CC BY
39
УДК 519.1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИБЛИИ: ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ АВТОМАТНЫЙ ПОДХОД
© В.И. Левин
Levin VI. Mathematical modelling of the Biblical events. The article looks at the main ideas of the mathematical Bibleistics - the science, which strives for finding out the sense of the Biblical stories on the basis of analysing the quantitative data contained in the Bible with the aid of mathematical methods. The author proposes an automata-characteristics approach to the quantitative features ot the flow of the Biblical events with the aid of automata models of that flowr. Hie theory of dynamical automata is utilised, which previously was used for computer engineering and automatics. A detailed quantitative analysis of the first human civilisation's history from Adam to Noah, ending with Flood is given as an example.
1. Введение. Библия к течение уже многих веков является абсолютным рекордсменом среди ииг по числу изданий и переводов на различные языки. Согласно Книге рекордов Гиннесса, изданной в 1988 году, за период с 1815 по 1975 год в мире было напечатано 2,5 миллиарда экземпляров Библии. К настоящему времени Библия переведена более чем на 2100 языков мира. Эго, согласно данным Американского библейского общества, позволяет читать Библию на своем родном языке подавляющему большинству населения нашей планеты
- 98 процентам! Невиданная популярность Библии привлекала к ней в разное время внимание многих выдающихся людей: поэтов и писателей, художников и музыкантов, историков и философов и, конечно же, богословов. Все эти люди пытались, каждый по-своему, понять скрытый смысл Книги Книг, причины ее необычайно широкого распространения в мире и отражали ее содержание в бесчисленных стихах и романах, картинах и скульптурах, музыкальных произведениях и исторической прозе. Эти попытки привели в конце концов к возникновению в начале ХУЛ века научных школ по изучению Библии. Представители этих школ (Р. Декарг, Б. Спиноза, Г. Гроций, Г. Лессинг, И. Кант, М. де Ветге, Г Эвальд, К). Вельхаузен) в течение XVII - первой половины XX века сделали многое для прояснения смысла библейских текстов, используя для этого традиционные качественные метода,I исследования, заимствованные из гуманитарных наук: философии, истории, социологии, археологии и других. Однако Библия содержит много количественных данных, которые представляют собой важную информацию, дополняющую библейские сюжеты и могущую помочь понял, их смысл. Такими данными являются даты рождения и смерти библейских персонажей, даты конкретных событий и их порядок, количества участников этих событий, размеры упоминаемых в Библии предметов и их количество и так далее. Поэтому естественно, что вторгш половина XX века ознаменовалась появлением количественных подходов к изучению Библии. Эти подходы можно разделил, на две фУППЫ. К первой фуппе относятся те подходы, которые базируются на предположении, что Библия есть лишь набор зашифрованных текстов, которые необходимо расшифровал,, чтобы понять их смысл. Типичным примером этого подхода служат исследования профессора М. Басса, основанные на побуквенном сканировании
текста Библии с тем или иным фиксированным интервалом. Ко второй фуппе относятся подходы, которые базируются на доверии к собственно библейским историям, смысл которых и предлагается раскрыть с помощью фигурирующей в них количественной информации. Рассматриваемый ниже новый количественный подход к изучению Библии относится ко второй группе.
2. Идея моделирования Библии. Нами предлагается характеристический автоматный подход к моделированию и количественному изучению библейских историй. Сущность этого подхода заключается в следующем. Пусть изучаемую библейскую историю сопровождают н потоков однородных событий, элементарных в том смысле, что в каждом из них одновременно может происходить не более одного события. Каждый ноток характеризуется заданной последовательностью временных интервалов: I! каждом интервале происходит по одному событию, а вне их события не происходят. Примерами таких событий могут быть жизни библейских персонажей от момента их рождения до смерти; упоминаемые в Библии войны от момента их начала до окончания и так далее. Будем изучать поток событий, полученный суммированием элементарных потоков. Ясно, что, зная количественные характеристики элементарных потоков, в принципе можно вычислить и количественные характеристики суммарного потока. Наша основная гипотеза такова: количественные характеристики элементарных (а следовательно, и суммарных) потоков событий содержат информацию, достаточную для выяснения смысла библейской истории, сопровождаемой этими потоками. При этом указанное выяснение смысла заключается в определении того числового значения количественной характеристики суммарного потока событий, которое соответствует времени наступления библейской истории и последующей содержательной интерпретации найденного числового значения. 1аким образом, проблема выяснения смысла библейских историй, сопровождаемых элементарными потоками событий с заданными количественно интервалами наступления событий, сводится к вычислению и динамическому анализу подходящих количественных характеристик суммарного потока событий. Последнее можно удобно реализовать с
помощью совмещенного графика элементарных потоков событий. На таком графике каждый элемен тарный поток событий изображается на отдельной временной оси, причем наличию события соответствует импульс вдоль этой оси в соответствующем временном интервале, где это событие происходит. Пример конкретного совмещенного графика 11 элементарных потоков событий показан на рис. 1. Благодаря наглядности графического представления элементарных потоков событий суммирование небольшого (не более 8-10) числа потоков и определение количественных характеристик полученного суммарного потока можно выполнять непосредственно по совмещенному графику элементарных потоков событий. Однако если число потоков велико, такой способ становится мало наглядным и сложным. В этом случае для суммирования элементарных потоков событий и определения количественных характеристик суммарного потока целесообразно использовать модель динамического конечного автомата без памяти. На каждый вход такого автомата поступает соответствующий элементарный поток событий. Логическая функция автомата подбирается так, чтобы осуществлять требуемое суммирование элементарных потоков событий и определение их количественных характеристик. Тогда на выходах автомата будем наблюдать суммарный поток событий и его различные количественные характеристики. Таким образом, определение суммарного потока событий и вычисление его различных количественных характеристик может бьпъ выполнено хорошо разработанными методами теории динамических автоматов.
4. Библейская история о Всемирном Потопе. В популярной литературе эта история обычно излагается так.
У Адама и Евы - первых людей на Земле - родились два сына: старший Каин и младший Авель. Каин занимался земледелием, а Авель был пастухом. Однажды оба брата принесли жертвы Богу: Каин - горсть плодов своей земли, а Авель - лучших овец своего стада. Богу поведение младшего брата понравилось больше. Это очень огорчило Каина, он почувствовал зависть к своему брату. Однажды, когда братья были в поле одни, Каин набросился на Авеля и убил его. Тогда преступный Каин услышал голос Бога: «Где брат твой Авель?». «Не знаю, - ответил Каин, - разве я обязан сторожить брата моего?» Но Бог, знавший все, сказал ему : «Что ты наделал? Ведь кровь брата твоего взывает ко мне из земли. Отныне ты проклят. Земля не даст тебе больше своих плодов. Ты будешь скитаться по свету и не будешь знать покоя». Кроме Каина и Авеля, у Адама был еще третий сын Сиф. От него произошел ряд поколений. Род человеческий постепенно размножался. Но еще в отношениях между людьми не было правды и справедливости, а господствовала грубая сила, сильный угнетал и обижал слабого.
Видя негодность первобытного рода человеческого. Бог решил истребил, его, чтобы очистить на земле место для новой, лучшей породы людей. В то время жили люди из десятого поколения после Адама. Среди них был только один праведник по имени 11ой. Бог открыл Ною, что он намерен истребить всех обитателей земли потопом, и дал ему совет, как спастись. «Сделай себе, -сказал он, - большой деревянный корабль (ковчег), раздели его внутри на клетки и поместись в нем со своим семейством. Помести там также по одной паре от каж-
дой породы животных. Затем приготовь запасы пищи для прокормления себя, своего семейства и всех животных на ковчеге». Ной исполнил все это. Вслед за тем начался страшный потоп. В л ечение сорока дней и ночей шли беспрерывные дожди. Земля покрылась водой на значительной высоте, а ковчег Ноя плавал на поверхности воды. Все живое на земле погибло от этого потопа. Уцелели только обитатели ковчега. Затем дожди прекратились, вода стала убывать, и ковчег остановился на высоких горах Арарата, Ной открыл окно своего ковчега и выпустил оттуда сначала ворона, а потом голубя. Но птицы улетали и прилетали назад, так как им негде было остановиться: везде на земле еще стояла вода. Но однажды выпущенный на волю голубь не возвратился в ковчег. И тогда Ной понял, что наводнение прекратилось и показалась суша. Он вышел из ковчега вместе со своим семейством и вывел оттуда уцелевших животных. Потом он построил жертвенник и принес на нем в жертву Богу некоторых животных в знак благодарности за спасение от потопа. Богу поправилось благочестие Ноя. Он пообещал, что больше не будет посылать на землю потоп за грехи людей. Бог указал на радугу, появившуюся в облаках после дождя, как на знак своего примирения с людьми. Затем он благословил Ноя и его детей и сказал им: «Плодитесь, размножайтесь и наполняйте землю. Пусть подчиняются вам все звери земные, птицы небесные и рыбы морские. Вы можете употреблять их мясо в пищу наравне со всякой зеленью. Не проливайте только крови человеческой, ибо человек создан по образу и подобию Божьему».
Вот такая замечательная и трогательная история! Однако если воспринимать ее не на уровне простых эмоций, на веру, а глубже, с участием разума, то неизбежно возникает множество серьезных вопросов и сомнений. Прежде всего, почему для истребления человечества был выбран именно тот период, когда жило поколение Ноя, - ведь безнравственность рода человеческого проявилась еще за несколько поколений до него? Далее, почему в качестве единственного праведника, которого надо сохранить, оказался Ной, человек, который, узнав о грядущей катастрофе и гибели всех людей, даже не пытался заступиться за них перед Спасителем, а все свои силы тратил на постройку ковчега в целях собственного спасения. Наконец, почему было не уничтожить уже первое поколение людей - поколение Адама, после того, как выяснилась его неспособность выполнять простейшие предписания Бога (вспомним грехопадение Адама и Евы в Эдемском саду)? Ведь такое открытое непослушание Богу должно рассматриваться как гораздо большее нарушение норм поведения, чем несправедливости в отношениях между людьми, жившими спустя 15 веков после Адама и никогда не имевшими контактов с Создателем.
Вопросов, подобных приведенным, существует много. И для обоснованных ответов на них полезно изучать Библию, используя содержащуюся в ней количественную информацию и анализируя ее подходящими математическими методами.
4. Количественные данные Библии о поколениях первой человеческой цивилизации. Итак, обратимся к количественным данным, содержащимся в Библии, в надежде получить более ясніле ответы на интересующие нас вопросы, связанные с развитием первой человеческой цивилизации, начавшейся с Адама и завершившейся Ноем и Всемирным Потопом. В
библейской Книге Бытия, гл. 5, находим следующую информацию, относящуюся к этим вопросам.
«Когда Адаму было 130 лег, у него родился еще один сын (то есть третий после Каина и Авеля). Адам назвал сына Сифом. После рождения Сифа Адам жил еще 800 лет, и за эго время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Адам прожил 930 лет, а потом умер. Когда Сифу было 105 лет, у него родился сын Енос. После рождения Еноса Сиф жил еще 807 лет, и за это время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Сиф прожил 912 лет, а потом умер. Когда Енос прожил 90 лет, у него родился сын Каи-нан. После рождения Каинана Енос жил еще 815 лет, и за это время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Енос прожил 905 лег, а потом умер. Когда Каинан прожил 70 лет, у него родился сын Мале-леил. После рождения Малелеила Каинан жил еще 840 лет, и за это время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Каинан прожил 910 лет, а потом умер. Когда Малелеил прожил 65 лег, у него родился сын Иаред. После рождения Иареда Малелеил жил еще 830 лет, и за это время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Малелеил прожил 895 лет, а потом умер. Когда Иаред прожил 162 года, у него родился сын Енох. После рождения Еноха Иаред жил еще 800 лет, и за это время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Иаред прожил 962 года, а потом умер. Когда Енох прожил 65 лет, у него родился сын Мафусал. После рождения Мафусала Енох ходил с Богом еще 300 лет, и за это время у него родились друтие сыновья и дочери. Всего Енох прожил 365 лег. Когда Мафусал прожил 187 лет, у него родился сын Ламех. После рождения Ламеха Мафусал жил еще 782 года, и за это время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Мафусал прожил 969 лет, а потом умер. Когда Ламех прожил 182 года, у него родился сын. Ламех назвал своего сына Ноем. Он сказал: «Мы тяжко трудимся, возделывая землю, ибо Бог проклял ее. Ной же принесет нам отдых». После рождения Ноя Ламех жил еще 595 лег, и за это время у него родились другие сыновья и дочери. Всего Ламех прожил 777 лег, а потом умер. Когда Ной прожил 500 лет, у него родились сыновья Сим, Хам и Иафег.»
Приведенная информация содержит все необходимые нам количественные данные о периодах жизни каждого названного здесь библейского персонажа. Правда, вызывает недоумение то, что не приводятся данные о периодах жизни двух старших сыновей Адама - Каина и Авеля, а о последующих детях Адама и всех других библейских персонажей и вовсе ничего не говорится, кроме того, что они родились. Однако, поразмыслив, мы понимаем, что именно так и должно быть. Действительно, в древности, как известно, наследование материальных и духовных ценностей происходило от отца к старшему сыну, так что последующие дети не играли никакой роли в преемственности поколений и тем самым в развитии человеческого общества. Что же касается Каина и Авеля, то, как уже говорилось выше, первый был изгнан и потому не мог участвовать в жизни общества, а второй был убит. Таким образом, приведенные количественные данные о периодах жизни библейских персонажей являются не только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы проследить развитие первой человеческой цивилизации - от Адама до Ноя
как последовательность сменяющих друг друга поколений, сопровождающуюся передачей духовных и материальных ценностей от старших поколений к младшим. Именно этим развитием мы и будем интересоваться.
Что касается даты начала Всемирного Потопа, то на этот счет в Книге Бытия, гл. 7, имеется следующее косвенное указание: «В то время, когда начался Потоп, Ною было 600 лет».
5. Расчет потока поколений первой человеческой цивилизации. Найденные количественные данные являются косвенными и непосредетве!шо не содержат прямых данных: дат рождения и смерти библейских персонажей и даты Всемирного Потопа. Однако эти даты легко вычисляются по имеющимся косвенным данным.
Обозначим неизвестные даты (годы) рождения и смерти библейского персонажа /-го поколения, начиная от Адама, через Л, и Вь а известные косвенные данные - возраст этого персонажа в момент рождения его первенца и длительность его жизни через а, и £>,. Тогда даты рождения и смерти всех библейских персонажей можно вычислить по формулам
г-1
/ = 1,2, (1)
Л-=1
В, = А, + Ь,, I = 1, 2, ..., п. (2)
Здесь п - общее число поколений в изучаемой ци-
вилизации, равное
н = 11. (3)
При этом конкретные номера / всех 11 поколений относятся к конкретным библейским персонажам -родоначальникам поколений, указанным в табл. 1. Там же указаны возраст персонажа а, в год рождения его первенца и длительность его жизни Ь„ в соответствии с количественными данными § 4.
Произведя необходимые подсчеты по формулам (1), (2), получим такие даты рождения и смерти библейских персонажей - родоначальников поколений:
- Адам (номер поколения / = 1)
о
а1= =0’
так как сумма, не содержащая ни одного элемента, равна 0,
В, = А1 + />, = 0 + 930 = 930;
таким образом, Адам родился в 0-м году и умер в 930 году (здесь и всюду ниже летосчисление ведется от сотворения мира, в соответствии с Библией). Заметим, что год рождения Адама А\ можно было бы определить и непосредственно из текста Библии (Бытие, гл. 1), по которому первый человек - Адам - был создан на шестой день первого года от сотворения мира, то есть Л) = 0
- Сиф (/ = 2)
Таблица 1
Номер поколения і 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Персонаж Адам Сиф Енос Каинан Малелеил Иаред Енох Мафусал Ламех Ной Сим (Хам.Иафет)
с>і 130 105 0 70 65 162 65 187 182 500
Ьі 930 912 905 910 895 962 365 969 777 950 -
1
А2 = ^ах = а \ = 130, В2 = Л2 + Ь2 = 130 + 912 =1042,
Л=1
таким образом, Сиф родился в 130-м году и умер в 1042-м году.
- Енос (/ = 3)
= = 130+ 105 = 235’
Л'= I
Я3 = Аъ + = 235 + 905 = 1140,
так что Енос родился в 235-м году и умер в 1140-м году.
- Каинан (/ = 4)
з
А 4 = = 130 + 105 + 90 = 235,
Л'= 1
В 4 = А 4 + Ь4 = 325 + 910 = 1235,
то есть Каинан родался в 325-м, а умер в 1235-м году.
- Малелеил (/ = 5)
4
А 5 = ^ах = 130 + 105 + 90 4-70 = 395,
і=і
В, = Л5 4- Ьі = 395 + 895 = 1290,
таким образом, Малелеил родился в 395-м, а умер в 1290-м году.
- Иаред (/ = 6)
5
/10= = 130 + 105 4- 90 + 70 + 65 = 460,
4-1
В6 = ,4„+ Ь„ = 460 + 962 = 1422,
гак что Иаред родился в 460-м, а умер в 1422-м году.
- Енох (/' = 7)
6
Л7 = 5 = 130 + 105 4- 90 4- 70 + 65 + 162 = 622,
5=1
В7 = А7 + Ь7= 622 4- 365 = 987,
то есть Енох родался в 622-м, а умер в 987-м году.
- Мафусал (/ = 8)
7
/38 = = 130 + 105 4- 90 + 70 + 65 + 162 4- 65 = 687,
5=1
В8 = А$ + ЬЯ = 687 + 969 = 1656,
таким образом, Мафусал родился в 687-м, а умер в 1656-м году.
- Ламех (/' = 9)
8
.4, = = 130 + 105 + 90 + 70 + 65 + 162 + 65 + 187 =
.5=1
= 874,
Вч=Лч+Ь» = 874 + 777= 1651,
так что Ламех родился в 874-м. а умер в 165 1-м году.
- Ной (/' = 10)
9
/1,0 =Ха5 = 130 + 105 + 90 + 70 + 65 + 162 + 65 +
і-і
+ 187+ 182 = 1056,
В ю = А ,0 + Ь1и = 1056 + 950 = 2006,
то есть Ной родился в 1056-м, а умер в 2006-м году.
- Сим, Хам, Иафег (І = 11)
ю
Аи = ]Га(. = 130 + 105 + 90 + 70 + 65 + 162 + 65 + + 187+ 182 + 500 = 1556,
В и - не вычисляется ввиду отсутствия данных о Ь\\ в изучаемой истории (в табл. 1); таким образом, Сим (Хам, Иафет) родался в 1556-м году
Что же касаегся даты начала Всемирного Потопа
С. то, в соответствии с указаниями Библии (см. конец § 4), она определяется по формуле
(■ = /1 ю + 600, (4)
где Л, о " год рождения Ноя Таким образом,
С = 1056 + 600 = 1656.
То есть Всемирный Потоп начался в 1656 году от сотворения мира
6. Графическое представление потока поколении первой человеческой цивилизации. Установленные в § 5 количественные данные о жизни поколений первой человеческой цивилизации - от Адама до Ноя, завершившейся Всемирным Потопом, можно представить наглядно, в графической форме. Для этого построим график, по горизонтальной оси которого (ось абсцисс 0 откладывается время в годах, а по вертикальной оси (ось ординат х) - прямоугольники единичной высоты, соответствующие всем рассмотренным выше библейским персонажам При этом прямоугольник, соответствующий произвольному персонажу, начинается в момент (год) рождения этого персонажа и оканчивается в момент (год) его смерти. В результате нанесения на систему координат (I, х) прямоугольников, соответствующих всем библейским персонажам, от Адама до Ноя и его сыновей, получим график потока поколений первой человеческой цивилизации (рис. I). Дадим некоторые поясне-
130
Адам 930
109
130
Сшф912
901 Енос 905
1012
235
1И0
Я»
1ВЗ
65 Малеяяш 895
ж
190
163 Народ 962
440
И22
& Енох 365
997
187 : Мафуоал 969
<87
1656
Ж | Ламос777
ми I
$00
Ной 950
1056
3006
| Сны (ХаацИафет)
I
1 Сотворение мира
Рис. 1. График потока поколений от .Адама до Ноя (.Адамова цивилизация)
,5“ ! 1,годы
! Всемирный Потоп 16»
ния к этому графику. Каждый прямоугольник на графике помечен именем соответствующего библейского персонажа, причем слева от имени стоит число, означающее возраст, в котором данный персонаж родил своего первенца, а справа от имени - число, означающее возраст, в котором он умер. Под прямоугольником помещены два числа, левое из которых расположено под началом прямоугольника и означает дату (год) рождения, а правое расположено под концом прямоугольника и означает дату (год) смерти соответствующего персонажа. Например, третий сверху прямоугольник на графике рис. 1 соответствует библейскому персонажу Еносу, который родился в 235-м, а умер в 1140-м году от сотворения мира, причем родил своего первенца Каинана (см. четвертый сверху прямоугольник) в возрасте 90 лет, а всего прожил 905 лет.
Построенный график рис. 1 наглядно представляет поток (последовательную смену) поколений первой человеческой цивилизации. Пользуясь этим 1рафиком, можно решать некоторые простейшие задачи, связанные с жизнью этой цивилизации. Например, из данного графика можно установить, что первый человек -Адам - умер в год, когда жил уже представитель девятого поколения его потомства - Ламех - факт, с трудом ощущаемый современным человеком! Или, например, что Ной, в отличие от своих предшественников, рожавших первенцев в возрасте от 65 до 187 лет,
родил первенца лишь в возрасте 500 лет, вскоре после чего умерли единственные жившие в то время его предки - отец Ламех и дед Мафусал. Благодаря этому в год Всемирного Потопа семейство Ноя, которое надлежало спасти, состояло всего из восьми человек: он сам с женой и его сыновья Сим, Хам и Иафет с женами, но еще без детей, что существенно облегчило работу Ноя по организации спасения.
Однако для решения более сложных задач, связанных с выяснением смысла рассматриваемой здесь библейской истории о Всемирном Потопе, а также других библейских историй, требуется, согласно идее § 2, вычислять необходимые количественные характеристики потоков событий, сопровождающих изучаемую библейскую историю. А для этого, в свою очередь, приходится строить подходящие математические модели указанных потоков событий, с тем чтобы облегчить требуемые вычисления, гак как последние при большом числе потоков событий могут оказаться достаточно сложными.
7. Математическая модель потока поколений. Построим теперь математическую модель потока поколений первой человеческой цивилизации - от Адама до Ноя и Всемирного Потопа. Будем ориентироваться на наглядное графическое представление моделируемого потока, изображенное на рис. 1.
Искомая модель представляет собой некоторое устройство (автомат), с определенным числом входов
Адам
Xj
*4
Х5
Х6
Снф
Xi(t)
Еноо
• Xj(t)
Камнан
Мал едок я
Xj(t)
Иаред
■ x«(t)
Бвох
' x7(t)
М афусал
х«(0
х»
Х|0
Ламех
X,(t)
Ной
xn(tj
Сим (Х»ы,И»фет)
t°u Уо
f'u У)
flU Уг
fjn У1
f4,. y«
f’u У5
f*n У»
f7 * II Ут
f* * II y«
f* * II У»
f 10 1 II Ую
f " * 11 Ун
Рис. 2. Автоматная математическая модель потока поколений от .Адама до Поя. По любому /-му входу автомата х, действует процесс-импульс х*(Г) единичной высоты, моделирующий период жизни /-1 о библейского персонажа. Например, л-_(I) показывает, что Сиф жил со 130-го по 1024 год. На любом л-м выходе автомата у, вырабатывается л.-я спектральная функции г (0 суммарного потока поколений, являющаяся количественной характеристикой этого потока. Она равна 1 только на тех интервалах времени, где суммарный поток состоит ровно из живущих одновременно поколений. Это достигается благодаря тому, что на этом выходе реализуется симметрическая булева функция входов^ =/п(х1.......Хп) вида (6)
п и числом выходов т. Различные входы мы обозначим х,, / = 1,..., п, а различные выходы ц= 1,..., т. Будем считать, что по каждому входу х1 автомата-модели подается двоичный процесс-индикатор .V ,{/),
1 = 1,...,/?, где переменная х, = 1 означает, что библейский персонаж /-го поколения был жив в соответствующий момент времени 1, а xi = 0 - что указанный персонаж в соответствующий момент времени / не был жив. Ясно, что графически процесс ,г,(/), / = I, ..., п, представляет собой временной импульс, соответствующий периоду жизни библейского персонажа /-го поколения; все эти процессы-импульсы показаны на рис. I, причем общее их число п = 11. Мы будем изучать далее суммарный ноток библейских поколений, то есть временной процесс, который получается суммированием потоков элементарных событий, в качестве которых здесь выступают процессы Х,(1) жизни и смерти библейских персонажей различных поколений /, / = I, ..., п. Нас будут интересовать различные количественные характеристики указанного суммарного потока поколений, с помощью которых можно было бы количественно анализировать этот поток и объяснять его поведение и судьбу, описанные в Библии. Эти количественные характеристики и должны сниматься с выходов уч нашей модели в форме некоторых двоичных процессов уч((), где уд = 1 означает, что в данный момент времени / суммарный поток
поколений ооладает некоторым интересующим нас свойством, а уя = 0 - что не обладает.
Очевидно, что изучаемый суммарный поток библейских поколений можно количественно исчерпывающе охарактеризовать набором двоичных процессов-индикаторов yjt), s = 0, 1, ..., п, где переменная ys = 1 означает, что суммарный поток поколений в данный момент времени I содержит .? живущих одновременно библейских персонажей (поколений), a ys = 0 - wo суммарный поток поколений в этот момент содержит другое, отличное от s число живущих одновременно библейских персонажей (поколений). Двоичные процессы yjt) естествешю называть спектральными временными функциями суммарного потока поколений, поскольку временные интервалы их единичных значений - это интервалы, в которых суммарный поток поколений содержит определенное число j одновременно живущих библейских поколений. Вектор-функцию Y(t) = [Уо(0, Vj(/), ..., V„(f)], состоящий из всех спектральных функций у Jit), назовем спектром суммарного потока библейских поколений. Спектр обладает свойством ортогональности
Ур{1)>ф) = 0 при р * ц.
(5)
Более того, в любой момент времени / из п + 1 спектральных функций, у,(/), очевидно, лишь одна равна 1, а все остальные равны 0.
Установленный нами факт, что совокупность спектральных функций у/?) является исчерпывающей количественной характеристикой потока библейских поколений, подсказывает, что выходами искомого автомата-модели суммарного потока библейских поколений должны быть переменные V,, 5 = 0, 1, ..., п. Причем с этих выходов должны сниматься двоичные процессы-индикаторы у0([), у^г), ..., у„(г) (спектральные функции суммарного потока библейских поколений), смысл которых описан выше.
Итак, математической моделью суммарного потока библейских поколений оказывается некоторый динамический автомат без памяти, имеющий н входов х,- и п + 1 выходу,. По любому г'-му входу автомата подается двоичный процесс-импульс *,{?), моделирующий интервал жизни библейского персонажа г-го поколения (/' = 1, 2, ..., и = 11). С любого 5-го выхода снимается двоичный процесс в виде последовательности импульсов у/ Г), моделирующий интервалы одновременной жизни 5 библейских поколений. Осталось определить логические функции автомата-модели, преобразующие его известные входные процессы .<■,{/) в искомые выходные процессы у11). Для этого учтем, что тобой /-й библейский персонаж в любой моменг времени I может либо жил, [то есть х,(г) = 1 ] либо не жить [то есть *,(0 = 0]. Поэтому для того, чтобы в любой взятый момент времени I суммарный поток библейских поколений содержал ровно .у одновременно живущих поколений (библейских персонажей), то есть было выполнено условие у/?) = 1, необходимо и достаточно, чтобы ровно 5 из п имеющихся поколений (персонажей) были В ЭТОТ моменг ЖИВЫ, ТО есть ровно Л ИЗ II процессов X,(/) были равны единице: х,(/) = 1. Отсюда следует, что зависимость выходных двоичных переменных автомата-модели уо, V], у„ от его входных двоичных переменных .*1, х2, ..., х„ выражается посредством симметрических булевых логических функций /п' различных индексов Л от и переменных
Уз= 1п О’ь Х„), 5 = 0, 1, ..., II, Х„у, 6 {01 }. (6)
Функции в (6) определяются таким образом: = 1 только в том случае, если ровно л’ из и аргументов ЛГ| (безразлично какие) равны 1, и = 0 в
остальных случаях. Нам удалось учесть, что число поколений п = 11, гак что число входных переменных модели равно 11: х,, ..., хп, а число выходных переменных равно 12:у0,у|, ...,уц.
В итоге получаем математическую модель суммарного потока поколений первой человеческой цивилизации - от Адама до Ноя в виде динамического автомата с 11 входами .V,. ..., лгп и 12 выходами Уо, уь ..., уп (рис. 2), реализующего на выходах булевы логические функции (6) своих входов. На входы этого автомата-модели поступают двоичные процессы-индикаторы х^!), .... дгц(0> моделирующие известные нам периода жизни главных персонажей первых 11 библейских поколений, а с выходов снимаются подлежащие определению спектральные функции Уо(0, у/0, ..., уц(0 суммарного потока библейских поколений, являющиеся в совокупности исчерпывающей количественной характеристикой
этого потока и моделирующие искомые интерваты одновременной жизни различного числа поколений 5.
Суммарный поток библейских поколений может быть исчерпывающе охарактеризован количественно не только указанной выше характеристикой-спектром [Уо(0, ...,уц(/)[, но и многими другими количественными характеристиками. Из последних наибольший практический интерес представляет количественная характеристика, называемая плотностью потока поколений и обозначаемая у{1). В общем случае, при наличии в суммарном потоке и библейских поколений, плотность потока поколений }{г) является (н + 1)-ичной функцией, принимающей значения 0, 1, ..., її. Причем у(г) = к означает, что суммарный поток в данный момет' времени г содержит к одновременно живущих поколений. Напомним, что в рассматриваемом здесь конкретном случае п = 11. Оба изложенных способа исчерпывающего количественного описания суммарного потока библейских поколений эквивалентны. Так это по спеклру всегда можно вычислить плотность потока, используя очевидную формулу
/7
{1)
л-—О
И обратно, зная плотность потока, всегда можно вычислить спектр, используя следующую формулу, вытекающую из определения спектра,
1,если у(/) =
' (8) 0, если у (О * 5.
Функция плотности потока у(1) имеет очевидный физический смысл. А именно, это мгновенная плотность суммарного потока библейских поколений, рассматриваемая в ее зависимости от времени I.
При праклическим определении количественных характеристик суммарного потока библейских поколений целесообразно, испо.льзуя автоматную математическую модель (рис. 2), вычислилъ сначала спектральные количественные характеристики потока у//),? = 0, 1,... (методика такого вычисления дана в следующем параірафе), а по ним, если это необходимо, вычислил по формуле (7) и плотность потока >{/).
8. Вычисление количественных характеристик потока поколении по его математической модели. Используя построенную в § 7 автоматную математическую модель суммарного потока библейских поколений от Адама до Ноя (рис. 2), вычислим теперь количественные характеристики этого потока. Начнем с характеристик у//), 5 = 0, I, ..., то есть спектральных функций потока. Эти функции, как видаю из рис. 2, вырабатываются в качестве выходных процессов нашего автомата-модели. Таким образом, задача вычисления характеристик у//) сводится к вычислению выходных процессов автомата-модели (рис. 2) с известными входными процессами лг,{/), і = 1,2, ... и известными симметрическими логическими функциями /4 , реализуемыми на выходах 5 автомата. Согласно теории динамических автоматов, искомые процессы выражаются следующей общей формулой в виде последовательности импульсов и пауз
yit) = 1(Л'л В\А*' л В1) 0 1 [(/)г2лВ') V (/Г1 л
л В2), /Г2 л В2\..А[Ам л В'м) v (Л"-' л В M's). Ал/л л -)1[^ v (Ам л В В л- =
= 0,1,...,» (9)
В общей формуле (9) 1 (а, Ь) означают импульсы единичной высоты в интервалах (a, b), а 0(-,-) - паузы (нули) в интервалах между' импульсами. Далее Аг есть г-й по возрастанию элемент матрицы А = Ца^-Ц, где я,, - момент /-го по порядку изменения сигнала вида 0—>1 на /-м входе автомата-модели рис. 2; Вг есть г-й по возрастаникі элемент матрицы В = ||6,,||, где btJ -момент /-го по порядку изменения сигнала вида 1->0 на /-м входе автомата рис. 2; v - операция max, л - операция min; А/ - общее число ишіульсов во всех входных процессах x,(t) автомата-модели рис.
2 Входящие в общую формулу (9) параметры для рассматриваемого конкретного случая - потока библейских поколений от Адама до Ноя - конкретизируются таким образом. Входные воздействия на автомат-модель рис. 2 имеют вид
Хі(0 = 1(0, 930), x2(t) = 1(130, 1042), xit) - 1(235, 1140). x4(t)= 1(325, 1235), *<0= 1(395, 1290), xa(t) = 1(460, 1422), xit) = 1(622, 987), xg(0 = 1(687, 1656), xit) = 1(874, 1651), xw(t)= 1(1056,2006),x„(t)= 1(1556,-).
Здесь и ниже в матрице В и табл. 2 прочерк «-» означает отсутствие соответствующих данных.
Далее, матрицы А и В имеют вид
0 930
130 1042
235 1140
325 1235
395 1290
460 II 1422
622 987
687 1656
874 1651
1056 2006
1556 -
так что порядковые величины А', В определяются по табл. 2.
Далее по формуле (9)
М = п= 11.
Подставив найденные значения параметров А’\ Вг, М, п в формулу (9), после необходимых вычислений найдем количественные характерис тики у„ (0 - спектральные функции потока библейских поколений от Адама до Ноя
>'о(0 = 0; у,(0= 1(0, 130);
уф) = 1(130,235)0(-,-)1(1656,-):
УзО) =1(235, 325)0(—,—)1( 1422, 1556)0(-,-)1(1651. 1656); у4(0 = 1(325, 395)0(--)1(1290, 1422Д-,-)1(1556, 1651); у}(1) = 1(395,460)0(-,-)1(1235, 1290); уь(г)= 1(460, 622)0(—,—)1( 1042, 1056>Х--) 1 (1140. 1235); ут(0= 1(622,687ХК-,-) 1(987, Ю42)0(-,-)1(1056. 1140): у^) = 1(687, 874Х>(--) 1(930, 987);
№(/) = 1(874, 930);
у,о(0 = 0,
>'п(0=:0.
По этим количественным характеристикам с помощью формулы (7) находим другую количественную характеристику потока библейских поколений от Адама до Ноя - функцию плотности потока у(/)
(
1,при0</ 130;
2, при 130 < I 235 или 1> 1656;
3, при 235 < г 325 или 1422 < I 1556 или
1651 </ 1656;
4, при 325 < / 395 или 1290 < / 1422 или
1556 <г 1651
у(1) = ] 5, при 395 < I 460 или 1235 < / 1290: (10)
6, при 460 < / 622 или 1042 < / 1056 или
1140 < / < 1235;
7, при 622 < 1 687 или 987 < I < 1042 или
1056 <к 1140;
8, при 687 < / 874 или 930 < г < 987;
9, при 874 < I 930; к 0, при других /.
График этой функции показан на рис. 3.
Используя функцию плотности потока поколений Адамовой цивилизации (от Адама до Ноя), в ее аналитической [формула 10) или графической (рис. 3) формах, можно проводить детальный анализ всех событий и фактов, излагаемых в рассматриваемом библейском тексте; выяснять смысл этих событий и фактов, а также истории Адамовой цивилизации в целом; отвечать на отдельные трудные вопросы, касающиеся этих событий, фактов, истории. Такой количественный аначиз Библии является более точным, чем традиционный качественный аначиз этой книги с использованием методов гуманитарных наук.
9. Графическое вычисление количественных характеристик потока поколений. Процедура вычисления количественных характеристик потоков поколений, описанная в главе 8 и основанная на автоматной математической модели таких потоков, достаточно сложна для неспециалиста. Однако для некоторых простых характеристик и небольшого числа поколений в потоке возможны более простые процедуры вычислений, основанные на наглядных графических представлениях и понятные любому грамотному человеку. В качестве примера таких вычислений рассчитаем количественную характеристику >'(0 - плотность потока поколений от Адама до Ноя. Эта характеристика была уже определена в главах 8 в аналитической (формула (10) и графической (рис. 3) формах. Теперь определим ее графически, используя наглядное графическое представление изучаемого потока поколений в виде рис. I.
Будем двига ться по графику рис. 1 слева направо, выделяя последовательные интервалы времени с постоянным числом одновременно живущих поколений (то есть с постоянным значением у{1) - плотности потока поколений). Видим, что первый такой интервал - от / = 0 до / = 130, в течение его живет одно поколение (Адам),
Таблица 2
г 1 2 3 4 5 6 7 X 9 10 ] 1
А' 0 130 235 325 395 460 622 687 874 1056 1556
В' 930 987 1042 1140 1235 1290 1422 1651 1656 2006
мира
Рис. 3. График функции плотности потока поколений Адамовой цивилизации
то есть на этом интервале плотность потока поколений у(г) = 1. Второй такой интервал - от I = 130 до Г = 235, в течение его живет одновременно два поколения (Адам и Сиф), то есть на этом интервале плотность потока поколений у(0 = 2. Аналогично выделяем третий интервал -от 1 = 235 до I = 325, где живет три поколения (Адам, Сиф, Енос), так что плотность потока поколений здесь у(/) = 3; четвертый интервал - от / = 325 до Г = 395, где живег четыре поколения (Адам, Сиф, Енос и Каинан) и плотность потока у(() = 4; пятый интервал - от ? = 395 до Г = 460, где живет пять поколений (Адам, Сиф, Енос, Каинан и Малелеил) и плотность потока у(г) = 5; шестой интервал - от г = 460 до I = 622, где живет шесть поколений (Адам, Сиф, Енос, Каинан, Малелеил и Иаред) и плотность потока >{0 = 6; седьмой интервал - от I = 622 до ? = 687, где живег семь поколений (Адам, Сиф, Енос, Каинан, Малелеил, Иаред и Енох) и плотность потока у(/) = 7; восьмой интервал - от 1 = 687 до / = 874, где живет восемь поколении (Адам, Сиф, Енос, Каинан, Малелеил, Иаред Енох и Мафусал) и плотность потока у(/) = 8; девятый интервал - от / = 874 до г = 930, где живет девять поколений (Адам, Сиф, Енос, Каинан, Малелеил, Иаред, Енох, Мафусал и Ламех) и плотность потока у(/) = 9. Нанеся все найденные количественные данные на график, горизонтальная ось которого представляет время Г, а вертикальная - плотность потока поколений у(г), получим первую, возрастающую часть графика функции плотности потока Адамовой цивилизации рис. 3 (от точки ? = 0 до точки / = 930).
Вторая, убывающая часть графика функции плотности потока поколений рис. 3 (от точки Г = 930 до точки / = 1656) получается аналогично первой, возрастающей части. Различие состоит лишь н том, что в возрастающей части графика рис. 3 каждый следующий интервал начинался моментом рождения очередного библейского персонажа, вследствие чего
плотность потока поколений у(/) увеличивалась на единицу, в то время как в убывающей части этого графика каждый следующий интервал начинается моментом смерти очередного персонажа, из-за чего плотность потока поколений уменьшается на единицу. Причем есть два исключения: интервал, начинающийся моментом / = 1056 рождения Ноя, и интервал, начинающийся моментом / = 1556 рождения его сына Сима; при переходе к этим интервалам, в противоположность общей тенденции, плотность потока поколений увеличивается на едшшцу.
10. Анализ потока поколений первой человеческой цивилизации по его функции плотности. Детальный анализ и осмысление всех событий и фактов, изложенных в рассматриваемом библейском тексте, начнем с анализа истории Адамовой цивилизации в целом, начиная от Адама и кончая Ноем и Всемирным Потопом. Для анализа используем найденную в главе 8 функцию >■(/) плотности потока поколений этой цивилизации (см. формулу (10) и график рис. 3).
Прежде всего изучим характер этой функции. Как следует из графика функции у(0 (рис. 3), на интервале времени от I = 0 до Г = 874 эта функция возрастает по ступенчатому закону, проходя последовательно значения
у(0) = ГуОЗО) = 2,>{235) = 3, у(325) = 4,у(395) = 5, у(460) = 6, у (622) = 7, у(687) = 8, >(874) = 9.
Последнее значение функции у(1) является рекор дным. Оно сохраняется до момента времени I = 930, после чего начинается убывание функции:
>(930) = 8, у(987) =7,><1042) = 6,у(1056) = 7,у(1140) = 6, г<1235)= 5,><1290) =4,у(1422) = 3, у(1556) = 4,у(1651) = = 3,у< 1656) = 2.
Это убывание, правда, в отличие от предшествующего возрас тания функции у(1), не является монотонным: в двух периодах - от момента 1 = 1042 к моменту / = 1056 и от момента / = 1422 к моменту / = 1556 имеется локальное возрастание функции. Однако общая тенденция убывания функции у(/) на интервале времени от / = 930 до / = 1656 согласно графику этой функции (рис. 3) несомненна.
Чтобы сделать определенные выводы из выполненного анализа функции у(1), выясним содержательный смысл этой функции. В конце главы 7 было показано, что функция у{1) - это мгновенная плотность суммарного потока (число одновременно живущих) библейских поколений, рассматриваемая в зависимости от времени Г. Но число одновременно живущих поколений определяет степень преемственности поколений, именно, уровень и качество передачи духовных и материальных ценностей и навыков жизни от старших поколений к младшим, то есть в конечном счете определяет силу данной цивилизации. Итак, функцию плотности потока поколений у(1) можно рассматривать как объективную характеристику силы человеческой цивилизации, определяемую степенью преемственности ее поколений и рассматриваемую в зависимости от времени /. Учитывая еще содержательный смысл моментов времени /, в которые происходит изменение значений функции у(/) плотности потока поколений Адамовой цивилизации и вышеприведенном анализе (так, согласно рис. 1 момент / = 0 есть момент рождения Адама; момент I = 874 есть момент рождения родоначальника 9-го от Адама поколения - Ламеха: момент I = 930 - эго момент-смерти Адама; моменты / = 1056 и I = 1556 - это моменты рождения соответственно Ноя и его сыновей Сима (Хама, Иафета); момент 1 = 1656 - это момент смерти последнего из предков Ноя - его деда Мафу-сала, в результате чего плотность суммарного потока поколений у(Г) достигла минимального значения, равного 2), приходим к следующим выводам.
1. Адамова цивилизация развивалась и крепла с момента своего возникновения, то есть с рождения Адама (точка Г = 0 на графике рис. 3), до момента появления 9-го от Адама поколения и его основателя Ламеха (точка ? = 874 на рис. 3). За это время характеристика силы этой цивилизации у(1) увеличилась с
1 до 9 (см. ординаты графика рис. 3 в точках / = 0 и / = 874). Затем развитие на короткое время, до смерти Адама, остановилось, так что в интервале от точки Г = 874 до точки г = 930 графика рис. 3 ш>1 видим постоянное значение характеристики силы Адамова общества у(/), равное 9. Это значение характеристики у(?) является максимальным за всю историю Адамовой цивилизации. После смерти Адама (точка / =930 на рис. 3) начался процесс ее систематического ослабления, который продолжался до момента смерти Мафусала - основателя 8-го от Адама поколения и деда Ноя (точка / = 1656 на рис 3). За это время характеристика силы изучаемой цивилизации \{() уменьшилась с 9 до 2 (см. ординаты графика рис. 3 в точках г = 930 и 1 = 1656). Так что процесс рождения, развития, заката и смерти Адамовой цивилизации носил ярко выраженный циклический характер.
2. Всемирный Потоп, уничтоживший Адамову цивилизацию, произошел именно в тот момент, когда характеристика ее силы у(Г) упала до минимального значения, равного 2 (точка г = 1656 на фафике
рис. 3). Но, как уже говорилось выше, данная характеристика полностью определяется степенью преемственности поколений, составляющих ту или иную цивилизацию. Поэтому можно сказать, что первая человеческая цивилизация пострадала и была уничтожена в результате нарушения преемственности поколений. Отсюда, в частности, становится ясно, почему не было уничтожено уже первое поколение людей, - сразу после грехопадения Адама: тогда еще не было хотя бы нескольких поколений, чтобы судить об их преемственнос ти и об ослаблении или усилении цивилизации; другими словами, статистика наблюдений над родом человеческим была недостаточна для принятия обоснованных решений.
3. Всемирный Потоп положил конец одной цивилизации и открыл дорогу друтой - Ноевой цивилизации. Но почему в качестве моста между двумя цивилизациями был избран именно Ной с его семейс твом? Проведенный выше анализ позволяет дать ответ и на этот вопрос. Как видно из рис. 1. Ной был единственным из патриархов, у которого в течение 500 лет не было детей (остальные рожали первенцев в возрасте от 65 до 187). Таким образом, Ной большую часть жизни, не обремененный детьми, мог наблюдать со стороны за нарушением преемственности поколений во многих других семьях. Затем он пережил Всемирный Потоп и воочию увидел, к каким последствиям приводят такие нарушения. И в результате, накопив большой опыт, стал весьма подходящим родоначальником новой цивилизации. Именно в этом смысле Ной назван в Библии праведником.
Проведенный количественный анализ библейского текста, посвященного Адамовой цивилизации, от Адама до Ноя и Всемирного Потопа, позволил нам дать ответы на некоторые трудные вопросы, поставленные в конце главы 3. Результаты этого анализа дают возможность отвечать и на многие другие непростые вопросы, возникающие при чтении указанного текста.
11. Заключение. Изложенная методика математического изучения библейских историй на основе содержащихся в Библии количественных данных, а также конкретные примеры такого изучения показывают, что путем сравнительно несложных вычислений можно либо достичь лучшего понимания тех или иных положений Библии, либо прийти к новым положениям, которых вообще нет в Библии. Однако этим важность предложенного подхода не исчерпывается. Получаемые с его помощью количественные результаты имеют серьезное значение для проверки подлинности описанных в Библии событий. Действительно, если результаты, полученные на основе количественных данных самой Библии, не противоречат описанным в ней событиям и историям, то это может рассматриваться как признак согласованности различных (количественной и качественной) сторон Библии, подтверждающий подлинность описанного в этой книге. И наоборот, наличие указашлых противоречий может рассматриваться как признак несогласованности различных сторон Библии, побуждающий сомневаться в подлинности описанного в ней. по крайней мере, до тех пор, пока эти противоречия не буду т устранены путем привлечения новых данных.
Методика, описанная в статье, применялась в ней для математического изучения только одной знаменитой библейской истории - о Всемирном Потопе.
Однако она может быть применена с не меньшим 6
успехом и к изучению многих других библейских 7
историй.
8
9.
ЛИТЕРАТУРА |0
1. Библия Книги священного писания ветхого и нового завета 11.
канонические Синодальное издание. М., 1990
2. Библия Современный перевод библейских тестов (Всемирный 12.
библейский переводческий центр). М.: Библио-Р^'сикум, 1998.
3. Пять книг торы. Иерусалим: Мосад аравКук, 1978.
4. Тора (пятикнижие Моисеево). Иерусалим: Шамир, 1992
5. Велъхаузен Ю. Введение в изучение истории Израиля. Берлин.
1878 (рус. пер. 1909).
Декарт F\ Начала философии ' Избранные произведения М , Изд-во полит литературы. 1975
Спиноза Б. Богословско-политический трактат ■ Избранные произведения. T 2. М : Изд-во полит литературы, 1957 Швейцер А. Культура и этика. М. Прогресс, 1973 The Archaeological Encyclopedia of the Holv Land Revised Edition. Ed by Avraham Never, 1986
КисиОовский 3. Библейские сказания М.: Изд-во полит, литературы, 1975.
Левин В.II. Теория автоматов и моделирование сложных систем. Пенза: Изд-во Пензенского гос. ун-та, 1995.
Левин В.II. Математическое моделирование социальноэкономических процессов (автоматно-логические методы и модели). Пенза' Изд-во Пензенского технолог, ин-та, 1997
Поступила в редакцию 2 марта 1999 г.
