CC BY
14
УДК 539.3: 533.5: 517.9
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. В. ПОКЛАДОВА
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА ДАТЧИКА ДАВЛЕНИЯ
Исследуются колебания упругого элемента, являющегося составной частью механической системы «трубопровод - датчик давления».
Пусть на одном конце трубопровода задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом расположен датчик, предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного элемента упругую пластину. Аналогичные модели, но с другим расположением упругого элемента, рассматривались в [1].
Предлагаемая математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями:
<Р,, + (р,, = о
О,.у) е Ст = {(х,.у) :0 < х < х0,0< у < у0}, (1) <РУ А Г) = (ру (х, , г) = 0, х е ((), х0), (2)
<РХФ>У>*) = >КхО > У е (а,Ь), 0 < а <Ь< у0(3) <рх(0,у,0 = 0, уе(0,а)и(Ь,у0), (4)
Ца) = Р0(у,0-Р0 + р<р,(0,у,(), У е (а,Ь).{6)
<р ,.(1,0,/) = (р ,.(*,>'„,/)= 0 . (7) Здесь х, у -декартовы координаты; /-время; ср(х,у,() - потенциал скорости среды; со{у9() -
прогиб (деформация) упругого элемента; Р0-давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; р - плотность среды; Р(у,/) - закон распределения давления среды в сечении х = х0 (на
входе в трубопровод); Р0 (}\ Т) - распределённая внешняя нагрузка, действующая на упругий элемент;
Ф/<р=0 -
Рис. I. Трубопровод конечной длины
5 П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова, 2005
продольный и поперечный размеры трубопровода; а^Ь- координаты концов упругого элемента;
МуО - погонная масса и изгибная жёсткость упругого элемента; N - сжимающее (растягивающее) элемент усилие; а - коэффициент внутреннего
демпфирования; (5- коэффициенты демпфирования и жёсткости основания упругого элемента. В (1) — (7) точка обозначает производную по /, штрих -производную по у.
Потенциал скорости, описывающий движение среды, представим функцией, являющейся точным решением уравнения Лапласа (1)
<р(х,у,0 = £(0 + **7(0 +
+
П=1
ПК
где
К --» а £(/), 77(0, Ф„(0>
Уо
произвольные функции времени.
Получено уравнение, связывающее закон изменения давления Р{уЛ) рабочей среды на входе в трубопровод (х = х0) и функцию прогиба Сд(у^) упругого элемента датчика, расположенного в сечении
х = 0:
1 *
L(co) - Ро (у, t) -2р £ cos(ln>-)
Рх о
.Vo Щ
я
0 а Уч
J
о
\oj(yj)dy-— \P{y,t)dy-
У 0 о
(S)
- COSI
р
+ 4 " - \а>(у, 0 eos(Any)dy
п а
Для построения решений уравнения (8) можно применить метод Галеркина, задавая решение урав-
W
нения в виде w(y91) = Y cok (t) sin ¡3k (у - а) , где
к-\
А =
як
. Огранитам количество членов в рядах
Ъ-а
уравнения (8) до N] и N2 слагаемых и проведём процедуру метода Галеркина для m приближений:
ь
Jl* (w) sin рк (у - d)dy = 0, к = 1m,
и
где Ц (со) - невязка уравнения (8).
Для сük(í) получим систему из т обыкновенных дифференциальных уравнений:
Ь-а^
А,, + М-
\
2
У
со, (t)+A,fú/t)+...+A,jbJ t) +
A2fo¡(t)+
+ Bl(ül(t)+Clcol(t)+Fl(t)=0,
b-as
A?+(ó2(t)+.. .+4Д/1)+
2 j
+B2co2( t)+C/o/0+FJí) = a
(9)
AAO+A,, АО )+■■■+
r
Awn + M
\
b-a 2
\
4/0 +
+ Bni4/l)+CmcoJl) + FJt) = 0,
где
_2рД/ад д cos(¿,;a)-(-l)' cos(¿»
A« P¡ tf-Ji-
У o h-i л„ А ~ К
X
+
B. =
Pí~K
рч 1 -НУ 1-H)
л A
b-a
к
Pk
C. =
2
b-a
(«A4 + /*),
(ОД4 -А/Д2 +/),
7 -v2 i
Л iH
P,
COS0,/;<7) -(-1)' cos(l,;6)
P1, - x.
X
li
o
o
n
- \P,{yJ)smpl{y-a)dy+
a
Р.Уо
\P{yj)dy.
0
Для нахождения СОк(0),й)к(0) воспользуемся начальными условиями
w(y,0) = и(у), = v(^). Составим невязки
/я
Л, К (0), J>) = X>, (0)sin Рк {У-а)- и(у),
Ы т
R2 (d)k (0), у) = £ ék (0) sin рк (у-a)- v(y).
к=)
Начальные условия СОк (0), й)к (0) можно найти из условий ортогональности (/ = lv.,/w):
п
¡R](Mk(0),y)sin/3l(y-a)Jy = (l
а h
\R1{wk^\y)smpl{y-a)dy = {).
а
В матричной форме система (9) имеет вид А (О + В со + С СО + F(l) = 0. Разрешим систему относительно вторых производных с помощью обратной матрицы со = -A"lB(b-A~lCa)-A~]F(t).
Приведём систему к нормальному виду г .
X = у
у = -А~{Ву- А~хСх- А~хF(l) ;
-i
-i
где х = СО, у = СО . Затем применяя разностные методы (методы Эйлера-Коши, Рунге-Кутта), можно получить решение системы.
Рассмотрим случай второго приближения (т = 2).
Деформацию будем искать в виде w(y,t) = 0)} (0sin /?, (у - а) + со2 (/)sin /32 (у - а).
Составим невязку и применим метод Галеркина {i = 1,2)
и
sin Д (у - a)dy = 0.
а
Тогда получим систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для
<0, (0, (/):
Апа>х (0+Апсо2 (/) + В] су, (0 + С>, (/) = (/), Л2) (/) + ^22й)2 (/) + В20)2 (0 + С2бУ2 (/) = (/),
где
2 pA/MVb) Рх
/I
^12 ~ Al ~ ¿^
х (cos2(A„¿/) - cos2(Aw/j))
А
А - Í А - я;
X
4 мЬ-а + 2_р^,КХЛ)
S
Уо -i
Я
/
А
\2
V
А2 -
/
X
х (eos(Япа) - eos(Л„Ь))2,
5, =
С, =
2
b —
2
[ppi ~ Npl + у\
9 ¿X 1
F¿t) = -—Z ' . (cos(V) + cos(A»)
X
o
/' 7 .»o
-VoPl 0
1
y0 d{\xX}) Pí -\
^(cosM-cos^x
Vi
<t
o
Приведём примеры расчётов. Будем считать, что в трубопроводе протекает вода, а пластина сделана из алюминия.
Пример 1. Положим ф 2 * г ?
/>(*/) = sinG* + Й, v,0) = 0, w(y,0) = 0. Тогда для значений параметров т = 2,
Ч)=Ф\,Ь = 4,х0 =300, у0=5.5, М = 2.689,
D = 15.685, N = 2.5, а = 0.5,
¡3 = О.З,/ = 0.2,р = 0.99 Ю3,^ = 5,N2 = 3,
fj = 0.8, £ = 0.5 с помощью системы Mathcad 2000 получим график функции
wO>, 0 = <2>, (0 Sin Д (у - а) + а>2 (/) sin р2 (>' - а)
а + Ь
в точке у =- (рис. 2).
ю т
\\ си
1000
210
1-10
\\<0
-110
-2-нГ4 »
-зкГ4 -
5оо
Рис. 3.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Вельмисов, П. А. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» / П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. А. Решетников, Ю. В. Ходзицкая // Вестник УлГТУ. - 2003. - №1-2. - С.22-24.
Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ\ Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупругости, математическому моделированию.
Покладова Юлия Валерьевна, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Имеет статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупругости, математическому моделированию.
-I0-4-
Рис. 2,
Пример 2. Положим со ( у , t ) ,
P(y,í) = е~а«1, w(y,0) = 0, w(y,0) = 0. То-
гда для указанных выше значений параметров с помощью системы Mathcad 2000 получим график функции
и{ v, /) = ¿у, (/) sin Д (у - а) + со2 (0 sin /?2 (у - а)
а + Ь
в точке у =- (рис. 3).
