МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХСТЕПЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

SIMULATION MODELING OF A STEERING GEAR AS PART OF AN ADAPTIVE STABILIZATION SYSTEM FOR AN UNMANNED AERIAL VEHICLE

I.V. Norinskaya, A.A. Spirin, A.A. Shabashov

In this paper, the structure of the complex for imitation modeling of an adaptive stabilization system of an unmanned aerial vehicle, containing a steering gear unit as an object of command execution, is described. The stabilization system parameters are determined using a simulation model of steering gear. The adequacy of the developed simulation model of the steering gear has been confirmed by a number of experimental studies. The results of semi-natural modeling of the flight of an unmanned aerial vehicle along the desired trajectory in real time presented in this paper have shown that the adaptive stabilization system provides high quality and stability of the stabilization process of short-period motion.

Key words: adaptive stabilization system, unmanned aerial vehicle, electromechanical steering gear, waveform redactor, simulation modeling.

Norinskaya Irina Vladimirovna, engineer, irina-cybryaeva@mail.ru, Russia, Nizhniy Novgorod region, Arzamas, PJSC AR&PE «TEMP-AVIA»,

Spirin Alexey Alexseevich, engineer-designer, djalex844@yandex.ru, Russia, Nizhniy Novgorod region, Arzamas, PJSC AR&PE «TEMP-AVIA», postgraduate, Russia, Nizhniy Novgorod region, Arzamas Branch of Nizhny Novgorod State Technical University by R.E. Alexeev,

Shabashov Alexander Alexseevich, engineer-mathematician, shuller-sanya@,yandex. ru, Russia, Nizhniy Novgorod region, Arzamas, PJSC AR&PE «TEMP-AVIA», postgraduate, Russia, Nizhniy Novgorod region, Arzamas Branch of Nizhny Novgorod State Technical University by R.E. Alexeev

УДК 531.383

DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-89-95 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХСТЕПЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ

Е.С. Козлова, С.В. Рогов

Составлены прецессионные уравнения трехстепенной электрической машины с ради-ально-намагниченным ротором, в которых в качестве переменных использованы углы, определяющие динамическую погрешность такого устройства. Полученная математическая модель позволяет оценит работу машины при установке ее на подвижные объекты, совершающие маневры с большими угловыми скоростями; при этом пространственное положение объектов может быть любым.

Ключевые слова: трехстепенная электрическая машина, высокоманевренный объект, электромагнитные моменты, методы наведения.

Трехстепеная электрическая машина (ТЭМ) используется в системах наведения подвижных объектов, маневр которых в азимутальной и вертикальной плоскости совершается с большими угловыми скоростями, а их положение в базовой системе координат определяется конечными углами. Поэтому такие объекты могут быть названы высокоманевренными (ВМО).

Как правило, ТЭМ выполняет функции гироприводов координаторов цели (КЦ), являющихся чувствительными элементами систем наведения ВМО. Существенное отличие ТЭМ от гироприводов классической схемы состоит в том, что статор, жестко связанный с корпусом ВМО, при его маневре отклоняется от ротора на углы упреждения; для обеспечения этого ротор устанавливается в шарикоподшипниковом подвесе (TTII II I) В результате такого отклонения в системе ротор - статор ТЭМ возникают электромагнитные моменты, оказывающие влияние на динамику гироскопа (по существу ТЭМ является трехстепенным гироскопом).

89

Монография [1] посвящена подробной теории ТЭМ различного типа. Ее материал излагается в следующей последовательности: методом Лагранжа составляется математическая модель такого гироскопа, в которой в качестве переменных используются кардановые углы, определяющие отклонение ротора относительно статора, затем эта математическая модель преобразуется в систему уравнений, где в качестве переменных используются уже малые углы, характеризующие динамическую погрешность ТЭМ. В дальнейшем после ряда упрощений эти уравнений сводятся к прецессионным уравнениям и находятся их решения для различных случаев полета ВМО.

Такая последовательность привела к тому, что в результате преобразований кардано-вых углов получилась чрезвычайно громоздкая математическая модель, не поддающаяся аналитическому решению. Поэтому и пришлось проводить ее упрощение.

В настоящей работе прецессионные уравнения ТЭМ с радиально-намагниченным ротором (РНР) составлены на основании принципа Даламбера с учетом следующих особенностей движения такого устройства:

- ротор ТЭМ постоянно направлен на цель, с требуемой точностью реализуя базовую систему координат, одна из осей которой является линией визирования;

- при маневре ВМО статор отклоняется относительно ротора на углы упреждения;

- динамическая погрешность ТЭМ определяется моментами различной физической природы, действующими по осям базовой системы координат.

Динамическую погрешность ТЭМ РНР определим малыми углами s и S ; в результате по осям базовой системы координат действуют следующие проекции вектора кинетического момента H

H^=-HcosSsins = -Hs; H^ = HcosScoss = H; H^ = HsinS = HS

и вектора магнитной индукции Bo ротора-магнита (рис.1,а)-

B^ = Bo cos scosp = Bo cosp;; B^ = Bq cos psin s = Bq cosps;

B£ = - Bq sinpcosS = - Bq sinp Здесь p = pt ; (( - скорость вращения ротора-магнита.

(1)

W

а б

Рис. 1. Система координат ТЭМ: о^г/^ - базовая система координат (ось о/- линия визирования КЦ); оху2 - связанная система координат, определяющая положение статора ТЭМ относительно ротора с помощью углов упреждения (у -по азимуту, по высоте) и крена у ; ось ох определяет продольную ось ВМО

Прецессионные уравнения ТЭМ, определяющие его движение относительно осей для исходного положения ВМО будут такими

Н (ё + а>д) = -М^;

Н (5 + а>В) = М^.

Здесь угловые скорости О а и О В определяют перемещение линии визирования КЦ, которые и должны быть обеспечены гироприводом, а М% и . - моменты сил различной физической природы.

Маневр ВМО на углы упреждения у, 3 и крена у порождает появление моментов сил трения по осям связанной системы координат и отклонение оси статора от оси вращения ротора из-за обкатки корпуса ВМО (вместе со статором) в ШПП.

В результате поведение гироскопа можно описать системой дифференциальных уравнений следующего вида:

H (é + О а ) = -М%- М%т

(2),

H (5 + оВ) = М^ - M¿j.

где (рис.1.б):

= -Мхэ cos$sin^ + (МУв + Мэ)sinycos^ + (Mzb + Mzэ)cos^cosy-М%т :

(3)

М^ = Mx sin3 + (МуВ + Муэ)cosycos^- (МzB + МЭ)cos^siny-М^. В этих формулах обозначено:

МуВ, Мzb - моменты внешних сил, порождаемые различными возмущающими

факторами (дебаланса и податливости элементов, перегрузками и т.д.); в общем случае определим их следующими формулами:

МуВ = М0 + MyQ sin(qit + ф); МzB = М0 + MZ0 sin(q2t + Ф2 ); (4)

Мхэ , МуЭ, Мэ - электромагнитные моменты, возникающие в системе ротор - статор ТЭМ; М%т , M¿r - моменты сил вязкого трения, зависящие от относительных угловых скоростей статора; в работе [2] выявлено , что указанные угловые скорости определяются как разность абсолютных угловых скоростей статора é, <5 и проекций переносных угловых скоростей на соответствующие оси; тогда имеем:

М%т = + 3 cos у - у cos 3 sin у); M¿r = U(é -у - Уsin$),

где и - коэффициент вязкого трения.

Электромагнитные моменты в системе ротор - статор определяются по следующей формуле [3]

Мэ =1 Ьг ^, (6)

гЭ 2 ¿i1 двг

где í¡ - токи в обмотках вращения и в прецессионной; Ч - взаимное потокосцепление i-той обмотки статора с ротором - магнитом; - углы отклонения статора относительно ротора. Токи в обмотках статора равны [1]:

iy = -ie cos р; iZ = -ie sin p - для обмоток вращения;

ix = iZ cos p - i y sin p - для прецессионной обмотки. (7)

В формуле (7) угол вращения ротора р из-за малости угловых скоростей наведения по сравнению со скоростью вращения ротора р зависит только от этой скорости.

Проекции векторов , Б^, B^ магнитной индукции на оси обмоток статора с учетом формулы (1) определятся в виде:

Bx = Bq (- cos р sin у cos 3 + é cos p cos у cos 3 - sin psin 3);

By = Bq[cos p(cos у sin у + sin у sin 3 cos у) + é cos p(sin у sin у - cosy sin 3 cos у) -

- sin p(cos у sin у + cos 3 cos у)];

BZ = Bq [cos p(cos у cos у + sin у sin 3 cos у) + é cos p(sin у cos у - cos у sin 3 sin у) -

- sin psin уcos3].

Тогда потокосцепление обмоток статора с ротором-магнитом определится следующими зависимостями: Yx = Yn (- cos p sin щ cos 3 + s cos (p cos щ cos 3- sin (p sin 3);

Yy = Yg [cos p(cos щ sin у + sin щ sin 3 cos y) + s cos p(sin щ sin у - cos щ sin 3 cos y) -

- sinp(cosщsin у + cos 3 cos у)]; ^8) Yz = Yg [cos p(cos щ cos у + sin щ sin 3 cos y) + s cos p(sin щ cos у - cos щ sin 3 sin y) -

- sin p sin ycos3].

Здесь Yn = BqSuNn; Yg = BqsneNe, где snNn, seNe - соответственно площадь среднего витка и количество витков прецессионной обмотки и обмоток вращения.

Дифференцируя зависимости (8) по углам отклонения ротора, на основании формулы (6) после преобразования получаем следующие выражения для электромагнитных моментов:

Y

Mxj = —п {iz [sin 2p sin щ sin 3 - s sin 2p cos щ cos 3 - (1 + cos2p)sin 3] - iy [(1 - cos2p) x 4 y

x sin щ cos3 - s(1 - cos2p) cos щcos3 - sin 2psin 3]};

Y

Myj = —n {iz [(1 + cos2p)sin щ sin 3 - s(1 + cos2p)cos щ sin 3 - sin 2p cos 3] -4

Y i (9)

- iy [sin 2p sin щ sin 3 - s sin 2p cos щ sin 3 - (1 - cos2p) cos 3]}--— [(1 + cos2p)sin щ x

4

x cos 3 cos- s(1 + cos 2p) cos щ cos 3 cos y + sin 2p cos 3];

Y

ZlL

4

Y

Mzj = —n {iz [-(1 + cos 2p) cos щ cos 3 - s(1 + cos2p)sin щ cos 3] - iy sin 2p(- cos щ cos 3 -

Y i

- s sin щ cos 3)}--4е [sin 2p(- sin щcos у + cos щ sin 3 cos y) + s sin 2p(- cos щ cos у +

+ sin щ sin 3 sin y)].

Рассмотрим полет ВМО для двух наиболее распространенных случаев его наведения. 1 случай: полет по кривой погони. При таком маневре полет ВМО проходит с большими угловыми скоростями,

а его продольная ось постоянно направлена на цель (прямое наведение) [4].

Тогда можно принять, что щ = 3 = 0; у = у0 - const и зависимости (9) переписать в следующем виде

Y s

111е- ■

4

МхЭ =~п~ [-iz sin 2p + iy (1 - cos 2p)];

Y Y i (10)

МуЭ = ~f[-iz sin2p + iy(1 -cos2p)] + s(1 + cos2p)];;M^ =

Y Y i 0

-4- [iz (1 - cos 2p) - iy sin 2p] +—4е s sin 2p cos y .

При линейной характеристике каналов управления ТЭМ токи в прецессионной обмотке можно представить в виде

¡у = к5 и ¡2 = ка (11)

Здесь к - коэффициенты передачи КЦ и усилителя его сигналов (по обоим каналам приняты равными).

Тогда с учетом зависимостей (3-5, 10,11) математическая модель ТЭМ на основании уравнений (2) получает следующий вид

Hs + {[K(1 - cos 2p) + L sin 2p cos у0 ] cos у0 + [K sin 2p - L(1 + cos 2p)] sin у0 }s -

- K[sin 2p cos у0 + (1 - cos 2p) sin у0 ]ô + uô = [M° + Mz0 sin(q2t + ф2 )] cos у0 +

+ [MУУ + My0 sin(q1t + ф1)] sin у0 - HaA ; (12)

Hô + {-(K cos у0 - L sin у0 ) sin 2p - K(1 - cos 2p) sin у0 + L(1 + cos 2p) cos у0 }s + + K[(1 - cos 2p) cos у0 + sin 2p sin у0]ô + / = [M^ + My0 sin(q1t + ф1)]cosу)) -

- [M° + Mz0 sin(q2t + ф2)]ип у0 - Haß.

В уравнениях (12) принято.

K = L = (13)

44

Очевидно, что при у0 = 0 и пренебрежении членами cosp, sinp уравнения (12) преобразуются к стандартным уравнениям позиционного гироскопа [5]; указанное обстоятельство свидетельствует о достоверности полученных уравнений.

2 случай. полет по упрежденной траектории. В этом случае угловые скорости разворота ВМО малы, а его пространственное положение в базовой системе координат характеризуется конечными углами [4].

Поэтому можно принять у = 0; ц = ц/t; З = ¿/t; p = pt.

Здесь ц/ ,З - скорости наведения ВМО; p - скорость вращения ротора в установившемся режиме (в прикладной теории гироскопа принято обозначать p = Q )

Для получения математической модели ТЭМ в этом случае предварительно найдем произведения тригонометрических членов в зависимостях (9); имеем [6]. . .

sin ц sin З = 0,5[cos(у/ - З)t - cos{\¡/ + ¿/)t; ] cos 2psin ц sin З = 0,25[- cos(-2p) + cos 2p = 0;

sin 2pcos З = sin 2p; sin ц sin З = 0,5[cos(у/ - З.)t - cos(^/ + З.)t].....

и т.д. (при таких преобразованиях принято p) >>ц/,З ).

После нахождения всех произведений тригонометрических членов зависимости (9) получили следующее выражение.

Y

My-Э = -—{-iz sin З + 0,5iy[sin(^- З) + sin(^ + З) + sin2p]};

4

Y Y i s Mуэ = -— {iz [0,5[cos(^ - З) - cos(^ + З)] - sin 2p] - iy (cos 2p - cos З)} + в в x

7 4 S

x {sin(^ - З) + sin(^ + З) - s[cos(^ - З) - cos(^ + З) + sin 2p]};

Y Y i s Mz3 = — {iz [0,5[cos(^ - З) + cos(^ + З] - cos2p] - 0,5iy sin 2p}--—- sin 2p.

4S Используя тот же метод, на основании формул (3) далее найдем проекции этих моментов на оси базовой системы координат -Y

Mxp =---{-lz[cos(^ - 2З) - cos(^ + 2З)] +1y {0,5[2 - cos 2(ц - З) +

16

- cos 2(ц + З)] + cos 2З - cos ц}}; Y

Mxr =— {-lz (1 - sin 2З) + 0,5iy [cos(^ - 2З) - cos(^ + 2З)]}; S

Y

Myr = — {iz [0,5cos(^ - 2З) - 0,5 cos(^ + 2З) - sin2p] + iy (1 + ^2З + cos2p) +

5

Y i

+ —вв {0,5[sin(^ - 2З) + sin(^ + 2З) + 2sin ц] - 0,5s[cos(^ - 2З) + cos(^ + 2З) + S

+ 2cos ц + cos 2p + sin 2p]};

Mzz = —— {iz[-2 cos 3 + cos(^ - 23) + cos(^ + 25) - cos 2q>] - iy sin 2ф} + Y^s sin 2q>.

^ 1 A ^

¥

п

16

Тогда с учетом полученных формул, обозначений (5) и (11) на основании системы уравнений (2) математическую модель ТЭМ можно представить в следующем виде: ¥

Hs + ^8 = — {-г2[^О - 23) - ^О + 23)] + ¡у {0,5[2 - соэ20 -3) + 16

Y

- cos2(^ + 3)] + cos23 - cos^}}--— {iz [-2cos3 + cos(^ - 23) + cos(^ + 23) -

16

- cos 2ф] - iy sin 2p} + Y^s sin 2p. - 3 cos щ - Ha а ; ^ { z

HS + 3 = —— {iz [0,5cos(^ - 23) - 0,5cos(^ + 23) - sin2p] + i (1 + cos23 + cos2p) +

8 Y i

+ —вв {0,5[sin(^ - 23) + sin(^ + 23) + 2 sin щ] - 0,5s[cos(^ - 23) + cos(^ + 23) + 8

Y

+ 2cos щ + cos2p + sin 2p]} + —— {-iz (1 - sin 23) + 0,5i y [cos^ - 23) - cos^ + 23)]}

8

+ 3 - Ha в .

Список литературы

1. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин: монография /А.Э. Соловьев, Б.В.Сухинин, В..Сурков, Е.С.Козлова. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007, 215 с.

2. Козлова Е.С. Определение кинематических параметров трехстепенного гироскопа на высокоманевренном объекте / Е.С. Козлова / Сб. трудов международной науч. конф.: в 12-ти томах, т.2/ под общ. ред. А.А. Большакова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. 48-54 с.

3. Милях А.Н., Барабанов В.А.,Двойных В.В. Трехстепенные электрические машины. Киев, Наукова думка, 1979. 308 с.

4. Боднер В.А. Системы управления летательными аппаратами. М. Машиностроение, 1973.506 с.

5. Павлов В.А.Теория гироскопа и гироскопических приборов. Л.: Судостроение, 1964.

495 с.

6. Анго А. Математика для электро- радио инженеров. М.: Наука, 1967. 780 с.

Козлова Елена Сергеевна, канд. техн. наук, доцент, Россия, Тула, Тульский государственный университет, GiroScopiya@yandex.ru

Рогов Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доцент, Тульский государственный университет, Россия, Тула, srogow@yandex.ru

MATHEMATICAL MODEL OF A THREE-DEGREE ELECTRIC MACHINE

E.S. Kozlova, S.V. Rogov

The precession equations of a three-degree electric machine with a radially magnetized rotor are compiled, in which the angles that determine the dynamic error of such a device are used as variables. The obtained mathematical model makes it possible to evaluate the operation of the machine when it is installed on moving objects performing maneuvers at high angular velocities; in this case, the spatial position of objects can be any.

Key words: three-degree electric machine, highly maneuverable object, electromagnetic moments, guidance methods.

Kozlova Elena Sergeevna, candidate of technical sciences, docent, GiroScopiya@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Rogov Sergey Vasilievich, candidate of technical sciences, docent, srogow@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 681.586.2

DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-95-101

АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МАЯТНИКОВЫХ ДАТЧИКОВ УРОВНЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ

А.И. Незнанов, К.В. Подмастерьев, О.А. Суслов

На основании ранее полученного уравнения динамики маятникового элемента датчика уровня железнодорожного пути определены аналитические зависимости для частотных характеристик, связывающих конструктивные параметры маятника с геометрическими параметрами установки прибора на объекте измерения. Полученные зависимости частотных характеристик проанализированы, показана возможность получения оптимальных характеристик. Представлены результаты аналитических расчетов и имитационного конечно-элементного моделирования, показывающие адекватность полученных моделей.

Ключевые слова: математическая модель, датчик, маятник, частотные характеристики, неровность пути, конечно-элементное имитационное моделирование.

Введение. Для измерения превышения рельс по уровню широко применяются датчики на базе маятника. Базовой линией в таких приборах является вертикаль физического маятника, совпадающая с направлением ускорения свободного падения [1]. Также известны приборы, в которых базовой линией является горизонтальная граница двух несмешивающихся жидкостей с различной плотностью, заполняющих рабочую камеру датчика [2], а также приборы на основе микромеханических акселерометров типа ADXL203 фирмы Analog Devices [3].

Датчики уровня, как правило, работают в динамическом режиме на выправочных машинах при ремонте и восстановлении пути и в вагонах-лаборатоиях при текущем контроле пути. При выправке пути путевыми машинами частотный диапазон измеряемой неровности лежит в пределах от десятых долей до 1 Гц [4]. При измерениях неровностей пути при текущем контроле частотный диапазон составляет от 2 до 40 Гц в зависимости от скорости движения вагона-лаборатории и длины периодических неровностей. Частоты вибраций при этом достигают 100 Гц.

Приборы контроля уровня пути должны иметь близкую к равномерной амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и минимальное отклонение фазо-частотной характеристики (ФЧХ) от нуля в рабочей области частот, что соответствует минимальным амплитудным и фазовым искажениям измеряемой величины. Для оптимизации параметров маятника с целью получения частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ) прибора, наиболее приближенных к идеальным, необходимо получить математические выражения для указанных частотных характеристик и проанализировать влияние на них параметров маятникового чувствительного элемента прибора.

Математические модели динамических характеристик датчика. Рассмотрим маятниковый прибор, установленный на выправочной машине или путеизмерительной тележке на высоте L относительно оси колесной пары, наклон которой а равен расхождению рельс по уровню в угловом выражении (рис. 1).

Корпус прибора поворачивается на угол, равный углу наклона колесной пары а. Выходной сигнал прибора пропорционален углу ß, равному:

Р = а-ф, (1)

где ф - угол поворота маятника, определяющий динамическую погрешность прибора.