Методика построения матрицы жесткости конструкции микрополосковой антенны Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 621.396.677: 519.711.3

Е. Ю. Максимов

МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИИ МИКРОПОЛОСКОВОЙ АНТЕННЫ

Аннотация. Предлагается методика построения матриц жесткости для стержневой конечно-элементной модели микрополосковой антенны, позволяющей оценить деформации, возникающие в результате тепловых воздействий на ее конструкцию, а также учесть влияние деформаций на диаграмму направленности антенны.

Ключевые слова: антенна, модель, матрица жесткости.

Abstract. A method of construction of matrixes of rigidity for cores of certainly-element model of the antenna cloth, allowing to estimate the deformations resulting thermal influences on its design, and also to consider influence of deformations on the diagramme of an orientation of the microstrip antenna.

Keywords: the aerial, model, a rigidity matrix.

Введение

Перспективным направлением совершенствования антенн сверхвысоких частот (СВЧ), широко используемых в системах с радиоканалами, является их микроминиатюризация на основе малогабаритных линий передачи. В настоящее время значительное распространение получили микрополоско-вые антенны (МПА), которые в значительной мере определяют качественные и количественные характеристики информации, передаваемой по радиоканалу. Чаще всего они располагаются в непосредственном соприкосновении с окружающей средой, испытывая при этом механические и тепловые воздействия. Это неизбежно приводит к деформациям антенного полотна и, как следствие, к отклонению электрических характеристик антенны относительно расчетных, что оказывает влияние на работу радиосистемы в целом.

Существующие модели в недостаточной степени учитывают тепловые процессы в многослойных структурах микрополосковых антенн со сложной формой излучающей поверхности, возникающей при ее тепловой деформации. В связи с этим перспективной оказывается предлагаемая конечноэлементная математическая модель антенны. Такая модель позволяет оценить деформации излучающей поверхности вследствие тепловых воздействий по новому положению узловых точек ее конечных элементов и далее оценить результирующие характеристики микроволновой антенны с приемлемыми затратами времени и вычислительных средств.

1. Построение модели

Модель строится путем разбиения антенны на множество конечных элементов, неразрывно связанных между собой. Свойства каждого элемента задаются в соответствии со свойствами материала конструктивных элементов антенны. Все конечные элементы в модели имеют одинаковую форму куба, внутри которого каждый узел соединен с остальными неразрывными стержнями, температурные коэффициенты линейного расширения и модули упругости которых соответствуют тем же параметрам исследуемого объекта. Стержни не разрушаемы и способны растягиваться или сжиматься в соответствии с коэффициентом упругости. Узлы, соединенные стержнями, образуют элементы модели (рис. 1).

В результате теплового воздействия на модель возникают расширения (сжатия) стержней. В результате изменения длин стержней с различными тепловыми коэффициентами линейного расширения в модели возникают внутренние напряжения. Напряжениям можно сопоставить векторы сил, исходящих из узлов. Решение задачи нахождения формы нагретой модели заключается в поиске состояния равновесия всех сил.

Определение состояния равновесия требует предварительного расчета реакции каждого стержня на воздействие каждой из сил. Для упругого стержневого элемента основные соотношения, описывающие распределение сил в узле, могут быть записаны в следующем виде [2]:

т=м-и+мР+м8(1. т

где - силы, уравновешивающие действующие на элемент распределен-

ные нагрузки; {^ }е0 - силы в узлах, обусловленные начальными деформациями, которые возникают при изменении температуры без перемещения узлов; [к] - матрица жесткости элемента; [5] - матрица перемещений узлов.

Возникает необходимость построения матрицы жесткости для каждого стержня модели.

2. Построение матриц жесткости

Перед построением матриц необходимо определить степени свободы каждого из узлов модели. В трехмерной системе координат у каждого узла будет шесть степеней свободы (движение вдоль каждой оси и вращение вокруг них). В двумерной системе для каждого узла достаточно определить три

степени свободы узла (движение вдоль осей и вращение вокруг центра). В случае закрепления модели в начале координат число степеней свободы закрепленного узла уменьшается. Покажем расчет матрицы для стержня в двумерной системе координат.

Стержень с закрепленным концом приведен на рис. 2.

Х{

Ь

0

Рис. 2. Стержень модели

Узел 1 (жесткий) имеет две степени свободы: движение вдоль каждой из осей координат [2]. Узел 2 (шарнирный) имеет три степени свободы. Длина стержня в начальном положении равна Ь. Построим матрицу жесткости этого стержня.

Стержень имеет пять степеней свободы - две степени свободы в узле 1 и три - в узле 2. Соответственно матрица жесткости элемента имеет размер 5x5 и блочную структуру:

( к(е)

*1111

К(е) =

к(е) 2111

к(е) 1211 к(е) 1112 к(е) 1212 к(е) 1 1312

к(е) 2211 к(е) 2112 к(е) 2212 к(е) 2312

к(е) 1221 к(е) 1122 к(е) 1222 к(е) 1322

?*■* 2( 2 1 к(е) 2122 к(е) 2222 к(е) 2322

2 1 к(е) 3122 к(е) 3222 к(е) 3322 )

к<е)

чк2е1)

К

(е) 1 12

(2)

к(е)

1121

к(е)

2121

к(е)

V 3121

Элементы, стоящие на главной диагонали матрицы жесткости элемента, должны быть положительными. Каждый столбец матрицы жесткости элемента представляет собой силы, действующие на элемент в узлах при единичном смещении по направлению какой-либо степени свободы. Сила, действующая на узел т по направлению /, от единичного перемещения узла к этого же элемента по направлению ] должна равняться силе, действующей на узел к по направлению ], от единичного перемещения узла т этого же эле-

мента по направлению г

к(е) - к(е)

Д. ■ ■ і — А✓ •

утк ]ікт

. Поэтому для построения любого

столбца матрицы жесткости элемента следует задать единичное смещение по направлению соответствующей степени свободы элемента и найти силы, действующие при этом на его узлы. Выполнив последовательно эту операцию для всех степеней свободы элемента, по столбцам построим всю матрицу жесткости элемента.

Закрепим от смещения все узлы стержня. Тогда, задавая единичное смещение в одной из опорных связей, наложенных на полученную систему,

мы обеспечим отсутствие перемещений по направлению остальных связей (рис. 3). Реакции в опорах при этом будут представлять собой искомые силы.

Первый столбец матрицы жесткости представляет собой силы в узлах при единичном смещении узла 1 по направлению 1. При этом на элемент со стороны опорных связей будут действовать только силы по направлению 1 (рис. 3), вызывающие его сжатие, причем сила в узле 1 совпадает по направлению с осью 1, а в узле 2 она направлена в обратную сторону.

Пусть ЕЕ - жесткость стержня на растяжение-сжатие, ЕІ - жесткость стержня на изгиб. Величина силы при удлинении ДЕ = 1 будет равна ЕЕ/Е. Таким образом, с учетом знака элементы первого столбца матрицы жесткости стержня будут равны

Для построения второго столбца зададим единичное смещение в узле 1 по направлению 2 (рис. 4).

1

Рис. 3. Силы при смещении узла 1 по направлению 1

0

Для данной задачи существует известное табличное решение [2], на основании которого путем рассмотрения равновесия вырезанных узлов определяются элементы второго столбца матрицы жесткости стержня:

к (е) — 0 к(е) — 3ЕІ к(е) — 0 к(е) — — 3ЕІ к(е) — 3ЕІ

к1211 — 0, к2211 — т3 , к1221 — 0, к2221 — т2 , к3221 — т2 .

Е3 Е2 Е2

(4)

Теперь зададим единичное смещение узла 2 по направлению 1 и построим третий столбец матрицы жесткости (рис. 5).

1

ЕЕ/Е 1

ЕЕЕ

Е

Рис. 5. Смещение узла 2 по направлению 1

В этом состоянии стержень будет испытывать продольное растяжение. Повторяя рассуждения, аналогичные сделанным при построении первого столбца матрицы жесткости, получим

к(е) — 1112 _

ЕЕ Е ''

к(Х^ — 0, к( е)0 —

''2112

1122

ЕЕ Е ''

к

(е) — 0 к (е) —

2122

— 0, к3122 — 0 .

(5)

Для построения четвертого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 2 (рис. 6):

к (е) — 0 к (е) —.

1212 — 0, 2212 —

3ЕІ

3ЕІ

Е

к (е) — 0 к (е) —

3 ’ 1222 — 0, 2222 — т3

Е

к(е) — ■ 3222 —

3ЕІ

Е2

(6)

И, наконец, для построения пятого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 3 (рис. 7):

к(е) — 0 к(е) — 3ЕІ к(е) — 0 к(е) — 3ЕІ к(е) — 3ЕІ

1312 5 Л?31? _ т > л139? л?39? _ т 5 3322 _ т •

''2312

т2 , "1322 “'2322 т2 , 3322 т

Е2 Е2 Е

(7)

Итак, матрица жесткости рассматриваемого стержня принимает вид

К(е) —

12

V К21

(е) к(е)

22

( ее ~ 0

ЕЕ

Е

0

0

0

3ЕІ

Е3

0

3ЕІ

3

Е

3ЕІ

Е2

ЕЕ

~Г

0

ЕЕ

Е

0

0

0

3ЕІ

Е3

0

3ЕІ

Е3

0

3ЕІ Е2

0

3ЕІ Е2

3ЕІ 3ЕІ

Е

3

Е

(8)

3Е1

¥

П

3Е1

к1212 1

0 0

к(2

1222

1 кзЕ1

$Г\Ь3

зЕ1

к(е

222

2222

к22

2212

3Е1

------к(3222

Рис. 6. Смещение узла 2 по направлению 2

3Е1

к1212 1

1 к

3Е1

Ш

22

2212

и

3Е1

0 0

2

к(2

1222

ц-4д

к(е)

2222

3Е1

---1^) кШ2

Ь

2

Ь

Ь

Ь

2

Ь

з

Ь

2

Ь

Как и следовало ожидать, построенная матрица оказалась симметричной, а элементы, стоящие на ее главной диагонали, оказались положительными.

Модель всей МПА, состоящая из большого количества связанных между собой стержней, будет содержать в себе гораздо большее количество матриц жесткости. Такой объем расчетов в достаточно короткий срок возможно выполнить лишь с применением ЭВМ.

3. Анализ результатов

Сравним результаты расчета деформаций одной и той же модели с применением матриц жесткости и результаты, полученные в пакете ЛК8У8.

Рассчитаем нагрев полотна на 30 °С одной и той же модели антенного полотна в пакете ЛК8У8 и с применением приведенной здесь методики расчета матриц жесткости (рис. 8, 9).

Рис. 8. Деформированная модель в АЫБУБ

Отклонение краевых узлов тестовой модели при нагреве на 30 °С в системе ЛК8У8 составляет 0,16 мм. Радиус изгиба пластины составляет 47 мм. При расчете с помощью матриц отклонение краевых узлов составляет 0,19 мм, а радиус кривизны составляет 40 мм. Небольшое расхождение в значениях обусловлено отличием в построении сетки конечных элементов.

Описанный метод позволяет с достаточной точностью описать тепловые воздействия на конструкцию микрополосковых антенн, сократив тем самым материальные и временные затраты на их проектирование и оптимизацию. Материал статьи может оказаться полезным при проектировании антенн данного типа.

1. Якимов, А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий : моногр. / А. Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.

2. Розин, Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов / Л. А. Розин. - Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. - 237 с.

E-mail: kipra@pnzgu.ru

УДК 621.396.677: 519.711.3 Максимов, Е. Ю.

Методика построения матрицы жесткости конструкции микропо-лосковой антенны / Е. Ю. Максимов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 4 (16). - С. 81-88.

Заключение

Список литературы

Максимов Евгений Юрьевич аспирант, Пензенский государственный университет

Maximov Evgeny Yuryevich Postgraduate student,

Penza State University