CC BY
20
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 533.6.013.42
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, Е. П. СЕМЕНОВА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ «ТРУБОПРОВОД - ДАТЧИК ДАВЛЕНИЯ»
Рассматривается задача о динамике упругого элемента конструкции, которая представляет собой динамическую модель механической системы «трубопровод-датчик давления». Предложена новая математическая модель такой системы, на основе которой получено уравнение, связывающее между собой давление на входе в трубопровод и деформацию упругого элемента датчика, рас-пололсенного на другом конце трубопровода.
Ключевые слова: аэрогидроупругость, датчик давления, трубопровод, упругая пластина, деформация, динамика.
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), гос. контракт №П1183.
Пусть на одном конце трубопровода (х = ;с0) задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом расположен датчик, предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного элемента упругую пластину аЬ (рис. 1).
а) Линейная модель. В линейной постановке, соответствующей малым прогибам упругого элемента и малым возмущениям потенциала рабочей среды, математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями:
Рис. 1. Схема механической системы
(1)
9у =0, х<е(0,/);
(2)
<Ру х,±—=0, хе(1,х0);
(3)
(4)
(5)
© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П., 2010
І
р.-р<рАх**у>0 = р(у>0, у
V
?
(7)
/
Ци’) = М\\> + 0\\>ту + Мгу + <5и'да>. + /3№ + у\\> =
= ро(у,0-р.+р(р1(0,у,0, ує(а,Ь)\
(8)
Здесь х, у - декартовы координаты; ( - время; С - многоугольник А^А^А^А'А'А'А^; ср(х,у,1) -потенциал скорости рабочей среды; и'(у,/) - прогиб упругого элемента (пластины); а , Ь - координаты концов пластины; Р. - давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; Р(у,1) •-закон изменения давления на входе в трубопровод; р - плотность рабочей среды; М , О, - погонная
масса и изгибная жёсткость пластины; N - сжимающее (растягивающее) пластину усилие; 8 - коэффициент внутреннего демпфирования; /3, у - коэффициенты демпфирования и жёсткости основания; Р0Оу) - распределённая внешняя нагрузка, действующая на пластину; нижние индексы л*, у, I обозначают частные производные по х, у, /; точка - частную производную по I.
Чтобы исключить из правой части уравнения (8) неизвестную функцию ср, введём в области С комплексный потенциал IV(г,/) = (р + \ц/ , где г - х + /у, ц/ - у/(х,у,1) - функция тока. Из условий (2) - (5) следует, что ломаные аЛ,Л4 и ЬА'А' являются линиями тока, поэтому
ц/(х,у,1) = С(1), (х,у)еаА,Л4, (9)
где С(/) - произвольная функция времени /. Если (х,у) е аА[А[, то, интегрируя условие Коши-Римана ц/ =(рх, получим
і/
У
у/(о,>\0= ]Му+с(/), у є
а,
Уо
а
X
2 у
или, учитывая (6)
У
(//(0,7,0= |н»(у,/)ф + С(0, уе(а,Ь),
а
ц/{х,уу0 = |й'(>>,/)ф + С(0, (л-,^) є .
(10)
Найдём конформное отображение полуплоскости на область С . Интеграл Кристоффеля-Шварца [1]
2=с\
о
/
г 1
С+-
\ "Г
с,-
Ґ
\ --
\
/72
/
\
г 1
\ -7
/
<*Г, = с, І
<*Г,
• Тсо-оо- «><г, )(і + <, XI+*<Г,)
(її)
конформно отображает верхнюю полуплоскость 1щС] (рис. 2) на шестиугольник А,ОА}АлА^Л2
Рис. 2. Плоскость комплексной переменной ^
Формула (11) содержит четыре параметра С], т, п, к (0 < т < 1, п > к > 0), которые определяются размерами х0, у0, I, Н многоугольника С.
Тс
&
первый квадрант плоскости <£, на шестиугольник А^ОА5АаА^А.
40-ф(1 -/и^хі + 0(1 + 0
В соответствии с принципом симметрии функция (12) конформно отображает полуплоскость с разрезом (рис. 3) на область С .
Рис. 3. Плоскость комплексной переменной •
Наконец, функция = - , = даёт конформное отображение полуплоскости 1т С, <0 (рис. 4)
^г-\
на область в плоскости <^2. На рис. 1-4 соответствующие точки обозначены одинаковыми буквами.
Рис. 4. Плоскость комплексной переменной ^
Таким образом, пара функций
= 2 С,]
ас
>£ =
(13)
определяет конформное отображение нижней полуплоскости 1т ^ < 0 на область С . При этом ветви корней в (13) подчинены условиям:
д/(1 - £ XI - '< XI + К)(> + К) > 0 при С2є(-],1); 7<М>0 при є
і
N
\
Гп,
+ 00
У
В полуплоскости 1т ^ < 0 рассмотрим функцию
= -/^(2(0,0 -СО) + IV. (О = (V/, - СХО) + 1’ЫО- п),
где у0(0 = — [Р. - /?(0,/)] На границе полуплоскости (£ = 1т £ = 0) эта функция согласно (9), (10), (7)
Р
удовлетворяет условиям
0,£ є
\
\
л/« —Л: ’ у
\
(14)
а,
\
у/п-к
/
}й()\1)с1у,с; е(а,/3),
(\
!иХ>./)Л.5еГД -2-
л]П-
У
1
1т щ = у,(о -<р,=*4, о=- [гыао - по, /)],
р
/
1
\
— СО —
V
и
у/п-к у \-J~n--k
/
1
\
,+00
(16)
/
причём у(±со,/) — ().
Функцию >’(£) найдём из (13). Для этого сначала вычислим производную
Л 2С, - /
2 _
2/С.
« - 'У
(17)
«’-о1" 7с-(«+'«к!)('-(«+'К’к'- («- *)0
Полагая в (17) <^ = £е[а,/?] (при этом 2 =/у, уе[д,6]), получаем
</у
2/С, ^1 - л£
Л? 7(1-(« + 1)<П(1-('« + ")Г )(1-(«~*0<П '
Чтобы исключить С,, воспользуемся формулой (11) и соответствием точек ^,=1<->2 = -
_ 1Уо
Имеем
=с,1
Л
о ^5(1-5)(1-/И5)(1 + Я$)(1 + Ал)
следовательно,
=Л*.
1-и£
(1 - (я + 1 )<Г XI - {т + я)#2 )(1 - (п -к)?)'
(18)
г 2/с1 где К =-----------1 =
Уо
с1$
\
I
1^(1 -Л-)(1-Ш5)(1 + щ)( 1 + Аз)
-I
(19)
/
Интегрируя (18), получим
У = У^) = УоК'\.
1 - т
■<*, £е[а,/?].
о у (1 -(/? + 1)52)(!-(/» + «)52)(1- (/7- к)з )
Концы отрезка [а,(3\ определяются из условий: у(а) = а, у(/3) = Ь.
Аналогично, полагая в (17) С, - %, И > - ■■ (при этом г = ха + /у, |_у| < ///2), получим
^п-к
(20)
ф_
= ~УоК
((и + ^-Ши + л^-ВДи-^2-!)
Отсюда, интегрируя, находим
У^) = ^г~ У»к' )
\l\fti--k
№ 2 - 1
((я + 1)52 -!)((/« + /?)52 - 1)((и - А).у2 - 1)
у}п-к
(21)
Н СГ I______________________Я52 -1______________________ , ,_________1__
Ж) 2 Л Д_^ + ^.2 _+ л)52 __ку- _])
(22)
Для аналитической в нижней полуплоскости функции с граничными значениями (14), (16)
имеет смешанную краевую задачу. Решение этой задачи, ограниченное в точках £ = ±
\1п - к
, дается
формулой [2]
Ж, (С, I) = -П¥, - С'(0 + (V. (/) = -
Л7
I/;.
-1/Л
\
V
гг/(г,/) (1т ^ . гу(г,/) г/г . V у(г,/) с1т
I ОД т-^+\/{к(т) т-С + 11 Л(т) т-С
где
= , Я = у1п-к , причём рассматривается та ветвь корня, которая положительна при
С = £ > 1/Я. Отсюда имеем
и>/с'(0+ув(/) +
/я^-1
727
/
\
м(г,/) с/г | % у(г,0 с!т "У у(г,/) с! т
Ч\-Хт‘ т-С У-1 71?" 1 Т^г^Тг^7
N
/
(23)
Перейдём в (23) к пределу при £ ~>£ е(а,0) (при этом г -> />, уе(я,£)). Применяя формулу Сохоцкого [2] и отделяя вещественные части, получим
(0, >»,/) = у0(/) -
л/1 - Я‘£2 'г м(г,/) с!т
п
[ ''' _____+ I - - -4 —- 1 -—у —-
; л/1 --Я2г2 VЯ2г2 - 1 _{ >/я2г2 -1
то
I
у(г,/) б/г
-1/Я
\
Г7~ I
у(г,0 с/г
N
(24)
/
Так как »„(() = -№ -/>(0,0), у(О = -(/>(Ж),О--Р(0,О),
Р Р
СО
1
»/А
б/Г
-»/■*
-I
с1т
п
ЧЛгтг-\(т-£) -х/яу^Т^-^)
, то (24) можно записать в виде
Ч>, (О, У, 0 =
Л л/1 -
1/Л
Р
7Тр
I
ри{т,1) <1т КгР(у(т),1) с1т
« / 1 1/Л
V
+
р
ЦЛЦ г Р(у(т),0 с1т
г2 -12--# _• VА2г2 — 1 Г-
N
«г
/
(25)
Подставляя (25) в уравнение колебаний (8), представим его в виде
ЬМ = Р>{у,0-
Я*
/■
\
»У1-Ягг! г-£ Л^ЯУ-! Г-# I л/Д’г’-! г-£
\
/
,уе(а,Ь), (26)
где £ = £(;>) - функция, обратная к функции (20), и(г,г) определяется формулой (15), у(т) - формулами (21), (22). Уравнение (26) связывает давление Р(у,1) на входе в трубопровод и прогиб (деформацию) н'(^,/) упругого элемента датчика.
Функция (20) содержит три параметра т, п и к . Найдём связь этих параметров с параметрами
1 г- Г ^ У г
х„, у0, /, Я области С . Пусть £, = —, тогда 2 = /-/—. На основании формул (11), (19) имеем
т 2
*У.
О __
1/л»
=с,1
ас
=с,1
+
2 ' г 7С(1-С)(1-'00 + 00+^1) 1 • ^0 - *)0 - »«)(!+«л)(1+Ь)
+
V* (* -1)0 - тл-)(1 + «5)(1 + кя)
Приравнивая вещественные части, получаем
/ К К
I
ск
ув 2 I ^^(1 - .?)(] - /72Л )(1 + Ш')(1 + Ь')
(27)
II
Аналогично, воспользовавшись соответствием точек =00 и г = /-/ —, будем иметь
Лт0
ас,
=с,[
Л-
/_/ я = с I_____________
'2 '!^Х\-С)0-™С,)0 + 00 + Ю ~'»1 - »«)(I + «^)(1 + Аа)
+/с 1 ф - с | ф
' I V■S('S - ■)(• - ик)(1 + га)(1 + *5) ''/-7'5('5-1)(т5-1)(1 +«)(1 + ^'0
+
Отсюда
— = 1 - К )-г ■ сЬ ......... =
Уп V- V ~ _ 1)0 + /?л')0 + &•)
Так как Сх - — соответствует г - х0, то
п
-|/я
•„ = с, \
•- 1/л
= С. I
ds
0 л/со -£,)0 + ,7С, X1 + ^Г,) 1 0 /д/|л|(1 - л)(1 — ///Л')(1 + /ю)( 1 + Ь')
, следовательно,
*о А-
О
>\> 2 _|/#| ^(5 - 1)(] - ш)(\ +ш)(1 + Ь)
(29)
Наконец, учитывая соответствие точек С,--— и г - х0 - —, получаем
А 2
И ~1,к
\-‘т=с, \
-1/г,
С, I
О
^/$(5 “• 1)(1 - /Н$)(1 + /«00 + Аз)
- 1Д-
-с, Г
-«А» ^|(1 - 5)(1 - /И$) 1 4- >7з|(1 + кз) Отсюда
Л
1Т -1/п
— = м ,
7о -V* л/5(5' _ - 1)0 + Л5)(1 + Аз)
(30)
Задавая произвольные значения т, я, /: (0 < /и < 1, л > А > 0), по формулам (27)—(30) можно найти соответствующие значения параметров х0, у0, I, Н .
б) Нелинейные модели. Постановка задачи (1)-(8) соответствует линейной теории аэрогидроупругости, когда движение жидкости (газа), а также динамика деформируемого тела описываются линейными уравнениями. Можно предложить также «смешанные» математические модели, в которых часть уравнений, описывающих динамику упругого элемента, являются нелинейными. Одна из таких моделей определяется уравнениями (1)—(7), при этом уравнение (8) заменяется следующим:
//
£>и/
N
\
[|+ооГ
/
+ Nwn - в\\"
гь
\
|-^1 + (и/)2(1у + а- Ь
/
+ М\\> + 8й>!Ш - от” + /(у, (, и>, й’) = Р{(р),
уе(а,Ь),
где Р(<р) - аэрогидродинамическое давление; /(у- заданная функция, характеризующая
ч
внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства основания («постели»); а - коэффициент, учитывающий инерцию вращения сечений; штрих обозначает частную производную по у,
точка - частную производную по I.
Вторая модель также предполагает использование уравнений линейной теории (1)—(7), при этом уравнение (8) заменяется системой двух уравнений.
- ЕР
и ' + — ( и/ ')2
+ МЛ + 8 ♦ й " + g(y,t,u,ьl,w,w) = 0
Н
- ЕР
и> I и ' + — (')2
Г ь
\
У
/
+
Ом>"
\
\
[1 + (м>')2]
/2
/
• пи
\
\V1 + {м>')2 (1у + а - Ь
\ О
+ /(у,1,и,йу\\>,й>) = -Р{(р), у е (а,Ь),
/
где и(у,/), ™(у,1) - продольная и поперечная деформации упругого элемента; Р(<р) - аэрогидроди-намическое давление; о{у,гм,й,л\\щ, /\у, т, и, й, ж м>) - заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства подкрепляющих элементов; Е - модуль упругости; Г - площадь поперечного сечения; о,, - коэффициенты продольного и
поперечного внутреннего демпфирования.
г и Г Т—з/^- /п
Часть нелинейных математических моделей связана с заменой [1 + (к>‘У] и [1 + (V)"} на
и
1
г\2
!+-(>/) 2
соответственно, а также с заменой этих выражений единицей.
Различные модификации моделей возникают также при выборе формы записи интеграла Лагранжа-Коши, согласно которому давление Р(ср) определяется по одной из формул
р(<р)=р. -р
р(<р) = р.-р
Ч>, (О, У, О + “ <РІ (О, у, о + ^ И"3 (у, О
<р, (0, .у, О+^и'2(у,о
Р(<р) = Р. -р<р,(0,у,1)
Линейное уравнение (26), связывающее давление Р(у,I) в камере сгорания двигателя и деформацию м>(у,/) упругого элемента датчика, получено при использовании третьей из этих формул, соответствующей линейной теории. В случае применения первой и второй формул уравнение связи между Р(у,I) и м>(у,I) будет нелинейным относительно и'(>>,/). В частности, если использовать вторую
формулу, то в правую часть уравнения (26) добавится слагаемое
/
1
\
V
/
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
2. Гахов, Ф. В. Краевые задачи / Ф. В. Гахов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.
Велъмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических паук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области аэрогидроупругости, аэро-гидромеханики, устойчивости систем с распределёнными параметрами, математического моделирования. 4
Решетников Юрий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Автор монографии и статей по теории функций комплексного переменного, аэрогидроупругости, устойчивости.
Семёнова Елизавета Петровна, аспирант кафедры «Волновая и газовая динамика» МГУ, автор статей по аэрогидроупругости, устойчивости.
«Поступила в печать 29.04.2010 г.»
