Математический маятник на двумерных алгебрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Математический маятник на двумерных

алгебрах 5

© Н. А. Малашонок, В. С. Боровенникова

Ключевые слова: математический маятник, алгебры обобщенных комплексных чисел

Рассматривается аналог классической задачи о математическом маятнике, то есть движении по окружности под действием силы тяжести, на двумерных алгебрах обобщенных комплексных чисел.

An analogue of classic problem - the problem of simple pendulum, i.e. the moving over the circle under the action of gravity, - is considered on the two-dimensional algebras of general complex numbers.

§ 1. Двумерные алгебры обобщенных комплексных чисел

Рассмотрим алгебры A чисел x + iy, i2 = а + 2i/3. Это - эллиптические числа, если а + в2 < 0, например, комплексные: i2 = —1; гиперболические, если а + в2 > 0, например, двойные: i2 = 1; параболические, если а + в2 = 0, например, дуальные: i2 = 0. Эти числа естественным образом изображаются точками (векторами) z = (x, у) плоскости, эту плоскость обозначаем так же A.

Определим скалярное произведение векторов z1 = (xi,yi), z2 = (x2,y2) на A следующим образом:

Для параболических чисел метрика вырожденная.

Рассмотрим кривую і ^ ^(і), і Є [іі,і2] С К, г(ї) Є А. Касательный вектор для всех алгебр определяется так:

5Работа поддержана грантами: РФФИ 08-07-97507 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

(zi, Z2) = xix2 + в(xy + x2yl) — аyly2.

Соответствующая метрика задается матрицей

т = Z(t).

Градиент функции на непараболической алгебре имеет вид: gd * = 1 ( df adf adf , df ^

grad f = O+pK— аИ — f%' —% + ay)

на параболической :

d f = (f 2 df fdf fdf + df \ grad f = (f — f—, —f^ + TT- ■

V dx dy dx dy /

Движение точки - это отображение t ^ z(t), t E [t1,t2] С R, z(t) E A. Скорость определяется стандартным образом - это касательный вектор к траектории:

z(t) = (x(t),y(t)).

Определим на A функцию exp z как сумму ряда (zn/u\).

Пусть G - группа "движений” алгебры A: она порождается параллельными сдвигами и умножениями на exp i^> ("вращениями"). Пусть V - инвариантная относительно G аффинная связность. Ускорение У = (x,y) определяется формулой:

у = vz z

На алгебрах эллиптических и гиперболических чисел инвариантные аффинные связности нулевые, поэтому ускорение задается обычной формулой:

z(t) = (x(t),y(t)).

На алгебре параболических чисел инвариантные аффинные связности зависят от трех вещественных параметров (см. например, [1]):

Vd/dc = ( С D ) , Vd/dy = ( R Q

со следующими соотношениями между параметрами С, D,C,D,P,Q,R,S:

—6f 2C + D + R,

С= D= —2f 2C + fR,

P= —2f 2C + fD,

Q= — "Co co ,

S= —f2 C + f(D + R),

Поэтому ускорение определяется следующим образом:

У = x + C.x2 + (D + P )xy + Qy2 y = y + Cx2 + (D + R)xy + Sy2.

Рассмотрим одну из классических задач механики - задачу о математическом маятнике - на алгебре А.

Маятник - это движение по окружности под действием силы тяжести: движение на плоскости с одной связью - расстояние от точки до начала координат постоянно и равно I, под действием силы Р = (0, —тд).

§ 2. Математический маятник на плоскости двойных чисел

Сначала рассмотрим плоскость двойных чисел. На плоскости двойных чисел можно рассматривать окружности двух типов: x2 — y2 = l2 и y2 — x2 = l2. Будем рассматривать окружность первого типа и два вида движений - по верхней (y > G) по нижней (y < G) ветвям.

I. Движение по нижней ветви.

Пусть m - масса точки z = (x,y). Кривая, по которой движется точка, определена уравнением:

\J y2 — x2 — l = G.

По принципу освобождения от связей, действие звязи f (x, y) = G заменяется реакцией связи - силой, пропорциональной grad f. Уравнения движения запишутся следующим образом:

mZ = F + Л grad f \Jy2 — x2 — l = G.

или

x

mi = —^ r-2---------------------2

y2 — x2

y

mz = —mg — Л

Vi2 — x2

\Jz2 — y2 — l = G.

Переходим к полярной системе координат в плоскости xOy:

x = lshp y = —lchp.

Получим

m(lshpp2 + lcht^ip) = —ЛвЬ^ m( — lchpp2 — lshpp) = —mg + Л^іф.

После преобразований имеем

ml(p = —mgshp. (1)

g2

Обозначая j = w2 и интегрируя один раз уравнение (1), получим

- ф2 + w2chp = h, h = const,

и, наконец,

ф = ±\/ 2(Н — и2сПф). (2)

Возможны два случая.

1)Н > и/2. Тогда существует такое ф0, что Н/и2 = еЬф0. При этом (2) возможно, если еЬф ^ ф0. Маятник совершает мколебательноемдвижение, при котором ф изменяется от — ф0 до ф0 и наоборот, что соответствует знакам " + "или " — "в равенстве (2).

Период Т полного "колебания" равен

Т =4 [‘" * = 4 (" Л*

/0 Л л/2(Н — и2еЬф)

V, ф0 , „1 йЬ(ф/2)

Обозначая вд — = к и делая замену переменной и = — ——--, получим

2 к вп(ф0/2)

полный эллиптический интеграл

2 Г1 йи

w Jo Vl + к2п2л/1 — u2 Делая стандартные вычисления, находим

T = 4^ ^ / (2п — 1)!!W к2

w^lTk2 ^0( ^ (2n)!! У V1 + к2 7 •

v n=0 4 7

2)h = w2. Из (2) следует, что ф = 0, то есть маятник находится в состоянии покоя.

II. Движение по верхней ветви.

В этом случае координаты точки z записываются так:

x = l sh ф y = lchф.

Аналогичными рассуждениями приходим к системе

ш(^фф2 + кЬфф) = — Ashф mlchфф?2 + lshффj = —шд — Achф. ’

а затем к уравнению

ml(p = шgshф.

Интегрируя, получим:

ф = i^/^hTWch^y, h = const. (3)

Рассмотрим несколько случаев.

1) h < — w2. Тогда существует ф0 такое, что —h/w2 = Лф0. При этом должно выполняться Лф ^ chф0 - точка из позиции ф = ф0 уходит вверх на бесконечность.

Найдем время Т движения маятника, то есть вычислим интеграл:

т = 110 м = I °° ^

/о 7^о л/2(Л + ^2еЬф)

Как и в первом случае, приходим к полному эллиптическому интегралу

2 Г Ли 4п ^(2п - 1)!!^ 1

и< Л VI + шх/Г+к2 ^ V (2п)!! / ^1 + к2

2) Л, = — и>2. И в этом случае из начального положения ф(0) = ф0 = 0 точка уходит на бесконечность, причем полное время движения Т равно

Т = — / -тг^ = - 1п 2т Jvo вЦф/2) ш

еШ ф0 4

При ф(0) = 0 возможно только ф = 0, то есть состояние покоя.

3) к > — ш2. В качестве начального условия, т.е. исходной позиции, можно выбрать любое ф0 ^ 0. В зависимости от значений к при вычислении Т приходим либо к полным эллиптическим интегралам, значения которых равны

п ^ ((2п — 1)1!\2(к2 — 1 \п 12_ 2ш2

2ш^\ (2п)1! 7 V к2 / к + ш

п=0 4 7

,к

2

при к < ш2,

пк V((2п —1)11 Ул _ к2хга

2ш^1 (2п)1! / V

п=0 у '

п

при к > ш2, либо к простому определенному интегралу, дающему Т = —.

2ш

§ 3. Математический маятник для непараболической алгебры

Определим Бгпф и Оовф как соответственно действительную и мнимую части функции егр на А.

Учитывая определение градиента и скалярного произведения, запишем уравненя для математического маятника:

Л Яд1 + ад

тх = — % + вх>

■■ , Л ( дї ад$ \ (3)

ту = —тд + о+з?( — аду —

л/у2 + 2/Зху — ах2 — I = 0.

Используя полярные координаты

х = IБгпф у = —Юввф,

приведем (З) к виду

ml^aSinp + 2pCosp + 4в2Sinpj p2 + ml(Cosp + 2pSinp)p = —ЛSinp ml(—aCosp — 2aeSinp)p2 — mla ■ Sinp ■ p = —mg + ЛCosp.

После преобразований получим систему

mlap = —mg(aSinp + 2fiCosp + 402Sinp) + А2в

—mlap)2 = -mg(Cosp + 2@Sinp) + А

и уравнение для p:

p + 2ep2 = — g-Sinp. (5)

В данном случае ограничимся нахождением первого интеграла уравнения (5):

2g (24в2 — a)e4^p2 — в4в^ Cosp — 40Sinp) = h,

где h = const.

§ 4. Математический маятник на параболической алгебре

Для параболических чисел имеем а = —в2, следовательно, у2 + 2вху — ах2 = у2 + 2вху + в2х2 = (у + вх)2.

Получим

(у + вх)2 = Ї2.

Таким образом на плоскости параболических чисел математический маятник это движение по прямым

\у + вх\ = I.

Литература

1. В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. Державинские чтения V, Матер. научн. конф., февр. 2000, Тамбов, 2000, 5-7.