CC BY
3
Исмоилов Ш.М.
Наманганский инженерно строительный институт
Абдужалилов С.М.
Наманганский инженерно строительный институт
Тошбаев Д.К. учитель информатики Школа №20 Наманганского района
Мажидов А.М. студент
Наманганский инженерно строительный институт
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ КОЛЕБАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-НАГРУЖЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ С УЧЕТОМ
ТЕМПЕРАТУРЫ
Аннотация. В статье рассматриваеются математическое обеспечение напряженно-деформированного состояния стержней при пространственном нагружении с учетом температуры. Разработана математическая модель напряженно-деформированного состояния стержней при пространственном нагружении с учетом температуры на основе вариационного приципа Гамильтона - Остроградского.Выведены уравнения процессов колебания стержней соответствующими естественными начальными и граничными условиями. На основе центральные конечно-разностные соотношения метода прогонка с точностью до второго порядка разработан вычислительный алгоритм расчета статики и динамики колебания стержней с учетом температуре. Результаты приведены в виде графиков.
Ключевые слова: колебания, стержень, математическая модель, поперечный изгиб, перемещение, температурные напряжение.
Ismoilov Sh.M.
Namangan Civil Engineering Institute
Abduzhalilov S.M.
Namangan Civil Engineering Institute
Toshbaev D.K.
IT-teacher
School №20 of Namangan region Mazhidov A.M. student
Namangan Civil Engineering Institute
MATHEMATICAL MODEL OF VIBRATION PROCESSES OF SPATIALLY LOADED RODS WITH TEMPERATURE TAKING INTO
ACCOUNT
Annotation. The article deals with the mathematical support of the stressstrain state of rods under spatial loading, taking into account temperature. A mathematical model of the stress-strain state of rods under spatial loading, taking into account temperature, is developed on the basis of the variational principle of Hamilton - Ostrogradsky. Equations are derived for the processes of vibration of rods with the corresponding natural initial and boundary conditions. On the basis of the central finite-difference relations of the sweep method with an accuracy up to the second order, a computational algorithm for calculating the statics and dynamics of the oscillations of the rods is developed, taking into account the temperature. The results are presented in the form of graphs.
Keywords: vibrations, rod, mathematical model, transverse bending, displacement, thermal stress.
Введение. В настоящее время существуют различные методы построения и анализа математических моделей различных задач физико -математических систем (механики, физики, экономики, экологии, социологии и др.) на основе использования фундаментальных законов природы, вариационных принципов, иерархических цепочек и метода аналогии.
Получение моделей из фундаментальных законов природы, таких как законы сохранения вещества, сохранения энергии, сохранения числа частиц, а также их совместное применение описано в фундаментальных монографиях А.А. Самарского, О.М. Белоцерковского, А.А. Дородницына, В.П. Коробейникова, Р.П. Федоренко, В.К. Кабулова, А.А. Ильюшина и др.
Известно, что многие из встречающихся на практике процессов представляются в виде трехмерных и нелинейных задач. Решение таких задач является достаточно сложным, поэтому их приводятся к двумерным и одномерным задачам. Как отметил академик, ф. -м.ф.д. В.К. Кабулов [1], различные механические процессы в объектах сводятся к двумерным и одномерным задачам на основе обобщенного принципа вариации Гамильтона Остроградского и выражаются в виде математической модели [6-8].
В данной работе приводится вывод квазитрехмерных нелинейных математических моделей процессов колебания пространственно -нагруженных стержней с учетом температуре на базе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.
Постановка задачи пространственно-нагруженных стержней с учетом температуре. В общей теории колебания упругих и упруго -пластических тел перемещения ui, u2 и u3 являются функцией четырех
переменных - координат х\, х2 и х3 и времени г. При такой постановке из принципа Гамильтона-Остроградского непосредственно выводятся уравнения Коши и граничные условия.
Для вывода этих соотношений в общем виде выпишем вариационный принцип Гамильтона-Остроградского:
4( К-Пт + Л)йг = 0, С1)
г
где К, П - кинетическая и потенциальная энергии, А - работа внешних объемных и поверхностных сил.
Перемещения точек стержня при совместных продольных, поперечных и крутильных колебаниях представляем в виде:
щ (х, у, г, г) = и( х, г) - га (х, г) - уа2 (х, г),
щ (х, у, г, г) = v(х, г) + гв(х, г), щ (х, у, г, г) = х, г) - ув(х, г),^
где щ, щ, щ - компоненты вектора перемещений; и, V, ж -перемещения срединной линии стержня; а, а - углы поворота сечений при чистом изгибе; в - угол закручивания; х, у, г - пространственные переменные.
При вычислении вариации кинетической энергии используем соотношение:
К = 1
2 К '=1
д2щ
йУ
(3)
где р - удельная плотность массы материала тела полагается постоянной.
Вывод вариации потенциальной энергии пространственно-нагруженных стержней с учетом температуре. Для компонентов напряжений и деформаций в системе координат х1, х2, х3 введем обозначения тензора напряжений стп, <у22, а33, а12, а23, а31 и тензора деформации
£ц, £22, £33, £12, £23, £31. Тогда для вариации потенциальной энергии имеем:
¿П = Ц X£суТ]д£1]йУйг.
У г '=1 1=1 (4)
Компоненты тензора деформации будут равны [3- 4]:
1 Гдщ дщ дщ дщ ^
£ = —
11 2
+ -
дх,. дх
V 1 1
дх дх
1 у
(5)
Уравнения трехмерной связи, учитывающие температуру напряженно-деформированного состояния стержней, задаются в виде [5]:
£11 -аТ = ^ (^11 -К^22 +^33)), £22 -аТ = ^ (^22 - +СТ3з)),
1
-аТ = 1 (^33 + ^22)) , У12 = 7^ У23 У13 = 73'
Е
О
О
О
(6)
£
где а - линейная расширение коэффициента, Т - температура, Е -модуль упругости, о - модуль сдвига.
Напряжения с учетом температуре вычисляются по формуле в виде:
<т п = <гп + ЕаТ, (7)
где ати - напряжения с учетом температуре. Вычисляем вариации работы внешних сил:
3 3 3
^5 Лёг = Р 5щ ёУ +Ч, 5щёэ +I 5щ
г У э '=1 э '=1 (8)
где Р - составляющие объемных сил, отнесенные к единице объема, через Ч - поверхностные силы, отнесенные к единице площади
поверхности стержня; I - соответственно торцовые силы.
Полученные результаты вариации кинетической (3) и потенциальной (4) энергий, а также работы внешних сил (8) подставляем в вариационный принцип Остроградского-Гамильтона (1).
Система уравнений движения стержня с учетом температуры при пространственных нагружениях:
д26 дЯ
-рР^- + — + + —5 +
дг2 г дг2 дх дх
(Р3 + Чз)
5м> = 0,
д2и да т
дг2
дЯк
у дг2 дг2 дх дх
- &-(му (Р)+му ( ч ))
5ах = 0,
Л „д2. + аа1+дЯ4+(р+_)
дг2 у дг2 дх дх
-рР — -р$> дг2
0 д2и т д2а , д2а дмт дЯ & дтр да-р', да
8у = 0, (9)
уг
- Оу-(м2 (Р)+м2 (Ч))
да2 = 0,
д 2 и
д 2а
д2а ( дЫТ , дЯ дг2 ' '
+
+ — + (Р + Ч)
дх дх
5и = 0,
0 д2У 0 д2^ т д2в дмх дЯ6 ,, / чч
Р^У ^ + ^ +Р1Р^ +~М + 1х + (Мх (Р23 )+ Мх (Ч23 ))
56 = 0.
Обобщенные естественные начальные условия движения стержня с учетом температуры при пространственных нагружениях:
„Эж д6
рр — рь7 — дг 7 дг _
ду д6 рр — + рЛ— дг у дг
5м> = 0;
г
5у = 0;
„ ди да о да рр--рЛ —1 - рУ —-
дг у дг 7 дг
ди
да
у дг у дг у
да дг
5а
0;
„ ди т да т да -рЯ7 — + рК —1 + р1, —2
р 7 дг р у7 дг р 7 дг
5а
5и = 0;
г
0 ду 0 дж т д6 рЬу--рУ — + р1п —
у дг 7 дг р дг
56
(10)
Обобщенные естественные граничные условия движения стержня с учетом температуры при пространственных нагружениях:
На + Я) + К ] 5^х = 0; [-(мт + Я) + Му (к)] 5а^ = 0; [-(бу + Я) + К]5у| = 0;[-(МТ + Я3) + М7 (к)]5а2\ = 0; (П)
[-(К + Я) + к ]5и = 0;
56
= 0.
-(Мх + Я) + Мх (К23 )_
Для решения система уравнения движения (9) при граничных условиях (10) и начальном условии (11) переходим к безразмерным перемещениям и координатам [6-8], и = аи, у = аУ, ж = а ж, х = 1х, г = г0 г,
и делим на ЕРа2/12 , здесь принимаем (1 -1) - Отсюда определяем масштаб времени г0 . г0 = Цр/ Е. Нелинейная математическая модель процессов колебания пространственно-нагруженных стержней с учетом температуре дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия в векторной форме имеют вид:.
М
82и . 82и
дг ■
■ + Л-
.ди
(
_ +в— + си +
дх дх
Ф
дЦ дх
Л &
М
дЦ д'г г
5и
~.д2и =
V
( дОл
^¡т + Щ = 0,(12)
= 0, (\Ъ\А^- + С.и + дх
Ф
дх
+ (14)
В соответствии с уравнениями (12), начальными условиями (13) и граничными условиями (14) формируем следующих матрицы М, А, В, С, М , Л и В.
Для расчета стержней используются следующие значения параметров: модуль Юнга Е = 2 -105 Па , коэффициент Пуассона у1 = 0,3
(для стали), длина 1 =10 м , рассматриваемые поперечные сечения а = 0,02 м, Ь = 0,02 м , поверхностные нагрузки Ч1 = 0,015 Н, ч2 = 0,01 Н, Ч =0,02 Н, М = 0,012 Н-м
Полученные результаты приведены ниже в виде графиков.
0
2.00Е-05
.а.
-V_T
,ит в
1-рис. Распространение продольных uT, поперечные колебаний wT, vT и угла наклона ах,а2, угол закручивания в с учетом температуры
Заключение. На основе обобщенного вариационного принципа Остроградского-Гамильтона, теории упругих деформаций и уточненной теории Власова-Джанелидзе-Кабулова разработаны обобщенные математические модели для статики и динамики, нелинейных задач стержней при пространственном нагружении с учетом температуре. Данные модели служат для подробного описания процессов геометрически нелинейного деформирования стержней с учетом совместного действия продольных, поперечных и крутильных сил.
На основе центральные конечно-разностные соотношения метода прогонка с точностью до второго порядка разработан вычислительный алгоритм для расчета статики и динамики нелинейных задач стержней при пространственном нагружении с учетом температуре. На основе данного алгоритма решены тестовые примеры, полученные результаты оценены по критериям достоверности и точности.
Использованные источники:
1. Кабулов В.К. Алгоритмизация в теории упругости и деформационной теории пластичности. - Ташкент: Фан, 1966. - 395 с.
2. Кабулов В.К., Файзуллаев О.Х., Назиров Ш.А. Ал-Хоразми, алгоритм, алгоритмизация. - Ташкент: Фан, 2006. - 664 с.
3. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 542 с.
4. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 211 с.
5.Тимошенько С.П., Гудьер Д. 1979 г, с-458.
ó.Anarova S., Ismoilov S. Nonlinear mathematical model of stress-deformed state of spatially loaded rods with account for temperature //AIP Conference Proceedings. - AIP Publishing LLC, 2021. - Т. 2365. - №. 1. - С. 070019. 7. Anarova S. A., Ismoilov S. H. M., Abdirozikov O. S. Software of Linear and Geometrically Non-linear Problems Solution Under Spatial Loading of Rods of Complex Configuration //Intelligent Human Computer Interaction: 12th
International Conference, IHCI 2020, Daegu, South Korea, November 24-26, 2020, Proceedings, Part I 12. - Springer International Publishing, 2021. - С. 380 8. Anarova, Sh A., and Sh M. Ismoilov. "Mathematical support of the stress-strain state of rods under spatial load considering temperature." Проблемы вычислительной и прикладной математики 4 (2020): 5 -19.
