CC BY
25
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 533.6.013.42
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, Е. П. СЕМЁНОВА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА ДАТЧИКА ДАВЛЕНИЯ
Предлоэюена математическая модель механической системы «трубопровод - датчик давления», на основе которой получена система уравнений, позволяющая исследовать динамику упругого элемента датчика давления в зависимости от изменения давления в камере сгорания двигателя. Длина трубопровода предполагается бесконечной.
Ключевые слова: аэрогидроупругость, датчик давления, трубопровод, упругая пластина, деформация, динамика.
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), гос. контракт №П1122
Рассматривается задача о динамике упругого элемента конструкции, представляющей собой модель механической системы «трубопровод-датчик давления». Поле скоростей рабочей среды (идеального несжимаемого газа или жидкости) предполагается плоским, а длина трубопровода бесконечной (рис. 1).
Рис. 1. Схема механическрй системы
Пусть на одном конце трубопровода (* = +оо) задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом конце, отстоящем от первого на значительном расстоянии, расположен датчик, предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного (чувствительного) элемента упругую пластину аЪ. В линейной постановке, соответствующей малым прогибам упругого элемента и малым возмущениям скорости рабочей среды, математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями:
^ + (х,у)ев; (1)
\
/
= 0, хе(0,/);
(2)
Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П., 2010
/
Х,± —
\
ч
У
=0, хе(/,+со);
(3)
<РЛУ>*)= °>
н
<
У
<
А-2 '
/
ч
2'
4 / Л
У о
у
и
6,
ч
/
Пт(Р. -р<р1(х,у,1)) = Р(0, уе
£(и>) = -ЕЕ
/
' Я Я4
ч
2 ' 2
(4)
(5)
(6) (7)
/
у
\
1 2
\
/
+ дм>т + р\V + уп =
У
(8)'
= Р0 Си, /) - Р. + рср, (0, .V, / ), у е (а, Ь);
-ЕЕ
/
1
\
Ч ^ /у
+ Ми + д.йуу = 0, уе(а,Ь).
(8 у
Здесь х, у - декартовы координаты, I - время; О - многоугольник ЛД^^ЛАЛ^ ср(х,у,() -потенциал скорости рабочей среды; \viyj) и и(у, Г) - поперечная и продольная деформации упругого элемента (пластины); а , Ь - координаты концов пластины; Р. - давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; Р(/) - закон изменения давления на входе в трубопровод; р -плотность рабочей среды; М, В - погонная масса и изгибная жёсткость пластины; N - сжимающее (растягивающее) пластину усилие; 5, 8. - коэффициенты внутреннего демпфирования; /?, у -
коэффициенты демпфирования и жёсткости основания; Р0{у,0 - распределённая внешняя нагрузка,
действующая на пластину: Е - модуль упругость; Т7 - площадь поперечного сечения; нижние индексы х, у, / обозначают частные производные по х, у, /, точка - частную производную по /.
Если в уравнении (8)' опустить первое (нелинейное) слагаемое с коэффициентом ЕЕ и отбросить уравнение (8)", то будем иметь линейную задачу аэрогидроупругости.
Чтобы исключить из правой части уравнения (8) неизвестную функцию <р, введём в области О комплексный потенциал = (р +¿ц/, где г = х + 1у, ц/ = ц/{х,у,1) - функция тока. Из условий (2)-
(5) следует, что ломанная аА2А4А^Ь является линией тока, поэтому
р(х,у,0 = С(0, (х,у)еаА2А44Ь, (9)
где С(0 - произвольная функция времени Если л = уе[а,Ь], то, интегрируя условие Коши-Римана ц/у =<рх, получим
ч
-V.
а
или, учитывая (6)
У
Ц/(0,У,0= \ч>(у,1)с1у + С{1), а<у<Ъ.
(10)
а
Для непрерывной стыковки выражений (9), (10) в точке (0,6) необходимо и достаточно чтобы
ь
= 0. (11)
а
Условие (11) означает равенство нулю потока рабочей среды через границу области что соответствует выбранной модели несжимаемой среды.
Найдём конформное отображение полуплоскости на область С . Интеграл Кристоффеля-Шварца [1]
¿\ V
\
-1
2
1
т
у
с,
= С, I
С/^
о
(12)
конформно отображает верхнюю полуплоскость 1т> 0 на пятиугольник А1А2А,А40 со следующим
у 1/1
соответствием точек: /--<н>1, 0<н>0, со<->—, ^ — . Формула (12) содержит
2 2 п 2 т
три параметра С,, /и, п (0<т< 1, «>0), которые определяются размерами у0, I, Н многоугольника С.
Функция отображает полуплоскость 1гп^,>0 на первый квадрант. Выполнив в
интеграле (12) замену переменной по формуле £2 > получим функцию, конформно отображающую первый квадрант плоскости на пятиугольник
' Сг
г = 2 С, | ,-
1 —
(13)
В соответствии с принципом симметрии функция (13) конформно отображает полуплоскость с
разрезом (рис. 2) на область О. Наконец, функция =
к
даёт конформное отображение
нижней полуплоскости 1т ^ < 0 (рис. 3) на область в плоскости . На рис. 1-3 соответствующие
точки обозначены одинаковыми буквами. Таким образом, пара функций
= 2С,)
0
(14)
определяет конформное отображение нижней полуплоскости < 0 на область С . При этом ветви корней в (14) подчинены условиям:
д/] -тС\ > 0 при е
/
1 1
\
\
т V
/
; д/Г^ >0 при ¿Г2 е(-1,1); -'1 >0 при ^е
/
1
\
\
л/я,
-Ь ОС
/
Рис. 2. Плоскость комплексной переменной С,
Рис. 3. Плоскость комплексной переменной £
В полуплоскости 1т<^<0 рассмотрим функцию = = . На
границе полуплоскости = = 0 ) это функция согласно (9), (10) удовлетворяет условию
у(4)
е [а,/3].
ReW, — у/- С(/) =<
(15)
а
Функцию найдём из (14) при = г-¡у. Для этого сначала вычислим
производную
dz
dz _
d£2 d£
= 2C,
1
— i
V(i-O0-<22)0 + ><) «2-D
3/2 •
(16)
Полагая в (16) = £ е [сс,/3] (при этом г = ¿у, у е [а,Ь]), получаем
dy
+
_ 1Уо
Чтобы исключить С,, воспользуемся формулой (12) и соответствием точек =\<г> г =---. Имеем
т _
ds
о
следовательно,
dy_ dt
= УЛ
1 -n£
(l-(/7 + l)f)(l-(m + «)f)'
(17)
2/С,
где л --L =
Л
/
ds
\-i
\
1
lyjs(l-s)(\ - ms) (1 + ns)
(18)
/
Интегрируя (17), получим
y=y(Z)=y0K'i
1 - ns
—ds,
(19)
0 ч{\-(п + \У)(1-(т + пУ) Концы отрезка [а,/3] определяются из условий;
У{сс) = а, у{Р) = Ъ .
Функция = /)-С(/) является аналитической в полуплоскости 1ш^<0.
граничные значения её вещественной части определяются формулой (15). Применяя интеграл Шварца [1], будем иметь
т J т-L
а ~
(20)
У(г)
где и(г^) = ^м>(у,№у, С0(/) - произвольная вещественная функция. Дифференцируя (20) по
а
получаем
ß
wt-(p{+i yyt =- - p^- dz - с; (o+ic\t).
л J T-C
а ~
(21)
Подберём С0(/) так, чтобы выполнялось условие (7). Заметим, что Из (7)
следует, что lim (р,= — (Д - Р(0), а из (21) имеем: lim(<p, + ) = -C'0(t) + iC\l), поэтому
р
.V—>-f'-o
1
(22)
р
Перейдём в (21) к пределу при £-> £ е (аг,/?) (при этом уе(а,Ь)). Применяя формулу
Сохоцкого [1], будем иметь
% =/•«(£/)-- dt-cо(0+/c'(0•
Отделив вещественные части, с учётом формулы (22) получаем
ß
1
где £(;;) - функция, обратная к функции у(£), определяемой формулой (19), а и(М)= Jw(y,t)dy.
л
Преобразуем в (23) интегральное слагаемое. Применяя сначала подстановку г = ), а затем интегрируя по частям, с учётом условия (11) будем иметь
Таким образом,
а \ а
cpt(О,>>,/) = - krfr)|i(Г)-+i(Ä -/>(/)) , j, G (fl,6) .
п I р
Подставляя (24) в уравнение колебаний (8)' , представим его в виде
ь
L(w) = P,{y,t)-P{t)+£- Jw(r,t)ln|£(r)-%{y)\dr,
(24)
(25)
о
Уравнение (25) связывает давление ?(/) на входе в трубопровод и прогиб (деформацию) м>(у,1) упругого элемента датчика. Функция , кроме того, должна удовлетворять условию (11),
которое является необходимым условием разрешимости задачи. В случае нелинейной модели к уравнению (25) следует добавить уравнение (8)".
Функция (19) содержит два параметра т и п. Найдем связь этих параметров с параметрами /, у0, Н области О . Пусть = —, тогда основании формул (12), (18) имеем
/-
7>0 _
111
dC
ds
Vi (l-i)(!-<,)(! + ' о JsQ-s)(l-ms)(l + /25)
+
\/m
<c> h.
ds
^s(s-\)(\-ms)(l + ns)
Приравнивая вещественные части, получаем
v0 2 I Ф(1 - 5)(1 - т.
)(] - ms)(\ + ns)
(26)
.Н
Аналогично, воспользовавшись соответствием точек = оо и z = l-i—, будем иметь
.Н
00
2 ds
о
VC (1-С, )(!-<,) 0 + «С) 10 М1-^l-m)(l + ns)
+
+
1/ш
/С, Г
ife
сс
*Js(s-\)0 -ms)(\ + ns)
л"^ J
i/»J
Отсюда
//
Л
CO
1////
,-=-. (27)
Интеграл в (27) можно вычислить следующим образом. При обходе точки С,=-1//7 по полуокружности сколь угодно малого г, функция (12) получает приращение
Az =
С,
г
и— п
/
\
i+i /7
\
/
/
1 +
т
\
п
У
+ О(г) =
C.miyfn
n^j(n + !)(/? + т)
+ °(r)= I 1 +0(г).
^{n + \){n+m)
С другой стороны, при этом обходе соответствующая точка г переходит с вещественной оси на
Н
луч следовательно, Аб мало отличается от —. Таким образом,
С, тгуГп+1)0 + т) = -Ш/2 .
Учитывая, что С, =-гуаК/2, получаем
Н/Уо = Кк4п/у1(п + + т) . (28)
Задавая произвольные значении т, п (0 < т < 1, /? > 0 ) и один из трёх параметров у0, I, Я , по формулам (19), (26), (28) найдем функцию у(с) и остальные два параметра области С .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М, : Наука, 1987. - 688 с.
Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области аэрогидроупругости, аэрогидромеханики, устойчивости систем с распределёнными параметрами, математического моделирования.
Решетников Юрий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Автор монографии и статей по теории функций комплексного переменного, аэрогидроупругости, устойчивости
Семёнова Елизавета Петровна, аспирант кафедры волновой и газовой динамики МГУ\ автор статей по аэрогидроупругости, устойчивости.
УДК 539.3; 004.942
Е. Б. БЕКСАЛОВ, В. К. МАНЖОСОВ, В. В. СЛЕПУХИН
НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ РАБОЧЕГО ИНСТРУМЕНТА ГИДРОМОЛОТА ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ
Рассмотрена задача ударного пагружеиш рабочего инструмента гидромолота при продольном ударе с учётом процессов формирования и распространения волн деформаций при нелинейной характеристике взаимодействия рабочего инструмента с технологической средой.
ч
Ключевые слова: удар, продольный удар, волна деформации, преобразование волны, стержневая система, гидромолот, рабочий инструмент гидромолота
Рассмотрена модель продольного удара стержня 1 (рис„ 1), движущегося со скоростью У0, о стержень 2 (пику), взаимодействующего с технологической средой. Технологическая среда представляется нелинейным упругим элементом жёсткостью к . Материал стержней одинаков.
Рис. 1. Схема ударной системы
О Бексалов Е. Б., Манжосов В. К., СлепухинВ. В., 2010
