К вопросу о стабилизации амплитуды колебаний механической системы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

38

УДК 621.752.3 Ю. д. БУРЬЯН

П. Д. БДЛДКИН В. Н. СОРОКИН

Омский государственный технический университет

К ВОПРОСУ О СТАБИЛИЗАЦИИ АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ__________________________________

В работе рассмотрена система автоматического управления, обеспечивающая стабилизацию амплитуды колебаний механической системы при произвольных параметрах механической системы и частоте возбуждения колебаний.

Ключевые слова: амплитуда, колебания, автоматическое управление, частота, привод.

Задачи создания вынужденных низкочастотных колебаний с заданной величиной амплитуды при различных частотах в колебательных механических системах достаточно сложны для исследования и реализации, так как собственная частота колебания механической системы произвольна, и она может быть больше или меньше заданной частоты возбуждения.

Будем полагать, что механическая система представляет собой одноосную платформу с упругими элементами, приводом, создающим момент вокруг оси платформы, датчиком угла поворота и системой автоматического управления амплитудой колебаний при заданной частоте возбуждения вынужденных колебаний.

Принципиальная схема механической системы представлена на рис. 1.

Система автоматического управления должна обеспечить раскачку механической колебательной системы с заданной частотой шв до достижения заданной амплитуды колебаний (а3) с последующей стабилизацией амплитуды.

В первом приближении с учётом малых амплитуд а3 будем полагать, что механическая колебательная система (платформа с закреплённым телом, пружины) линейна и представляет собой инерционное звено 2-го порядка, а привод, создающий момент раскачки — инерционное звено 1-го порядка.

Принципиальная структурная схема САУ амплитуды приведена на рис. 2.

Определение амплитуды возможно по следующим алгоритмам.

1. Учитывая, что шв известна, то можно организовать задержку сигнала а( ^ на время

т = ■

2л

4 ®в ■ 4

a1(t) = a(t - т).

л

2т

и

сигнал

получить

Если a(t) = а0 sin ®Bt, то

a1(t) = a0 cos ®Bt, и амплитуда вычисляется по сле-

дующей формуле:

а0 = ^a2 (t) + а? (t).

2. Л“ A = T í a(t)ldt'

где А

(1)

(2)

2 (t)dt

(3)

4. Если на оси механической системы установлен датчик угла и датчик угловой скорости, то значение a(t), равное амплитуде А, будет в те моменты времени, когда á(í) = 0 .

5. Измерение амплитуды с использованием одно-полупериодного выпрямителя с идеальной статической [1] (рис. 3).

Если на вход такого устройства поступает синусоидальный сигнал с амплитудой UBX , т.е. U°BX sin coj, то выходной сигнал будет иметь вид на рис. 4.

Разложение сигнала на рис. 4 в тригонометрический ряд Фурье имеет вид:

1 2 Ub(t) = - К. sin(oí) - — Ul cos(2fflí) -

3л

) --^~cos(4®í) - . 12л

(4)

Если на выходе выпрямителя поставить фильтр низких частот, который пропустит постоянную составляющую ряда (4) и отсеет все частоты, начиная с о, то получим приближенное значение амплитуды колебаний. В качестве такого фильтра можно выбрать фильтр низких частот (ФНЧ) Баттерворта [2], который имеет максимальную гладкость амплитудночастотной характеристики (АЧХ) среди других фильтров (Чебышева 1-го рода, Чебышева 2-го рода, эллиптического) и скорость спада квадрата модуля АЧХ в виде 20N дБ/дек, где N — порядок фильтра.

Для ФНЧ Баттерворта имеют рассчитанные нормированные полиномы фильтра с передаточной функцией Н (р):

Hp) =

A(p)

где

A(p) = P + ®c.

A(p) = p2 + 1,4®cp + ®2,

A(p) = p3 + 2®cp2 + 2®C + ®3,

A(p) = p4 + 2,6®cp3 + 3,4®2p2 + 2,6®3p + ®(4,

амплитуда.

2

3

в

b

Рис. 1. Принципиальная схема колебательной системы:

1 — платформа стенда; 2 — тело произвольной формы, закреплённое на платформе; 3 — пружины; 4 — датчик угла; 5 — генератор, задающий требуемую частоту колебаний платформы;

6 — привод, обеспечивающий создание момента, изменяющего по гармоническому закону с заданной частотой;

7 — система автоматического управления (САУ)

А,

^пр (р)

КМ>)

а

Л,з,

1

е

2

3

Рис. 2. Структурная схема САУ:

1 — вычислитель амплитуды; 2 — система управления приводом; 3 — генератор;

^ (р) = — - передаточная функция привода; к, — коэффициент усиления; Т, — постоянная времени;

Лр — 1

у (р) = „?---2----- — передаточная функция механической колебательной системы;

у Т2р - 2^р - 1

к — коэффициент усиления; Тг — постоянная времени; % — относительный коэффициент демпфирования;

Мтр(а, а) — момент сопротивления; а — угол поворота платформы;

Аизм — измеренная амплитуда колебаний платформы; Азад — заданная амплитуда колебаний платформы;

е~рг — передаточная функция временной задержки при вычислении амплитуды;

^д.у (р) — передаточная функция датчика угла

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

Рис. 3. Характеристика идеального однополупериодного выпрямителя

Рис. 4. Сигнал на выходе выпрямителя

Рис. 5. Структурная схема САУ

uieg) LO O '

¿jüjejb4U|

<íb

^SdOOg:

Ф

cedeos

LU0.pú«4 щврт П Щ--------------

tftójHUWIV

gueqsjon

ÍJÉSg

л/14---------(3

/вед jo5=j.iej.

l*kxts

ВШШРЭ

иадшррагм

fs)u*p ИЮ0

1 1

lejWeJl I.U3J MfSURJl

3«lG¡S

pnpoid

H

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

Рис. 7. Зависимость величины колебаний от времени

Рис. 8. График изменения ошибки от времени

Величина шс выбирается много меньше, чем наименьшая частота в разложении функции в тригонометрический ряд Фурье.

Для оценки устойчивости САУ будем в первом приближении полагать идеальность измерителя амплитуды, Т1 << Т2 , и входное воздействие в виде постоянной величины.

В этом случае структурная схема будет иметь вид на рис. 5.

Уравнения движения такой системы в операторном виде будут:

y -.е.

*зад _ Т^2_2

¿2

(6)

р Т2р2 + 2£Т2р + 1

Передаточная функция Wy (р) будет иметь вид:

^ (р) = р (Т2р2 + Шр +1)_____________

^ р(Т22р2 + 2£Т2р + 1) + и0к • к2 (7)

Условием устойчивости по Гурвицу для подобной линейной системы будет

2^2 > Т22и0кгк2. (8)

(необходимо отметить, что множительное звено, в

т т £к1

котором сигнал и0 и —L являются независимыми, р

не нарушает линейности системы [3]).

В работе дан анализ работы САУ амплитудой колебаний для двух способов определения амплитуды по алгоритму (1) и с использованием однополупери-одного выпрямителя.

Анализ проводился путём имитационного моделирования поведения САУ в пакете МаИаЬ с расширением Simulink для значений Г1 = 0,01 с, Г2 = 0,1 с, £=0,1 и различных величин задаваемой частоты шв и момента привода раскачки.

Схема набора САУ в Simulink при определении амплитуды колебаний стенда по алгоритму (1) показана на рис. 6. График установления колебаний с заданной частотой и амплитудой показан на рис. 7, а график зависимости ошибки от времени — на рис. 8.

Схема набора САУ в Simulink при определении амплитуды колебаний стенда по алгоритму (5) показана на рис. 9. При этом предполагалось, что блок Saturation реализует звено идеального двухполупе-риодного выпрямителя (рис. 3), а передаточная функция фильтра Баттеворта 3-го порядка имеет вид:

Hp) =

1

1 + 2p + 2p + 1

(9)

который в наборе реализован блоком Transfer Fcn 2, при этом коэффициент к в блоке Gain 1 равен я. Результаты моделирования приведены на рис. 10 и рис. 11.

Анализ устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования амплитуды колебательной системы при моделировании в пакете Matlab показал, что устойчивость САУ даже при идеальной работе вычислителя амплитуды колебаний существенно зависит от коэффициента усиления к1

к

интегратора с передаточной функцией W" (р) = —

Р

и величины момента привода раскачки стенда, что подтверждает приближенную оценку по выражению (8).

Проведенные исследования показывают, что при к1 > 0,01 система становится неустойчивой.

Таким образом, предварительный анализ разработанной системы управления (стабилизации) амплитуды колебаний механической системы с заданной частотой показал работоспособность САУ, которая при указанных выше параметрах в течение 10— 12 секунд из нулевого положения приходит в заданный режим колебаний.

lrHegrator2 Gain

Рис. 9. Схема набора в Simulink

СО эинэУэаонитуи и эинэосиоонитуи П08 (OEU) SîN яинюэа ИІЯНЬЛУН иияоио

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

Рис. 10. Зависимость величины колебаний от времени

Рис. 11. График изменения ошибки от времени

Библиографический список

1. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы / С. И. Баскаков. — М. : Высш. школа, 1983. — 536 с.

2. Джонсон, Д. Справочник по активным фильтрам / Д. Джонсон, Дж. Джонсон, Г. Мур ; пер. с англ. — М. : Энерго-атомиздат, 1983. — 128 с.

3. Власов, К. П. Теория автоматического управления / К. П. Власов. — X. : Изд-во Гуманитарный центр, 2007. — 526 с.

БУРЬЯН Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Основы теории механики и автоматического управления».

БАЛАКИН Павел Дмитриевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теория механизмов и машин».

СОРОКИН Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11, кафедра «Теория механизмов и машин».

Статья поступила в редакцию 03.12.2013 г.

© Ю. А. Бурьян, П. Д. Балакин, В. Н. Сорокин

Книжная полка

621.865.8/П77

Притыкин, Ф. Н. Виртуальное моделирование движений роботов, имеющих различную структуру кинематических цепей : моногр. / Ф. Н. Притыкин ; ОмГТУ. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2014. — 169 с. — ISBN 978-5-8149-1693-8.

Приведены результаты исследований, связанных с комплексной оценкой собственных свойств механизмов роботов, имеющих различную структуру кинематических цепей. На основе использования виртуального моделирования движений механизмов роботов получены численные значения параметров, характеризующих их маневренность и манипулятивность. Предложены решения задач, позволяющих максимальное использование возможностей маневренности исполнительного механизма и увеличение возможностей маневренности исполнительного механизма и увеличение производительности интеллектуальной адаптивной системы управления робота при виртуальном моделировании движений в сложноорганизованных средах. Рекомендована специалистам, занимающимся внедрением робототехнических комплексов при автоматизации технологических процессов, может использоваться в учебном процессе.