Математическая модель теплового воздействия на микрополосковую антенну Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Максимов Е.Ю., Якимов А.Н. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА МИКРОПОЛОСКОВУЮ АНТЕННУ

Предлагается конечно-элементная математическая модель, учитывающая процессы в многослойных структурах микрополосковых антенн со сложной формой излучающей поверхности, возникающей при её тепловой деформации. Представлены матричные уравнения, позволяющие оценить возникающие деформации антенны на основе стержневого представления связей узлов кубических элементов.

Перспективным направлением совершенствования антенн сверхвысоких частот (СВЧ), широко используемых в системах с радиоканалами, является их микроминиатюризация на основе малогабаритных линий передачи. В настоящее время значительное распространение получили микрополосковые антенны (МПА), которые в значительной мере определяют качественные и количественные характеристики информации, передаваемой по радиоканалу. Чаще всего они располагаются в непосредственном соприкосновении с окружающей средой, испытывая при этом механические и тепловые воздействия. Это неизбежно приводит к деформациям антенного полотна и, как следствие, к отклонению электрических характеристик антенны относительно расчетных, что оказывает влияние на работу радиосистемы в целом [1, 2].

Особенно критичными оказываются деформации антенного полотна к тепловым воздействиям, поэтому возникает необходимость математического моделирования и оценки влияния таких воздействий на характеристики МПА еще на этапе проектирования.

В большинстве случаев при проектировании не всегда имеется полная информация о поведении антенн в процессе эксплуатации, что затрудняет построение адекватной модели разрабатываемой антенны в реальных условиях эксплуатации. В связи с этим особую актуальность приобретает построение математических моделей конструкций разрабатываемых антенн и исследования их характеристик с учетом влияния тепловых воздействий.

Существующие модели в недостаточной степени учитывают тепловые процессы в многослойных структурах микрополосковых антенн со сложной формой излучающей поверхности, возникающей при её тепловой деформации. В связи с этим, перспективной оказывается предлагаемая конечно-элементная математическая модель антенны. Такая модель позволяет оценить деформации излучающей поверхности вследствие тепловых воздействий по новому положению узловых точек её конечных элементов и далее оценить результирующие характеристики микроволновой антенны с приемлемыми затратами времени и вычислительных средств.

Модель строиться путем разбиения антенны на множество конечных элементов (рис.1), неразрывно связанных между собой. Свойства каждого элемента задаются в соответствии со свойствами материала конструктивных элементов антенны. Дискретность разбиения выбирается исходя из баланса точности построения модели и времени расчета деформаций, происходящих при изменении воздействия окружающей среды на модель.

Рис. 1. Модель антенного полотна

Все дискретные элементы в модели имеют одинаковую форму куба, внутри которого каждый узел соединен с остальными неразрывными стержнями, коэффициенты расширения и упругости которых соответствуют тем же коэффициентам исследуемого объекта. Стержни несгибаемы, не разрушаемы и не оказывают сопротивления при скручивании, но способны растягиваться или сжиматься в соответствии с коэффициентом упругости (рис.2).

Рис. 2. Дискретный элемент модели

В результате теплового воздействия на модель возникают тепловые расширения (сжатия) одного или нескольких стержней.

Каждый узел математической модели представляет собой объект с определенным набором свойств: К = к,хкЛ,Zk], где п - номер узла; Хк, Ук , Ук - координаты узла; СК - коэффициент теплового расширения среды, которой принадлежит узел. В свою очередь стержень можно представить как кп = к, 4, К, к2,с г ], где п - номер стержня; Ьт - длина стержня; Кі и К - координаты узлов начала и конца стержня; Сг - коэффициент теплового расширения стержня [2, 3].

Для любого упругого стержневого элемента основные соотношения распределения сил всегда могут быть записаны в виде [4]:

^ а г 1 ~1а ( с-} а ( т-Л а ( т-Л а

}р ■'

ч а

Ра =[*]а 8}а+{р}Р+№, (1)

где

{л-} силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки; {-Р}^ - си-

лы в узлах, обусловленные начальными деформациями, которые возникают при изменении температуры

без перемещения узлов; [к] *{8}а- силы, вызванные перемещениями узлов (рис. 3); \; {8} - матрица перемещений узлов.

[к Г

матрица

жесткости элемента;

Рис. 3. Элемент двумерной модели

Расчет напряжений в узлах проводится с помощью матрицы напряжений{^}°

К =[5]ана +мр+{<0, (2)

)Р

матрица напряжения элемента; {^}р - напряжения, обусловленные распределенными

нагрузками; {^}^ - начальные напряжения при отсутствии узловых перемещений.

В общем случае, когда количество сил и перемещений будет более или равно трем, их распределения будут выглядеть как:

(3)

р '81 '

Р2 82

{ру = . . и {8}“ =.

Рт 8т.

Матрицы жесткости элемента всегда будут квадратными:

[к ] ‘

к11 к12 кк

кк

т1 т2

1т

(4)

где кЦ - также квадратные подматрицы размерности Е*Е, а Е - количество компонент силы в рассматриваемых узлах.

В случае конечно-элементной модели каждый стержень (см. рис.3.) подвержен однородной и равномерной температурной деформации. Если концы стержня имеют координаты х. , у. и хп, уп то его длина может быть вычислена как

ь = 4{(хп -х)2 +(Уп -У )2} , (5)

а угол наклона к горизонтальной оси равен

а = аг(Л% I Уп—— I . (6)

I хп - X )

Для проведения расчетов с использованием предлагаемой модели необходимо сформировать матрицы координат узлов разбиения антенны на конечные элементы X, У , Ъ .

В каждой узловой точке необходимо рас смотреть компоненты силы и перемещения, количество которых будет определяться количеством осей системы координат (рис.4).

Рис.

Силы в узлах стержней

Узловые силы

К

обусловленные нагрузкой р , вызванной расширением стержня,

сываются в виде матрицы:

рр-{Р. }-

и, — 8ІПа"

у. есза ,рЬ

и. —8Іпа 2

V. есза

(7)

где и и V- проекции сил на оси координат ОХ и ОУ.

Элементы этой матрицы равны соответствующим компонентам реа кций опор балки, т. е. р • Ь / 2 . Для компенсации температурного расширения нужно вдоль рассматриваемого стержня приложить осевую силу, компоненты которой вдоль осей выбранной системы координат будут равны и и V, а перемещения узловых точек элемента описываемые как

{*}■

(8)

вызовут его удлинение (ии — иі)есж+^г — Уі )8Ііа .

Здесь и и V - проекции перемещений на оси координат ОХ и ОУ.

Чаще всего при расчете отдельного стержня удобнее применять локальную систему координат, которая отличается от глобальной, определенной для всей модели, вследствие чего часто приходится пересчитывать характеристики какого либо элемента из одной системы координат в другую [5]. Систему координат, в которой определены характеристики элемента будем помечать штрихом, чтобы отделить ее от системы координат, принятой для описания конструкции в целом. Компоненты перемещения преобразуются с помощью матрицы направляющих косинусов [Ь]:

К-[ фг ■

а компоненты с

{р}а -[ ь]т {р / г,

(9)

а компоненты сил получаются из выражения:

(10)

где [Ь] - транспонированная матрица [Ь]. Чтобы преобразовать матрицу жесткости, определенную в локальной системе координат к глобальным координатам, важно отметить, что

{р' }*-иа и

Принимая во вни

И"-[ьґи а им

В результате мат

[к]а -[ь]т[к]а[Ь]

11)

Принимая во внимание предыдущие уравнения, получим:

-\Т Г .

........... (12)

В результате матрица жесткости элемента принимает вид -\Т г

(13)

Математическое описание тепловых воздействий на микрополосковую антенну в любой момент времени представляет собой набор уравнений, объединяющих совокупность матриц распределения сил, узловых

перемещений и координат узлов:

{Р}” {а}” {X}” {¥}” {I}” , где

п - число узлов.

Таким образом, предложенная конечно-элементная математическая модель, позволяет учесть тепловые воздействия на многослойные структуры микрополосковых антенн. Представленные матричные уравнения позволяют на основе стержневого представления связей узлов кубических элементов оценить деформации антенны, возникающие вследствие тепловых воздействий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Максимов Е.Ю. Оценка влияния изгиба микрополоскового излучателя на его диаграмму направленности/ Е.Ю. Максимов, А.Н. Якимов. — Труды Международного симпозиума "Надежность и качество". Т. 2. - Пенза: Инф.-изд. центр ПГУ, 2008. - С. 160-162

2. Якимов А.Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: Монография. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с

и

3. Дульнев Г.Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена/ Г.Н.Дульнев, В.Г.Парфенов, А.В.Сигалов//. - М.: Высш. шк., 1990. - 312 с.

4. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,

1975. - 237 с.

5. Корн Г. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн//. -М.: Наука, 1974. - 832 с.