Математические проблемы в расчетах электронных состояний на гетеропереходах наноразмерных сверхрешеток Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 3 (2011)

Труды Международной научно-практической конференции

Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,

посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ НА ГЕТЕРОПЕРЕХОДАХ НАНОРАЗМЕРНЫХ СВЕРХРЕШЕТОК

Ю. Ф. Головнев (г. Тула,) [email protected]

Аннотация

В работе даны результаты исследования наноразмерных ферромагнитных гетеросистем типа ЕиО-БгО. Метод функции Грина и приближение сильной связи позволили решать задачи, связанные с определением энергетического спектра на гетеропереходах сверхрешеток. Изменения, вносимые разбиением таких кристаллов, получали с помощью теории рассеяния. При решении уравнения Дайсона была получена дополнительная информация о процессах рассеяния для систем с поверхностью. Установлено, что наименьшей энергии соответствует параллельная ориентация спинов, а обменный интеграл является положительным. Таким образом, на границе гетеропереходов ЕиО-БгО высока вероятность возникновения параллельной (ферромагнитной) ориентации спинов. Это приводит к понижению дна зоны проводимости в окисле европия на 0,3 эВ.

Введение

Изучение наноразмерных гетеросистем на основе металлов и полупроводников в настоящее время столь многообразно и сложно, что ни одна из книг не может охватить все проблемы этой области в достаточной полноте.

В данной статье излагаются результаты изучения наноразмерных гетеросистем на основе ферромагнитных металлов и полупроводников. Теория физических свойств таких объектов получила в последнее время существенное развитие, что обусловлено двумя причинами. Во-первых, широкое применение

в микроэлектронике получили многослойные структуры на основе магнитных материалов. Во-вторых, в течение последних десятилетий были разработаны и развиты математические методы, например, метод функций Грина, приближение сильной связи, статистический функционал электронной и спиновой плотностей, методы эффективной массы и огибающих функций, а также вариационный принцип определения электронного и спинового распределений в неоднородных системах. Они позволили решать задачи, связанные с расчетом энергетического спектра, транспортных свойств и экситонных состояний в нанораз-мерных ферромагнитных гетероструктурах.

На первый план в исследовании магнитных гетеросистем выходит проблема изучения взаимодействий между составными слоями такой структуры, а именно: изучение физической природы и процессов действия различных видов связи между слоями магнитной гетеросистемы; анализ влияния взаимодействий на свойства слоев и гетероструктуры в целом; классификация основных видов связи по физической природе, характеру их действия, энергии взаимодействия и другим параметрам.

Метод функций Грина и приближение сильной связи

Вначале рассматривается бесконечный объемный кристалл (собственные значения его найти нетрудно), а затем эти собственные значения используются для построения объемной функции Грина С° (Е). Далее, путем введения короткопериодического возмущения, создают свободные поверхности. Функция Грина С0 содержит информацию об электронной структуре идеальной поверхности. Таким образом, учитываются объемные свойства, а изменения, вносимые разбиением кристалла, можно получить с помощью теории рассеяния, использующей С0 (Е) и <потенциал скола>. Этот метод будет применен в сочетании с эмпирическим методом сильной связи.

Итак, поверхность введем с помощью потенциала возмущения и, который обладает двумерной периодичностью и локализован в третьем направлении, перпендикулярном плоскому дефекту. Изменения спектра возмущенного гамильтониана Н = Н° + и можно найти, решая уравнение Шредингера:

(#° + и} |Ф> = Е |Ф>. (1)

и

возмущенный гамильтониан Н° различны для разных систем, однако общее решение уравнения 1 и основной физический смысл результатов во всех случаях один и тот же. Решение 1 приводит к уравнению Липпмана - Швингера:

|Ф> = ф> + С°и |Ф>,

(2)

где 1ф> - решение однородного уравнения ^Е — Й°^ 1ф> = 0, а 0°и |Ф> - частное решение неоднородного уравнения.

Е

ЙН0 Е

ЙН0

плоскости возмущения (это связанные состояния, появляющиеся в щелях объемной зонной структуры). В этом случае однородное уравнение имеет решение |ф> = 0 и уравнение 2 упрощается:

(1 — С°и) |Ф> = 0. (3)

В практических приложениях из-за короткодействующего характера потенциала возмущения матрица имеет малые размеры. Область разрешенных энергий находится путем проецирования объемной зонной структуры на первую зону Бриллюэна. Если же нужно больше информации о процессах рассеяния, то решается уравнение Дайсона для функции Грина системы с поверхностью

С = С° + С°иС. (4)

Чтобы рассчитать поверхностные состояния, нужно конкретизировать возмущение и и представить операторы С° и И в соответствующем базисе.

Далее рассмотрим новую гетероструктуру на базе ферромагнитного полупроводника ЕиО и ЭЮ. Они имеют одинаковые кристаллические решетки - кубические гранецентрированные решетки типа ХаС! (пространственная группа

О5 = Рш3ш), где каждый и он Еи2+ (в ЕиО) и Эг2+ (ЭгО) находится в центре октаэдра анионов. Параметр кристаллической решетки у ЕиО и ЭЮ практически одинаков. Поэтому на их основе можно получить атомарно-резкие и плоские границы раздела.

Однако химическая природа возникновения пограничного состояния, их связь с атомной и электронной структурой границы раздела ЕиО-ЭгО пока остаются невыясненными. В данной работе соответствующие расчеты производятся в рамках эмпирического метода сильной связи. Расчеты электронной структуры границы раздела между магнитным полупроводником ЕиО п диэлектриком ЭЮ проводились в рамках эмпирического метода сильной связи, основанного на теории рассеяния [1].

Так как у Эг и Ей размеры атомных остовов почти одинаковы (г ~ 1,19 °), то одинаковы и их постоянные решетки (0 ~ 5,144 °). Объемные зоны Бриллюэна ЭЮ и ЕиО совпадают. Тогда зона Бриллюэна границы раздела (111) будет соответствовать общей поверхностной зоне Бриллюэна, то есть анализ гетероструктуры ЭЮ-ЕиО с геометрической точки зрения не представляет трудности. Совпадение атомных валентностей на границе раздела не приведет к образованию незаполненных зон, а значит, и металлическому характеру границы раздела. Она будет достаточно устойчива и не будет перестраиваться для образования насыщенных связей, поэтому для расчета электронной структуры можно

использовать идеальную конфигурацию образования насыщенных связей SrO на поверхности (111) ЕиО.

В начале положим, что два полубесконечнных кристалла SrO и ЕиО, ограниченные поверхностью (111), не взаимодействуют друг с другом - SrO занимает бесконечное полупространство 1, а ЕиО бесконечное полупространство 2. Тогда функция Грина С0для границы раздела будет представляться в виде произведения функций Грина G1 и G2 полубесконечных кристаллов. Они являются проекциями G1 и G2 на два полупространства, то есть соответствующие им матрицы диагональны в представлении для этих полупространств.

Для определения поверхностных энергетических зон свободных поверхно-

G1 G2

Грина (G1)0 и (G2)0 бесконечных кристаллов SrO и ЕиО. Используем уравнение

и

талей {|вд>} объемная функция Грина запишется

Здесь волновой вектор д, параллельный поверхности (111); в = (а,ш,р) - коллективный индекс, определяющий положение атомов и нумерующий все орбитали, локализованные в ш—слое та узле /.Возмущение и, связанное с поверхностью, запишется через матричные элементы невозмущенного гамильтониана

где m и m' относятся к двум атомным слоям, а ар и bp' пробегают все орбитали в поверхностной элементарной ячейке. В нашем случае матричный элемент гамильтониана H0 можно приравнять к параметру связи, определяющему энергию ковалентной связи — V2-

Теперь конкретизируем уравнение (5) для полубесконечных кристаллов SrO и ЕиО, ограниченных поверхностью (111). Они имеют кубическую гранецен-трированную решетку типа NaCl, где каждый ион Sr++ пли Еи++ находятся в центре октаэдра анионов (О ), то есть имеют, каждый в своем кристалле шесть ближайших соседей (анионов). Срез кристалла ЕиО плоскостью (111) проводится таким образом, чтобы поверхность состояла из ионов кислорода с оборванными связями sp3 - типа, а кристалл SrO обрезается так, что на поверхности (111) оказываются только йоты Sг++ с оборванными связями s—типа. Тогда матрица гамильтониана HEuO (&J, в которой учтены взаимодействия между ближайшими соседями, будет иметь вид [2]:

Дайсона

G = G0 + G°UG,

(5)

G G0

(6)

H0 : (amp,q\U\bm!p',q) = — (amrp,q\H°\bm'rp',q),

(7)

( єа Евво 90 0 0 0 Евао 94 Евао9*5 \

Евво 9о Евро 91 Евро 9 2 Евро 93 0 0

0 Евро 9*1 єа р 0 0 Ерйо 94 Ерйо 9 5

0 Евро 9 * 0 єа єр 0 Ерё,о 94 Ерао 9**

0 Евро 9* 0 0 єа єр Ерё,о 94 Ерйо 9 *

Евро 9о 0 ~Ерёо 91 —Ерао 9 2 ~Ерёо 93 Єс єа 0

V Евро до 0 ~Ерёо 91 —Ерао 9 2 ~Ерёо 93 0 єа

(8)

где зависимость от волнового вектора входит через функции

до ( к): ^ік^і + еікО-2 + еік4з + + ^ікйь + £,ік(іб

91 (к) ^ік^і _ ^ік^2 + еікйя — ^іка^ + еікйь + еікй&

д2 (к) - ^ік^і _ ^ік^2 + еікйя — ^іка^ + еікйь + еікй&

9з (к) ^ік^і ^ік^2 + еік4з + + £,ік(іь + £,ік(іб

94 ( к) ^ік^і _ ^ік^2 + еікйя — ^іка^ + еікйь — еікй&

95 к ^ік^і _ ^ік^2 + еікйя — + еікйь + еікй&

(9)

Вид матрицы гамильтониана Ивго ^ку будет иной, так как набор базисных

функций здесь оказывается другим. Это в_орбитали Эг и четыре (в_ и @_) -

орбитали кислорода. Естественно и ранг матрицы Изг0 ^ к^ будет ниже. Запишем ее

И,

ЯгО

(І)

ь в Евво

Евво 9* Ьр

Евро 9*! 0

Евро 9* 0

Евро93* 0

0

оа

ЬР

0

0

0

0

оа

ьр

0

0

0

0

где зависимость от волнового вектора входит через функции

до | к | — е^к41 _ | __ е^к44

91 (к / — е _ е ^2 ___ е%кйз __ ^1^4

92 ( к) — е^1 _ е^ка2 _ еГыз _ 0^4

93 (к / — е ^1 ____ е ^2 _ е^к^з _____ е^к44

(10)

(п)

Исходя из того, какие связи оказались оборванными, можно записать конкретный вид уравнения (5) для полубесконечного кристалла ЭЮ (для одной из трех оборванных связей)

С' ат,Ьт/ (Я.Е) _ (С )ат,Ып/ (^,Е) +

СТ-ло^Е) УЦС'&ьт(д.Е) (1 - ^(С%,о(5,Е))

(12)

а

г

Р

Для полубесконечного кристалла ЕиО уравнение 5 будет иметь вид (для одной из девяти оборванных связей)

ШР \ = ГГ210 ( Ч (Я-Е)

Сат,Ьт1(Ч-Е) (С )ат,Ьт'(Ч,Е) + лг2(/^П\0 (~> т?\\ ' V /

(1 — ^ 2 (С ) 10,20 (Ч- Е ))

Поверхностные энергетические зоны для свободных поверхностей ЭЮ и ЕиО (111) определяются нулями знаменателей в этих уравнениях. Объемные функции Грина вычисляются с помощью уравнений

^ 1 [ ^ Ч „гк±(тт± -ттI )

2п

• Gss'(Ч, к±,Е), (14)

1-к±

где

6 С‘а„ (к) С( (к)

^ I Е-Ег (к

Здесь Ь± — нормированная длина; а и Ь — указывают тип базисной функции, локализованной в узле г и ].

Теперь можно приступить к определению функции Грина границы раздела ЭЮ-ЕиО. Для этого включим взаимодействие между двумя полубесконеч-ными кристаллами путем образования химической связи между оборванными в—орбиталями Эг в полупространстве 1 и гибридизированными орбиталями в@3—типа кислорода полупространства 2. Функцию Грина Страницы раздела с взаимодействием определим также из уравнения Дайсона (5). Для этого, прежде всего, нужно определить функцию Грина С0 границы раздела без взаимодействия, что было сделано на предыдущем этапе. Далее, введем взаимодействие на границе через и и перепишем уравнение Дайсона (5), используя представление слоевых орбиталей, связь между которыми на границе раздела изменилась, то есть орбитали а = 2, Ь = 1 и т.д., тогда уравнение Дайсона примет вид [2]:

( Ог1о,1о(Ч,Е) Огщ2о(я,Е)\ = [ СГ10Д0 (Ч-Е) 0 \

V СГ 20,10 (Ч>- Е) СГ 20,20 (Ч- Е) / V 0 СГ20 20 (Ч Е) /

)(

х , , 1 0 | , / иГ10,10(Ч) иГ20,10(Ч) \ I СГ10,10(Ч,Е) СГ10,20(Ч,Е)

Сгю.ю(ч,Е) Сг ю.20 (Ч-Е) \ ( СГ10 10 (ч,е ) 0

2(

Г 20 20

Ч-Е)

0 1 иг 10,20 (Ч) иг 20,20 (Ч) ) V СГ20,10(Ч,Е) СГ20,20( Ч-Е)

' (15)

Учитывая, что диагональные матричные элементы гамильтониана при этом практически не изменяются, можно положить, что

иГ10,10( Ч) = иг 20,20 (Ч) = 0 (16)

Тогда образование связей на границе ЭгО-ЕиО будет описываться условием

иГ10,10(Ч) = иг 20,10 (Ч) = — ^2. (17)

Если электронная структура границы раздела определяется полюсами функции Грина С, то дискретные состояния на границе ЭгО-ЕиО будут задаваться нулями определителя уравнения 15, а именно

^11 — С(Ч,Е)иг ( о)\ = 1 — У£С10,10( Е)с20,20( е) = 0

(18)

С помощью уравнения (14) вычислим элементы матриц Грина. В частности, диагональные элементы С1010(Ч-Е) и С^0 20(д,Е) имеют вид:

Е — Ее [к Е- Ее (к

-1

йк

йк

-

(19)

22

-

где

Е-Ее к

-1

11

АЫк,Е)

А1(к,Е)

И

Е Ее к

-1 = А22(к,Е) 22

А2(к,Е)

Здесь А1( к,Е) и А2( к,Е)—детерминанты соответствующих матриц, аД11 ( к,Е) и Д22( к,Е) — их миноры. Значение V2 рассчитывается по интерполяционной формуле [3]

К

аЬт

паЬт

п2

тй2 ’

(20)

где й - межъядерное расстояние, паЬт~ безразмерный коэффициент. Или теоретико-числовыми методами по вычислительной схеме Коробова [4].

Для определения состояний на границе раздела, возникающих под зонами проводимости, решалось секулярное уравнение (18). Одно состояние у границы раздела к1 расположено в кармане около точки Лзоны Бриллюэна границы раздела. Далее, в окрестности центра зоны Бриллюэна возникает еще одно к2

ных поверхностях ЭЮ и ЕиО с внешними атомными плоскостями Эг и О, соответственно, и занимавшими поверхностные состояния. Из расчетов изменения

к2

электронов. Подобное заполнение может происходить только из-за отрицатель-

к2

димо его смещение выше потолка валентной зоны вблизи точки . Это является следствием релаксации, то есть увеличением расстояния между плоскостями Эг и О. В результате прочность связи У2 на границе раздела ослабевает.

Затем были проведены соответствующие расчеты, но уже с учетом взаимного влияния концентрации электронов проводимости на изменение магнитного состояния в поверхностной области магнитного полупроводника и с другой стороны влияние локализованных магнитных атомных моментов 4/—электронов атомов европия на поляризацию электронов хемсорбированного слоя металла.

Предполагалось, что атомы в приповерхностной области находились в основном состоянии, то есть в соответствии с упрощенной моделью, на атомах металла находилось по одному й(/)—электрону, а та анионе - два р—электрона. И

р2

ориентациями спинов й(/)—электронов никакой корреляции не наблюдалось.

Ситуация существенно изменится, если в расчет включить возбужденные состояния (например, когда один @—электрон кислорода перейдет к одному из ионов металла). В этом случае, оставшийся на 0 + , электрон примет участие в обменном взаимодействии с другими ионами металла и в результате виртуальных процессов появится эффективная обменная связь между спинами й(/)—металлов. Было определено влияние возбужденных состояний на основное в области гетероперехода магнитный полупроводник - окись металла. Рассмотрено три состояния - основное и два возбужденных. Базисные функции строились из атомных функций в виде детерминанта Слейтера. Распределяя разными способами спиновые функции по основному и возбужденным состояниям, получено 36 базисных функций. Далее записывались обменные интегралы между орбитами металлов и орбитами кислорода и металлов, составлялось секулярное уравнение, и матричные элементы вычислялись с использованием явного вида функций триплета теоретико-числовым способом по методике, изложенной в работах [4].

Заключение

Установлено, что если й(/)—оболочка заполнена менее чем наполовину, то наименьшей энергии соответствует параллельная ориентация спинов и эффективный обменный интеграл оказывается положительным. Таким образом, на границе гетероперехода магнитный полупроводник - окись металла высока вероятность образования ферромагнитного состояния, приводящего в свою очередь к понижению дна зоны проводимости в ЕиО (примерно на 0,3 эВ).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 11-01-00571а.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бехштедт Ф., Эндерлайн Р. Поверхности и границы раздела полупроводников. - М.: Мир, 1990.

[2] Головнев Ю.Ф. Электронная структура границы раздела ЭЮ-ЕиО / Ю.Ф. Головнев, В.А. Панин, Т.А. Прохорова // Известия ТГУ, серия механика, т.7, вып. 2, 2001., с.65 - 69.

[3] Харрисон У. Электронная структура и свойства твердых тел. М.: Мир, 1983.

[4] ГоусМп Р.О. - 3. СЬет. РЬуз.. 1950, V. 18, р. 365.

Тульский государственный педагогический университет имени Л. Н. Толстова; Поступило 5.07.2011