Математические модели движения платформы испытательного стенда для определения геометрии масс и испытания на виброустойчивость сложных техногенных объектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

автомобилей, конструкционных материалов и технологий Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). ПЕТУНИН Павел Владимирович, преподаватель кафедры эксплуатации автомобилей и бронетанковой техники Омского автобронетанкового инженерного института.

КЛИШЕВ Иван Александрович, магистрант гр. НТКм-14Т2 факультета автомобильного транспорта СибАДИ.

УДК 621.01

КУЗНЕЦОВ Александр Викторович, инженер кафедры автомобилей, конструкционных материалов и технологий СибАДИ.

Адрес для переписки: 644080, г. Омск, пр. Мира 5, кафедра автомобилей, конструкционных материалов и технологий СибАДИ.

Статья поступила в редакцию 24.11.2014 г. © В. В. Акимов, П. В. Петунин, И. А. Клишев, А. В. Кузнецов

П. Д. БАЛАКИН Ю. А. БУРЬЯН

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ПЛАТФОРМЫ ИСПЫТАТЕЛЬНОГО СТЕНДА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ МАСС И ИСПЫТАНИЯ НА ВИБРОУСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ ТЕХНОГЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

Разработана и приведена гамма дифференциальных уравнений, моделирующих движение платформы испытательного стенда в частных случаях комбинаций параметрических свойств платформы и внешнего силового возбуждения. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, диссипация, характер внешнего силового возбуждения.

В [1] и [2] нами предложена схема универсального стенда для экспериментального определения геометрии масс и испытаний на виброустойчивость сложных реальных техногенных объектов. Установочная платформа стенда совершает регулируемые движения, создаваемые внешним источником, способным генерировать различный характер силовой функции. Это обстоятельство влияет на форму дифференциальных уравнений движения платформы.

Составим дифференциальное уравнение движения платформы и приведем его решение применительно к бездемпферной механической системе, у которой внешнее силовое возбуждение представлено гармонической функцией вида М(t)=Мgsin pt, где р — частота внешнего силового возбуждения. Уравнение углового движения платформы будет та-

•• , 2 М0 . , ф + к ф = sm pt.

Первые два слагаемых описывают свободные колебания с начальной фазой ф0 и начальной скорость ф 0. При нулевых начальных условиях t=0, ф0 = 0, ф0 = 0 эти слагаемые отсутствуют.

Третье слагаемое описывает гармонические колебания, происходящие с частотой к свободных колебаний, но с амплитудой, зависимой от возмущающего момента, эти колебания называют сопровождающими, и они накладываются на вынужденные колебания.

Четвертое слагаемое описывает вынужденные колебания с частотой изменения внешней силы р и амплитудой:

Мп

Ф =

J(k2 - р2)

(3)

(1)

При р<к фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой pt возмущающей силы, но при р>к четвертое слагаемое в (2) получит вид:

При р^к уравнение (1) имеет решение, состоящее из четырех слагаемых [3]:

Ф =

Мп

^к2 - р2)

sm(pí + л),

(4)

ф = Фо cosк + — sin к ■

М0р

Jk(k - р2)

- sin Ы + -

Мп

J(k2 - р2)

sinpt.

(2)

т.е. фаза вынужденных колебаний станет противоположной фазе возмущающей силы. При этом амплитуда ф_1 вынужденных колебаний при любых соотношениях р и к сохранит свое значение:

22

фа

Mn

j\k - p2

(5)

кдин -

Mn

Jk2 - p2

и поскольку фсш =

M

С

а с учетом

k2 = C

Jk2 - р:

k2

1

Ml k2 J

k2 - p2

1-

Jcp + bip + Cp = M sin pt,

b C , 2

при — = 2n и — = k получим:

M

ф + 2пф + ¿2ф = -j0 sin pt .

Ф = e

'(C cosVk2 - n2t + C siWk2 - n2t) +

Mn

J^j(kт—ñ)+4ñp■

^sin(pt - 8),

Mn

^(42 - Л2) + 4л2р2 ' а коэффициент динамичности будет таким:

-

1

Как следует из решений (2) — (5) уравнения (1), резонансное состояние системы будет при к=р, и при полном отсутствии диссипации это приведет к неограниченному возрастанию амплитуды периодических колебаний. Поскольку в любой реальной системе диссипация имеет место, то можно рекомендовать эксплуатационный режим движения платформы при р~к, при котором энергетические затраты внешнего возбудителя будут минимальными и их величина определяется только компенсацией конструкционного демпфирования в связях стенда.

Другие характеристики движения платформы, имеющей упругую связь со стойкой и возбуждаемой периодической силой, определятся из расчета отношения амплитуды М0 гармонической составляющей силового нагружения к амплитуде вынужденных колебаний:

(1 - + ^ (1 k2 k4

(11)

С = к J, коэффициент динамичности будет таким: Мп

(6)

Отметим, что при р=к кдин ^ да.

Математическая модель движения платформы с демпфером при гармоническом характере внешнего силового возбуждения. Дифференциальное уравнение углового движения платформы с демпфером в известных обозначениях имеет вид:

Максимальное значение к„„„ имеет при

I-2 дин

р = к2 — 2п , т.е. вблизи значения р=к, как это имело место в системе без демпфера, но изменение кдин зависит от «п» и является уже ограниченным.

При наличии «п» и упругой связи платформы со стойкой колебательный процесс, возбуждаемый гармоническим или близким к нему внешним силовым возмущением, будет устойчивым с частотой внешнего силового возбуждения.

Математическая модель движения платформы, имеющей упругую связь со стойкой в среде с вязким трением и силовым возбуждением постоянной силой, направленной в сторону движения. Составим математическую модель движения платформы, функционирующей в точном соответствии с предложенным нами способом раскачки платформы стенда [1, 2]. Платформа приводится в движение высокомоментным реверсным электродвигателем, подающим постоянный по величине момент в направлении движения платформы. Переключение направления силового импульса от двигателя происходит переключением контактов в крайних положениях платформы, размах угловых колебаний которой определяется установленным зазором А, величину которого можно регулировать.

Дифференциальное уравнение малых колебаний платформы в известных обозначениях имеет вид [4-6]:

ф + 2пф + к2ф = M0signq>.

(12)

(7)

(8)

При п<к, т.е. при ограниченном демпфировании, характеристическое уравнение г2+2пг+к2 = 0 имеет комплексные корни г = —п ±л1 п2 — к2 и решение (8) будет таким:

Отметим, что (12) моделирует движение любой автоколебательной системы, имеющей стационарное силовое возбуждение, к такой системе можно отнести односторонний регулятор хода часовых механизмов при условии, что электромагнитный возбудитель имеет постоянную характеристику силового поля, создаваемого катушкой возбуждения, действующей на крутильный маятник регулятора хода.

При ограниченном демпфировании, т.е. при п<к и при п<0, М0>0 и k=const, считая, что при ср<0 и начальных условиях 1 = 0, ф = ф1, ср = 0 (крайнее положение платформы), уравнение (12) имеет решение:

(9)

Ф = e

M,

ni

(ф, + —^)cos- +

1 k2 T

T . M0 . m

+— л(ф +--:°sm —

n k ^

ni

M. k

t2 > из)

где 5 — угол, характеризующий отставание фазы перемещения от фазы сил

. я 2пр

= ,2 2 • к - р

Как видно по (9), с течением времени свободные колебания, определяемые первым компонентом уравнения (9), затухают и амплитуда вынужденных колебаний становится стационарной:

где Т = формы.

— полупериод колебаний плат-

При t=T

ф = ф2 =

- " (ф,+M - F.

ср = 0.

(14)

При ср>0 и начальных условиях t = 0, ф = ф2, ср = 0 (другое крайнее положение платформы), решение (12) будет таким:

№

или

2

2

k

ni

П

e

2

ф = е

При г=г

М0л %t (Ф2 +

г , м„ .

+ - п(ф2 + —

% к Г.

м к2

М„, . М,

ф = фз = е-" (ф2 ) + ,

Ф = Фз = е-^ Ф1 + Мщ + е -)2 к2

(15)

(16)

Для периодического движения должно быть ф3 = ф1 = ф0 и, следовательно,

Рис. 1. Фазовая диаграмма движения системы

Фо =

(17)

Система приходит к периодическим колебаниям с периодом 2Т и амплитудой ф0 по (17), картина фазовой плоскости такого движения представлена на рис. 1.

Полученное по (17) ф0 представляет собой максимальное угловое отклонение платформы от положения равновесия, это отклонение ф0 есть амплитуда установившихся периодических колебаний. При этом, как следует из (17), значение ф0 не зависит от начальных условий, а зависит исключительно от параметров системы.

Если фазовая траектория, соответствующая автоколебаниям системы будет замкнутой, как на рис. 1, то колебания системы будут устойчивыми, независимо от начальных условий при t=0, ф = ф1, ф = 0 или при t=T (в конце первого и в начале второго полуцикла) ф = ф3, ф = 0.

Подобные автоколебательные системы относятся к системам, способным совершать незатухающие колебания за счет постоянных источников энергии, причем поступление энергии, расходуемой системой на преодоление сопротивлений, регулируется самой системой.

В подобной системе период автоколебаний Т = —

2ж Р

оказывается равным периоду Т — — зату-

л/к2^2

хающих колебаний в линейной системе, но это не обязательно, поскольку характеристики колебаний определяются только параметрами системы (М, к, л).

Особенности модели движения платформы с односторонним силовым возбуждением постоянной силой, направленной в сторону движения.

Вариант подобной системы технически реализуем системой, предлагаемой нами, элементы которой представлены в [1, 2]. Пусть система приводится в движение электромеханическим возбудителем, который обеспечивает незатухающие колебания платформы. Возбудитель регулируется самой системой и может подавать в систему постоянный, но однонаправленный силовой поток в форме однонаправленных прямоугольных импульсов момента постоянной величины.

В такой автоколебательной системе период движения платформы распадается на два полупериода. Первый полупериод характеризуется вынужденным движением платформы под действием постоянного силового момента от высокомоментного двигателя, и это движение моделируется дифференциальным

уравнением (12):

ф + 2пф + А2ф = М^дпф.

Во втором полупериоде двигатель отключен и платформа совершает свободные колебания в соответствии с уравнением:

ф + 2пф + ¿2ф = 0.

Для устойчивого колебательного процесса необходимо установить и обеспечить выполнение начальных условий при t = 0 и t=T, а также совпадение начальных условий при t=0 и t=2T.

При наличии диссипативных потерь от сил трения, мало зависящих от ф (кулоново трение), уравнение свободного движения дополняется компонен-т.е. преобразуется к виду:

том Мшр = -Мтр ыдпф,

ф + 2пф + к 2ф = -М signф.

(18)

Поскольку амплитуда углового движения платформы по нашему предложению устанавливается зазором А, то внешний источник энергии должен за активный полупериод Т подать в систему энергию, равную ее диссипации от сухого трения, поэтому силовая характеристика двигателя Моднонаправленного возбуждения должна быть Мд>Мшр, с учетом равенства угловых перемещений на полупериодах.

Влияние неупругих сопротивлений на движение установочной платформы. Вязкое сопротивление направлено против скорости и пропорционально его значению. Если в силовую характеристику сопротивления скорость входит в первой степени, то такая модель движения будет линейной при постоянных значениях коэффициентов при других производных искомой функции.

Задача об отыскании закономерности движения в этих условиях может быть решена аналитически в конечном виде для свободного движения системы или при интегрируемой функции изменения внешнего силового возбуждения в модели вынужденного движения.

В любом случае представляет интерес изменение амплитуд свободных колебаний в системе с вязким сопротивлением, пропорциональным скорости движения систем.

В обширной литературе по теории колебаний и ее прикладным задачам, например, в [7] приводятся доказательства, что частота к1 собственных колебаний системы с демпфером остается неизменной и практически равна частоте собственных незату-

+

или

1 + е-пТ М

о

1 - е-пТ к2

хающих колебаний «к» идеализированной системы, т.е. к1 =у[кг — 2п , но при п<<к, т.е. при слабом демпфировании, что наблюдается в большинстве технических систем, т.е. имеет место к1~к.

Колебания в системе с демпфером затухают, о чем свидетельствует первый сомножитель е-п: в уравнении для свободных колебаний и отношение каждой предыдущей к последующей амплитуде Ф1 Ф2 „м

— = — = ... = е , т.е. последовательность отно-Ф2 Фз

шений пиковых значений амплитуд образует геометрическую прогрессию, а логарифм отношений

пиковых значений 1п Ф = 5 называют логарифми-Ф2

ческим декрементом затухания, который является характеристикой диссипативных свойств колебательной системы.

Поскольку в ряде случаев удобно определить отдельно работу сил трения за цикл, что полезно для расчета объемов восполнения энергии колебательной системы и выбора силовой характеристики М0 двигателя, а отнесение работы трения к энергии колебательного процесса за цикл дает значение коэффициента ^ поглощения, который в [7] определен как ^ = 25, т.е. коэффициент поглощения вдвое больше коэффициента логарифмического декремента колебаний, а работа двигателя М0ф на полуцикле должна компенсировать энергию поглощения от диссипативных потерь на цикле движения.

При наличии в колебательной системе сухого (кулонова) трения, оно может быть представлено в дифференциальном уравнении в виде нелинейного компонента в том числе переменного коэффициента при первой производной искомой функции движения.

Точное решение такого уравнения невозможно, поэтому иногда прибегают к линеаризации значения этого коэффициента, перевода его в эквивалентный коэффициент вязкости, или к упрощенному учету в уравнении, например:

М

Мтр (ф) = ± ,

при этом, если ф<0, то Мтр положителен, если ф>0, то знак момента изменится — М .

тр

Частота колебаний системы с кулоновым трением равна частоте свободных колебаний идеализированной системы, а уменьшение амплитуды колеба-

т

ний за цикл I = I = — равно [8]: к

4М

ДФ =-^

С

(19)

Физически

М„

С

представляет собой статиче-

вает на одну и ту же величину, т.е. уменьшается по закону арифметической прогрессии в отличие от вязкого трения, обусловливающего убывание амплитуд по закону геометрической прогрессии.

Эти закономерности следует учитывать как при решении общих задач о движении, так и для создания технического проекта предлагаемой нами автоколебательной системы с двусторонним и односторонним внешним силовым возбуждением.

Таким образом, разработана и приведена гамма дифференциальных уравнений, моделирующих движение платформы в частных случаях как комбинаций параметрических свойств платформы и внешнего возбуждения.

В целом материал статьи представляет собой научную базу конструкторской проработки экспериментального стенда на уровне технического проекта.

Библиографический список

1. Балакин, П. Д. Обоснование выбора схемы универсального стенда для экспериментального определения геометрии сложных реальных техногенных объектов / П. Д. Балакин, Ю. А. Бурьян // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2013. — № 2 (120). — С. 47 — 51.

2. Балакин, П. Д. Системы раскачки и поддержания амплитуды колебаний платформ испытательного стенда / П. Д. Балакин, Ю. А. Бурьян // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2014. — № 1 (127). — С. 47 — 50.

3. Балакин, П. Д. Динамика машин: учеб. пособие / П. Д. Балакин. — Омск : ОмГТУ, 2006. — 320 с.

4. Блехман, И. И. Вибрации в технике : справ. : в 6 т. / Под ред. И. И. Блехмана. — М. : Машиностроение, 1979. — Т. 2. — 351 с.

5. Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний : учеб. пособие для втузов / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. — 2-е изд., испр. — М. : Наука, 1987. — 384 с.

6. Бутенин, Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин. — Л. : Судпромгиз, 1962. — 194 с.

7. Пановко, Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — 3-е изд., доп. и перераб. / Я. Г. Пановко. — Л. : Машиностроение, 1976. — 320 с.

8. Яблонский, А. А. Курс теории колебаний : учеб. пособие для втузов / А. А. Яблонский, С. С. Норейко. — 3-е изд., испр. и доп. — М. : Высшая школа, 1975. — 248 с.

ское отклонение системы от равновесного положения под действием момента Мтр кулонова трения, т.е. амплитуда колебаний при наличии кулонова трения во время движения за каждый период убы-

БАЛАКИН Павел Дмитриевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой машиноведения.

БУРЬЯН Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой основ теории механики и автоматического управления.

Адрес для переписки: 1mm@omg1u.ru

Статья поступила в редакцию 06.10.2014 г. © П. Д. Балакин, Ю. А. Бурьян

>