z., Verghese, George C, Generalized Averaging Method for Power Conversion Circuits/ Sanders [et al.]// IEEE Trans. Power Electron. Vol. 2. NO. 2. 1991.
Капустин Игорь Викторович, аспирант, alone-one@ya.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Лукашенков Анатолий Викторович, д-р техн. наук, проф., luav50@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE MATHEMATICAL MODELING AND ANALYSIS OF THE PULSE WIDTH MODULATION BOOST CONVERTER
I.V. Kapustin, A.V. Lukashenkov
The approach method to developing generalized mathematical models of power pwm converters as control objects, describes various operating modes and based on a state space averaging method. The offered model allows to carry out the analysis and synthesis of the pwm converters closed loop control systems.
Key words: mathematical model, pulse power converter, pulse-width modulation, state space, averaging method.
Kapustin Igor Viktorovich, postgraduate, alone-one@ya.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Lukashenkov Anatoliy Viktorovich, doctor of technical science, professor, luav50@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
