CC BY
9
Intellectual Technologies on Transport. 2022. ^ 1
Б01: 10.24412/2413-2527-2022-129-5-15
Математические модели и численные методы
тепло- и массопереноса при естественной конвекции горячих жидких нефтепродуктов в котле вагона-цистерны
д.т.н. В. И. Моисеев, В. А. Ксенофонтова Петербургский университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия то1зееу_у_1@И51 ги, кос-уега@уаМех. ги
Аннотация. В работе рассмотрена задача охлаждения застывающих нефтепродуктов, находящихся в стратифицированном состоянии в процессе их перевозки в котле вагона-цистерны при низких температурах воздуха. Предложен новый подход к решению задачи: нефтегруз рассматривается как бинарная система без четкой границы между фракциями. Основная цель — математическое описание тепло- и массопереноса в горячем застывающем продукте. Численное решение задачи проводилось с применением метода сеток.
Ключевые слова: вязкие нефтепродукты, железнодорожные перевозки, математическая модель, теплоперенос, массо-перенос, численные методы, стратифицированное состояние жидкого нефтепродукта.
ВВЕДЕНИЕ
Численное решение любого вида тепловых задач включает два этапа — построение конечномерной модели рассматриваемой среды, которая представляет в общем виде некоторую систему алгебраических уравнений, и получение решения этой системы. Исходной для построения численного решения задачи охлаждения жидких нефтепродуктов в котле вагона-цистерны является классическая система двумерных уравнений Навье — Стокса и Фурье — Кирхгофа для тепло- и массопереноса при естественной конвекции в приближении Буссинеска [1].
В гидродинамике модель Д. В. Буссинеска используется при описании потоков, вызываемых термогравитационной конвекцией (ТГК). В ее рамках инерционные силы считаются пренебрежимо малыми, а массовые силы (тяжести), напротив, доминирующими.
Физическое обоснование модели рассматриваемого
ОБЪЕКТА И ПРОЦЕССОВ ЕГО ОХЛАЖДЕНИЯ
Жидкие нефтепродукты имеют большой коэффициент объемного теплового расширения вТ ~ 10-3 °С-1 (у мазутов почти в пять раз больший, чем у воды и лишь в четыре раза меньший, чем у газов), поэтому удельный вес двух участков жидкости с различной температурой заметно отличается. Это температурное изменение плотности жидкости считается главным фактором в приближении Буссинеска, тогда как температурные изменения ее других характеристик исключаются из рассмотрения. В модели также считается, что изменение знака перепада температур 0 = 71 - Т2 между двумя точками в объеме жидкости на противоположное
к.т.н. Т. А. Комарова Научно-внедренческий центр «Дисперсные системы» Санкт-Петербург, Россия komarova_tanusha@mail.ru
вызывает изменение направления ее течения при конвекции. В задаче охлаждения нефтепродуктов при перевозках и это требование выполняется, так как котел вагона-цистерны является крупногабаритным горизонтально установленным цилиндрически симметричным сосудом.
Все нефтепродукты являются сложными углеводородными соединениями, состав которых определяется характеристиками сырой нефти и режимами крекинг-процесса — основного способа ее переработки [2]. Их основу составляют полициклические соединения, включающие п атомов углерода: арены СпН2п+2 и нафтены СпН2п-4 (у дизельных топлив п = 13...18, у мазутов п = 18...25). В состав мазутов дополнительно входят асфальтены и нефтяные смолы, содержание которых в сырой нефти составляет от 3 до 20 %. Молекулярная масса асфальтенов и смол колеблется от 1 000 до 5 000 а.е.м. (атомных единиц массы). Асфальтены склонны вначале к ассоциации, а затем и слипанию, при котором образуются твердые частицы размерами до десятков микрон. Частицы имеют плотность ртв ~ 1 100 кг/м3 и образуют взвесь в более жидкой фракции с плотностью р ~ 850 кг/м3. С понижением температуры ниже 15 °С частицы очень медленно оседают из взвеси на нижнюю часть котла вагона-цистерны, образуя на ней высоковязкий застывший слой, делающий невозможным слив нефтепродукта без разогрева для восстановления текучести.
Аналогичная картина наблюдается при охлаждении летних дизельных топлив [3]. При температуре ниже минус 6 °С в них начинают образовываться и выпадать в осадок твердые микрокристаллы н-парафинов, содержание которых в дизельном топливе также может доходить до 20 %. Фазовое расслоение летних дизельных топлив является необратимой физико-химической реакцией, нарушающей баланс между различными присадками, вводимыми в топливо на стадии его подготовки. Нарушение баланса резко ухудшает эксплуатационные характеристики топлива, вплоть до потери его пригодности.
Технические жидкости, изменяющие свои физические или эксплуатационные характеристики при охлаждении, называют застывающими, поэтому нефти, мазуты и летние дизельные топлива обобщаются термином «застывающие нефтепродукты» (ЗНП).
Значения коэффициентов теплопроводности, удельной теплоемкости, плотности и температуропроводности основных видов ЗНП показаны в таблице 1.
Таблица 1
Теплофизические коэффициенты основных углеводородных топлив при температуре +20 °C
Теплопроводность I, Вт/(м°С) Теплоемкость Ср, Дж/(кг°С) Плотность р, кг/м3 Температуропроводность а, 10"7 м2/с
Дизельные топлива 0,146 2 104 800 0,869
Мазут флотский Ф12 0,130 1 880 950 0,728
Мазут котельный М100 0,105 1 860 980 0,576
Крекинг-остатки М200 0,102 1 850 1 010 0,546
Как видно из таблицы, названные величины изменяются с переходом от дизельных топлив облегченного состава к тяжелым остаткам крекинг-процесса, но эти изменения в целом не велики: не более чем в 1,3.. .1,4 раза. Близость характеристик обусловлена тем, что основу ЗНП составляют одни и те же молекулы аренов и нафтенов.
В рамках физической модели ЗНП можно рассматривать как бинарные системы без четкой границы раздела между фракциями, при этом взвесь из твердых частиц в них рассматривается как примесь с концентрацией С, изменяющейся с температурой и высотой слоя жидкости. Застывание ЗНП происходит не при фиксированной температуре фазового перехода, а в интервале температур, зависящем от состава входящих в нефтепродукт фракций. Все ЗНП являются несжимаемыми жидкостями и имеют не зависящее от температуры давление, а их плотность меняется с температурой и концентрацией:
Р = р(С, Т).
На рисунке 1, а показана картина движения горячей жидкости в котле вагона-цистерны при симметричном охлаждении ее стенок [4]. Слои ЗНП у стенок котла охлаждаются и, с ростом плотности, опускаются вниз, создавая внутри котла восходящие потоки. В средней части котла обычно образуются ядра (В) неподвижной жидкости.
Стенка котла омывается горячим продуктом и он быстро охлаждается, при этом наибольшую скорость течение имеет на «вертикальном участке» стенки между прямыми С и С', где вектор скорости потока жидкости совпадает с вектором ускорения свободного падения.
Такой характер циркуляционного движения горячего ЗНП при симметричном охлаждении котла вагона-цистерны идеализирован. В реальности котел охлаждается с одной стороны больше, чем с другой из-за ветра. Но цистерна движется несколько суток и проходит большие расстояния, поэтому изменение направления ветра надо считать равновоз-можным, а картину, показанную на рисунке 1, а, считать усредненной по большему промежутку времени.
Для упрощения математического описания ТГК в горизонтальном цилиндре Ниманн [5] предложил заменить его цилиндрическую поверхность совокупностью вертикальных, горизонтальных и наклонных пластин, показанных на рисунке 1, б.
а) б)
Рис. 1. Модель циркуляционного движения жидкости при естественной конвекции
а — схема токов жидкости в котле вагона-цистерны при его симметричном охлаждении; б — модель Ниманна для расчета конвекции жидкости внутри горизонтального цилиндра
Обоснованием модели является то, что при малых скоростях движения жидкости, в углах, образованных соседними пластинами, образуются застойные зоны, сглаживающие поле токов жидкости. Достоинством модели Ниманна является простота описания конвекции при продольном обтекании пластин, являющихся элементами этого «расчетного канала», с применением хорошо проработанной теории ламинарного пограничного слоя [6].
Котел вагона-цистерны всегда заполняется с некоторым недоливом для учета возможного увеличения объема перевозимой жидкости, обусловленного ее тепловым расширением при нагревании, вызванном, например, солнечной радиацией. Поэтому в заполненном котле имеется плоская свободная поверхность жидкости, показанная на рисунке 1, б участком I, над которой находится слой воздуха.
Участок II моделирует верхнюю часть обечайки котла вагона-цистерны, участок III — ее «вертикальную» часть, участок IV — нижнюю часть котла. Горизонтальная нижняя плоскость V моделирует самую нижнюю часть обечайки котла. Массовой силой, вызывающей ТГК, является вертикальная составляющая силы тяжести, действующая на единичную массу жидкости, равная g cos у, где у — угол между плоскостью пластины и вертикалью. На участках II и IV у = 45°, на участке III, где у = 0°, скорость течения максимальная. На горизонтальных верхнем I и нижнем V участках, где у = 90°, конвекция отсутствует. На участке I — потому, что над ним находится теплоизолирующий слой воздуха, а на участке V — потому, что там накапливается жидкость с наименьшей температурой и, следовательно, с наибольшей плотностью.
Для математического моделирования процесса охлаждения ЗНП в котле вагона-цистерны можно ограничиться рассмотрением двумерных течений, записанных в декартовой системе координат. Такие упрощения оправданы тем, что при диаметре котла 3 м кривизной его стенок можно пренебречь, и тем, что площадь днищ котла составляет всего 12 % от общей площади его поверхности, при этом они удалены друг от друга на 11 м. Очевидно, что в этих условиях
влияние токов жидкости на днищах на общую картину ТГК внутри котла также можно считать незначительным.
Математическое моделирование
ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ НЕФТЕПРОДУКТОВ ПРИ ПЕРЕВОЗКАХ В ВАГОНАХ-ЦИСТЕРНАХ
Примем, что у жидкого ЗНП при охлаждении возникают малые изменения плотности р, поверхностного натяжения с и концентрации примеси C:
р = р0 + р'; С = С0 + С'; о = а0 + о' ; Т = Т0 + Т'
при p = po = const.
Здесь po, Co, po, со и To — значения плотности, концентрации, давления, поверхностного натяжения и температуры, при которых конвекции нет и выполняются условия гидростатики, а р', С', с' и Т' — малые отклонения названных параметров от статических значений. Изменения первых двух параметров обусловливают свободную конвекцию горячего ЗНП. Малость отклонений подразумевает выполнение неравенств:
р' << р0; С' << С0; о' << а0; Т' << Т0 .
Изменение давления в столбе бинарной жидкости связано с распределением по высоте ее температуры и концентрации примеси:
Р ду р0 ду р0 ду р0 ду Р
1 др'
= -9 + МГ + ваЗС + - ^ .
Здесь р7 и Рс — термические коэффициенты теплового и концентрационного изменения плотности:
вт =
■1 (-)
Р \dTJPi С
в,
= _ 1 (~) ■
Р (ddpt т
Дифференциальные уравнения движения, переноса теплоты, массы и концентрации в горячем ЗНП образуют систему, в которой скорость течения, температура и концентрация примеси зависят от пространственных координат и времени /. В векторном виде уравнения движения и тепло-массопереноса записываются так:
3V . ^ 1 _ 1 „
— + (V х V) 7 = _-Vp' + vhV + -F dt v J p p
Vх7=0;
dT'
— + (^ х V)T
dt v 7
= яДГ +
Cpp
9c' N
^ + х V)C
= ДДС'.
(1) (2)
(3)
(4)
В равенстве (1) под Р понимается сумма всех сил, действующих на рассматриваемый бесконечно малый объем жидкости, который часто называют частицей жидкости. Когда жидкость несжимаема и течение происходит с малой скоростью, то этими силами являются архимедова, трения и тяжести. Также в уравнениях (1)-(4) использованы два
оператора, применяемые в векторном исчислении (Гамильтона и Лапласа):
д _ д _ д д2 д2 д2 дх1 ду^ дг ' дх2 ду2 дг2 '
В уравнениях (1), (3) и (4) фигурируют коэффициенты температуропроводности а, диффузии Б, кинематическая вязкость жидкости V (все три имеют одинаковую размерность — м2/с) плотность нефтепродукта р, кг/м3, а также объемная плотность тепловыделения qv, Вт/м3. Коэффициент температуропроводности а выражается через коэффициенты ее теплопроводности X, Вт/(м-°С), удельной теплоемкости Ср, Дж/(кг-°С) и плотности р:
1
Ср Р '
(5)
Коэффициент диффузии Б частиц взвеси зависит от ее концентрации С и коэффициента активности £ — величины, различной для разных систем, определяемой экспериментально:
D
= Wl + -
\ 1
й(1п С у'
где Б0 — коэффициент диффузии для бесконечно разбавленного раствора (для ЗНП — при температуре, превышающей температуру фазового расслоения). При температуре +20 °С коэффициент диффузии имеет порядок Б ~ 10-1...10-2 м2/с.
Объемная плотность тепловыделения qv вводится, если в задаче учитываются такие эффекты, как разогрев нефте-груза при сливе или теплота фазового перехода при плавлении и затвердевании парафинов, содержащихся в ЗНП.
Вводим в рассмотрение и и V — составляющие вектора скорости 7 движущейся жидкости, причем примем, что составляющая и направлена вдоль стенки котла по направлению течения жидкости, а составляющая V — по нормали к стенке, т. е. к оси котла. Векторные уравнения (1) и (2) в скалярной форме образуют систему из трех уравнений:
1 др (д2и д2и\ р дх
ди ди dv
— + и — + v— =
dt дх dy
dv dv dv
— + и — + v— =
dt дх dy
1 др Р ду
дх2 ду2
d2v d2v дх2 ду2
ди dv дх ду ■
(8)
В равенствах (6) и (7) записаны составляющие ускорения и [у, которое имеет движущаяся частица жидкости при ТГК. Система дифференциальных уравнений (6)-(8) рассматривается при граничных и начальных условиях. Граничные условия на твердой стенке котла радиусом Я, часто называемые условиями прилипания, выражаются равенством
и\г=в = v\
= о ,
где г — расстояние от оси котла до данной точки в массе нефтепродукта:
г = ^х2 + у2
а
Другим условием будет конечность температуры ЗНП на оси котла:
Т\г=о * •
Начальными условиями определяются распределения скорости и давления в начальный момент времени t = 0:
и(х,у, 0) = и0; v(x,у, 0) = v0; р(х,у, 0) = const .
Уравнения (6)-(8) часто записывают, используя функцию тока ¥ и вихрь скорости ю, причем в безразмерной форме, более удобной для численной реализации. Функция тока ¥ и вихрь скорости ю определяются равенствами:
и = ■
Зу
V = --
Зу
dv
(9)
ди
ду' дх; дх ду '
Вихрь скорости частицы жидкости определяется вектором угловой скорости ю и находится как векторное произведение оператора Д на вектор скорости V:
ю = -rot V = -V х V .
2 2
Когда круговое движение происходит в плоскости, параллельной площадке на стенке, вихрь имеет только одну проекцию z и угловая скорость вращения будет:
1 _ 11 dv ди\
ю, = — rot^7 = — (---) .
z 2 z 2 Vдх ду)
Касательная к линии тока жидкости ¥ = сошЛ: определяет направление вектора скорости жидкости в данной точке. При медленном течении жидкости линии тока жидкости совпадают с траекторией движения частиц взвеси. Граничные условия на неподвижной твердой стенке определяются соотношениями:
ду
w = 0; з^ = 0 .
Начальные условия задаются так:
у(х, у, 0) = у0(х, у) ; ю(х, у, 0) = ю°(х, у) .
В декартовых координатах и в безразмерной форме система уравнений (6)-(8) записывается таким образом:
Зю Зю Зю — + и— + V— = at дх ду
Re \3fra +_
\дх2 я""2
д2ю ду
) '
(10)
д2у д2у —- + —-=0.
дх2 ду2
Здесь фигурируют следующие величины: масштабный параметр Ь, критерий Рейнольдса Яе и составляющие ¥х и ¥у. За масштабный параметр взят диаметр котла вагона-цистерны Ь = 2Я:
F =
dFr dF„
fxL
fyL
ду
дх ; Fx V2 ; Fy V2
Подстановка (9) в (10) приводит равенство к виду:
+ F . (11)
Зю ду дю ду дю 1 (д2ю д2 ю dt ду дх дх ду Reí дх2 ду2
Поверхностное натяжение жидкости с зависит от ее температуры и концентрации примеси, поэтому на участке I свободной поверхности (рис. 1, б) выполняется
с = сЖтТ' + РссС') .
Это требование учитывается в граничном условии на свободной поверхности жидкости:
dv дс
дТ'
дС'
u = 0; =Ti = H^Hl + ^
где V и р — кинематическая вязкость и плотность жидкости соответственно, п — нормаль, а I — касательная к поверхности жидкости.
Среди граничных условий к уравнениям (2) и (3) можно использовать закон Фурье, определяющий закон теплообмена с окружающей средой на наружной поверхности котла вагона-цистерны:
Я ^конв (Тст - Тср)
(12)
где q — плотность теплового потока от поверхности котла вагона-цистерны в окружающее пространство; аконв — коэффициент внешней конвективной теплоотдачи; Тст и Тср — температура стенки котла вагона-цистерны и окружающей среды соответственно. Диффузионный поток в окружающее пространство отсутствует.
Условие (12) оправдано тем, что стальная стенка котла имеет высокую теплопроводность (Хот = 4 Вт/(м-°С)) и малую толщину (сст = 0,01 м), поэтому ее термическое сопротивление тепловому потоку
5стДст = 2,27 х 10-4(м2х°С)/Вт
является величиной высшего порядка малости.
В моделировании ТГК используются избыточная температура жидкости 9 относительно окружающей среды 9 = Т - Тср, а также безразмерные критерии теплового и диффузионного подобия, отмеченные в таблице 2, и параметр Ты, являющийся безразмерным временем процесса.
Таблица 2
Основные критерии теплового, динамического и диффузионного подобия, применяемые при моделировании свободной конвекции
Критерий подобия физического процесса Перенос теплоты и импульса (гидродинамика) Перенос массы вещества (диффузия)
Рейнольдса Re= VL/v
Грасгофа r звть3дт Г v2 ; gPDL3AC r° = v2 ;
Прандтля Pr= v/a; PrD = V/D;
Марангони Mn = ^^ pva a0p rLAC Mnc = "" ; c pvD
Фурье Fo = at/L2 FoD = Dt/L2
Релея L3 Ra = r х Pr = ав„ДТ — Е va L3 RaD = GrD x PrD = 9всЬС —
Ричардсона aL r Ri — _ V2 Re2 рт ДТ' Ri rD D V2 Re2 AC
Intellectual Technologies on Transport. 2022. No 1
Исходя из принципов физического моделирования гидродинамических и тепловых процессов систему дифференциальных уравнений (1)-(4) сводят к безразмерному виду:
dV ~dt
+ $ х V) ? = -Vp + 1AV + й X (^в + ; (13)
pcP
V X V = 0 ;
+ (V х V) 0
дС л -
- + (V X V) С
RePr 1
RePrr
Д0 ;
-АС .
(14)
(15)
(16)
Безразмерным аналогом граничного условия (11) является равенство
ди дп
Mn дв Mnr дС
+
RePr dl RePr„ dl
В одномерном случае это уравнение существенно упрощается:
= - (^) ■
(18)
где 5 — расстояние между двумя точками среды, имеющими температуры Т и Т2, причем Т2 > Т1.
Для описания теплообмена в прямоугольном канале, имеющем нагретую и холодную стенки и заполненном жидкостью, академик М. А. Михеев использовал формулу (18), в которую вместо X ввел «эквивалентный коэффициент теплопроводности» Хэкв. Этим коэффициентом он предложил учитывать конвективный теплоперенос между стенками как таковой, без рассмотрения характера движения жидкости. Отношение удельных тепловых потоков в циркулирующей и неподвижной жидкости он назвал коэффициентом конвекции:
Система дифференциальных уравнений (13)—(16) описывает два вида естественной конвекции — тепловую и концентрационную. Интенсивность термогравитационной конвекции определяется числами Грасгофа Gr и Прандтля Pr, а концентрационной конвекции — их аналогами Gro и Pro. Числа Марангони Mn и Mnc определяют интенсивность поверхностных механизмов конвекции.
Наиболее простыми частными случаями являются режимы переноса теплоты и массы молекулярными процессами теплопроводности и диффузии в неподвижной жидкости, которые реализуются при Gr = 0, Grc = 0, Mn = 0, Mnc = 0.
При этом уравнения (15) и (16) описывают перенос теплоты и массы движущейся жидкостью, в которой тепло- и массообмен не влияют на движение.
Решение системы уравнений (13)—(16), определяющее распределение температур, скорости циркуляционного движения жидкости и концентрации примеси определяется критериальной зависимостью вида
ф = ,J, Fo,r , r D,Pr,PrD,Mn,Mnc). (17)
Нахождение функции Ф (17) является основной целью схематизации процесса тепло- и массопереноса. Равенство безразмерных критериев подобия, отмеченных в таблице 2, для модельных и натурных условий обеспечивает подобие тепловых и гидродинамических процессов и является необходимым требованием для своего выполнения как в физическом, так и математическом моделировании:
r = idem, rc = idem, Mn = idem, Mnc = idem, Pr = idem, PrD = idem.
Уравнение конвективной теплопроводности Фурье — Кирхгофа (3) в общем случае также можно решить только численными методами. Однако имеются весьма удачные попытки упрощения математического описания теплопереноса в жидких средах. Еще в XVIII веке И. Ньютон установил, что перенос теплоты в неподвижной среде, имеющей внутри себя некоторое распределение температур, выражается равенством
q = -1АТ,
где q — плотность теплового потока; X — коэффициент теплопроводности среды.
iцирк .ж
g (Тст.1 Тст.2) Хэк
(Т — Т )
g (Тст.1 Т ст.2)
=
Данную модель принято называть моделью элементарной теплопроводности Михеева.
Если за определяющий размер Ь взять расстояние между стенками канала, а за температуру жидкости принять полусумму температур стенок канала
т + Т
_ 1 ст.1 1 ± ст.2
_ 2 '
то коэффициент конвекции однозначно выражается через критерий Релея (табл. 2). Эта однозначность сохраняется независимо от вида жидкостей (воздух, вода, органические жидкости) и формы канала. Она описана эмпирическими соотношениями:
е* = 0,105Ra0'3 при 103 < Ra < 106
(19)
U* = 0,400Ra°'2 при 106 < Ra < 1010 .
При значениях Ra < 103 ек = 1, то есть перенос тепла осуществляется молекулярной теплопроводностью, а при Ra > 1010 эквивалентная теплопроводность циркулирующей жидкости в 50...60 раз превышает ее молекулярную теплопроводность (ек > 50).
Обобщая данные экспериментов, Ниманн [5] построил формулу для нахождения коэффициента конвекции жидкости в канале, составленном из плоских стенок (рис. 1, б):
ARan
ек = 1+i+R; ,
где А, В и n — постоянные числа, зависящие от конфигурации циркулирующего слоя и направления теплового потока, их обобщенные значения даны в таблице 3.
Упрощенно процесс конвективного тепло- и массопереноса можно описать так. На участке Ш, например, вектор скорости имеет составляющую V xcos45°, и для единичной массы жидкости появляется составляющая импульса mV х cos 45°, направленная перпендикулярно стенке котла к оси котла.
Перенос импульса возбуждает турбулентные движения в более удаленных от стенки котла слоях жидкости, что и обеспечивает конвективный теплоперенос. Коэффициент
неподв.ж
1п1е11есШа1 Technologies оп ТтатроН. 2022. N0 1
эквивалентной теплопроводности изменяется с расстоянием от оси котла Хэкв = / (г).
Таблица 3
Численные значения постоянных А, В и п
N п/п Конфигурация слоя движущейся жидкости Направление теплового потока А В х 10 -* п
1 Коаксиальный цилиндрический слой радиальное 0,1190 1,45 1,27
2 Плоскопараллельный слой горизонтальный снизу вверх 0,0700 0,32 1,33
3 Плоскопараллельный слой вертикальный горизонтальное 0,0236 1,01 1,39
4 Плоскопараллельный слой, установленный под углом 45° к вертикальной оси снизу вверх 0,0430 0,41 1,36
5 сверху вниз 0,0250 1,30 1,36
N =
N
ддр р дг
(20)
Параметр ы является мерой стабильности жидкости при вертикальных перемещениях, вызванных естественной конвекцией, то есть мерой устойчивости ее стратифицированного состояния. Он характеризует частоту малых вертикальных колебаний выделенной частицы жидкости в статически стабильном окружении ее той же жидкостью.
Окружающая среда мысленно разделяется на большое число слоев, и при этом считается, что элементарный объем, отклоненный по вертикали от своего исходного положения, приобретает вертикальное ускорение, обусловленное возвращающей силой, которую образуют разнонаправленные силы — тяжести и архимедова. Если эта сила возвращает элементарный объем к исходному положению, расслоение считается устойчивым и частота колебаний определяется (20), это будет при др/дг < 0.
Если же др/дг > 0 частота колебаний N будет чисто мнимым числом, расслоение становится неустойчивым и в жидкости возникнет конвекция. В модели Буссинеска частота плавучести бинарной системы определяется равенством
N =
дТ
дС
^ + В^
(21)
Параметр N определяют безразмерным временем Ты, выражаемым числами Грасгофа, отмеченными в таблице 2:
Т„ =
Ш?
(22)
Одной из основных целей настоящей работы являлось математическое описание тепло- и массопереноса в горячем ЗНП, находящегося в стратифицированном состоянии на стадии его перевозки в железнодорожных вагонах-цистернах при низких температурах воздуха.
Из (19) следует, что стратифицированному состоянию ЗНП отвечает ек = 1 и будет наблюдаться при Яа < 103.
При математическом описании течения стратифицированных жидкостей важную роль играет частота плавучести Брента — Вяйсяля, имеющая размерность с-1:
Одним из основных в задаче моделирования ТГК является отмеченное в таблице 2 число Ричардсона Ш.
Им определяется отношение потенциальной энергии элементарного объема движущейся жидкости к его кинетической энергии. Если Ш > 1, то архимедова сила, действующая на выделенный элементарный объем, оказывается доминирующей в том смысле, что ТГК не может эффективно перемешать расслоившуюся жидкую среду. При Ш < 1 конвекция возникает самопроизвольно.
Численная реализация математической модели
Для численного решения данной системы уравнений одним из наиболее распространенных является метод сеток и особенно две из его разновидностей, называемые методом конечных разностей (МКР) и методом конечных элементов (МКЭ) [7, 8].
Суть метода сеток состоит в следующем. В области изменения независимых переменных вводится дискретная совокупность узловых точек, называемая сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются «сеточные» функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Обозначим сеточную функцию через ф. По характеру решаемой задачи она может быть функцией одного, двух или трех аргументов (например, двух пространственных координат и времени), аргументы отмечаются стандартным образом.
По своему смыслу функция ф может выражать составляющие вектора скорости и и V, функции тока и вихря ¥г, Юг, концентрацию примеси С или избыточную температуру 9. Производные, входящие в дифференциальные уравнения, заменяются приближенными конечно-разностными аппроксимациями. Сами же дифференциальные уравнения заменяются приближенными сеточными алгебраическими уравнениями, образующими большую по объему, но в принципе легко решаемую систему.
Одномерные конечные разности строятся так. Для дискретной независимой переменной х (под которой может пониматься как пространственная координата, так и время) строится множество (Ь+1) дискретных равноотстоящих точек XI (I = 0, 1, 2, ..., Ь), образующих собственно сетку. При этом
0 <х< Ь; х0 = 0, Х1 = Ь; х1+1 — х1 = Ах .
(23)
Аппроксимация первых производных производится тремя типами разностей, называемых «разностью вперед», «разностью назад» и «центральной разностью». Эти разности соответственно своим названиям задаются в виде:
йф
йх
йф ~ ф г +1— ф1
йх Ах ;
йф ф1 — ф1-1
йх 1 Ах ;
Ф1+1— 2Фг + Ф1
2 Ах
(24)
1
Intellectual Technologies on Transport. 2022. No 1
Аппроксимация вторых производных дается выражением
d2^ dх2
Ф1+1- 2Ф + Ч>1-(Дх)2
Для уравнения Навье — Стокса (10) в приближении Буссинеска метод сеток используют для функции тока ¥ и вихря ю, которые определяются равенствами:
~ки2; ю = г-к(иг
=
= ^
vr).
Здесь к = 0,1 для плоской и цилиндрических геометрий соответственно.
Наиболее просто задача стационарной теплопроводности записывается для плоского двумерного случая, когда среда неподвижна, а рассматриваемой областью О является прямоугольник со сторонами Ьх и Ьу, лежащими на осях координат, при этом 0 < х < Ьх; 0 <у<Ьу .
Согласно условиям задачи левая часть равенства (3) становится равной нулю, функция ф (х, у) будет обозначать температуру. Уравнение (3) с учетом равенства (5) примет вид:
X
(д2ф д2ф\
Va* + ^J = у).
(25)
Если на всех сторонах прямоугольника поддерживается постоянная и одинаковая температура (ф = const), то краевые условия будут такими:
ф(0,у) = ф(Ьху) = ф(х, 0) = ф(х, Lx) = ф .
(26)
В прямоугольной области О строятся равноотстоящие друг от друга по обеим координатам точки (хг, ут), образующие расчетную сетку, где г и т — счетные индексы:
Х1 (I = 0,1,2,..., V); х0 = 0, Х1 = Ьх; ут(ш = 0,1,2.....М); у0 = 0, Ут = Ьу .
При этом ячейками сетки будут прямоугольники со сторонами Дх = х1+1 - х1; Ду = ут+1 - ут.
Конечно-разностные аппроксимации для производных по переменным х и у строятся аналогично (24) и (25):
дф дх
дф ду
д2ф
ф1+1,т - 2ф1,т + ф 1-1,-п
1,т
1,т
дх2
д2ф "ду2
1,т
1,т
2Дх ;
ф , +1 - - 2ф 1,т + ф 1,т-1
2Ду ;
ф 1+1,т ' - 2ф 1,т + ф1-1,т
(Дх )2
ф , +1 - 2ф 1,т + ф1 ,т-1
(Ду)2
(27)
(28)
(29)
(30)
Конечно-разностный аналог уравнения теплопроводности (22) запишется так:
Х I дх2
+
,
д2ф 'ду2
= -ч I
,
(31)
Подставляем (29) и (30) в (31):
ф1 + 1,т — 2ф 1,т + ф 1-1,т
(Д )2
+
+
ф 1,т+1 - 2ф 1,т + ф I,,
(Д )2
4l,m
' х
Запишем конечно-разностные аналоги краевых условий (23):
фо,т = фьх,т = ф = const I = 0,1,2,..., L ; ф 1,0 = фi,Ly = ф = const т = 0,1,2,..., М.
В результате получилась система из (L - 1)(М - 1) уравнений, которая записывается и решается в матричном виде.
Вводится вектор-столбец (для экономии места его записывают его в виде транспонированной вектор-строки)
[ф; f = (ф ;,1 ф 1,2 ф 1,э - ф i,m-1) (32)
и вторая субматрица-столбец, элементами которой являются столбцы (32) с различными значениями индекса l:
[ф]Г =(Ы [ф2] [фз] - [фь-1]) . (33)
После этого уравнение (24) рассматривается для каждой из l точек (l = 0, 1, 2, ..., L) с учетом того, что при значениях х = 0 и х = L выполняются краевые условия (26). Получим систему алгебраических уравнений:
I = 1; -ф2 + 4ф1 = (Дх)2 Ц1/Х + фо;
I = 2; -фз + 4ф2 -ф1 = (Дх)2 Ц2/1;
1 = 3; -ф4 + 4фз-ф2 = (Дх)2 Цз/Х; (34) 1=1 - 2; -фЬ-1 + 4фЬ-2 - фь-з = (Дх)2 qL-2/X;
I = L- 1; -фЬ-1 + 4фЬ-2 - фь-з = (Дх)2 qL-1/X + фь.
Строится матрица теплопроводности, составленная из коэффициентов системы (34) и две матрицы-столбца. Первый из них определяется равенством (33), а элементами второго являются свободные члены равенств (34):
[X] =
4 -1 0 -1 4 -1 -1 4
\
-1 4 -1 0 -1 4 '
[f] =
(35)
/ (Дх)2Ч1/Х + ф0 \ (Дх )2Я2/Х (Дх )2Чз/Х
(Дх)2дЬ-2/Х \(Дх )2ЦЪ-1/\ + Фь/
В итоге рассматриваемая система линейных алгебраических уравнений сводится к матричному уравнению:
,
[X] х [ф] = [/] .
(36)
1
1п1е11есШа1 Technologies оп ТтатроН. 2022. N0 1
В нем используются следующие субматрицы:
( И -[Е] 0 \
-[Е] [X] -[Е]
-[Е] [X] -[Е]
[X] =
; (37)
-[Е] [X] -[Е] \ 0 -[Е] [X] }
тТ = ( [к] № № ... [к-г] ) .
Элементами матрицы (37) и являются матрицы (35) и единичные матрицы [£].
Уравнение (36) решается стандартным методом обратной матрицы при компьютерном обеспечении.
Мы рассмотрели случаи, когда моделируемые области имеют границами отрезки прямых, и на них располагаются узлы той же сетки. Котел вагона-цистерны образует криволинейную границу расчетной области. Поэтому конечно-разностные выражения (27)-(30) для производных обычно модифицируются введением положительных параметров е и д, меньших единицы (0 < е <1; 0 < д <1). На рисунке 2, заимствованном из работы [9], показан элемент сетки, построенный с их учетом.
0 граница области
3 и___
к Т А.ду.
/ р
/ , Ах цдх
Ду
Рис. 2. Модификация ячейки расчетной сетки в окрестностях криволинейной границы
Аппроксимации производных первого и второго порядков в окрестностях точек Р, Т, Б и Q задаются выражениями:
д ф Д2фт - -фу~ (д2 - 1)фр
дх д(д - 1)Дх
д2ф 2[дфт + фу- (Д + 1)фр]
д х2 д(д + 1)Дх2
д2ф 2[ефт + фу- (е + 1)фр]
ду2 р е(е + 1)Дх2
Здесь РТ = РБ = Ах; Рд = Ду; Ри = 1Ду; РУ = дДх.
Охлаждение нефтепродукта в стратифицированном
СОСТОЯНИИ ПРИ ПЕРЕВОЗКАХ В ВАГОНАХ-ЦИСТЕРНАХ Как отмечалось выше, с ростом температуры плотность ЗНП заметно уменьшается. Строго говоря, эти изменения описываются кубическими уравнениями, но отклонения от линейного закона проявляются только при высоких температурах. В интервале температур, при которых ЗНП наливают
в котел вагона-цистерны перед отправкой потребителю эти отклонения можно считать пренебрежимо малыми. Нормативные температуры налива ЗНП и соответствующие им изменения плотности топлива показаны в таблице 4.
Таблица 4
Температурные изменения плотности мазутов
Температура налива ЗНП Плотность ЗНП при Коэффициент теплового
в цистерну ДГ, °С наливе Др, кг/м3 расширения РГ, оС-1
Мазуты флотские +20.. .+40 950.900 0,00091
Мазуты котельные М20, М40 +20.. .+60 975.982 0,00093
Мазут котельный М100 +35. .+60 984.970 0,00096
Крекинг-остатки М200 +40. .+60 1010.995 0,00097
Выполним оценку возможности получения стратифицированного состояния ЗНП при его перевозках в железнодорожных вагонах-цистернах и реализуемый от этого мероприятия эффект. Примером ЗНП возьмем отмеченный в таблице 4 котельный мазут М100, годовые объемы перевозок которого превышают 15 млн тонн.
Оставим в выражении (21) для частоты плавучести только первое слагаемое и преобразуем полученное выражение. Считаем, что Д = 2Я = 3 м (высота столба жидкости равна диаметру котла) и примем, что ДТ = 6 °С и ДТ / Д < 0 (т. е. в верхней части котла нефтепродукт имеет большую температуру, чем в нижней), тогда частота плавучести будет
N = 1дРт£ = рт^ = /9,8X9,6X1°-
6/3 И 0,136 > 0.
Частота плавучести оказалась положительной, что является необходимым условием для достижения стратифицированного состояния. Выполним оценку числа Ричардсона (табл. 2), используя результаты модельных экспериментов. В работе А. Эмери [10] дан обзор результатов экспериментов по изучению свободной конвекции различных (ньютоновских и реологических) жидкостей в каналах прямоугольного сечения с двумя вертикальными стенками — обогреваемой и охлаждаемой. Коэффициенты конвекции ек практически не зависят от формы канала, поэтому априори примем, что циркуляционные токи жидкого ЗНП имеют скорости течения одного порядка величины с представленными на рисунке 3. (Холодная стенка канала, например, для правого вихревого тока — это стенка котла вагона-цистерны, а роль горячей стенки играет вся масса нефтепродукта в цистерне, расположенная слева от рассматриваемого циркуляционного тока.) И на рисунке 1, а и на рисунке 3 около обогреваемой стенки возникают восходящие токи жидкости, около охлаждаемой стенки — токи опускающиеся. Их наложение возбуждает циркуляционное движение жидкости. Результаты экспериментов, представленных авторитетным исследователем А. Эмери, показаны на рисунке 3.
Рис. 3. Распределение скоростей движения жидкостей при естественной конвекции в прямоугольном канале с обогреваемой и охлаждаемой параллельными вертикальными стенками
Вдоль оси абсцисс отложено отношение координаты точки наблюдения к ширине канала. Эксперименты показывают наличие ядра неподвижной жидкости в центральной части канала, подобное ядрам (В), изображенным на рисунке 1, а. Распределение скоростей течения иллюстрируют кривые, усредняющие результаты наблюдений. Исходя из кривых можно предположить, что значение скорости, входящее в число Ричардсона для различных нефтепродуктов, находится в интервале V = 0,3.. .0,5 м/с.
Приняв, что характерный размер области L = 2R = 3 м, из таблицы 2 находим, что число Ричардсона находится в интервале Ri = 120.300, т. е. много больше единицы.
Выше отмечалось, что котел вагона цистерны заполняется не полностью, и в нем всегда имеется плоская поверхность жидкости, показанная на рисунке 1, б участком I, а часть котла над ней заполнена воздухом. Движение цистерны сопровождается боковыми и продольными колебаниями, вызывающими в свою очередь колебания заполняющей котел жидкости. Эти колебания вызывают не естественную, а вынужденную конвекцию жидкости и характерная скорость ее движений составляет V ~ 0,2.0,3 м/с. Число Ричардсона в этом случае остается большим Ri > 300, следовательно, стратифицированное состояние останется устойчивым и в случае колебаний жидкости.
Было выполнено численное моделирование процесса охлаждения различных ЗНП, находящихся в стратифицированном состоянии, при их перевозках в железнодорожных вагонах-цистернах. При расчетах использовались оригинальные пакеты программ, написанные на языке FORTRAN в стандарте 77 (оболочка FPS-1.0) [11, 12].
На рисунке 4 показаны результаты расчета температурного поля в мазуте М100 внутри котла вагона-цистерны модели 15-1566.
Т,°С
60
40
20
0
-20
О 144 288 432 576 1ч
Рис. 4. Изменение температуры в массе мазута М100, перевозимого в стратифицированном состоянии в железнодорожном вагоне-цистерне при температуре воздуха Тср = -20 С
1 — ось котла; 2 — г = 0,1 м; 3 — г = 0,4 м; 4 — г = 0,8 м;
5 — г = 1,2 м; 6 — г = 1,45 м; 7 — г = 1,5 м
Условия расчета были следующими: радиус котла Я = 3 м, масса нефтепродукта — 67 т, начальная температура (при наливе) То = +70 °С, средняя температура воздуха Тср = -20 °С, коэффициент внешней теплоотдачи аконв = 50 Вт/м2-°С (отвечает скорости воздуха 72 км/ч, получаемой при средней скорости движения поезда 45 км/ч в условиях встречного ветра, имеющего скорость 12 м/с).
По оси абсцисс отложено время охлаждения (ч), по оси ординат — температура нефтепродукта ( С), параметром г является расстояние от оси котла (м). Температура слива мазута (зависит от содержания в нем парафиновой фракции) Тслив ~ +50 С.
Из рисунка 4 следует, что за время перевозки в течение 432 ч (18 суток — среднее время доставки нефтегрузов на территории России с учетом азиатской части страны) охладится с переходом в высоковязкое состояние не вся масса мазута в котле вагона-цистерны, а лишь сравнительно тонкий слой, непосредственно прилегающий к стенке котла (обозначено кривыми 6 и 7). Толщина слоя возрастает с течением времени охлаждения, но не превосходит 5 = 0,05 м (кривая 5) При этом, если оценочно несколько увеличить длину котла до Ь = 12 м (для учета массы нефтепродукта застывшего на днищах котла), его масса будет меньше 4 тонн:
т = лрЦД2 - г2) « 2лр1Д25 = 3 770 (кг).
Остальная масса (кривые 1, 2, 3, 4 и 5 на рисунке 4) сохранит температуру, превышающую +50 °С, то есть достаточную для выгрузки самотеком.
РЕКОМЕНДАЦИИ по результатам расчета
Для обеспечения полной выгрузки доставленного нефтегруза нужно нагреть и расплавить не все содержимое
- \ * Я 1 /
- \ 5 -
\
6^
к 7
67-тонного котла вагона цистерны, а лишь малую его часть, не превосходящую 4 тонн. Этим обеспечивается экономия в затратах времени и тепловой энергии на организацию слива, а также сокращается время оборота подвижного состава, что является очень важным фактором.
Для перевода ЗНП в стратифицированное состояние нужно, чтобы его температура в верхней части вагона-цистерны была бы на 6-10 °С выше, чем в нижней его части.
С наименьшими затратами ресурсов этого можно добиться на стадии налива горячего нефтепродукта в цистерну по следующим вариантам:
• замедлить скорость охлаждения ЗНП в верхней половине котла установкой на нем временной (съемной) теплоизолирующей оболочки;
• дополнительным разогревом верхней половины котла инфракрасным излучением при принудительном охлаждении его нижней половины, например пропусканием под па-рообогревательный кожух технической воды;
• увеличением начальной температуры ЗНП при наливе в котел цистерны соответствующим мероприятием, отмеченным в предыдущем пункте.
Данные варианты проработаны авторами, имеются патенты на изобретения [13-16].
Литература
1. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье — Стокса / В. И. Полежаев, А. В. Бунэ, Н. А. Верезуб, [и др.]; отв. ред. В. С. Авдуевский. — Москва: Наука, 1987. — 272 с.
2. Петров, А. А. Углеводороды нефти / А. А. Петров; отв. ред. Н. С. Наметкин. — Москва: Наука, 1984. — 264 с.
3. Гуреев, А. А. Топливо для дизелей. Свойства и применение: Учебное пособие / А. А. Гуреев, В. С. Азев, Г. М. Кам-фер. — Москва: Химия, 1993. — 336 с. — (Для высшей школы).
4. Острах, С. Естественная конвекция внутри горизонтального цилиндра / С. Острах, Э. Р. Мэнлоу // Тепло- и массоперенос: Материалы III Всесоюзного совещания по тепло- и массообмену (Минск, СССР, 14-18 мая 1968 г.): в 10 тт. Т. 1: Тепло- и массоперенос при взаимодействии тел с потоками жидкостей и газов. — Москва: Энергия, 1968. — C. 640-661.
5. Гребер, Г. Основы учения о теплообмене = Die Grundgesetze der Wärmeübertragung. Dritte völlig neubearbeitete auflage / Г. Гребер, С. Эрк, У. Григулль; пер. с нем. под общ. ред. А. А. Гухмана. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1958. — 566 с.
6. Повх, И. Л. Техническая гидромеханика. — 2-е изд., перераб. и доп. — Ленинград [Санкт-Петербург]: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1976. — 504 с.
7. Гершуни, Г. З. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жухо-вицкий, Е. Л. Тарунин // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. 1966. № 5. С. 56-62.
8. Пасконов, В. М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена / В. М. Пасконов, В. И. Полежаев, Л. А. Чудов. — Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 288 с.
9. Основы метода конечных элементов: Учебное пособие / сост. Г. М. Макарьянц, А. Б. Прокофьев. — Самара: Изд-во Самарского гос. аэрокосмического ун-та им. С. П. Королёва, 2013. — 80 с.
10. Emery, A. F. Free Convection Through Vertical Plane Layers of Non-Newtonian Power Law Fluids / A. F. Emery, H. W. Chi, J. D. Dale // Journal of Heat Transfer. 1971. Vol. 93, Is. 2. Pp. 163-171. DOI: 10.1115/1.3449778.
11. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012616057 Российская Федерация. Программа для расчета распределения температур в темных нефтепродуктах при их выгрузке из ж.-д. цистерны в зимних условиях: опубл. 03.07.2012 / В. И. Моисеев, Д. В. Елисеев.
12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012618249 Российская Федерация. Программа расчета температурных полей в цистерне с вязкими нефтепродуктами: опубл. 12.09.2012 / Д. В. Елисеев, В. И. Моисеев.
13. Железнодорожные цистерны: конструкции, техническое обслуживание и ремонт: Учебное пособие для работников железнодорожного транспорта / И. Г. Морчиладзе, А. П. Никодимов, М. М. Соколов, А. В. Третьяков. — Москва: ООО «ИБС-Холдинг», 2006. — 516 с.
14. Патент № 2682130 Российская Федерация, МПК B65D 88/00 (2006.01). Способ перевозки вязких нефтепродуктов и железнодорожная цистерна для его реализации: № 2018116284: заявл. 28.04.2018: опубл. 14.03.2019 / Моисеев В. И., Комарова Т. А.; заявитель ФГБОУ ВО ПГУПС. — 17 с.
15. Патент № 2666018 Российская Федерация, МПК B61D 5/00 (2006.01), МПК B61D 88/74 (2006.01). Цистерна для перевозки вязких нефтепродуктов: № 2017124560: заявл. 10.07.2017: опубл. 05.09.2018 / Моисеев В. И., Комарова Т. А.; заявитель ФГБОУ ВО ПГУПС. — 12 с.
16. Патент № 2639095 Российская Федерация, МПК B65D 88/00 (2006.01). Способ перевозки вязких нефтепродуктов и железнодорожная цистерна для его реализации: № 2016146672: заявл. 28.11.2016: опубл. 19.12.2017 / Моисеев В. И., Комарова Т. А.; заявитель ФГБОУ ВО ПГУПС. — 12 с.
DOI: 10.24412/2413-2527-2022-129-5-15
Mathematical Models and Numerical Methods of Heat and Mass Transfer During Natural Convection of Hot Liquid Petroleum Products in Boiler of Tank Wagon
Grand PhD V. I. Moiseev, V. A. Ksenofontova Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University Saint Petersburg, Russia moiseev_v_i@list. ru, koc-vera@yandex. ru
Abstract. The work considered the task of cooling stationary petroleum products which are stratified during their carriage in the tank-wagon boiler at low temperatures. A new approach to solving the problem is proposed: the oil cargo is considered as a binary system without a clear boundary between the factions. The main goal is a mathematical description of heat and mass transfer in a hot-melting product. The numerical solution of the task was carried out using the method of nets.
Keywords: viscous petroleum products, rail transport, mathematical model, heat transfer, mass transfer, numerical methods, stratified state of liquid petroleum product
References
1. Polezhaev V. I., Bune A. V., Verezub N. A., et al. Mathematical modeling of convective heat and mass transfer based on the Navier — Stokes equations [Matematicheskoe modeliro-vanie konvektivnogo teplomassoobmena na osnove uravneniy Nav'ye — Stoksa]. Moscow, Nauka Publishers, 1987, 272 p.
2. Petrov A. A. Petroleum hydrocarbons [Uglevodorody nefti]. Moscow, Nauka Publishers, 1984, 264 p.
3. Gureev A. A., Azev V. S., Kamfer G. M. Diesel fuel. Properties and applications: Study guide [Toplivo dlya dizeley. Svoystva i primenenie: Uchebnoe posobie]. Moscow, Chemistry Publishers, 1993, 336 p.
4. Ostrach S., Manlow E. R. Natural Convection Inside a Horizontal Cylinder [Estestvennaya konvektsiya vnutri gori-zontal'nogo tsilindra], Heat and Mass Transfer: Proceedings of the III All-Union Conference on Heat and Mass Transfer. Vol. 1: Heat and Mass Transfer in the Interaction of Bodies with Flows of Liquids and Gases [Teplo- i massoperenos: Materialy III Vsesoyuznogo soveshchaniya po teplo- i massoobmenu. T. 1: Teplo- i massoperenos pri vzaimodeystvii tel s potokami zhidkostey i gazov], Minsk, USSR, May 14-18, 1968. Moscow, Energiya Publishers, 1968, Pp. 640-661.
5. Gröber H., Erk S., Grigull U. Die Grundgesetze der Wärmeübertragung. Dritte völlig neubearbeitete auflage [Os-novy ucheniya o teploobmene]. Moscow, Foreign Literature Publishing House, 1958, 566 p.
6. Povkh I. L. Technical fluid mechanics [Tekhnicheskaya gidromekhanika]. Leningrad [St. Petersburg], Mechanical Engineering Publishing House, 1976, 504 p.
7. Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M., Tarunin E. L. Numerical Study of Convective Motion in a Closed Cavity [Chislennoe issledovanie konvektivnogo dvizheniya v zamknutoy polosti], Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Fluid and Gas Mechanics [Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza], 1966, No. 5, Pp. 56-62.
PhD T. A. Komarova Research and Implementation Center «Dispersed Systems» Saint Petersburg, Russia komarova_tanusha@mail. ru
8. Paskonov V. M., Polezhaev V. I., Chudov L. A. Numerical modeling of heat and mass transfer processes [Chislennoe modelirovanie protsessov teplo- i massoobmena]. Moscow, Nauka Publishers, 1984, 288 p.
9. Makar'yants G. M., Prokofyev A. B. (eds) Finite element method fundamentals: Study guide [Osnovy metoda konech-nykh elementov: Uchebnoe posobie]. Samara, S. P. Korolev Samara State Aerospace University, 2013, 80 p.
10. Emery A. F., Chi H. W., Dale J. D. Free Convection Through Vertical Plane Layers of Non-Newtonian Power Law Fluids, Journal of Heat Transfer, 1971, Vol. 93, Is. 2, Pp. 163-171. DOI: 10.1115/1.3449778.
11. Moiseev V. I., Eliseev D. V. A Program for Calculating the Temperature Distribution in Dark Oil Products During Their Unloading from the Railway Tanks in Winter [Programma dlya rascheta raspredeleniya temperatur v temnykh nefteproduktakh pri ikh vygruzke iz zheleznodorozhnoy tsisterny v zimnikh usloviyakh]. Certificate of State registration of a computer program RU No. 2012616057, published at July 03, 2012.
12. Eliseev D. V., Moiseev V. I. A Program for Calculating Temperature Fields in a Tank with Viscous Oil Products [Programma rascheta temperaturnykh poley v tsisterne s vyazkimi nefteproduktami]. Certificate of State registration of a computer program RU No. 2012618249, published at September 12, 2012.
13. Morchiladze I. G., Nikodimov A. P., Sokolov M. M., Tret'yakov A. V. Railroad tanks: Design, maintenance and repair: A training manual for railroad workers [Zheleznodorozh-nye tsisterny: konstruktsii, tekhnicheskoe obsluzhivanie i remont: Uchebnoe posobie dlya rabotnikov zheleznodorozh-nogo transporta]. Moscow, IBS-Holding LLC, 2006, 516 p.
14. Moiseev V. I., Komarova T. A. Method of Transporting of Viscous Refined Oil Products and Railway Tank for Its Implementation [Sposob perevozki vyazkikh nefteproduktov i zheleznodorozhnaya tsisterna dlya ego realizatsii], patent RU No. 2682130, published at March 14, 2019, 17 p.
15. Moiseev V. I., Komarova T. A. Tank for Transportation of Viscous Oil Products [Tsisterna dlya perevozki vyazkikh nefteproduktov], patent RU No. 2666018, published at September 05, 2018, 12 p.
16. Moiseev V. I., Komarova T. A. Method of Transportation of Viscous Oil Products and Railway Tank for Its Implementation [Sposob perevozki vyazkikh nefteproduktov i zheleznodorozhnaya tsisterna dlya ego realizatsii], patent RU No. 2639095, published at December 19, 2017, 12 p.
HHmenneKmyanbHbie техноnогии Ha mpaHcnopme. 2022. № 1
15
