CC BY
44
УДК 372.851
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ В ВУЗЕ В КОНТЕКСТЕ БУДУЩЕЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
© 2015
И.К. Кондаурова, кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и методики ее преподавания
Саратовский государственный университет, Саратов (Россия)
Аннотация. Активное внедрение математики в различные области профессиональной деятельности обуславливает необходимость корректировки математической подготовки студентов в вузах. В статье показана возможность подготовки современного специалиста к профессиональной деятельности средствами высшей математики в рамках методической системы «Профессионально-ориентированное обучение математике в вузе».
Ключевые слова: профессиональная подготовка, профессионально-ориентированная математическая подготовка, математическое образование, студенты вуза, профессиональная деятельность.
Современный этап развития общества предполагает активное внедрение математики в различные области профессиональной деятельности. Повышенное внимание государства к математике и математическому образованию нашло отражение в Концепции развития математического образования в Российской Федерации [1], утвержденной распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 года № 2506-р. «Математика занимает особое место в науке, культуре и общественной жизни, являясь одной из важнейших составляющих мирового научно-технического прогресса ... Успех нашей страны в XXI веке, эффективность использования природных ресурсов, развитие экономики, обороноспособности, создание современных технологий зависят от уровня математической науки, математического образования и математической грамотности всего населения, от эффективного использования современных математических методов . Форсированное развитие математического образования и науки . будет способствовать улучшению положения и повышению престижа России в мире. Повышение уровня математической образованности обеспечит потребности в квалифицированных специалистах для наукоемкого и высокотехнологичного производства» [1].
Подготовка современного специалиста к профессиональной деятельности средствами высшей математики может эффективно осуществляться в рамках методической системы «Профессионально ориентированное обучение математике в вузе», обеспечивающей будущим специалистам высокий уровень профессионально ориентированной математической подготовки.
Продемонстрируем специфику проектирования и реализации методической системы «Профессионально ориентированное обучение математике в вузе» на примере специальности «Таможенное дело». В первую очередь, необходимо отметить уникальность данной специальности. Выпускники специальности «Таможенное дело» [2] обладают знаниями на стыке двух направлений - экономики и юриспруденции. Уникальность характеризуемой специальности выдвигает новые задачи и перед математикой. Управление процессами, протекающими в области таможенного дела, выяснение ведущих тенденций их развития, селекция юридической и экономической информации, ее хранение, правильная оценка получаемых статистических данных - вот далеко не полный перечень проблем, возникающих на стыке математики и таможенного дела.
Целевой компонент. Целью освоения дисциплины «Математика» студентами специальности «Таможенное дело» является осуществление фундаментальной профессионально-ориентированной математической подготовки студентов, на базе которой в последующие годы обучения будет проходить специализация будущего профессионала в области таможенного дела. Учебный план специальности предусматривает изучение математики в 1-2 семестрах. Форма промежуточной аттестации: 1 семестр - зачет, 2 семестр - экзамен.
Содержательный компонент. Проанализируем отдельные разделы программы по курсу высшей математики для студентов специальности «Таможенное дело».
Первый раздел «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» удобно начать с изучения матриц и их частных случаев в силу того, что операции над матрицами достаточно формализованы и декларативное их введение как операций над массивами чисел не вызывает трудностей в усвоении данного материала. Кроме того, матричный аппарат ценен сам по себе и имеет многочисленные применения, как в курсе математики, так и во многих специальных дисциплинах, использующих математику, в том числе в области таможенного дела. В качестве примера из таможенной практики можно рассмотреть таблицу, отражающую номинальный и реальный уровень импортных тарифных барьеров России в 1996-2000 гг. (в %) (таблица 1), которую удобно представить в виде следующей матрицы:
Таблица 1 - Номинальный и реальный уровень импортных тарифных барьеров России в 1996-2000 гг.
(в %)
1996 1997 1998 1999 2000
Номинальная средневзвешенная ставка 15,4 13,5 14,6 11,7 12,5
Реальная (эффективная) средневзвешенная ставка 9,3 12,2 8,2 8,8 8,9
В изучение данного раздела также может быть введена модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ), поскольку межотраслевой баланс содержит важные для специалиста таможенного дела данные о распределении продукции по элементам конечного потребления (товарооборот, производственные и непроизводственные капитальные вложения, экспорт, импорт и т. д.), о национальном доходе.
Приведем пример профессионально ориентированной задачи, предлагаемой студентам специальности «Таможенное дело» при изучении раздела [3; 4].
Пример 1. Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков А , А2 и А3; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц Б1 и В2 и проанализировать результаты:
Г 2 3 1 2 > Г1 4 2 2 > Г 2 5 3 11
А = 4 2 2 1 ; А2 = 3 3 3 2 ; Аз = 3 4 3 1
5 V 4 4 2 > 4 V 5 4 3 > 4 V 4 4 4
Во втором разделе «Введение в математический анализ» даются определения переменной величины и функциональной зависимости, подробно рассматриваются различные способы задания функций, демонстрируются примеры функциональных зависимостей, встречающиеся в таможенной практике: зависимость объема импорта от величины таможенных платежей, количества выявленных таможенных правонарушений от количества сотрудников правоохранительного блока, цены товара от величины спроса и др.
Рассматривается математическая модель формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель). Демонстрируются кривые спроса и предложения.
Изучение предела последовательности можно начать с рассмотрения профессионально ориентированной задачи об изменении индекса тарифа на грузовые перевозки с течением времени.
Пример 2. Пусть в момент времени п индекс тарифа на грузовые перевозки авиатранспортом составляет
хп = 1 + — денежных единиц. Определить к какой величи-
п
не стремится индекс тарифа на грузовые перевозки с течением времени.
По ходу решения задачи делается вывод, что с течением времени индекс тарифа на грузовые перевозки авиатранспортом падает и приближается к единице. Эту единицу именуют пределом последовательности изменения индекса тарифа на грузовые перевозки. Далее приводится точное определение предела.
В числе упражнений, относящихся к этому разделу, следует указать задания на распознавание основных элементарных функций, на нахождение значений функций, на формирование умения строить графики функциональных зависимостей, заданных таблично.
Третий раздел «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» посвящен изучению правил нахождения производных и дифференциалов функций, а также их применению при решении прикладных задач. Здесь в перечень задач, приводящих к понятию производной, необходимо включить задачу о производительности труда, что повлечет за собой в дальнейшем рассмотрение, помимо геометрического и физического, экономического смысла производной. Далее определяются предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. В разделе желательно: продемонстрировать применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин; ввести понятие эластичности функции и ее применение в экономическом анализе.
Приведем примеры профессионально ориентированных заданий [4; 5].
Пример 3 (оптимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16х - х2, а функция затрат на производство товара - формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
Пример 4 (оптимизация налогообложения предприятий). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16х - х2, а функция затрат на производство товара - формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень налога с единицы реализованного товара и прибыль предприятия, которая при этом достигается.
После решения и анализа указанных задач можно сделать вывод: уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит при этом к увеличению прибыли от ее реализации. Таким образом, у студентов-таможенников формируется убежденность, что для доказательства экономических законов удобно
использовать математический аппарат.
Четвертый раздел «Интегральное исчисление» начинается с рассмотрения задач, обратных к тем, которые изучались в предыдущем разделе. Таким образом, студентам становится понятным возникновение таких понятий, как «первообразная» и «неопределенный интеграл», упрощается понимание основных методов интегрирования - разложения, замены переменной и «по частям». Вводя определенный интеграл как приращение первообразных, приводятся основные свойства определенных интегралов, упрощающих их подсчет, а затем основные правила их нахождения. В программу курса можно включить рассмотрение экономического смысла определенного интеграла и использование понятия определенного интеграла в экономике: степень неравенства в распределении доходов, задача дисконтирования денежного потока, вычисление выигрыша потребителей и выигрыша поставщиков от установленной равновесной цены на некоторый товар.
В качестве упражнений, предлагаемых в этом разделе, рассматривается большой блок задач на нахождение площадей криволинейных трапеций. Обязательным компонентом изучения данного раздела является решение профессионально ориентированных задач. Приведем примеры [4; 6].
Пример 5. Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф перевозки) задается функцией
/(л)=— (ден. ед./км). Определите затраты на перевоз-
х + 2
ку одной тонны груза на расстояние 20 км.
Пример 6. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который
3 1
имеют следующий вид: = 250-х , ,р = -х + 20.
Изучение раздела «Функции нескольких переменных» начинается с введения определения функции нескольких переменных, однако основные аспекты раздела рассматриваются на примере частного случая - функций двух переменных. Важную роль играет рассмотрение полного дифференциала функции нескольких переменных и его приложений к приближенным вычислениям, а также метода наименьших квадратов, поскольку в таможенной практике часто сталкиваются с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей. Вариативной частью данного раздела служит рассмотрение применения функций нескольких переменных в экономической теории: задачи об оптимальном распределении ресурсов, теории инвестиций, частной эластичности функции и т. д.
Приведем примеры профессионально ориентированных задач [3; 4].
Пример 7. Производится два вида товаров в количестве х и у соответственно. Пусть цены на эти товары соответственно Р1 = 16 и Р2 = 14, а функция затрат С = х2 + 3ху + у2. Какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли?
Пример 8. Вычислить, на сколько процентов приближенно изменится спрос, описываемый функцией
г = 5474еп+р2, где п - число производителей товара,
а р - цена товара, если число производителей товара уменьшится на 1 %, а цена возрастет на 1 %. На рынке товара имеется 7 производителей, цена товара составляет 3 ед.
Свое развитие формальный аппарат третьего и четвертого разделов получает при изучении раздела «Дифференциальные уравнения». При этом программой предусмотрено рассмотрение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных и комплексных корней. По этой причине предварительно студентов необходимо ознакомить с комплексными числами. Дифференциальные
уравнения находят достаточно широкое применение в моделях экономической динамики, в которых отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени. Важно отметить, что класс дифференциальных уравнений, решение которых можно найти аналитическим путем, достаточно узок. Поэтому часто при решении практических задач обычно не удается избежать численного моделирования. Кроме того, во многих случаях, когда аналитическое решение уравнения существует, но требует большого объема алгебраических выкладок, предпочтительнее традиционных оказываются компьютерные методы. Поэтому в процессе изучения данного раздела рекомендуется использовать современные версии пакетов прикладных программ для математических расчетов: MATH, MATLAB, MathCAD, Maple, Derive, Excel.
Приведем пример профессионально ориентированной задачи [3]:
Пример 9. Найти выражение объема реализованной продукции y = y(t) и его значение при t = 2, если известно, что кривая спроса имеет вид p(y) = 3 - 2y, норма акселерации 1/1 = 1,5, норма инвестиций m = 0,6, y(0) = 1.
Пример 10. Функции спроса и (соответственно) предложения имеют вид:
у = 25- 2_i> + 3—, г = 15-р + А—.
dt dt
Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент p = 9.
В разделе «Элементы теории вероятности и математической статистики» дается классическое, статистическое и геометрическое представления о вероятности; на наглядно-эмпирическом уровне раскрываются основные теоремы о вероятности суммы и произведения событий, а также основные формулы комбинаторики, иллюстрируемые примерами из таможенной практики. Дается представление о дискретной и непрерывной случайных величинах, вводятся сопутствующие параметры (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадра-тическое отклонение, интегральная и дифференциальная функции распределения непрерывной случайной величины и др.) и выявляются особенности некоторых важных с практической точки зрения законов распределения.
Рассматриваются элементы математической статистики: на примерах раскрывается основной понятийный аппарат; рассматривается задача оценки вероятности ошибки измерения параметров исследуемого распределения случайной величины по данным выборки, которая конкретизируется при построении доверительных интервалов, «покрывающих» тот или иной параметр с заданной величиной надежности. В последней части раздела студенты получают возможность ознакомиться с задачей проверки статистических гипотез. Знакомятся с регрессионным анализом. Обзорно вводится тема «Система управления рисками в таможенном деле», где классифицируются имеющиеся в таможенной практике риски.
Приведем примеры профессионально ориентированных задач раздела.
Пример 11. Вероятность правильного оформления грузовой таможенной декларации (ГТД), предъявляемой таможне при перевозке груза через границу равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех ГТД только две оформлены правильно.
Пример 12. Известно, что среди установленных правонарушений 40% составляют лица, предоставившие недействительные документы при таможенном оформлении. Наугад взяли дела восьми правонарушителей. Найдите математическое ожидание случайной величины Х, где Х - число лиц из восьми, предоставивших недействительные документы при таможенном оформлении.
Процессуальный компонент. Методы профессионально-ориентированного обучения студентов специ-
альности «Таможенное дело». При обучении математике студентов-таможенников рационально использовать методы, систематизированные по характеру (жесткости) управления познавательной деятельностью студентов: проблемное, алгоритмизированное и исследовательское обучение. Например, при изучении темы «Приложение производной для исследования функции» или «Метод Гаусса решения систем линейных уравнений» применяется метод алгоритмизированного обучения, при изучении темы «Метод наименьших квадратов» или «Комплексные числа» - проблемное обучение.
Исследовательский метод обучения позволяет осуществить в обучении максимальную самостоятельность и творческую активность студентов. Приведем примерный перечень тем учебно-исследовательских работ, предлагаемых студентам специальности «Таможенное дело» при изучении курса «Математика».
1. Метод наименьших квадратов в исследовании зависимости объема импорта от величины таможенных платежей.
2. Метод наименьших квадратов в исследовании зависимости количества выявленных таможенных правонарушений от количества сотрудников правоохранительного блока.
3. Применение в таможенном деле матричных уравнений и их решений в балансовых моделях.
4. Применение функций в таможенной практике.
5. Применение теории игр для выявления фактов фальсификации данных при таможенном оформлении.
Средства профессионально ориентированного обучения математике студентов специальности «Таможенное дело». Как известно, у гуманитариев преобладает наглядно-образное мышление, богатое воображение, ярко выраженная эмоциональность восприятия окружающей действительности, значительный интерес к занимательному материалу, высокие речевые навыки, слабый интерес к вопросам математики. Эти аспекты необходимо учитывать при выборе и разработке средств обучения.
Для обеспечения наглядности и интенсификации лекционной части дисциплины «Математика» рекомендуется применять традиционные средства обучения (учебники и учебные пособия, справочная литература, таблицы, схемы и т.п.). Повышению качества математической подготовки специалистов в области таможенного дела способствуют электронные учебники, компьютерные презентации, компьютерные программы тестирования, образовательные веб-сайты и др.
Компонентом методической системы, наиболее ярко отражающим профессиональную ориентацию обучения математике в вузе, являются формы обучения. Рабочая программа по математике для студентов специальности «Таможенное дело» предусматривает проведение лекционных, практических, лабораторных занятий, а также самостоятельную работу. При этом наряду с традиционными лекциями, рекомендуется использовать такие их формы, как лекция-визуализация, лекцию-диалог, лекция-провокация и др.
При обучении математике студентов специальности «Таможенное дело» проводятся традиционные (семинар и лабораторное занятие) и инновационные (семинар-мини-конференция, семинар-практикум, семинар по типу «малых групп», семинар-консультация) формы практических занятий. Целесообразно комбинировать различные инновационные формы практических занятий. Например, практическое занятие по теме «Элементы математической статистики» можно начать с мини-конференции, то есть с выступлений студентов с докладами. В качестве домашнего задания двум докладчикам предлагается осветить темы: «Математическая статистика в таможенном деле» и «Основные методы математической статистики». Каждое выступление представляет собой логически законченный текст и длится 5-10 минут. В конце выступления преподаватель подводит итоги, до-
полняя или уточняя предложенную информацию, и формулирует основные выводы. Продолжить практическое занятие можно в виде семинара по типу «малых групп». Преподаватель предлагает вниманию студентов задачи, студенты разбиваются на группы, каждая из которых выполняет одно из заданий в рамках заранее оговоренного времени. Затем каждая из групп делает заключение и предлагает рекомендации по решению своего задания [7].
Самостоятельная работа студентов-таможенников проводится под руководством преподавателя с целью углубленного изучения тем программы дисциплины, написания рефератов и т. д. При разработке заданий для самостоятельной работы преподаватель должен спланировать график выполнения самостоятельных работ; а при выдаче каждого задания объяснить студенту, чему он должен научиться в ходе выполнения задания; четко поставить цели; дать рекомендации по выполнению задания; определить формы контроля и критерии оценки задания; снабдить студента списком литературы. Задания для самостоятельной работы должны удовлетворять как требованиям математической подготовки, так и учитывать профилизацию дисциплины в соответствии с будущей специальностью студента. Профессиональная ориентация заданий позволяет показать студентам приложения математических знаний к различным отраслям приобретаемой профессии и предусматривает формирование профессиональных качеств будущего специалиста таможенного дела средствами математики [7].
Многолетний опыт преподавания высшей математики для студентов специальности «Таможенное дело» свидетельствует о том, что предложенный вариант профессионально-ориентированной математической подготовки является вполне доступным для студентов назван-
ной специальности. Он является более эффективным, чем традиционный, как в плане сугубо математической подготовки студентов, так и в плане овладения определенными профессионально значимыми умениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Распоряжение Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. N 2506-р «О Концепции развития математического образования в РФ» // Собрание законодательства Российской Федерации. Издательство «Юридическая литература», 13 января 2014, № 2, ст. 148.
2. Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.08.2015 № 850 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по специальности 38.05.02 Таможенное дело (уровень специ-алитета)» // http://publication.pravo.gov.ru/Document/ View/0001201509140042.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005. 575 с.
4. Высшая математика для экономистов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 479 с.
5. Роганов Е.А., Тихомиров Е.А., Шелехов А.М. Математика и информатика для юристов. М.: МГИУ, 2005. 364 с.
6. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.
7. Виленский М.Я., Образцов П.И., Уман А.И. Технологии профессионально-ориентированного обучения в высшей школе. М.: Педагогическое общество России, 2004. 192 с.
MATHEMATICAL TRAINING OF STUDENTS AT THE UNIVERSITY IN THE CONTEXT OF FUTURE PROFESSIONAL ACTIVITY
© 2015
I.K. Kondaurova, candidate of pedagogical sciences, Associate Professor, head of chair of mathematics and methods of teaching
Saratov State University, Saratov (Russia)
Abstract. Active implementation of mathematics in various areas of professional activity necessitates the correction of mathematical training of students at universities. The article shows the possibility of training of modern specialists for professional activity by means of higher mathematics in the framework of a methodical system of "Professionally-oriented teaching of mathematics at the university".
Keywords: professional training, professionally-oriented mathematical education, mathematical education, the students of the university, professional activities.
