CC BY
102
УДК 681.5.01
ОБОБЩЕННАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ИМПУЛЬСНОГО ПОНИЖАЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
И.В. Капустин, А.В. Лукашенков
Предложен подход к моделированию импульсного понижающего преобразователя постоянного напряжения как объекта управления на основе обобщенного метода усредненных переменных состояния. Получена обобщенная непрерывная модель преобразователя, описывающая поведение средних значений импульсных процессов, как в статических, так и в динамических режимах.
Ключевые слова: математическая модель, импульсная система, импульсный преобразователь, широтно-импульсная модуляция, пространство состояний.
Импульсные преобразователи напряжения [1], позволяющие решать проблемы энергосбережения и повышения качества электроэнергии в широких масштабах, являются импульсными нелинейными динамическими системами с периодически коммутируемыми параметрами. Регулирование и управление выходными электроэнергетическими параметрами импульсного понижающего преобразователя, показанного на рис. 1, осуществляют с помощью широтно-импульсной модуляции (ШИМ) управляющих импульсов doN(t) электронного ключа VT. Для целей автоматического управления, для анализа и синтеза замкнутых систем управления выходными электроэнергетическими параметрами, способных адаптироваться к текущему режиму работы, необходима обобщенная модель преобразователя как объекта управления, отражающая его статические и динамические свойства по каналам управляющих и возмущающих воздействий.
Созданию моделей импульсных преобразователей посвящено большое количество отечественных и зарубежных работ [1-3]. При этом в большинстве из них рассматриваются непрерывные модели преобразователей для режима непрерывных токов. В работах [1] и [2] построены и приведены два варианта непрерывных моделей понижающего преобразователя отдельно для режимов непрерывного и прерывистого тока, не отражающие динамические процессы перехода из одного режима в другой. При проектировании систем управления требуется учитывать динамические и статические свойства преобразователя в обоих режимах непрерывного и прерывистого тока, а также во время смены режима. Поэтому возникает задача построения единой модели, описывающей оба режима - режим прерывистых и режим непрерывных токов, а также процессы перехода из одного режима в другой. Создание такой обобщенной математической модели преобразователя и является целью данной работы.
Рис. 1. Функциональная схема импульсного понижающего преобразователя с системой управления
Построение математической модели импульсного понижающего преобразователя будем проводить в терминах пространства состояний, где в качестве переменных состояния рассматриваются мгновенные значения тока индуктивности ¡ь (*) и напряжения емкости у с (*), которые являются непрерывными переменными (рис. 1). В результате уравнения движения относительно мгновенных значений переменных состояния будут иметь вид системы дифференциальных уравнений второго порядка
■ О(*) ■ ут(*) - у ■ (*) ■ ус(*X
^ (1) жУс(*) = ^ ■ ¡ь(*) - ^ ■ ¡оит(*X
Ж . , ч 1 ^]=1
Ж
с
с
(2)
а выходные управляемые переменные - потребляемый ток ¡¡^ (*) и выход ное напряжение Уоит (*) - определяются уравнениями выхода
1ш ) = О (*) ■ ¡ь ), уоит (*) = ус (*).
В эти системы уравнений входит периодическая управляющая коммутирующая функция ёо^((), задающая длительность управляющих импульсов, которая является управляющим воздействием, а также суммарная коммутирующая функция
(*) = Жом (*) + йО¥¥ (*), (3)
ц) = ц })=
(4)
соответствующая полному интервалу протекания тока. Длительность этого интервала определяется интервалом времени, на котором ток индуктивности больше нуля, т.е. равна сумме длительностей интервалов управляющего импульса и паузы ^ = /оN + О^р . Функция (/) в целом зависит от тока индуктивности ^) и имеет единичное значение, пока ¡^(/) > 0 и равна нулю на интервале отсечки, т.е когда ¡^ (/) = 0, что соответствует нелинейной ступенчатой функции
1, если ¡1 (/) > 0 [0, если ¡1 (/) < 0
Полученные системы уравнений (1), (2) и выражение (4), определяющее ступенчатую коммутирующую функцию (/), представляют собой математическую модель преобразователя в пространстве состояний относительно мгновенных значений токов и напряжений преобразователя. Используя эту модель, можно анализировать переходные процессы и установившиеся периодические функции колебаний мгновенных значений токов и напряжений преобразователя с помощью численных методов. Для удобства имитационного моделирования и наглядности математическая модель представлена в виде структурной схемы на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема модели импульсного понижающего преобразователя напряжения для мгновенных значений сигналов
Входной импульсный сигнал задается периодической управляющей коммутирующей функцией йо^(^), коэффициент заполнения импульсов
¿ОИ е [0, 1] является управляющим воздействием. Через блок формирования суммарной коммутирующей импульсной функции ^ (I) осуществляется обратная связь по току индуктивности, влияющая на интервал паузы. Она действует только в режиме прерывистого тока, а в режиме непрерывного тока разомкнута, так как при этом ¿ъ (^) = 1 и не зависит от тока. Полученная модель в пространстве состояний относительно мгновенных значений ¡ь (*) и у с (*) представляет собой нелинейную динамическую систему с периодически коммутируемыми параметрами. Она является основой для построения обобщенной непрерывной математической модели в усредненных переменных состояния.
В процессе эксплуатации при управлении электроэнергетическими параметрами импульсных преобразователей для потребителя представляют интерес средние или действующие значения выходных напряжений и токов, а не высокочастотные внутренние колебания. Средние значения переменных могут рассматриваться как непрерывные, относительно медленно изменяющиеся постоянные составляющие ряда Фурье на периоде коммутации Т$ для текущего момента времени t [3]:
1 Тв
(х) ) = ( х^ ))0 =—\ х^ - Тв + т)ат . (5)
0
Для получения математической модели преобразователя в усредненных переменных состояния применим оператор усреднения (5) к системам дифференциальных уравнений (1) и (2), описывающих модель преобразователя для мгновенных значений, после чего будем иметь
ь) ) = 1 ¿ои ■ У1И ) - 1 ■{ ¿ъ- ус)X
а 1 1 (6)
¿М o(t) =1 ■(1ь >o(t) -1 < От) o(t X
(¡¡И>0(t) = (¿ои ■¡ь>0(t), , ч
(7)
(Юит) o(t) = Ы o(t).
Система дифференциальных уравнений (6) выражает производные усредненных переменных состояния {¡ь^^), (ус)o(t), а система (10) описывает средние значения выходных переменных (¡и)0^), (уоит)o(t). В
правой части полученных систем присутствуют средние значения от произведения ступенчатых коммутирующих функций и непрерывных переменных {¿ои ' 0^), (¿Ъ ' ус)(t), {¿ОИ' ¡Ь)o(t). При определении этих
значений необходимо учитывать свойство оператора усреднения [3], в соответствии с которым среднее от произведения функций в общем случае не равно произведению средних значений. И только в том случае, когда
одна или обе перемножаемые функции времени имеют незначительную величину пульсаций, а соответственно высших гармонических составляющих, и изменяются относительно медленно, можно пользоваться приближенным определением среднего от произведения как произведения средних значений.
В данном случае медленно изменяющимися переменными с небольшим уровнем пульсаций, практически постоянными на периоде коммутации, являются входное напряжение (*) и выходное напряжение
уш (* - Т5 + т) = {»ш)0(0, ус (* - Т5 + т) = М0(0, те[0, Т5 ]. (8) Тогда для определения среднего значения произведений • уш)о(1) и
(¿е 'ус)(1) получим простые соотношения
(¿ОЫ ■ о(0 - (¿оы)0(*) • (о(*X (9)
(¿ъ- ус) о(* ) = Ш 0(Г) \ус) о(*), (10)
где (¿оы) о(* ) - среднее значение управляющей коммутирующей функции ^оы(*), численно равное коэффициенту заполнения управляющих импульсов (¿оы)О(*) = ¡Оы/Т8 ; (¿ъ)о(*) - среднее значение суммарной коммутирующей функции ^ (^), численно равное относительной длительности интервала протекания тока индуктивности, О(* ) - (¿оы) О(*) + {¿от) О
(*) - ОыТ + ¿О¥¥ ¡Т$ - Ь/Ts . (11)
В режиме прерывистого тока среднее значение суммарной коммутирующей функции (¿ъ)о(*), входящее в выражение (10), будет зависеть
от среднего тока индуктивности, поскольку ^(^) определяется длительностью интервала ненулевого значения тока (4), а в режиме непрерывного тока он протекает в течение всего периода коммутации и ^е (1) = 1, соответственно (¿ъ)о(^) -1.
Выразим (<$ъ)о(*) - *ъ/Ts через среднее значение тока индуктивности в режиме прерывистых токов. Для этого вначале определим среднее значение тока индуктивности на периоде коммутации Т$ на основе формы колебаний мгновенных значений тока, линейно нарастающего на интервале ¡оы и линейно убывающего на интервале ¡о¥¥ :
1 ^ 1 *ъ
{1ь) 0 (*) 1ь(*- ^ 1ь(*- ^ + -
^ 0 ^ 0
^. Ы) „е)-Ы 0(*) <ао„)0(,) (12)
гДе fS = VTS - частота коммутаЦии; iLmax =V [(vIN)o(t) - Mo(t)] tON -
максимальное значение тока индуктивности в момент окончания управляющего импульса х = toN.
Как видно, средний ток индуктивности зависит прямо пропорционально от относительной длительности интервала протекания тока индуктивности (d^) o(t), что дает возможность выразить ее из выражения (12)
<*> o(t)=ш o(t)+<doFF) o(t) ^(Vi^of(t) ■ (13)
Выражение (13) показывает что значение ), которое в режи-
ме прерывистого тока всегда будет меньше единицы, зависит от входного и выходного напряжений, управляющего воздействия и пропорционально току индуктивности. Если средний ток индуктивности увеличивается, то значение 0(£) также будет возрастать, и достигнет единичного значения, когда длительность интервала протекания тока индуктивности ^ сравняется с периодом Т$, что соответствует граничному режиму работы преобразователя
Ы) СП = 2 •ь • fs о(*) = 1 (14)
0 Ы)о(0-Мо(0 Мо«) '
где (¿шг) о (^) = (¿ь) о (^) - граничное значение тока индуктивности, соответствующее исчезновению интервала отсечки.
Если средний ток индуктивности превысит граничное значение (¿ь) о (^) > {¡ЬВГ) о (^), то преобразователь перейдет в режим непрерывных
токов и согласно соотношению (14), расчетная величина о(^) превысит единичное значение
<^(0 = 2--> 1, (15)
о Ы)о(')-Мо(') Мо(0
где 0 (^) - расчетная величина относительной длительности интервала протекания тока индуктивности. Однако в реальности интервал ограничен периодом коммутации Т$ и реальная величина о(^) ограничена
единичным значением, она физически не может быть больше единицы. Таким образом, для режима непрерывных токов будем иметь
0(t)=i<шC(t)= , L'{\— Ji^L (16)
К ^0 0 Ы) o(t) -М o(t) (dON)o(t)
С другой стороны, если ток индуктивности станет меньше граничного значения (¡^) < (¡ьвг)), то преобразователь перейдет в режим
прерывистого тока, и согласно выражению (14) расчетная величина
(^е)о (^), станет меньше единицы и будет совпадать с действительным
значением ):
(¿ъ) 0(*)=(¿ъ) )=
2' Ь ■ ^
Ы 0(г)
< 1.
(17)
^т)0(г)-М0(г) (¿он)0(г)
Таким образом, относительная длительность интервала протекания тока индуктивности о(^) в произвольном режиме будет определяться
согласно выражениям (16) и (17), функцией минимума от расчетного зна-
чения (¿ъ)о (г) и единицы:
(¿ъ)0(г) = т1п(1, (¿ъ)^(г))= тт
1
Ы0(*) ~
' <vы)0(г)-(С0(г) (¿он)0(г)
2 ■ Ь ■ Ь
. (18)
^'' ус/0^^
В результате на основе полученных средних значений произведений коммутирующих функций и переменных (9), (10) и интервала протекания тока индуктивности (18) все компоненты систем (6) и (7), описывающих динамику преобразователя, будут выражены через усредненные переменные состояния для любого режима работы.
В итоге обобщенная непрерывная математическая модель преобразователя в усредненных переменных состояния, описывающая оба режима работы - прерывистого и непрерывного тока, будет представлена результирующей системой уравнений движения
^ '_(0 =1 -(¿он)0(0-(Vы)0(0-1-(¿2>0(г)>с)0(гХ
( , , , ч 1 V _ 1
¿г
¡ь
ь
-¿М 0(г) = ё Ч Ь 0(г) - ^ Ч 1оит) 0(г),
2 - ь ■ (¡ь) 0(г)
(19)
¿ъ) 0(г) = тт
1,
уш)0(г) {ус)0(г) {¿оы)0 (г)
и системой уравнений выхода
Ы 0(г) =={1оШ < ь) 0(г),
(20)
(¿ъ) 0(г) (уоит) 0(г ) = Ы 0(г ).
Системам уравнений (19), (20) соответствует структурная схема обобщенной непрерывной модели понижающего преобразователя в про-
<
странстве состояний, приведенная на рис. 3. Она позволяет проводить имитационное моделирование и исследование динамических и статических свойств преобразователя как объекта управления в различных режимах работы, так и синтез замкнутых систем управления электроэнергетическими параметрами, адаптирующихся к текущему режиму.
Рис. 3. Структурная схема обобщенной математической модели импульсного понижающего преобразователя в усредненных переменных состояния для режимов прерывистого и непрерывного токов
Полученная усредненная математическая модель импульсного понижающего преобразователя соответствует нелинейной динамической системе второго порядка с переменной структурой. Изменение структуры происходит при смене режима работы преобразователя за счет изменения параметра о(^), включающего или отключающего обратную связь в
канале тока индуктивности (рис. 3).
В режиме непрерывного тока значение о(^) фиксировано и
равняется единице, обратная связь по току индуктивности отсутствует. Ток индуктивности изменяется пропорционально интегралу разности выходного напряжения и входного напряжения, взвешенного коэффициентом заполнения управляющих импульсов. При этом канал тока является чисто интегрирующим.
В режиме прерывистых токов параметр о (^) не является постоянным и зависит от величины среднего тока индуктивности, интегратор
143
канала тока оказывается охваченным глубокой обратной связью по току индуктивности. Это приводит к резкому снижению инерционности токового канала и к потере его интегрирующих свойств. Токовый канал при этом становится малоинерционным с постоянной времени, не превышающей период коммутации.
Однако порядок системы дифференциальных уравнений модели (19) при переходе из одного режима в другой при изменении параметра (^е) ) остается неизменным, равным двум. Изменяются лишь параметры
и коэффициенты в уравнениях (19), (20). Как видно, в режиме прерывистого тока не происходит понижение порядка системы, в обоих режимах работы модель имеет второй порядок, что в общем случае необходимо учитывать при синтезе замкнутых систем управления.
С целью проверки адекватности полученных математических моделей проведено компьютерное имитационное моделирование. Результаты моделирования приведены на рис. 4.
Рис. 4. Временные диаграммы переменных состояния усредненной и схемной моделей в режимах непрерывного (РНТ) и прерывистого
(РПТ) токов
Как видно, временные диаграммы переменных состояния (i^ ) и (vc)o(t) усредненной модели совпадают со средними за период TS значениями тока индуктивности il (t) и напряжение ёмкости vq (t) схемной модели независимо от режима работы. Обобщенная модель адекватно отражает динамические свойства преобразователя в режимах непрерывного (РНТ) и прерывистого (РПТ) токов, а также переходы из одного режима в другой. Полученная модель является основой для проектирования замкнутых систем управления импульсными понижающими преобразователями, способных адаптироваться к текущему режиму - прерывистых или непрерывных токов и к изменению параметров преобразователя и нагрузки.
Список литературы
1. Мелешин В.И. Управление транзисторными преобразователями электроэнергии. М.: Техносфера, 2011. 576 с.
2. Белов Г. Структурные динамические модели и частотный метод синтеза двухконтурных систем импульсными преобразователями // Силовая электроника. 2008. № 3. С. 98-106.
3. Generalized Averaging Method for Power Conversion Circuits/ Sanders [et al.]// IEEE Trans. Power Electron. Vol. 2. NO. 2. 1991.
Капустин Игорь Викторович, аспирант, alone-one@ya.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Лукашенков Анатолий Викторович, д-р техн. наук, проф., luav50@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE GENERALIZED MODEL OF THE PULSE POWER BUCK CONVERTER AS
CONTROL OBJECTS
I.V. Kapustin, A.V. Lukashenkov
The approach method to developing generalized mathematical models of power pwm buck converters as control objects, describes various operating modes and based on a state space averaging method. The offered model allows to carry out the analysis and synthesis of the pwm converters closed loop control systems.
Key words: mathematical model, pulse power converter, pulse-width modulation, state space, averaging method.
Kapustin Igor Viktorovich, postgraduate, alone-one@ya.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Lukashenkov Anatoliy Viktorovich, doctor of technical science, professor, luav50@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
