CC BY
216
УДК 621.316
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОНИЖАЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПРЕРЫВИСТОГО И НЕПРЕРЫВНОГО ТОКА
И.В. Капустин, Р. А. Катаев, Р.В. Блинов
Предложена математическая модель понижающего преобразователя напряжения для мгновенных значений сигналов, описывающая сразу оба режима работы -прерывистого и непрерывного тока, переход из одного режима в другой. Модель представлена в виде системы дифференциальных уравнений в пространстве состояний мгновенных значений параметров системы, а также в виде структурной схемы, которая может использоваться при компьютерном моделировании системы.
Ключевые слова: импульсный преобразователь напряжения, понижающий импульсный преобразователь, широтно-импульсная модуляция, ШИМ, математическая модель, пространство состояний, метод усреднения.
Импульсные преобразователи электрической энергии, позволяющие решать проблемы энергосбережения и повышения качества электроэнергии в широких масштабах, являются динамическими системами с периодически коммутируемыми параметрами. Регулирование и управление выходными электроэнергетическими параметрами осуществляется с помощью широтно-импульсной модуляции (ШИМ) коммутирующих периодических импульсов. В течение периода коммутации схема преобразователя может несколько раз изменять свою структуру и иметь несколько интервалов непрерывности. При этом количество интервалов непрерывности зависит от режима работы и нагрузки преобразователя.
Обобщенная математическая модель преобразователя для целей управления должна отражать как статические свойства и регулировочные характеристики преобразователя независимо от режима работы, так и динамические свойства и характеристики, позволяющие проводить синтез замкнутых систем управления, адаптирующихся к текущему режиму работы и к переходу из одного режима в другой. На основе такой универсальной модели преобразователя возможно создание адаптивных систем управления, обеспечивающих работу при различных режимах, внешних условиях и широких диапазонах изменения нагрузки.
Современное состояние проблемы и цели работы. Созданию усредненных непрерывных моделей понижающего преобразователя (рис.1) посвящено большое количество отечественных и зарубежных работ [2-6]. При этом в большинстве из них рассматриваются непрерывные модели преобразователя только для одного режима непрерывных токов. В работах
[2] и [3] построены и приведены два варианта непрерывных моделей понижающего преобразователя, отдельно для режимов непрерывного и пре-
рывистого тока, не отражающих динамические процессы перехода из одного режима в другой.
Во многих практических случаях разработчики стремятся снизить габариты конечного изделия за счет снижения габаритов дросселя, что приводит к снижению его индуктивности Ь. Кроме этого, с целью снижения коммутационных потерь в ряде случаев имеет смысл занижать частоту коммутации . Все это приводит к расширению границы прерывистого
тока. Такой преобразователь работает вблизи граничного режима с частыми переходами из режима прерывистого тока в режим непрерывного тока и наоборот. При проектировании системы управления необходимо учитывать динамические и статические свойства преобразователя в обоих режимах, а также во время смены режима. Построение единой модели, описывающей оба режима, а также процессы перехода из одного режима в другой является целью данной работы.
Математическая модель понижающего преобразователя для мгновенных значений токов и напряжений. Построение математической модели понижающего преобразователя будем проводить в терминах пространства состояний, где в качестве переменных состояния рассматриваются мгновенные значения тока индуктивности 1ь(^) и напряжения емкости ус (?), которые являются непрерывными переменными. Для построения математической модели преобразователя в пространстве состояний определим, помимо переменных состояния, выходные управляемые переменные, возмущающие и управляющие воздействия.
Целью управления импульсным преобразователем является обеспечение устойчивой и надежной работы, достижение высоких эксплуатационных характеристик, которыми являются точность стабилизации и качество переходных процессов выходного напряжения Ус ^), форма колебаний потребляемого среднего тока 1Ш (?), которые зависят непосредственно от системы управления. Поэтому управляемыми выходными переменными являются выходное напряжение Ус(^) и потребляемый ток 1Ш(?).
217
На затвор транзисторного ключа УТ поступают управляющие импульсы длительностью toN и периодом коммутации ^, периодически открывающие транзистор, за счет изменения toN осуществляется управление преобразователем. Длительность открытого состояния транзисторного ключа на периоде коммутации - toN или ее относительное значение tON/TS = dON, определяющее коэффициент заполнения управляющих импульсов, является управляющим воздействием.
Процесс управления происходит в условиях изменения входного напряжения уш ^) и тока нагрузки ioUT (^), что определяет их как основные возмущения. В общем случае ток нагрузки может нелинейно зависеть от выходного напряжения, т.е. ioUT ^) = / (ус (0).
Для упрощения результирующих зависимостей примем, что все элементы схемы преобразователя идеальны, а входное напряжение уш ^) непрерывно и выше выходного напряжения Ус ^). Согласно законам Кирхгофа, для схемы преобразователя (рис.1) запишем дифференциальные уравнения движения
Приведенные системы уравнений (1) и (2) помимо переменных состояния (iЬ ^), ус ^)) и внешних воздействий (iOUT ^), уш ^)) содержат импульсные переменные периодически коммутируемых элементов схемы -напряжение на транзисторном ключе уУ7 ^) и ток диода ^), коммутация которых и определяет периодический характер электромагнитных процессов. Периодические колебания этих переменных зависят от переменных состояния, а также внешних и управляющих воздействий. Выразим их в соответствии с принципом работы преобразователя [1] и временными диаграммами мгновенных значений токов и напряжений (рис. 2) на элементах преобразователя.
Периодическая коммутация управляющими широтно-
модулированными импульсами транзисторного ключа УТ обусловливает периодический характер сигналов тока и напряжения на элементах схемы в установившемся режиме (рис. 2). В течение интервала управляющего импульса tON транзистор УТ открыт у^ ^) = 0, а диод УО закрыт ^) = 0, при этом осуществляется передача энергии от источника уш ^)
(1)
, УС () - г ' І-І () г ' І-ОПТ (),
аґ С С
и уравнения выхода
*1Ы (і) - І-Ь (і) - ІуБ (іX УОПТ (і) - УС ()-
(2)
в конденсатор С и в нагрузку и одновременное накопление энергии в индуктивности Ь, ток индуктивности нарастает до максимального значения
1Ь тах •
Рис. 2. Временные диаграммы токов и напряжений понижающего преобразователя: а - в режиме прерывистых; б - в режиме непрерывных токов
По окончанию интервала импульса, транзистор УТ закрывается угт (1) = У1Ы (1), наступает интервал паузы. На этом интервале осуществляется отдача энергии накопленной в индуктивности Ь в конденсатор С и в нагрузку, ток индуктивности убывает, замыкаясь через открывшийся диод УО. Ток диода определяется убывающим током индуктивности (1) = 1-ь (1).
Длительность интервала паузы в режиме прерывистого тока определяется временем снижения тока индуктивности от максимального значения до нуля. В режиме непрерывного тока, когда ток индуктивности не успевает снизиться до нуля к моменту окончания текущего периода коммутации, интервал паузы заканчивается только с началом нового периода. Диод УО, в зависимости от режима работы, закрывается либо вследствие спада тока индуктивности до нуля (рис. 2а), либо из-за начала нового такта коммутации (рис. 2 б).
В режиме прерывистого тока по окончании интервала паузы наступает интервал отсечки (рис. 2а), который длится до конца периода ШИМ. При этом ток индуктивности остается равным нулю 1Ь (1) = (1) = 0, тран-
зистор УТ и диод УО закрыты уут (1) = уш (1) - ус (1). Конденсатор С раз-
ряжается током нагрузки. Длительность интервала отсечки определяется от момента снижения тока индуктивности до нуля в конце интервала паузы до момента окончания периода коммутации. В режиме непрерывного тока интервал паузы длиться до конца периода коммутации и длительность интервала отсечки снижается до нуля = 0, т.е интервал отсечки отсутствует. В общем случае сумма всех интервалов непрерывности равна периоду коммутации /0н + 1арр + tCTF = Т8.
В установившемся режиме токи и напряжения на элементах понижающего преобразователя являются периодическими функциями с частотой коммутации fs (рис. 2), которая определяется частотой управляющих импульсов. При этом ток индуктивности 1Ь (1), напряжение емкости Ус (1) и входное напряжение уш (1) являются непрерывными сигналами и не содержат разрывов. В свою очередь напряжение на транзисторном ключе уут (1), входной ток 1Ш (1) и ток диода (1), входящие в системы (1) и (2),
импульсные разрывные функции времени, что обусловлено их коммутацией и наличием нескольких интервалов непрерывности и 1с^ .
Точки разрыва соответствуют моментам переключения и смены интервалов непрерывности. Во время переходных режимов параметры этих периодических функций изменяются от периода к периоду.
Для того чтобы выразить разрывные напряжение на транзисторном ключе уут (1) и ток диода 1го (1) через непрерывные переменные состояния, введем разрывные периодические коммутирующие функции, соответствующие интервалам непрерывности и 1с^ :
^ОЫ ) - ^ОЫ )
1 ґ є[0, іом ],
о, ґ Є \_toN , ґОШ + ҐОЕЕ ]’
0, ґ Є \ґОН + ^О¥¥ , ],
коммутирующая функции йо^ (1) имеет единичное значение на интервале управляющего импульса и нулевое значение на интервалах паузы и отсечки на каждом периоде коммутации, она задает длительность управляющего импульса /0н;
0, 1 е[0, tоFF К
1, 1 е [10Ы , 10Ы + t0FF ] ,
0, 1 е [10Ы + t0FF , TS ],
коммутирующая функция й.0р'р' (1) имеет единичное значение на интервале паузы и нулевые значения на интервалах импульса и отсечки;
<
іСТЕ (ґ) - ІСТЕ (ґ + ТБ ) - 1 - іОЫ (ґ) - іОЕЕ (ґ)
0 ґ є[0, ґОЕЕ ]
0, ґ Є [ґОШ, ҐОШ + ґОЕЕ ]=>
у ґ Є [toы + ґОЕЕ, ТБ ], коммутирующая функция dєTЕ (ґ) имеет единичное значение на интервале отсечки, соответственно в режиме непрерывного тока она равна нулю на всем периоде коммутации.
В результате разрывные напряжение на транзисторном ключе уут (ґ) и ток диода іув (ґ) определятся как линейные комбинации произведений непрерывных переменных и коммутирующих функций
УУТ (ґ) - dOЕЕ(ґ) ' У1Ы(ґ) + dЄTЕ (ґ) ' [у1Ы (ґ) - УС(ґ)], (3)
ІУБ (ґ ) - [іОЕЕ (ґ)
+ іІєте (ґ)]' ІЬ (ґ). (4)
Данные выражения описывают значения напряжения на транзисторе и тока диода на различных интервалах непрерывности и соответствуют процессам коммутации транзистора VT и диода VD, которые проиллюстрированы временными диаграммами на рис. 2. Подставим эти выражения
(3), (4) в исходные системы уравнений для мгновенных значений токов и напряжений (1), (2) и получим уравнения движения в переменных состояния, не содержащие промежуточных переменных коммутируемых элементов
^Ь (ґ) - 1' (ґ) ' (ґ) - 1' і£ (ґ) ' Ує (ґ),
іґ Ь Ь
~Т^С (ґ) - у, ' ІЬ (ґ) - у, ' ІОПТ (ґ),
іґ С С
(5)
(6)
и уравнения выхода
(1) = й0Ы (1)'гЬ (1X У0ит () = Ус ().
В эти системы уравнений входит периодическая управляющая коммутирующая функция й0н (1), задающая длительность управляющего импульса, которая является управляющим воздействием, а также суммарная коммутирующая функция
йI(1) = й0Ы () + d0FF () ,
соответствующая полному интервалу протекания тока индуктивности. Длительность этого интервала (рис. 2) определяется интервалом време-
ни, на котором ток индуктивности больше нуля, т.е. равна суме длительностей интервалов управляющего импульса и паузы +10^. Функция
(1) в целом зависит от тока индуктивности 1Ь (1) и имеет единичное значение, пока 1Ь (1) > 0 и равна нулю на интервале отсечки, т.е когда 1Ь (1) = 0, что соответствует нелинейной ступенчатой функции
(ґ) - і£(іЬ(ґ))
(7)
[1, если іЬ (ґ) > 0,
[0, если іЬ (ґ) < 0.
Полученные системы уравнений (5), (6) и выражение (7) для (ґ),
представляют собой полную математическую модель преобразователя в пространстве состояний относительно мгновенных значений токов и напряжений, соответствующую схеме преобразователя (рис. 1). Используя эту модель, можно рассчитывать переходные процессы и установившиеся периодические функции колебаний мгновенных значений токов и напряжений преобразователя с помощью численных методов реализованных в математических пакетах, например, МаШСАО, МаШЬаЬ, МаШешайса. Для удобства имитационного моделирования в таких пакетах как Зішиїіпк, МикіБіш, РБіш, VisSim и наглядности математическая модель представлена в виде структурной схемы на рис. 3.
ШИМ
і
ОЫ
і 1
1
*ОЫ »
ГГ~1
*—►
іОії (ґ)
ґОМ - іОМ ' Т
У1Ы (ґ)
X
Уь (ґ)
X
Уопт (ґ) <---------
Ус (ґ )
■ф<-
X
(ґ )
-ЬI Уь (ґ )іґ
ІЬ (ґ)
(ІЬ )
ІІМ (ґ)
Ь
Рис. 3. Структурная схема модели понижающего преобразователя напряжения для мгновенных значений сигналов
Полученная математическая модель для мгновенных значений является основой для построения обобщённой усреднённой математической модели понижающего преобразователя напряжения.
Разработанная математическая модель понижающего преобразователя для мгновенных значений параметров позволяет рассчитывать переходные процессы и установившиеся периодические функции колебаний мгновенных значений токов и напряжений преобразователя с помощью численных методов реализованных в математических пакетах, например, МаШСАО, МаШЬаЬ, МаШешайса.
Полученная модель в пространстве состояний относительно мгновенных значений тока дросселя и напряжения конденсатора представляет собой нелинейную динамическую систему с периодически коммутируемыми параметрами. Она является основой для построения обобщенной непрерывной математической модели в усредненных переменных состояния.
Список литературы
1. В.И. Мелешин. Транзисторная преобразовательная техника. Техносфера, 2005. 632 с.
2 В И.Мелешин. Управление транзисторными преобразователями электроэнергии. Техносфера, 2011. 576 с.
3.Г.Белов Структурные динамические модели и частотный метод синтеза двухконтурных систем импульсными преобразователями. Силовая Электроника, № 3’2008.
4.Севернс Р., Блум Г. Импульсные преобразователи постоянного напряжения для систем вторичного электропитания / пер. с англ. М.: Энер-гоатомиздат, 1988.
5.Четти П. Проектирование ключевых источников электропитания. М.: Энергоатомиздат, 1990.
6. Hsu S., Brown A., Rensink L., Middlebrook R. D. Modeling and Analysis of Switching DC-to-DC Converters in Constant-Frequency Current-Programmed Mode // IEEE PESC Proceedings. 1979.
Капустин Игорь Викторович, ведущий инженер, kataevashtyl.com, Россия, Тула, ЗАО «Ирбис-Т»,
Катаев Роман Алексеевич, аспирант, kataevashtyl. com, Россия, Тула, ЗАО «Ирбис-Т»,
Блинов Роман Вадимович, ведущий инженер, kataevashtyl. com, Россия, Тула, ЗАО «Ирбис-Т»
THE MATHEMATICAL MODEL OF A STEP-DOWN VOLTAGE CONVERTER FOR THE INTERMITTENT AND CONTINUOUS CURRENT MODES
I. V. Kapustin, R.A. Kataev, R. V. Blinov
A generalized mathematical model of the step-down DC-DC converter as the control object is proposed. It describes both of the operating mode - intermittent and continuous current, the transition from one mode to another, model is obtained by using the generalized method of averaged state variables and describes the behavior of the average values of the electromagnetic processes, static and dynamic characteristics in any mode.
Key words: switching voltage converter, step-down switching converter, pulse-width modulation, mathematical model, the space of states, PWM, the averaging method.
Kapustin Igor Victorovich, leading engineer, JSC “Irbis-T”, Russia, Tula, JSC “Ir-
bis-T”,
Kataev Roman Alekseevich, postgraduate student, engineer, kataevashtyl. com, Russia, Tula, JSC “Irbis-T”,
Blinov Roman Vadimovich, leading engineer, JSC “Irbis-T”, Russia, Tula, JSC “Ir-
bis-T”
УДК 669.017
СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ В НИЗКОУГЛЕРОДИСТЫХ БЕЙНИТНЫХ СТАЛЯХ
Н.В. Мельниченко, А.В. Маляров, М.О. Мукосеева,
К.В. Коледенкова
Приводятся особенности структурообразования при бейнитном превращении в низкоуглеродистых низколегированных сталях.
Ключевые слова: структура, бейнит, аустенит, феррит.
К сталям, используемым для производства деталей для газо-нефтепроводов, предъявляются повышенные требования. Высокие прочностные свойства невозможно получить без термической обработки. После упрочняющей термической обработки структура и свойства по сечению изделий толщиной от 18 до 32 мм не однородны. В поверхностных слоях может образовываться мартенсит, ниже по глубине - нижний бейнит, бейнитная структура зернистой морфологии (СЗМ) и феррит. Наиболее предпочтительна СЗМ как с точки зрения технологичности и свариваемости стали, так и ее надежности в эксплуатации [1 - 4]. СЗМ в большом количестве образуется при скорости охлаждения от 2 до 10 оС/с. Распад ау-стенита начинается по границам аустенитных зерен и распространяется к их центру. В отдельных зонах образуются участки аустенита с повышенной концентрацией углерода, приобретая вид островков. В процессе дальнейшего охлаждения часть участков распадается с образованием мартенсита, феррита и цементита или смеси их, а часть сохраняется до полного охлаждения стали. Зерна мезоферрита в основном имеют полиэдрическую форму и различаются размерами в зависимости от времени образования. Они в одних участках примыкают друг к другу, в других выглядят как ост-ровковые включения окруженные мартенситом, образовавшимся в процес-
