Общая математическая модель двухосного гиростабилизатора Текст научной статьи по специальности «Математика»

METHOD TECHNICAL SELF-DIAGNOSIS THE COMPLEXES OF CORRECTIVE ACTION ON THE RESPIRA TORY SYSTEM

N.V. Ivakhno, S.S. Fedorov, A.N. Chukov

The structural-algorithmic method of self-diagnosing, wherein the control of the state of the actuator and the power supply with the ability to restore systems in the event of disturbances due to the timely formation of managing pulses to the control unit, which increases the safety of the patient, eliminating the possibility of barotrauma of the respiratory system.

Key words: complex corrective action, the reliability of the circuit, actuator, power supply voltage, the comparator, current sensor, restore parameters.

Ivakhno Natalia Valerievna, candidate of technical sciences, docent, nata-lia_iv@,list.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Fedorov Sergey Sergeevich, assistant, fedorovpulmarambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Chukov Aleksandr Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, chukov. aleksandrarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 531.383

ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХОСНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА

Е.С. Козлова, С.В. Рогов

Приведена система линейных дифференциальных уравнений двухосного гиро-стабилизатора, описывающая его движение при установке на высокоманевренные объекты. В качестве переменных в уравнениях использованы углы, определяющие динамическую погрешность такого устройства.

Ключевые слова: конечные значения углов, система координат, высокоманевренный объект, гиростабилизатор, проекции угловой скорости, гиростабилизируемая платформа.

Двухосные гироскопические гиростабилизаторы (ГС) нашли широкое применение на подвижных объектах, в частности на летательных аппаратах различного типа. С их помощью решаются задачи, связанные с ориентацией и навигацией таких объектов, а также стабилизации в заданном положении различных измерительных приборов. Оценка работы таких ГС проводится на базе линейных дифференциальных уравнений, полученных из нелинейных за счет введения ряда допущений. Одно из таких

430

допущений состоит в том, что карданные углы (углы Крылова), определяющие положение гиростабилизируемой платформы (ГСП) относительно ее корпуса, рассматриваются в виде суммы постоянного отклонения и малых приращений к нему. Такое допущение справедливо только для случая, когда пространственное положение летательного аппарата в заданной системе координат характеризуется малыми углами, так как значения карданных углов зависят не только от погрешности ГС, но и отклонений объекта. При установке ГС на высокоманевренные объекты (ВМО) такие отклонения характеризуются уже конечными значениями. Кроме того, управление ГСП осуществляется по сигналам, характеризующим динамическую погрешность такой системы. Таким образом, возникает задача получения математической модели ГС, которая позволяла бы вводить в нее управляющие моменты и оценивать поведение и динамическую погрешность системы при установке на ВМО.

В зависимости от принципа разгрузки осей ГСП существующие типы ГС подразделяются на силовые и индикаторные. В силовых ГС гироскопические моменты участвуют в разгрузке опор ГСП в первоначальный момент стабилизации, поэтому их система уравнений является более общей, чем индикаторных. В силу этого вначале составим математическую модель силовых двухосных ГС, осуществляющих стабилизацию измерительного прибора в плоскости местного горизонта: оси стабилизации ГС совпадают соответственно с продольной осью и бинормалью, а главные оси гироскопов (ГП) в исходном положении параллельны друг другу и нормали ВМО.

Введем в рассмотрение следующие системы координат (рисунок). oXhZ - опорная система координат; oxyz - связанная система координат; oXjyjZj (i = í ,0,1,2) - системы координат, соответственно определяющие положение наружной рамки ГС, гироплатформы и гироскопов.

На рисунке обозначено:

wx, wy, wz - проекции угловой скорости ВМО на связанные оси; при этом

wx = g - w£ cos J sin y + cos J cos y + (y + )sin J Wy = J sin g+0>x (sin g cos y + cos g sin J sin y) + (sin g sin y- cos g sin J cos y) + (y + «z )cos gcos J; (1) Wz = J cos g+«x (cos g cos y- sin g sin J sin y) + (cos g sin y + + sin g sin J cos y) - (y + «z ) sin gcos J. где y, J, g -углы курса (рысканья), тангажа и крена ВМО соответственно; ю^, ю^, «Z - скорости вращения опорной системы координат; при учете видимого ухода гироскопа [1]:

V cos y V sin y . V sin y

wx =- , Wh = U3 cosфн---, wz = U3 SinфН---tgj,

R3 R3 R3

где Ug, Rg - скорость вращения и радиус Земли соответственно; V, ф -соответственно скорость и широта месторасположения ВМО; a,b - карданные углы.

Системы координат двухосного ГС

Кинематические уравнения наружной рамки ГС, ГСП и ГП согласно рисунку запишутся так: для наружной рамки

Рн = (a + юх);

qH = Wy cos a + wz sin a;

rH = wz cos a - Wy sin a;

для ГСП

Po = (a + w x )cos b — w y sin b cos a;

qo = wy cos a cos b +wz sin a cos b — (a + wx )sin b; ro = b + wz cos a —wy sin a; для первого гироскопа

Pi = Po cos Ui + qo sin Ui; qi = ф + qo cosUi — po sin Ui; ri = u i + ro;

для второго гироскопа

Р2 =u 2 + Po;

42 =Ф - qo cos U2 - rosin U2; r2 = rocos U2 - 4o sin U2.

В приведенных уравнениях ф - собственная угловая скорость гироскопов, а u1, u2 - углы их поворота вокруг осей прецессии ozo и oxo соответственно Моменты инерции элементов ГС обозначим так:

Jx , Jy Jz - моменты инерции наружной рамки ГС относительно

осей ox¡ yí Zí:

J x, J y, J z - моменты инерции ГСП относительно осей oxo yo zo;

A - экваториальные моменты инерции ГП (считаем гироскопы идентичными и их моменты инерции относительно экваториальных осей одинаковыми);

H - кинетические моменты ГП.

Для составления дифференциальных уравнений двухосного ГС воспользуемся второй методой Лагранжа [1,5,7,8]. Выражение для кинетической энергии ГС на основе вышеуказанных кинематических уравнений и с учетом введенных обозначений запишется в виде

2 2 2

2Т = J>ix (a + wx) + Jну (Wy cos a + wz sin a) + JHZ (wz cos a-wy sin a) +

2

+ Jx[(a + wx)cosb + (wy cosa + wz sina)sinb] + + J y [(wy cos a + wz sin a)cos b- ((a + wx )sin b] + + Jz (b + wz cos a - wy sin a)2 + A{[(a + wx)cos b + (wy cos a + wz sin a) sin b] x

x cos V1 + [(wy cos a +wz sin a)cos b- (aa + wx )sin b]sin V1}2 + + С{сф + [(wy cos a + wz sin a) cos b -

- (a + wx)sin b]cos V1 - [(a + wx)cos b + (wy cos a +wz sin a)sin b]sin V1}2 +

+ A(vv 1 + b + wz cos a-wy sin a) + A[(a + wx )cos b +

+ (wy cos a + wz sin a)sin b + ^V 2] + + С{ф + [(wy cos a + +wz sin a)cos b- (a + wx )sin b]cos V 2 +

+ (b + wz cos a-wy sin a)sinV 2 }2 + a{((3 + w z cos a-wy sin a)cos V 2 -- [(wy cos a + wz sin a)cos (- (a + wx )sin (] sinV2 }2

А—(V i +b + wz cos a —wy sin a) — A[(a + wx )cos b +

После стандартных преобразований по алгоритму Лагранжа [6,io]

получим следующую систему дифференциальных уравнений:

2 2 d [ J a + (Jx + 2 A) cos2 b + Jy sin2 b] — (a + w x) +

at

+ 2( J x + J y + 2 A)(a + wx )b sin b cos b —

— Av i((X + wx) sin b cos b + (Jx — J y + 2 A) sin b cos b[b (wy cos a + wz sin a) cos 2b — — (a + wx)(wz cos a — wy sin a) + (wz cos a — wy sin a)a + (by cos a + wz sin a] +

+ AVi cos 2b(wy cos a + wz sin a) + AV&2 cos b — AV2b sin b — A(b + wz cos a —

22

— wy sin a)V 2 sin b — [J Hy — JHZ + (Jx + 2 A)sin b + J y cos b](wy cos a + wz sin a) x x (wz cos a — wy sin a) — (Jz + 2A)(b + wz cos a — wy sin a)(wy cos a + wz sin a) —

— 2H cos b(b + wz cos a — wy sin a) — HUi cos b — AVi (wy cos a + wz sin a) —

— AV2(wz cos a —wy sin a) = Mx;

a dt

+ (wy cos a + wz sin a) sin b] x x [(wy cos a +wz sin a)cos b — (a + wx )sin b] + H [(a + wx )cos b +

+ (wy cos a + +wz sin a) sin b = Mi; (2)

dt

+ AUi — (Jx — J y + 2 A)[(a + wx) cos b + + (wy cos a + wz sin a) sin b] [(wy cos a + wz sin a)cos b — (a + wx) sin b] — — Av2[(wy cos a +wz sin a)cos b — (a + wx )sin b] + + A(b + wz cos a —wy sin a) xx(wy cos a +wz sin a) + HU2 + + 2H[(a + wx )cos b + (wy cos a + +wz sin a) sin b] = Mz

Ad[v2 + (aa + wx)cosb + (wy cosa +wz sina)sinb] +

dt

+ A(b + wz cos a —wy sin a) x x [(wy cos a +wz sin a)cos b — (a + wx )sin b] —

— H(b + wz cos a —wy sin a) = M2.

При выводе уравнений (2) учтено стандартное допущение о том, что собственная угловая скорость ГП на несколько порядков превышает значения всех остальных угловых скоростей ГС и углы отклонения ГП малы [i, 7, 9].

(Jz + 2 A^((3 + wz cos a —wy sin a) +

В системе уравнений (2) обозначено:

Mx, Mz - моменты внешних сил по осям стабилизации ГС ox

и oz o;

М\и M2- моменты внешних сил по осям прецессии oz o и oxo.

Указанные моменты можно представить в виде суммы двух слагаемых:

Mx = Му^В + Mxa; Mz = Мв + МС ;

М1 = M1B + My; M2 = M2В + M2Y. Здесь слагаемые с индексом «В» определяют внешние моменты по осям стабилизации и прецессии, а с индексом «С» и «У» - соответственно моменты стабилизации и управления: моменты стабилизации определяются значениями углов поворота гироскопов относительно осей прецессии, а моменты управления от углов, характеризующих динамическую погрешность ГС (но не от значений карданных углов).

Для линеаризации полученной системы уравнений необходимо знать зависимость карданных углов и кинематических параметров ГС от углов, определяющих пространственное положение ВМО и погрешностей выдачи ГС опорной системы координат. Такие зависимости получены в работе [3,4] в виде

- sin b = e cos Jsin yk -5 cos Jcos y k + sin J;

cos acos( = e(sin gcosyk - sin Jcosgsinyk)+5(sinyk sin g+

+sin J cos g cos y k )+cos J cos g; (3)

sin a cos (=e(cos g cos y ^ +sin J sin g sin y ^)-5(sin y ^ cos g- sin J sin g cos y k ) - cos J sin g . Здесь углы e и 5 определяют динамическую погрешность ГС соответственно по осям стабилизации ox и ozo . и являются малыми.

Угловые скорости a и ( могут быть определены путем дифференцирования зависимостей (3) или на основании положения теоретической механики о том, что абсолютная скорость тела равна сумме его скоростей в переносном и относительном движении. Тогда согласно рисунку (e cos y-5 sin y)cos J = a + g+y sin J;

(e sin y + 5 cos y) cos(a + g) = ( + J cos(a + g) - y sin(a + g).

Отсюда с учетом формул (3) получим

a = (é cos y-5 sin y)cos J-g-\y sin J;

g • • & & • cos J 5 . ч (4)

b = e sin y + o cos y - J - y-- (e cos y - o sin y).

cos b

Используя формулы (3) и (4), систему нелинейных уравнений (2) после достаточно громоздких преобразований можно представить в следующем линейном варианте

[ Ja + (Jx + 2 A) cos2 J + Jy sin2 J] cos J( e cos y — 5 sin y) — (Jx + 2 A — Jy) x

2 2 2 x [y sin J cos J(e sin y+ 5 cos y) + y sin J cos J(e cos y —5 sin y)] —

— 2H cos J(e sin y+ 5 cos y) — —HU i cos J + AV2 cos J = Mx;

A(Ui +e sin y + 5 cos y) + H (e cos y —5 sin y)cos J —

2

— (3MitgJ + Hy sin J)(e sin y + 5 cos y) = Mi. (5)

.2

AU i + (Jz + 2 A)(e sin y + 5 cos y) + HU 2 + 2H(e cos y —5 sin y)cos J—

2

— (3MztgJ + Hy sin J)(e sin y + 5 cos y) = Mz;

A[(U 2 + e cos y — 5 sin y)cos J + y(e sin y + 5 cos y)] —

— H[e cos J sin y + 5 cos J cos y — y(cos ye — sin y5) cos J+ + J(sin ye + cos y5) sin J = — Ay sin J cos J — Hy sin gcos g+M2 cos J.

Итак, математическая модель двухосного силового ГС, размещенного на ВМО, пространственное положение которого характеризуется конечными углами поворота, представляет собой взаимосвязанную систему четырех линейных уравнений с переменными коэффициентами.

В индикаторных ГС гироскопы используются как измерители положения или угловой скорости ГСП и их параметры практически не влияют на значение кинетической энергии ГС. Используя с учетом этого выше приведенное выражение для кинетической энергии, можно получить тем же методом Лагранжа дифференциальные уравнения такого ГС в следующем виде:

/ / СЛ *

[Ja+ Jx cos b + J y sin b] — (a + w x) + 2(Jx + J y )(a + wx )b sin b cos b +

Ла , T ^2 ал d dt

+ (J x — J y) sin b cos b[b(wy cos a + wz sin a) cos 2b — (a + wx )(wz cos a — — wy sin a) + (wz cos a —wy sin a)a + wy cos a + wz sin a] — 22

— [ Jjty — J m + Jx )sin b + + J y cos b](wy cos a + wz sin a)(wz cos a —wy sin a) + + Jz (b + wz cos a —wy sin a) x (wy cos a +wz sin a) = Mx;

Jz ~ (b +wz cos a —w y sin a) — (Jx — Jy [(a +wx )cos b + dt

+ (wy cos a + wz sin a) sin b] x x [(wy cos a +wz sin a)cos b — (a + wx )sin b] = Mz.

Здесь приняты прежние обозначения параметров ГС и его угловых скоростей.

Для линеаризации полученной системы уравнений также используем формулы (3) и (4). После преобразований математическая модель индикаторного ГС будет иметь следующий вид:

[ Ja+ (Jx + 2^)cos J + Jy sin J]cos J(e cos y-5 sin y) -

a 1 v^x 1 w 1 u y

x Jy

22 (Jx - Jy )sin J cos Jx [y(e sin y+ 5 cos y) + y (e cos y-5 sin y)]

- Jxy cos J(e sin y+ 5 cos y) = Mx; (6)

Jz [e sin y + 5 cos y + y (e cos y-5 sin y)] cos J -- 3MztgJ(e sin y+ 5 cos y) = Mz. В заключение следует отметить, что при введении в математические модели (5) или (6) внешних моментов их выражения следует представлять в соответствии с зависимостями (3) и (4). Например, демпфирующие моменты по осям стабилизации можно записать как

Mxa = -m x a = -(e cos y-5 sin y)cos J-g-y sin J

Mza = -m zb = e sin y+ 5 cos y-J-y cos J (e cos y-5 sin y)

cos b

в случае, если они зависят от относительных угловых скоростей ГС.

Список литературы.

1. Павлов В.А. Теория гироскопа и гироскопических приборов: учебное пособие для приборостроительных вузов. Л.: Судостроение, 1964. 495 с.

2. Козлова Е.С. Выходные сигналы указателей вертикали // Известия Тульского государственного университета. Сер. Проблемы специального машиностроения. Вып.4. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. С.166-169.

3. Козлова Е.С. Выходные сигналы гиропривода координатора цели Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-27 [текст]: сб.трудов XXVII Междунар.науч.конф.: в 12 т. Секции10,11 / под общ. ред. А.А.Большакова. Тамбов: Тамбовск. гос. техн. ун-т, 2014. Т. 4. С. 181184.

4. Козлова Е.С., Рогов С.В. О погрешности выходных сигналов датчика крена и дифферента при качке судна. Системы управления электротехническими объектами: сб. научных трудов седьмой Всероссийской научно-практической конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып.7. 190 с.

5. Козлова Е.С., Власенков В.М., Рогов С.В. Аналитическая механика и теория колебаний. Ч. 1. Механика Лагранжа - Гамильтона: учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013.

6. Козлова Е.С. Электромагнитный момент гиропривода измерительного прибора. Системы управления электротехническими объектами. сб. научных трудов седьмой Всероссийской научно-практической конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып.7. 190 с.

7. Козлова Е.С. Математическая модель волчка Лагранжа при контакте с поверхностью. Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-28: сб. трудов XXVIII Междунар. науч. конф.: в 12 т. / под общ. ред. А.А. Большакова. Саратов: Саратов. гос. техн. ун-т, 2015. Т. 7. Ярославль: Ярослав. гос. техн. ун-т; Рязань: Рязанск. гос. радиотехн. ун-т, 2015.

8. Козлова Е.С., Соловьев А.Э. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин (функционирование в условиях подвижного основания). // Системы ВТО. Создание, применение и перспективы: научно-технический журнал / АО «КБП». 2015. 4(8).

9. Козлова Е.С., Соловьев А.Э. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин (функционирование в условиях неподвижного основания) // Системы ВТО. Создание, применение и перспективы: научно-технических журнал / АО «КБП». 2015. 4(8).

10. Гироскопические приводы на базе трехстепенных электрических машин: Монография. / Е.С. Козлова, А.Э. Соловьев, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007.

Козлова Елена Сергеевна, канд. техн. наук, доц., Giroscopiya@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Рогов Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доц., ievlevo39@ yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

GENERAL MATHEMATICAL MODEL OF BIAXIAL GYROSTABILIZER

E.S. Kozlova, S.V. Rogov

There were considered the system of linear differential equations of biaxial gyrosta-bilizer describing his movement when it mounted on highly maneuverable objects. The variables used in the equations of the angles which determine the dynamic error of such device.

Key words: end values of angles, coordinate system, highly maneuverable object, gy-rostabilizer, the projection of the angular velocity, gyrostabilizedplatform.

Kozlova Elena Sergeevna, candidate of technical sciences, docent, Girosco-piya a yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Rogov Sergey Vasilyevich, candidate of technical sciences, docent, ievlevo39@ yan-dex.ru, Russia, Tula, Tula State University