Конечно-элементная модель тепловых воздействий на микрополосковую антенну Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.677: 519.71 1.3

Е. Ю. Максимов, А. Н. Якимов КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА МИКРОПОЛОСКОВУЮ АНТЕННУ

Аннотация. Методом конечных элементов строится математическая модель микрополосковой антенны, которая позволяет оценить деформации, возникающие в результате тепловых воздействий на ее конструкцию, и изменения диаграммы направленности. Проведен анализ полученных результатов.

Ключевые слова: антенна, модель, деформация, диаграмма направленности.

Abstract. The mathematical model of the microstrip antenna created by method of finite elements. It gives the chance to estimate the deformations which are connected with the thermal influences on antenna construction and change of the radiation pattern. The analysis of the received results is carried out.

Keywords: antenna, model, deformation, radiation pattern.

Введение

Микрополосковые антенны (МПА) в значительной мере определяют качественные и количественные характеристики передачи информации по радиоканалу. Как и другие антенны, МПА располагаются в непосредственном соприкосновении с окружающей средой, испытывая при этом механические и тепловые нагрузки. Это неизбежно приводит к деформациям антенного полотна и, как следствие, к отклонению электрических характеристик антенны относительно расчетных, что сильно влияет на работу всей системы в целом [1, 2].

Особенно критичными являются деформации антенного полотна вследствие тепловых нагрузок, поэтому для того, чтобы обеспечить прогнозирование изменения характеристик МПА в процессе их эксплуатации, необходимо их математическое моделирование еще на этапе проектирования.

1. Постановка задачи

Существующие модели в недостаточной степени учитывают тепловые процессы в многослойных структурах микрополосковых антенн и деформации, возникающие в процессе их эксплуатации при непосредственном соприкосновении с окружающей средой. В связи с этим перспективным оказывается построение конечно-элементной математической модели такой антенны, позволяющей оценить деформации излучающей поверхности вследствие тепловых воздействий по новому положению узловых точек ее конечных элементов и результирующие характеристики микроволновой антенны с приемлемыми затратами времени и вычислительных средств еще на этапе проектирования [2, 3].

2. Построение модели

Модель строится путем разбиения антенны на множество конечных элементов, неразрывно связанных между собой [2]. Свойства каждого элемента задаются в соответствии со свойствами материала конструктивных элементов антенны. Дискретность разбиения выбирается исходя из баланса

точности построения модели и времени расчета деформаций, происходящих при изменении воздействия окружающей среды на модель [3].

Пусть МПА представляет собой антенную решетку, излучающее полотно которой имеет плоскую двумерную конфигурацию, представленную на рис. 1, где I и К - нечетное число излучателей антенной решетки, расположенных вдоль осей ОУ и ОХ соответственно [1, 4].

Рис. 1. Излучающее полотно МПА

Излучатели такой антенны имеют прямоугольную форму, расположены над слоем диэлектрика с металлическим экраном и возбуждаются от микро-полосковых линий (рис. 2) условно не показаны.

Рис. 2. Микрополосковый излучатель

На рис. 2: а и Ь - ширина и длина излучателей соответственно; й - толщина диэлектрической подложки МПА.

Выражения, описывающие соответствующие амплитудные диаграммы направленности (ДН) в плоскостях векторов электрического Е и магнитного Н полей с учетом возникающих угловых отклонений 0 [1]:

- в плоскости Н (ф = 0):

2соб0

Fф (0) = - _ _ .

^соб2 0 + [| ^(| ^ d) ]

- в плоскости Е (ф = п /2):

F0 (0)

бш(0,5^ a бш 0) 0,5ko a бш 0

(1)

21 соб 0 соб( 0,5^ бш 0)

^+ всоб 0^(| ^ d) 2 1 - Р0Ь / п)бш 0]2

(2)

где | = л/е- бш^ 0 ; е - относительная диэлектрическая проницаемость материала подложки; 0 - угол в направлении точки наблюдения P относительно оси OZ ; ф - угол относительно оси OX в плоскости XOУ правой декартовой системы координат; ^ = 2п / X0 - волновое число; ^ - длина электромагнитной волны в свободном пространстве.

При температурных нагрузках антенное полотно неизбежно деформируется. Следовательно, излучающий элемент также меняет свою пространственную ориентацию и форму, хотя в ряде исследований для упрощения расчетов деформация излучающего элемента не учитывается [1, 3].

Для исследования влияния изгиба микрополоскового излучателя предложим модель, в которой излучатель представляется как сложный, состоящий из элементарных излучателей. Сумма полей таких излучателей с учетом их амплитуд и фаз, а также их пространственной ориентации позволяет оценить характеристики излучения антенн любой криволинейной формы.

Для построения такой модели и оценки возникающей деформации разобьем каждую излучающую площадку на секторы, как показано на рис. 3.

Рис. 3. Излучатель, разбитый на секторы

В соответствии с такой моделью [4] напряженность электрического поля в точке, удаленной от излучателя, равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из его секторов в отдельности:

М N

ЕЕ = XXЕшп, (3)

ш=1 п=1

где Е^ - суммарная напряженность; I, К - общее число излучателей по осям координат; т, п - порядковые номера сектора излучателя.

В результате температурной деформации излучающая площадка приобретает вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Излучатель, деформированный под воздействием температурных нагрузок

Разбиение излучающей площадки на дискретные элементы без учета деформации представлено на рис. 5,а. Результат деформации иллюстрируется на рис. 5,б, из которого видно, что излучающий элемент, разбитый на секторы, точнее описывает кривизну деформированной поверхности.

7!

о о —Г ^

Рис. 5. Излучающая площадка, разбитая на секторы: а - без учета деформации; б - с учетом деформации

Каждый сектор предлагаемой модели, полученной в результате разбиения, представим как элемент Гюйгенса, нормированная диаграмма направленности которого в плоскости магнитного вектора Н (в плоскости ХОТ) в этом случае определится следующим выражением [4]:

Ев (0) =

1 + СОБ 0

2

Напряженность электрического поля в точке наблюдения Е(0), создаваемая отдельным сектором (элементарным излучателем), может быть описана выражением

-ікг

Е (0) = Ео ^ (0)-

(5)

г

где Е0 - напряженность электрического поля, создаваемая элементарным излучателем у его поверхности; к0 = 2лЛ0 - волновое число; г - расстояние от точки наблюдения до источника излучения.

Для получения расчетных формул представим схематичное изображение изогнутого излучателя (рис. 6).

На рис. 6 приняты следующие обозначения: 01 - центр окружности изгиба излучателя; Я - радиус кривизны изгиба излучателя; Р - точка наблюдения; а - угол наклона элементарного излучателя относительно горизонтальной плоскости; 0 - угол точки наблюдения относительно оси антенны; 01 -угол между нормалью к элементарному излучателю и направлением на точку наблюдения; Ь - длина элементарного излучателя.

Для нахождения связи угла наблюдения 0 относительно каждого сектора с их геометрическими параметрами рассмотрим следующие геометрические соотношения. Из геометрических построений (в дальней зоне угол Р пренебрежимо мал) 01 - 0 ~ а, 2р + а = 180 и 8т(2р + а) = 0. Путем тригонометрических преобразований получим

2sinPcosP sin а

sin2 Р + cos2 Р cos а

(6)

Откуда, представив sina как sin a = ± Vi - cos2 а ,

L/2 . п R

cosp= i . . , sinp= I . . , (7)

V( L2 / 4) + R2 V(L2/4) + R

получаем

R2 - (L2 / 4) (8)

cos a = —---------. (8)

R2 + (L2 /4)

Для отдельного элемента Гюйгенса в соответствии с формулой (3) диаграмма направленности (ДН) будет иметь вид, приведенный на рис. 7.

Диаграммы направленности, рассчитанные по формулам (1) и (3)-(8) для недеформированной излучающей площадки, практически полностью совпадают (рис. 8). Это указывает на возможность использования предлагаемой модели для исследования влияния возможных деформаций излучающей площадки на ее характеристики излучения.

Рис. 7. Диаграмма направленности элемента Гюйгенса

Рис. 8. Диаграммы направленности плоского элемента и деформированного в плоскости Н

Расхождение диаграмм плоского и деформированного излучателя настолько мало, что в приведенном масштабе практически незаметно. Изменение характеристики излучения можно заметить лишь при большом увеличении масштаба (рис. 9).

035

|/%(0)|

0.54

0.53

0.52

0.51-

05

X' N4

> Ч- .3

Л ^ Ч-

85 «6 87 88 89 . 90

0. гри

Рис. 9. Фрагмент ДН плоского и деформированного элементов в плоскости Н

На рис. 9 кривая 1 соответствует результатам расчета излучения по формуле (1), кривая 2 - расчету излучения по предложенной модели для не-деформированной площадки, кривая 3 - расчету для деформированной модели при а = 10 град (см. рис. 6).

Варианты геометрии конечного элемента могут быть различными и выбираются в зависимости от конфигурации исследуемого объекта. Для моделирования антенного полотна наиболее удобным является элемент первичной дискретизации в форме куба или параллелепипеда. Каждый узел первичного элемента дискретизации (элемента модели) соединен с остальными неразрывными стержнями, которые фактически являются конечными элементами дискретизации (рис. 10). Коэффициенты расширения и упругости стержней соответствуют тем же коэффициентам исследуемого объекта. Стержни несгибаемы, неразрушаемы и не оказывают сопротивления при скручивании, но способны растягиваться или сжиматься в соответствии с модулем упругости.

Рис. 10. Элемент модели

Дискретность разбиения антенного полотна на элементы следует выбирать исходя из того, что расстояние между ближайшими узлами не должно быть более половины длины электромагнитной волны, используемой моделируемой антенной, чтобы обеспечить адекватность электродинамической модели антенны, основанной на тех же узловых точках [2]. Максимальное число элементов модели выбирается исходя из желаемой точности конечного результата.

Для упрощения описания возьмем фрагмент модели, узлы которого находятся в одной плоскости (рис. 11). Пространственная модель будет рассчитываться по тем же принципам с учетом третьей координаты. Воздействие на модель характеризуется тепловым расширением (сжатием) одного или нескольких стержней.

Рис. 11. Иллюстрация процесса деформации элемента модели: 1 - исходное состояние; 2 - состояние при расширении стержня; 3 - результирующее состояние

Нагреем стержень АВ модели, изображенной на рис. 11 (поз. 1). Увеличивающийся стержень создает усилия в оконечных узлах.

Длина нагретого стержня равна [3]

Ьд =Ь-кАґ + Ь, (9)

где Ь - длина стержня в предыдущем состоянии; к - коэффициент теплового расширения; Дґ - изменение температуры.

По мере увеличения длины стержень АВ перемещает оконечные узлы, что неизбежно смещает стержни, исходящие из этих узлов (см. рис. 11, поз. 2).

В результате изменяется длина стержней, связанных через узлы с увеличенным стержнем. Деформированные стержни порождают в оконечных узлах силы упругости.

Координаты точки приложения вектора силы, выходящего из одного оконечного узла, для отдельного стержня пространственной модели будут равны

X = (БХМ - ВХе)Я ■ ВЬ + БХМ; (10)

¥= (ВГМ- ВГеЮ-ВЬ + ВГМ; (11)

2 = (Б2Ы - БЬ + Б2Ы; (12)

где БХЫ, БУЫ, - координаты начала деформированного стержня по осям

ОХ, ОУ и О2 соответственно; БХЕ, БУЕ Б2Е - координаты конца деформированного стержня по осям ОХ, ОУ и О2 соответственно (под началом стержня понимается тот узел, для которого в данный момент строится вектор силы упругости, конец стержня - противоположный узел); б - коэффициент упругости стержня; БЬ - коэффициент увеличения, равный

Ь — Ьд

БЬ =-----Д, (13)

2Ь

где Ь - длина стержня в нормальном состоянии; Ьд - длина стержня в деформированном состоянии.

На следующем этапе производится расчет результирующих всех векторов в каждом узле [5, 6]. При перемещении модели по направлению результирующего вектора положение и величина векторов в смещаемом узле изменяются, изменяя результирующий вектор и направление смещения узла. Следующее смещение модели производится в новом направлении. Цикл повторяется до тех пор, пока модель не деформируется до установления равновесия всех сил в каждом узле, т.е. пока результирующие векторы не будут равны нулю (см. рис. 11, поз. 3).

Проведенный численный эксперимент в пакете Бе1рЫ и результаты исследования тепловых воздействий на МПА в пакете ЛЫБУБ подтвердили адекватность предлагаемой модели реальным физическим процессам, протекающим в МПА. Таким образом, предложенная модель дает возможность определить искажения формы полотна микрополосковой антенны при тепловых воздействиях и с учетом этого рассчитать ее диаграмму направленности.

Напряженность электрического поля, создаваемого в точке наблюдения всей МПА, может быть рассчитана как суперпозиция полей всех излучающих элементов (см. рис. 1) с учетом их амплитуд и фаз [2]:

I К

Елъ= ЕЕ % , (14)

г =1 к=1

где Елх - суммарная напряженность; I, К - общее число излучателей по осям координат; г, к - порядковые номера излучателей.

Нормированная диаграмма направленности рассматриваемой антенны будет определена как

^(ф, 0) = Елх(Ф, 0)/Етах, (15)

где Елх (ф, 0) - характеристика направленности МПА; Етях = Елх (0,0) -максимальный уровень напряженности электрического поля, равный для симметричных антенн его значению в направлении оси симметрии; ф, 0 - углы в направлении точки наблюдения Р относительно оси антенны в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно.

3. Анализ результатов

По предложенной математической модели были проведены расчеты влияния тепловых воздействий на микрополосковую антенну в пакете Бе1рЫ

при следующих исходных данных: число излучающих элементов Т*К = 25^25; длина электромагнитной волны X = 16 мм; размеры излучающих элементов (см: рис. 2) а = Ь = 0,48Х; относительная диэлектрическая проницаемость подложки £ = 2,3; толщина подложки й = 0,158 мм. Расчеты без учета взаимного влияния излучателей показали, что диаграмма направленности антенны при нормальной температуре (рис. 12, кривая 1) существенно отличается от диаграммы, рассчитанной при увеличении температуры на 20 °С (рис. 12, кривая 2).

Рис. 12. Диаграммы направленности МПА в горизонтальной плоскости

Как видно из рис. 12, при изменении температуры окружающей среды прослеживается расширение диаграммы направленности и смещение боковых лепестков. Этот известный из практики результат также подтверждает адекватность предложенной математической модели реальным физическим процессам, протекающим в полосковых антеннах при тепловых воздействиях.

Заключение

Отмеченные тенденции характерны для данного типа антенн, что указывает на адекватность предложенной математической модели, возможность ее использования для исследования влияния тепловых воздействий на характеристики излучения микрополосковой антенны и оптимизации ее конструкции по минимуму этого влияния. Таким образом, полученные результаты могут оказаться полезными при проектировании полосковых антенн, устойчивых к тепловым воздействиям.

Список литературы

1. Панченко, Б. А. Микрополосковые антенны / Б. А. Панченко, Е. И. Нефедов. -М. : Радио и связь, 1986. - 144 с.

2. Якимов, А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий : монография / Л. Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. -260 с.

3. Дульнев, Г. Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена / Г. Н. Дуль-нев, В. Г. Парфенов, А. В. Сигалов. - М. : Высш. шк., 1990. - 312 с.

Максимов Евгений Юрьевич аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: Em7771@mail.ru

Якимов Александр Николаевич доктор технических наук, профессор, кафедра конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет

E-mail: yakimov@pnzgu.ru

Maximov Evgeny Yuryevich Postgraduate student,

Penza State University

Yakimov Alexander Nikolaevich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of radio devices engineering and production, Penza State University

УДК 621.396.677: 519.71 1.3 Максимов, Е. Ю.

Конечно-элементная модель тепловых воздействий на микро-полосковую антенну / Е. Ю. Максимов, А. Н. Якимов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. -№ 3 (15). - С. 103-113.