Моделирование поведения механической передачи со встроенной цепью управления Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.839-86

П. Д. БАЛАКИН Е. А. ДЮНДИК О. С. ДЮНДИК

Омский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ПЕРЕДАЧИ СО ВСТРОЕННОЙ ЦЕПЬЮ УПРАВЛЕНИЯ_

Предложено схемное решение конструкции и алгоритм динамического исследования поведения механического автовариатора, с функцией стабилизации компонентов мощности силового потока при переменном внешнем нагружении.

Ключевые слова: автовариатор, цепь управления, обобщенная координата, передаточная функция.

В последнее время в технологических и транспортных машинах все большее применение находят механические бесступенчатые передачи, функционирование которых обеспечивает повышение производительности, экономичность эксплуатации машин за счет гармонизации компонентов трансформируемой мощности, что достигается адекватным изменением скорости исполнительного органа машины при стационарном режиме работы приводного двигателя.

Создание и дальнейший расчет параметров, характеризующих поведение механической системы, содержащей бесступенчатую фрикционную передачу, со встроенной цепью управления и, как следствие, автоматически управляемым движением, которое возможно реализовать законом управления передаточной функций, в зависимости от критериев синтеза, является задачей настоящего исследования.

В качестве объекта исследования выберем схемное решение конструкции механического торового автовариатора по [1] (рис. 1). Представленная конструкция, содержит в своем составе цепь управления передаточной функцией, составными элементами которой являются: винтовое соединение ведомого вала 3 с ведомым звеном 4, втулка 5, поводки 10 и пружина 12. Принцип работы такого устройства заключается в следующем: изменяющийся внешний силовой поток от ведомого звена 4, передаваясь через винтовое соединение 6 создает осевую силу, действующую на ведомый вал 3, эта осевая сила вызывает осевое движение ведомого вала 3 вместе со втулкой 5 до достижения равновесия с упругой силой деформации пружины 12. Движение втулки 5, в свою очередь, передается через поводки 10 и преобразуется в угловое движение промежуточных роликов 7, что приводит к автоматическому изменению передаточного отношения вариатора.

В исследуемой механической системе возможно выделить две координаты, определяющие движение исследуемой конструкции. Координата j1 определяет основное движение, передаточная функция которого будет следующей:

W R

Рис. 1. Конструкция фрикционного торового автовариатора [1]: 1 — ведущее звено с наружной торовой поверхностью; 2 — упругий элемент ведущего звена; 3 — ведомый вал; 4 — ведомое звено с внутренней торовой поверхностью; 5 — втулка; 6 — винтовое (кулачковое) соединение;

7 — ролики; 8 — неподвижный корпус; 9 — кронштейны; 10 — поводки; 11 — подшипники; 12 — упругий элемент в цепи управления

а координата z устанавливает линейное осевое движение втулки 5 в составе цепи управления автовариатора. Изменяемая координата z приводит к повороту осей установки промежуточных роликов 7, что, в свою очередь, вызывает изменение кинематических радиусов R1 и R4 основных звеньев 1 и 4 (рис. 1) и, следовательно, передаточной функции U1,4 основного движения.

Причиной эволюции кинематической схемы автовариатора, реализуемой встроенной цепью управления, является переменное значение внешнего силового нагружения моментом сил, приложенных к ведомому звену 4 (рис. 1), его увеличение или уменьшение для определенности моделируется линейной зависимостью вида:

1,4

R

М 4 = М 0 ±Jt,

(1)

10

w

где M0 — некоторое начальное значение момента; J — тангенс угла наклона изменяемой характеристики нагрузки с осью аргумента t; t — время.

Рассмотрим эволюцию кинематической схемы в статике, приняв линейно изменяемое внешнее силовое возмущение.

Начальное (исходное) положение звеньев автовариатора целесообразно принять при Rj = R4, т.е. при U14=1;

Изменение момента сил на ведомом звене M4 приводит к изменению возникающей осевой силы Р в винтовом соединении согласно зависимости:

Р„с =-

2М2

йср tg(P+p)

(2)

ления вариатора. Приравнивая правые части указанных выражений, имеем следующее:

2M

_= a(Ui,4-1)

c-d tg(b+p) r0(U +1)"

(8)

где d — средний диаметр резьбы в соединении 6; b — угол подъема винтовой линии резьбы; p — угол трения (для шариковинтовой передачи это значение примем р «(2+5)", хотя в общем случае для винтового соединения

р=arctgf, (3)

где f'— приведенный угол трения и f =—, где

Уравнение (8) можно использовать для синтеза цепи управления автовариатора, а именно, в зависимости от критерия синтеза (например, обеспечение требуемой заданной передаточной функции) определить значение угла b подъема винтовой линии или значение «с» — жесткости упругого элемента, входящего в цепь управления, в зависимости от переменного внешнего нагружения.

Так, например, удовлетворяя критерию стационарности работы двигателя, на основе вариационного принципа механики, имеем:

M = М.ю.

д 1 1 4 4

(9)

где h — механический к.п.д. автовариатора, при этом

M. ro,h=const и ю = А 1 4

M -ю h

= А 1 1

M

следовательно,

f — коэффициент трения скольжения; 5 — половина угла профиля резьбы).

Осевая сила Рос вызовет осевое перемещение z втулки:

Р

ос c

(4)

где с — жесткость упругого элемента в цепи управления.

В свою очередь, такое осевое перемещение z вызывает угловое движение промежуточных роликов:

. z g=arcsin—, r

(5)

где r — радиус поводка 10, взаимодействующего с втулкой 5.

Введя обозначения по [2] rmin и r0, тогда по рис. 1 а = rmin + r0 получаем

R4 =rmin + r0 + r0 -sing , R4 = rmin + ^ "r0 g

U

1,4

a+r0-sin g a - r0-sing'

откуда

sing=

a(U1,4 -1) r0(U +1)

(6)

Объединяя (2) и (4), получим: 2M

c-dсрtg(b+p)

и по (5) получим

g=arcsin-

2M

c-d^tg^+p)

(7)

Объединяем полученное выражение (7), учитывающее характеристику М4 изменения силового момента на ведомом звене 4 с (6), где по [2] угловое перемещение роликов 7 зависит от изменения основных конструктивных параметров цепи управ-

ю M -ю M

U =_L = 4 1 = 4

1,4 ю M -ю h M -h

4 » , I л I

А1

А

(10)

По (9), изменяя силовое нагружение, характеризуемое M4, находим соответствующее ему необходимое значение передаточного отношения U14, тогда (8) следует решать относительно «с» или «Ь», при этом геометрические параметры d , r, r . , r„ явля-

L L L ср' ' min' 0

ются свободными, что позволяет принимать их, решая конструкторскую задачу, по общим критериям работоспособности (прочность, жесткость и др.), исходя из величины трансформируемой мощности и ее компонентов (моментов сил, скоростей звеньев и др.) и учета реальных свойств механической системы.

Осевая сила Рос, формируемая M4, посредством винтового (кулачкового) соединения в цепи управления автовариатора, должна быть способна преодолевать не только силу пружины 12, но и значительное трение в зонах фрикционного контакта промежуточных роликов 7 с активными поверхностями ведущего и ведомого звеньев.

По рис. 2 силы трения FA в зоне А должны пере-

M1 M1 крывать значение Fa >—1 или N-f >—1, где N —

1 R1 нормальная сила во фрикционном контакте ведущее звено и ролик (зона А), f — коэффициент трения

M

скольжения, а в зоне В FB >—что необходимо по

4

условиям передачи силового потока. Следует отметить, что потребные значения сил трения в зонах FA и FB будут переменными, и для расчета элементов привода необходимо использовать их максимальные значения.

Силовой момент Мтр поворота промежуточных роликов для преодоления сил трения должен быть не менее

М =Fr+Fr=r(F+F)

тр A 0 B 0 ^ A 1 б'

Этот момент обеспечивает сила Рос1, создаваемая упругим элементом 2 (рис. 1), значение которой

cos

z

и

z

Ведомое зВено

Ведущее эВено

Рис. 2. Зоны фрикционного контакта

промежуточных роликов и ведущего и ведомого звеньев по [1]

в исходном положении звеньев при принятых обозначениях

M

Р 1 >

ocl

ТР

а в промежуточном

M

Р >_ТР_

oc1

, (11)

rcosy

т.е. при увеличении угла поворота промежуточных роликов расчетное значение Рос1 возрастает, поскольку нормальная сила в контакте возрастает, и изменение осевой силы в цепи управления определяется с учетом жесткости «с» упругого элемента 12 и усилий во фрикционном контакте

M

Р = c .Z.

rcosy

Можно предположить, что из-за значительных диссипативных потерь (трение во фрикционных контактах велико) эволюция схемы автовариатора будет иметь признаки статического процесса. Свободные (собственные) колебания будут затухать не развиваясь, а вынужденные, порождаемые внешним нагружением будут иметь неколебательный характер.

Тем не менее составим модель динамического поведения автовариатора и, в первую очередь, определим собственные частоты динамической системы, образующей цепь управления автовариатора по координате Z, которая определяет как положение звеньев цепи управления, так и кинематические размеры основных звеньев.

Изменение координаты z свяжем с втулкой, тем самым втулка будет звеном приведения.

Кинетическая энергия звена приведения будет

то приведенная масса определится как

\2

тпр =m+J Z

В цепи управления имеет место один упругий элемент с жесткостью «с», следовательно, собственная круговая частота в цепи управления определится как:

k=

пр

m+J

(14)

Значение k следует сравнить с частотой p линейного изменения момента M4. В случаях, когда k»p, что характерно при монотонном апериодическом изменении M4 (следовательно, Рос) поведение исследуемой системы будет статическим, тем более это предположение будет справедливым при значительной диссипации энергии в цепи управления.

Приведем порядок составления модели динамического поведения механического автовариатора.

Уравнение Лагранжа для описания движения звена приведения по принятой нами координате z имеет известный вид:

d ffT |_cT=P

dt Uz 0 Cz ос П Rl

(15)

где P ос — осевая сила, создаваемая M4 от винтового соединения; Р П — сила упругости упругого элемента (пружина в цепи управления); PR — сила трения, приведенная ко втулке.

Поскольку кинетическая энергия Т, потенциальная энергия П и энергия диссипации R могут быть представлены квадратичными формами:

T=|m(z)2 П = 2-ez2 R=2b(z)2 # то обобщенные силы получим дифференцированием

d fcT |

Рос=dt bz J=тпр5&;

РП =с-z; PR =#=b-z;

П Cz ' R Cz

тогда (15) преобразуется к виду

m z+ bz+oz=P(t),

(16)

или, после деления на m , получим известную форму уравнения движения звена приведения

z:+2nz+k2z=

1

m

-P(t),

(17)

пр

где P(t) — приведенная сила в общем случае, зависи-

1 2 1 2 T=—m(z )2 + J )2

2

2

(12) мая от времени; 2n=-

где m — масса втулки, упорного подшипника качения, винтового соединения 6 (рис. 1); J — совокупный момент инерции промежуточных роликов в их поворотном движении, равный сумме моментов инерции роликов (зависит от их количества).

Поскольку кинетическая энергия звена приведения при поступательном движении

1 2 T=—m(z )2

2 ^

— коэффициент диссипа-

пр

ции, а k2 =-

m

— квадрат частоты собственных

пр

колебаний цепи управления.

Уравнение (17) является общим дифференциальным уравнением вынужденного движения системы (цепи управления) с одной степенью свободы.

Общее решение дифференциального уравнения находят по известному алгоритму. Прежде всего, находят общее решение однородного уравнения без

c

с

2

r

oc

b

c

правой части, которое моделирует собственные колебания системы, характеристики которых необходимы для назначения безрезонансных режимов работы цепи управления или отстройки собственных частот от частот режимов эксплуатации путем управ-

Однородное уравнение:

z+2nz + k2z=0

(18)

при n<k (случай ограниченной диссипации) имеет решение:

z=e- nt(cicoWk2-n2t +c2si^k2-n2t). (19)

Первый сомножитель e — nt характеризует затухание по времени колебаний, обусловленных сопротивлением, постоянные ct и c2 определяются по начальным условиям, в частности, при t = 0 и z = z0, ct = z0, если при этом z0 = 0, то ct = 0; если t = 0 z = z 0, то

с2=Y и

- п<Л si^k2-n2t.

(20)

_P(t)

(21)

zz 1 _ 2 .

zz

2 3

nt

ментом затухания, который является характеристикой диссипативных свойств колебательной системы.

Иногда полезно определить работу сил трения за цикл для ее сравнения с энергией колебательного процесса. В первом приближении отношения этих работ называют коэффициентом поглощения Y, который для моделирования движения принимают Y = 21, т.е. коэффициент поглощения вдвое больше коэффициента логарифмического декремента колебаний и для поддержания колебательного процесса нужен источник энергии, компенсирующий ее поглощение диссипацией.

При наличии в системе сухого (Кулонова) трения оно может быть представлено в дифференциальном уравнении в виде нелинейного компонента, в том числе переменного коэффициента при первой производной искомой функции движения.

Точное решение такого уравнения невозможно, поэтому иногда прибегают к линеаризации значения этого коэффициента, переводя его в эквивалентный коэффициент вязкости, и к упрощенному учету его в уравнении, например,

k

Начальное положение системы принимаем

P(t )

где P(t0) — значение внешней силы, приложенной к системе при t = t0.

При отсутствии начальной скорости и значительной диссипации движение становится апериодическим:

Pk(z )=*

P

(22)

Вязкое сопротивление (трение) направлено против скорости движения звена приведения и, как правило, зависит от скорости в первой степени или постоянно. При таком представлении характеристики сопротивления модель движения будет линейной при постоянных значениях коэффициентов при производных искомой функции. Задача об определении закономерностей движения в этих условиях может быть решена аналитически в конечном виде как для свободного движения системы так и при интегрируемой функции изменения внешнего силового возбуждения в модели вынужденного движения.

Отметим попутно, что в обширной литературе [3 — 8] приводятся доказательства о том, что частота свободных колебаний системы с демпфером практически равна частоте колебаний идеализированной системы.

Колебания в системе с демпфером затухают, о чем свидетельствует первый сомножитель e—nt в уравнении (18) и (20) и в свободном движении отношение каждой последующей амплитуды к предыдущей

, т.е. последовательность отношений

пиковых значений амплитуды образует геометрическую прогрессию, а логарифм отношений пиковых z

значений ln—=1 будет логарифмическим декре-z

при этом, если z)0 , то PR отрицательно, если z(0 , то знак PR изменится на положительный.

Уменьшение амплитуды колебаний за цикл, рав-

„ „ 2%

ный T =—, по многим источникам оценивают как k

4P P Dz=-, при этом фактически — представляет

cc

собой статическое отклонение системы от равновесного положения под действием силы PR кулонова трения, т.е. амплитуда колебаний при наличии куло-нова трения убывает во время движения за каждый период на одну и ту же величину, т.е. уменьшается по закону арифметической прогрессии в отличие от вязкого трения, обусловливающего убывание амплитуд по закону геометрической прогрессии.

В результате можно сделать следующее выводы по итогам моделирования динамического поведения автовариатора:

— координаты j и z являются независимыми и моделирование движения по ним вполне возможно на основе уравнений Лагранжа 2-го рода;

— при синтезе цепи управления некоторые параметры остаются свободными, что позволяет провести их расчет по инженерным методикам с удовлетворением критериям прочности и жесткости;

— трение в цепи управления фрикционного вариатора является значительным, и колебательный процесс в цепи не развивается.

Библиографический список

1. Пат. 139930 Российская Федерация, МПК F 16 Н 15/38. Автоматический торовый вариатор / П. Д. Балакин, Е. А. Дюндик, О. С. Дюндик ; заявитель и патентообладатель Омский государственный технический университет. — № 2013155132/ 11 ; заявл. 11.12.13 ; опубл. 27.04.14, Бюл. № 12. - 3 с.

2. Балакин, П. Д. Синтез цепи управления торового автовариатора / П. Д. Балакин, Е. А. Дюндик // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2014. — № 1 (127). — С. 51 — 54.

m

пр

z=

0

c

nt

z

0

c

e

3. Яблонский, А. А. Курс теории колебаний : учеб. пособие для студентов втузов / А. А. Яблонский, С. С. Норейко. — Изд. 3-е исправ. и доп. — М. : Высшая школа, 1975. — 248 с.

4. Вибрации в технике. Справочник. В 6 т. Т. 2 / Под ред. В. Н. Челомея, И. И. Блехмана. — М. : Машиностроение, 1979. - 351 с.

5. Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний : учеб. пособие для втузов / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. - 2-е изд., испр. - М. : Наука, 1987. - 384 с.

6. Бутенин, Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин. - Л. : Гос. изд-во судостроит. промышленности, 1962. - 194 с.

7. Поновко, Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара / Я. Г. Поновко. - Изд. 3-е, доп. и перераб. - Л. : Машиностроение,1976. - 320 с.

8. Поновко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Поновко. - М. : Наука, 1971. - 240 с.

БАЛАКИН Павел Дмитриевич, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор, заведующий кафедрой «Машиноведение».

ДЮНДИК Евгений Александрович, соискатель по кафедре «Машиноведение».

ДЮНДИК Ольга Сергеевна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Машиноведение». Адрес для переписки: tmm@omgtu.ru

Статья поступила в редакцию 27.03.2015 г. © П. Д. Балакин, Е. А. Дюндик, О. С. Дюндик

УДК 629.764 В. Н. БЛИНОВ

В. В. КОСИЦЫН Е. Б. ЧАРУШИНА В. В. ШАЛАЙ

Омский государственный технический университет

НАПРАВЛЕНИЯ

ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АММИАЧНОГО ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКОГО МИКРОДВИГАТЕЛЯ С ТРУБЧАТЫМИ НАГРЕВАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

На основе опыта создания электротермического микродвигателя (ЭТМД) с трубчатыми нагревательными элементами предложены направления повышения удельного импульса тяги и совершенствования конструктивно-технологических решений аммиачного ЭТМД за счет модернизации конструктивной схемы ЭТМД. Ключевые слова: аммиак, герметичность, термопара, удельный импульс тяги, электротермический микродвигатель.

Работы выполнены при финансовой поддержке Минобрнауки России в ходе реализации соглашения о предоставлении субсидии от 08.09.2014 г. № 14574.21.0104, а также в рамках научной школы № НШ-5998.2014.10.

Рассматривается ЭТМД на аммиаке, выполненный по схеме с резервированными трубчатыми нагревательными элементами, термопарами и со сменным профилированным соплом [1].

Данный ЭТМД разработан на основе ЭТМД с коническим соплом, прошедшего полный цикл наземной экспериментальной отработки автономно и в составе корректирующей двигательной установки (КДУ) малого космического аппарата (МКА) и натурные испытания [2-4]. Оба ЭТМД содержат кожух токовыводов, центральная часть которого заполняется герметиком для герметизации мест выхода токовыводов из ЭТМД.

Общий вид ЭТМД показан на рис. 1.

Опыт создания и эксплуатации ЭТМД выявил конструктивно-технологические недостатки, обусловленные высокой массой кожуха и трудностью

обеспечения требуемой герметичности внутренних полостей ЭТМД, а именно:

— в реализованном образце ЭТМД длина защитного кожуха составляет 35 мм, диаметр — 16 мм; кроме того, имеются два боковых кожуха длиной 25 мм, диаметром 10 мм; внутри данных кожухов размещены токовыводы нагревательных элементов и термопар; для металлических кожухов из нержавеющей стали 12Х18Н10Т масса кожухов составляет 21 г; масса всего ЭТМД составляет 80 г; значительная масса кожухов увеличивает прогреваемую массу ЭТМД, что приводит к снижению величины нагрева рабочего топлива и, как следствие, к снижению удельного импульса тяги ЭТМД;

— при сборке ЭТМД возникает необходимость в постоянном контроле состояния применяемой заливочной композиции, используемой в качестве