CC BY
32
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 539.3: 533.6: 517.9
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, В. Д. ГОРБОКОНЕНКО, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, Ю. В. ХОДЗИЦКАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ «ТРУБОПРОВОД - ДАТЧИК ДАВЛЕНИЯ»
Рассматриваются математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления». Получены уравнения, связывающие закон изменения давления на одном из концов трубопровода с деформацией упругого элемента датчика.
1. Рассмотрим математическую модель системы «трубопровод - датчик давления», предполагая поле скоростей рабочей среды (идеальной несжимаемой жидкости) плоским, а длину трубопровода -бесконечной (рис. 1).
Рис. 1
На одном конце трубопровода (х ='+оо) задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом (х = 0) расположен датчик, предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного элемента упругую пластину аЬ . В линейной постановке, соответствующей малым прогибам упругого элемента и малым возмущениям потенциала скоростей рабочей среды, математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями:
<Рхх+Руу=°> (х>У)е°а> / \
= 0, хе(0,/);
(1.1)
Ф
7 V
<Р
У
Х,± У о
2
\ j
( Н \
х,± >t
\ 2 У
(1.2)
Хе(/,+со) ;
(1.3)
<px(l,y,t)=о, ^<\у\<Н
2
(px(0,yj) = 0, ye
С
\
2
2
\ /■
u
(1.4)
/
b9
Уо
v
\
У
(1.5)
<px(0,y,t)=ti)(y,t), ye(a,b); lim (P* - p(pt (x, y, t)) = P(t),
(1-6)
X —> +00
( H НЛ
V
2 2
/
(1.7)
L(co) = Mco + Dcoxxxx + Ncoxx + Scoxxxx +
+ /3cb + yco = Pa(y,t)-P* +p<pt(Q,y,t),
ye(a,b). (1.8)
Здесь x, у -декартовы координаты, t -время;
G - многоугольник Л2Л3Л4Л4Л3Л2 ;
<p{x,y,t) - потенциал скоростей рабочей среды; a>(y,t) - прогиб упругого элемента (пластины); Ъ - координаты концов пластины; Р* -давление
рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; P(t) - закон изменения давления на входе в
трубопровод; р - плотность рабочей среды; M,D -
погонная масса и изгибная жесткость пластины; N - сжимающее (растягивающее) пластину усилие;
5 -коэффициент внутреннего демпфирования;
коэффициенты демпфирования и жесткости
основания; Р0 (у, t) - распределенная внешняя
нагрузка, действующая на пластину; нижние индексы x,yJ обозначают частные производные по x,y,t,
точка - частную производную по t.
Чтобы исключить из правой части уравнения
(1.8) неизвестную функцию (р, введем в области G комплексный потенциал JV(z'yt)=<p+il//, где
Z=x+iy , У/=У/(Х)У>1) -функция тока. Из условий (1.2)-( 1.5) следует, что ломаная
aA\A2A-$A/\Af/!itAh>A2A[b является линией тока, поэтому
V (*, ;М) = С(0. (х,у) е >4} (1.9)
где С(/) произвольная функция времени / . Если х=0, то, интефируя условие Коши-
Римана \|/ — ф х, получим
У
а
или, учитывая (1.6),
У
М'(0,^,0= о<у<Ь. (1.10)
а
Для непрерывной стыковки выражений (1.9), (1.10) в точке х=0, ^=¿7 необходимо и достаточно, чтобы
Ъ
(1.11)
а
Условие (1.11) означает равенство нулю потока
рабочей среды через границу области (7, что соответствует выбранной модели несжимаемой среды.
Решение этой задачи с помощью методов теории функций комплексного переменного [1] сведено к исследованию следующего уравнения:
я
а
. 7ГТ . 71 V 51П--$1П-
>0 Уо
¿X
уе(а,Ь). (1.12)
Это уравнение связывает давление Р(/) на
входе в трубопровод и прогиб (деформацию) 0) (у^) упругого элемента датчика.
2. Отличие второй модели заключается в ином расположении упругого элемента (пластины), при этом длина канала предполагается конечной. Задача решается также в линейной постановке, соответствующей малым прогибам пластины и малым возмущениям потенциала скоростей рабочей среды. Под рабочей средой понимается идеальная
несжимаемая жидкость, поле скоростей предполагается плоским. Получим уравнение, которое связывает между собой функцию прогиба пластины АВ (рис.2), являющейся составным элементом датчика давления, и закон изменения давления рабочей среды на входе в трубопровод
(х = х0).
Пусть ф(х?^3/)~ потенциал скоростей рабочей
среды, со(х^) - прогиб (деформация) упругой
пластины АВ. Линеаризованные уравнения и граничные условия имеют следующий вид:
(р +ф = 0, 1 хх уу
0<х<х0, 0<у<у0}
хе(0,х0);
(2.1)
(2.2)
(х^)ебЦ(х, у): Ф (*Д/) = 0,
ч>хф9у9о = о9
фу (х,у0,0= СО(х,05 х Е (я,6) ; (2.5)
- РФ, (*о> У> 0 = 0> У е (О, У0); (2.6)
^е(О^о); (2.3) хе(0?д)и(^х0); (2.4)
Дсо) =Мсо -ьМо^ ч-бсб^ +
+ рсо +усо = -ЦМ-рф/ (ад, 0,
хе(а,г>) (2.7)
Здесь продольный и поперечный
размеры трубопровода; а, Ь - координаты концов пластины АВ; Р(у, 0 - закон распределения
давления рабочей среды в сечении х = х0 (на входе
в трубопровод); Р0(х^) - распределенная внешняя
нагрузка, действующая на пластину.
Имея целью исключить из правой части уравнения (2.7) неизвестную функцию ср, введем в области О комплексный потенциал течения 0 = ф + г\|/ , где 2 - х + гу, \|/ =\|/ ; -
функция тока. Поскольку функции ф и \(/ удовлетворяют условиям Коши-Римана
\|/ д. = —ф у, ^. = ф х , то согласно граничным условиям (2)-(5) будем иметь
у (х, у, 0 = С(0> (X, у) € ЕОСА ; (2.8)
Рис.2
у(х, у0 , 0=—|оэ(х5 С(Г) , а<х<Ъ\ (2.9)
а
Ъ
Ч(2.10)
а
где Сф - произвольная функция времени I
Введем в рассмотрение К=К(Х) и
К'=К(Х')- полные эллиптические интегралы первого рода
/
?
\
у
1
К(Л)= }
dx
K{V)= J
0 л/0 - *2)(1 - Л2х2 )
dx
1
- 1)(1 - AZXZ)
ИЗ
уравнения
Модуль Л определяется
у0К' = 2х0К.
Решение поставленной задачи с помощью методов ТФКГТ приведено к исследованию уравнения
L(a>) = -P0(x9t)+
г
■(х)-\
п
1 Í
х G (а, b\
^ 1 V{T,f)dT
где функция, обратная к функции
x = x(g)=x0+-%- J
1 2К \ I, 2
£
dx
^тМ-УЛ
Функции у(т) Hv(r,í) определяются следующими формулами
1
dx
Ы{\-х1)(\-??т1)
х(т)
\co(x,t)dx, те[а,/3 ]
v(r,OH
а
\сд(х^)с1х, те[/3-\) 1а
Концы отрезка определяются из условий
= а, *(/?) — Ь . Уравнение (2.11) связывает
давление Р{.У,0 на входе в трубопровод и прогиб (деформацию) со{хупругого элемента датчика.
Возможно также решение этой задачи методом Фурье. Тогда уравнение, связывающее Со(х,1) и
Р(у, 0, имеет вид
¿(«0 = -Ро(*>О + — \PMdy-
Уо о
- 2/?- ± со*(Апх) СЩ*УА ]щх, 0 со$(ЛпхУ1х -
Х0 г>=\ Лп а
У0 »=1 сИ(упх0) ^
\P(y,t)co${yny)dy,
пп (2п - \)п
где v„ =-, Л,„=-
2х
о
Аналогичные задачи рассматривались в [2-5]. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987.-688 с.
2. Вельмисов П.А., Решетников Ю. А., Горбоконенко В. Д. Математическое моделирование динамики упругого элемента датчика давления // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Тр. междунар. конф. КЛИН -2003. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - Т.5. - С. 24 -30.
3. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Ходзицкая Ю. В. Математическая модель системы «трубопровод - датчик давления» // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Тр. междунар. конф. КЛИН-2003. -Ульяновск: УлГТУ, 2003. - Т.5. - С. 31 - 34.
4. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Ходзицкая 10. В. Математическое моделирование механической системы « трубопровод - датчик давления» // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов: Тр. междунар. конф. Ульяновск: 2003 - С.51 - 53.
5. Vel'misov P. A., Garnefska L. V., Gorbokonenko V. D. An investigation of mathematical models "Pipe-Line-Pressure Sensor'5. J. "Applications of Mathematics in Engeneering and Economics", 2002, p. 542-548. Heron Press, Sofia, Bulgaria.
Вельмисов Петр Александровичу доктор физико-математических наук, профессор, окончил Саратовский государственны й университет, зав едую щий к аф едр о й « В ы сиг ая л / ат ел г ат ика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупругостии, м ат ем ат и ч ескому л \ од ея ир ован ию.
Решетников Юрий Андреевич, кандидат ф из ико-л / атемат ич еских наук, окон чип Казан ский государственный университет, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи по теории функций комплексного переменного, аэрогидроупругости, математическому м од еп ирован ию.
Ходзицкая Юлия Валерьевна, окончипа УлГТУ, аспирант кафедры «Высшая, математика» УлГТУ\ Имеет статьи по • аэрогидроупругости, м ат емат ич ескому м од ел ирован иго.
Горбоконенко Вера Дмитриевна. доцент кафедры «Измерительно-вы числительные комплексы (ИВК)» УлГТУ. Имеет публикации по метрологии, измерению электрических величин.
