Исследование динамической устойчивости трубопровода с учётом запаздывания внешних воздействий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

А. В. АНКИЛОВ, П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. КОРНЕЕВ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТРУБОПРОВОДА С УЧЁТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Рассмотрены задачи динамической устойчивости трубопровода - полого стержня, внутри которого протекает жидкость (газ).Исследуется влияние запаздывания внешних воздействий на устойчивость решений дифференциальных уравнений, описывающих динамику трубопровода. На основе построенных функционалов типа Ляпунова сформулированы теоремы устойчивости и получены аналитические условия устойчивости для параметров механической системы.

Ключевые слова: динамика, запаздывание внешних воздействий, упругий трубопровод, уравнения с частными производными, устойчивость, функционал.

Рассмотрим плоскую задачу аэрогидроупругости о колебаниях, возникающих при протекании жидкости через трубопровод. Ранее задачи о динамике и устойчивости трубопровода рассматривались в работах [1]-[8], [10]-[15].

Пусть на плоскости хОу трубопроводу соответствует на оси Ох отрезок [0,1]. Скорость жидкости равна U и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ox .

Для описания динамики трубопровода с учётом запаздывания внешних воздействий (реакции и демпфирования основания) можно предложить уравнение

Dw"" + (т0 + т») М + (N + т*и 2)м " + 2um* М' + (x, t) + в'м>( x, t) +

(^ t - т) + 9м>{ x, t -() + щм" "-уМ" - м"

I I

к) dx + 2аIм'М'dx

(1)

= G(x, t, м(x, t), М(x, t), м(x, t - (), М(x, t - т)).

Коэффициенты т0,т*,D вычисляются по формулам:

то = р0л(Я - Я2),т. =р,яВ*,D = ^Е(4 - % ),Я = Я + К .

Здесь - деформация (прогиб) в сечении х в момент времени Р, D - изгибная жёсткость трубы; Е - модуль упругости, и,т,,р, - скорость, масса жидкости (газа) на единицу длины и плотность жидкости (газа); I - длина трубы между шарнирными опорами; Я,,Я0,К0 - внешний и внутренний радиусы трубопровода и толщина, в - коэффициент жёсткости основания; т0,р0- масса металла на единицу длины трубы и его плотность; N - сжимающая (растягивающая) сила; £ у - коэффициенты внешнего и внутреннего демпфирования соответственно; коэффициент ф учитывает инерцию вращения сечений. Все коэффициенты, входящие в уравнение, постоянные, точка сверху обозначает производную по времени t, а штрих - производную по координате x.

Отдельно стоит рассмотреть параметры т и (, которые обозначают запаздывание демпфирования и реакции основания или какого-либо другого внешнего воздействия; G - нелинейная составляющая внешнего воздействия.

С учётом как поперечной, так и продольной деформации трубопровода, уравнения, описывающие его динамику с учётом запаздывания внешних воздействий, можно представить в виде

© Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Корнеев А. В., 2014

-Е¥ | и' + 2 ^' 2 | + МП + у/0 и" + и (х, г) + в* и (х, г) + £0и( х, г - г0) + +в0и(х,г - Д0) = Н(х,г,и(х,г),и(х, г),и(х,г - Д0),и(х,г - г0)),

- Е¥

у'I и' +—у'2

+ EJw"" + МУ + шУ2 w" + 2тУУ' +

(х, г) + ^1*w(х, г)+(х, г - г) + ву(х, г - Д)" --фУ" = О(х, г, w(х, г), w(х, г), w(х, г - Д), У(х, г - т1)) ,

где г0,Д0,г1,Д — параметры запаздывания демпфирования и реакции основания или какого-либо другого внешнего воздействия; ¥ - площадь поперечного сечения стержня; Ш - изгибная жёсткость стержня; V - скорость жидкости; О,Н - нелинейные составляющие внешних воздействий.

На основе математических моделей (1), (2) можно составить функционалы, позволяющие исследовать динамическую устойчивость трубопровода с учётом запаздывания внешних воздействий. Пример исследования устойчивости в одностепенной модели с учётом запаздывания. В качестве примера исследуем устойчивость трубопровода в модели (1) с учётом запаздывания только реакции основания

Бу"" + (ш0 + т*)У+(N + ши2)у" + 2ит*У' + (х,г) + ву(х,г -г) +

" -рУ" + / (х, г, у) + g (х, г, У, у ) -

I I

к) ёх + 2аIу'УУ'ёх

= 0.

(3)

Рассмотрим некоторые виды закрепления концов трубопровода.

1) Шарнирное закрепление концов трубопровода

У(0, г) = у(1, г) = 0, у ''(0, г) = у " (I, г) = 0; (4а)

2) Жёсткое закрепление концов трубопровода

у(0, г) = у(1, г) = 0, у ' (0, г) = у ' (I, г) = 0; (4б)

3) Один конец (любой) закреплён шарнирно, другой - жёстко.

у(0, г) = у ' (0, г) = 0, у(1, г) = у " (I, г) = 0; (4в)

у(0, г) = у " (0, г) = 0, у(1, г) = у ' (I, г) = 0. (4г) Получим достаточные условия устойчивости решений дифференциального уравнения (3) по отношению к возмущениям начальных условий. Введём функционал

"БУ" + МУ2 -(N + ши2)У'2 +ву2 +

Ф(г) = |

Л к (\ г2 ^

+— I I ах

+в | ёг11У 2(х, s)ds '2 + 2| /(х, г, г)0г

г-г ^ 0

Найдём производную от Ф по г

2ВУ"У" + 2МУУ - 2(N + ши2)УУУ' + втУ2 -в I У2(х,s)ds+

г

+2рУ'У' + 2вуУ + 2У ^(X,^,dz + 2УУf (х,г,У) * дг

(5)

Ф (г) = |

ах -

(6)

Л

+2к у '2 ах у 'У 'ах

Пусть концы трубопровода закреплены жёстко или шарнирно. Тогда, интегрируя по частям, получим

| у"у>"ах = | у у" "ах, | у'у 'ах = -| У у" ах, | у' У' ах = -| УУ у" ах.

(7)

0

0

Для функции м(x, t) , являющейся решением уравнения (3), с учётом (7) равенство (6) принимает следующий вид:

Ф а) = |

-4ит,ММ' - 2^м>2 + 2вМ | М(x, - 2ум>м "" + втМ2

в | М2(x, + 2|б/(x, t, ^ dz - 2wg (x, t, м, М) J J я*

& -

I I

+ 4а IМ м "dx| м М 'dx.

Для указанных типов закрепления справедливы следующие равенства:

111 11

|мМ"= |Мя2&х, |Мw"dx = -|М'м'&х, |ММ'dx = 0. 0 0 0 0 0 Далее, воспользовавшись неравенством

2М (x, t )М (x, < М2 (x, t) + М2 (x, 5)

и подставляя (9) в (8), получим следующую оценку для Ф(/) :

Ф(0 < | (-2£ + вт)М2 - "2 + 2|б/(^, Z) dz - 2Мg(x, t, м, М)

dx.

Требуя выполнения следующих неравенств:

I/(^ t, z)dz> 0 , wg(x, ^ м,М) > 0 , dz < 0

бt

и учитывая неравенство Релея

| М "2dx > /| М2dx,

где // - наименьшее собственное значение краевой задачи м"" = ш, получим

Ф ^) < |[(-2# + 2вт - 2у/ш )

М2 dx.

Таким образом, если выполняется условие

%-вт + Ц//1> 0,

то Ф^) < 0 ^ Ф(t) < Ф(0) .

Оценим функционал, используя неравенство (13),получим

I

Ф^) > - N - т,и2)'2&.

Если выполняется условие

^ - N - т.и2 > 0, то имеет место оценка для функционала

2(Я.П - N - т,и2) Ф(t) ---}- м2( x, t).

Значение функционала в начальный момент времени определяется выражением

4 "0

Ф(0) = I + ММ02 - (N + т,и2)м02 + <рМ02 + вм2 + 21/(^0,^)dz

dx-

'' V

+к 11М02 ^

(8)

(9) (10) (11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

0

Следовательно, имеет место следующее неравенство:

м>2(1) <

2 - N - т*и2)

+ МУ02 - (N + т,и2)у02 +

О

+рУ О2 02 + 21 / (х,0,

ёх + к I | у О2 ёх

Из неравенства (38) следует теорема 1.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (12) и условие (15). Тогда решение >(х, X) дифференциального уравнения (3) устойчиво по отношению к возмущениям начальных

значений у^у^У , >0, если функция >(х, X) удовлетворяет краевым условиям: на левом конце при х = 0 и на правом при х = 1 шарнирный или жёсткий тип закрепления.

Укажем вид функций /(х,X,у), g(х,X,у,У), не противоречащий изложенной методике и позволяющий удовлетворить условиям (12)

/ (х, X, у) = £ /к (х, X) У2 к+1,

"1

§( х, X, у, у ) = 2

>21+1 .

(21) (22)

2 g^j (X, У)>22

_ 2=0

Условия (12) будут выполнены, если

/к (х, X) > 0 , и (х, X) < 0 , gIj (х, X) > 0. (23)

Пример исследования устойчивости в двухстепенной модели с учётом запаздывания.

Теперь исследуем устойчивость трубопровода в модели (2) с учётом запаздывания только реакции основания

I

- ЕЕ | и' + 2 у '2 ^ + Ыи +1;0'и (х, X) + в0*и( х, X) = 0,

- ЕЕ

у'I и' + — у'2

+ езу" '' + ыу> + т,У2 >'' + 2т,¥м>' +

(24)

+£*У(х,X) + 01 х,X - Д) + щУ'''' - рУ'' = 0.

к=0

Граничные условия на конце стержня при х = 0 или х = 1 могут иметь вид:

1) жёсткое закрепление (рис. 1, а):

х, X )=>'(х, X )= и (х, X) =0; (25а)

2) шарнирное закрепление (рис. 1, б):

>( х, X )=>' (х, X )= и( х, X) =0; (25б)

3) жёсткое закрепление с отсутствием внешней силы (рис. 1, в):

>( х, X )=> ' ( х, X )= и' ( х, X) =0; (25в)

4) шарнирное закрепление с отсутствием внешней силы (рис. 1, г):

>( х, X )=>''(х, X )= и '(х, X) + -2 у' 2( х, X) =0; (25г)

5) свободная заделка (рис. 1д):

У (х, X )=>'"( х, X )= и (х, X) =0; (25д)

6) свободное закрепление с отсутствием внешней силы (рис. 1е):

У (х, X)=w ' (х, X )= и' (х, X) =0; (25е)

/ / / I-

а)

б)

в) г)

Рис.1. Способы закреплений

д)

е)

Получим достаточные условия устойчивости решений дифференциального уравнения (24) по отношению к возмущениям начальных условий. Введём функционал

Ф(г )=|

М(и2 + М2) - тУ2м'2 + ЕЗм"2 + Е¥I и" +1 м'2 I +

dx.

(26)

+в0*и 2 +рМ "2 +в1М2 +в1 | | М2( x, 5)

г

Найдем производную от Ф по t

2М (ии + ММ) - 2т, V2 м ' М' + 2 Е¥ { и ' + 1 м '2 ^(и' + м ' М') +

г

+2ЕЗм"М" + 2в0*ии + 2рМ'М' + 2вхмМ + в1(1М2 -в1 | М2(x,

Ф(г )=|

г

(27)

Пусть концы трубопровода закреплены жёстко или шарнирно. Тогда, интегрируя по частям, получим

г г г г

|ММ"^ = ММ'"Ю -1W'w"'dx = -ММ"Ю +1W"w"dx = |W"w''dx,

0 0 0 0 г г г

|Ww"dx = Мм'|0 -|W'w'dx = -|W'w'dx,

0 0 0 " 1 I г

Iи| и' +1 м'2 ) dx = и| и" +1 м'2 ) - Iи'| и' +—м'2 Idx = -Ги"( и" +1 м'2 )dx,

0 { 2 ) {2 ) 0 1 I 2 ) 0 I 2 )

1м мл и" + 1м'2 ) dx = Мм' | и' +—м'2 I -{м'м'\ и" +1 w'2\dx--

1 [ { 2 )} ^ 2 ) 0 1 I 2 )

' ! 1 Л ' 1

= -1 М'М'I и' + —М'2 Idx, I ММ'dx = — М2

0 { 2 ) 0 2

(28)

=1 м2(1, г).

0 \ / 0 Для функции м(x, г) , являющейся решением уравнения (24), с учётом (27) равенство (27) принимает следующий вид:

Ф(г )=|

-2£0*и2 - 2£*м2 - 2т,V2 (м2)'- 2^(М")2 + 2в1(1М2 +

г г

+2в1М | W(x, -в1 | W2(x,

Далее, воспользовавшись неравенством

2М( x, г )М( x, 5) < М2 (x, г)+М2 (x, 5),

получим следующую оценку для Ф(г) :

dx.

г

Ф(г) < |[(-2#1* + 2вт)М2 - 2^М"2&.

Учитывая неравенство Релея:

|М"2dx > / IМ2dx,

(29)

(30)

(31)

(32)

где // - наименьшее собственное значение краевой задачи у '' '' = /ш, получим

I

Ф(X) < {[(-2#* + 2вт - 2уш)у2Ух.

Таким образом, если выполняется условие

#1*-вт + у/ >0,

то Ф(X) < 0 ^ Ф^) < Ф(0) . Получим оценку для функционала

(34)

Ф^)>{\(Ш\ - т*У2)> '2 + Е¥ [V + 2 > '2 ' | ёх.

Предполагая, что

и, учитывая (34), из (35) получим

Е3\ > тУУ2

^ , . ША - т*У2 2 . Ф(X )>-4 * У2( х, X ).

Значение функционала в начальный момент времени определяется выражением

I

Ф(0)={

Ы(и02 + У02) + (Ы - т*У2А-1 )<2 + +Е¥ Г и0 +1 >02 '1 + в0*и02 +(в1 +р)

ёх.

(35)

(36)

(37)

(38)

Следовательно, имеет место следующее неравенство:

у2^)<-

I

Ы\ - т*У2

Ы и + >02) + (Ы - т*У2А-)У02 +

+Е¥ Г и0 + 1 < '1 + в/и^ +(в1 +р)

ёх

(39)

Из неравенства (39) следует теорема 2.

Теорема 2. Пусть выполнено условие (34). Тогда решение >(х,X) системы уравнений (24) устойчиво по отношению к возмущениям начальных значений М0,>0,У0, и0, и0, если функция >(х, X) удовлетворяет краевым условиям: на левом конце при х = 0 один из типов (25а)-(25г), на правом при х = I - (25а)-(25е).

Исследование устойчивости в линейной модели с учётом запаздывания.

Бу ''''+ (т0 + т*)У + (N + т*и2)у ' + Ют,У' + уУ''' -фУ' +

п т (40)

+2 вМх, X -т) +2х, X -Рк) = 0.

к=1 к=1

Решение уравнения (40) можно искать в виде м(х, X) = g(х)ес, тогда для g (х) получим однородное дифференциальное уравнение

(Б + усс)g''''+ (N + т*и2 -фсо2)g'' + 2Um*сg' +

(41)

(т0 + т* )С +с2вке

-тРк

= 0.

Добавляя граничные условия для функции g(х), получим задачу на собственные значения. Например, при шарнирном закреплении левого конца х = 0 и жёстко защемлённом правом конце х = I условия имеют вид

g (0) = g'' (0) = 0, g (I) = g' (I) = 0. (42)

х

Один из способов решения задачи может состоять в отыскании решения уравнения (41) в виде g(x) = eAx, для А получим алгебраическое уравнение четвёртого порядка. Востановив по найденным значениям А фундаментальную систему решений g1(x), g2(x), g3(x), g4(x), общее решение уравнения (41) запишем в виде

g (x) = Z ckgk (x). (43)

k=1

Удовлетворяя четырём однородным граничным условиям, получим систему уравнений для произвольных постоянных c1, c2, c3, c4. При этом в процессе решений должны определиться возможные собственные значения о .

Другой способ основан на методе Галеркина. В этом случае решение краевых задач для уравнения (41), например, краевой задачи (41)-(42), отыскивается в виде

g(x) = ^ак/к(x) , (44)

k=1

где {fk (x)}}- полная на отрезке [0,l] система базисных функций, удовлетворяющая граничным условиям (42).

Третий способ состоит в применении метода Галеркина непосредственно к уравнению (39)

w(x, t) = £wk (t)fk (x). (45)

k=1

Тогда для wk (t) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями аргумента t , решение которой можно находить аналитическими или численными методами.

Итак, были рассмотрены некоторые задачи аэрогидроупругости о колебаниях, возникающих при протекании жидкости в трубопроводе. В первом случае учитывались только попереченые колебания, во втором во внимание принимались также и продольные колебания. Для задач приведены возможные типы граничных условий в зависимости от типа закрепления концов трубопровода и наличия внешней силы. На основе построенных функционалов типа Ляпунова был произведён анализ устойчивости решений дифференциальных уравнений, описывающих колебания, сформулированы теоремы устойчивости и получены аналитические условия для параметров механической системы.

Работа выполнена в рамках государственного задания №2014/232 Минобрнауки России.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Paidoussis, M. P., Issid N. T. Dymanic stability of piped conveying fluid // J.Sound and Vibr., 1974,v. 33. N3. - P. 267-294.

2. Vel'misov, P. A., Garnefska L.V., Milusheva S.D. Investigation of the asymptotic stability of a pipeline in the presence of delay in time // Rev. Mat. Estat., Sao Paulo, 19: 2001. - P. 159-178.

3. Анкилов, А.В. О динамической устойчивости трубопровода / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Математические методы и модели в науке, технике, естествознании и экономике: Тр. международной «Конференции по логике, информатике, науковедению - КЛИН-2007» (г. Ульяновск, 17-18 мая 2007 г.). - Ульяновск, 2007. - Т. 4. - С. 10-14.

4. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В. В. Болотин. - М. : Физматгиз, 1961. - 339 с.

5. Вельмисов, П. А., Исследование устойчивости трубопровода / П. А. Вельмисов, Б. В. Логинов С. Д. Милушева // Приложение на математиката в техниката: Сб. доклади и научнисъобщения. XXI национальная школа. - Болгария, Варна, 1995. - С. 299-304.

6. Вельмисов, П.А. Исследование динамики трубопровода с учётом запаздывания внешних воздействий / П.А. Вельмисов, Ю.В. Покладова // Вестник УлГТУ. -2004. - №4. - С. 26-29.

7. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование динамики упругих элементов при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, А. А. Васильева, Е. П. Семёнова // Тр. 7-й Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов (2-5 февраля 2009 г., г. Ульяновск)». - Ульяновск : УлГУ, 2009. -С. 68-70.

8. Вельмисов, П. А. О некоторых математических моделях механической системы «Трубопровод

- датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: технические науки. - Самара: СамГТУ, 2011. - № 1. - С. 137-144.

9. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. - М. : Наука, 1968.

10. Математическое моделирование механической системы «Трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова, В. Д. Горбоконенко. - Ульяновск : УлГТУ, 2008.

- С. 188.

11. Мовчан, А. А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через неё жидкости /

A. А. Мовчан // Прикладная математика и механика. - 1965. - Вып. 4. - С. 760-762.

12. Светлицкий, В. А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха / В. А. Светлицкий. - М. : Машиностроение, 1982. - 280 с.

13. Томпсон, Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике : Пер. с англ / Дж. М. Т. Томпсон. - М. : Мир, 1985. - 254 с.

14. Феодосьев, В. И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через неё жидкости /

B. И. Феодосьев // Инж. сб., Изд-во АН СССР. - 1951. - Т. 10. - С.169-170.

15. Челомей, С. В. О динамике устойчивости упругих систем / С. В. Челомей // Докл. АН СССР. -1980. - Т.252, №2. - С.307-310.

Анкилов Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет статьи и монографии по аэрогидромеханике, аэро-гидроупругости, математическому моделированию.

Корнеев Андрей Викторович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

УДК 539.3:533.5:517.9

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, С. В. КИРЕЕВ, Т. Е. БАДОКИНА

О ВЛИЯНИИ НЕЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ НА ИЗГИБНЫЕ ФОРМЫ ПЛАСТИНЫ-ПОЛОСЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

Рассматривается математическая модель задачи об изгибных формах пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа с нелинейной упругой связью на концах. Получены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость максимального прогиба пластины от скорости набегающего потока.

Ключевые слова: пластина-полоса, сверхзвуковой поток.

Решение задач о статической неустойчивости конструкций связано с теорией ветвления решения дифференциальных уравнений. Исследования в этом направлении проводились аналитическими и численными методами в работах Абботта Ж. П., Аткинсона К. Е., Бола Е., Крандалла М. Г., Рабиновича П. Х., Демулина М. Ж., Чена М., Холмеса П., Марсдена Ж., Кеенера Ж.П., Келлера Х.Б., Кубичека М., Марека М., Лангфорда В. Ф., Плаута Р. Х., Редиена Г. В., Зейдела Р., Стакгольда И., Вебера Х., Вайнберга М. М., Треногина В. А., Логинова Б. В., В. А., Вельмисова П. А., Сидорова Н. А. и др. В частности, результаты исследований устойчивости упругих элементов конструкций, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, приведены в работах Алгазина С. Д., Кийко И. А, Кудрявцева Б. Ю., Показеева В.В., Минасяна Д.М. [1-8], а также в работах авторов данной статьи [9-22].

© Вельмисов П. А., Киреев С, В., Бадокина Т. Е., 2014