Ҳароратни ҳисобга олган ҳолда фазовий юкланишлардаги кўндаланг кесими ихтиёрий бўлган стерженнинг кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини ҳисоблашнинг такомиллаштирилган алгоритмлари Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

УДК 539.3, 519.62.

ХДРОРАТНИ ХДСОБГА ОЛГАН ^ОЛДА ФАЗОВИЙ ЮКЛАНИШЛАРДАГИ КУНДАЛАНГ КЕСИМИ ИХТИЁРИЙ БУЛГАН СТЕРЖЕННИНГ КУЧЛАНГАНЛИК-ДЕФОРМАЦИЯЛАНГАНЛИК ^ОЛАТИНИ ^ИСОБЛАШНИНГ ТАКОМИЛЛАШТИРИЛГАН АЛГОРИТМЛАРИ

Олимов Муродилла НамМКИ, ф.-м.ф.н., проф, +998972513242, molimov5152@gmail.com

Исмоилов Шох,имардон Мухаммаджонович НамМКИ, PhD, +998942930606, e-mail:shohsoft@gmail.com,

Абдужалилов Содик Мухдммадамин угли НамМКИ, преподаватель, +998939151592, sodiq.abdujalilov1992@gmail.com Аннотация. В.ККобуловнинг аниклаштирилган ва эластиклик назариялари хдмда Остроградский-Гамильтон вариацион тамойили асосида хдроратни х,исобга олган х,олда фазовий юкланишлардаги стерженларнинг геометрик ночизикли жараёнларини математик модели такомиллаштирилган. Кундаланг кесими ихтиёрий стерженларнинг геометрик-механик параметрларини ракамли бинар тасвирларни кайта ишлаш усули асосида сонли х,исоблаш алгоритми ишлаб чикилган. Фазовий юкланишлардаги кундаланг кесими ихтиёрий стерженларнинг геометрик ночизикли масалаларида хдроратни х,исобга олган х,олда сонли х,исоблаш алгоритмлари ишлаб чикилган. Фазовий юкланишлардаги кундаланг кесими ихтиёрий стерженларнинг геометрик ночизикли масалаларини чекли айирмалар ва матрицали хдйдаш усулларини биргаликда куллаган х,олда чегаравий масалаларни ечишни дастурий мажмуа тузилмаси ишлаб чикилган.

Аннотация. На основе уточненных теорий В.К. Кабулова, теории упругости и принципа вариации Остроградского-Гамильтона. усовершенствована математическая модель геометрически нелинейных процессов деформации стержней при пространственном нагружении с учетом температуры. Разработан вычислительный алгоритм решения статических и динамических, геометрически нелинейных задач для стержней при пространственном нагружении с учетом температуры на основе методов конечных разностей, матричной прогонки, обработки цифровых двоичных изображений и последовательной аппроксимации. Разработаны алгоритмы численного расчета геометрически нелинейных краевых задач для стержней произвольного поперечного сечения при пространственной нагрузке с учетом температуры. Разработана структура программного комплекса для решения геометрически нелинейных задач для стержней произвольного сечения при пространственных нагрузках с использованием комбинации методов конечных разностей и матричной прогонки.

Abstract. mathematical models of geometric nonlinear processes of rods under spatial loading taking into account temperature on the basis of refined theories of V.K. Kabulov and the theory of elasticity and the principle of variation of Ostrogradskiy-Hamilton were improved.A

computational algorithm was developed for solving static and dynamic, geometric nonlinear problems, taking into account the temperature of the rods under spatial loading on the basis of a finite-difference method, matrix drive methods for processing digital binary images and methods of sequential approximation Algorithms for numerical calculation taking into account temperature in geometric nonlinear problems of the cross-section of arbitrary rods in spatial loads were developed A software package were developed for solving geometric nonlinear problems of rods of arbitrary cross-section of spatial loading using a combination of finite difference and matrix sweep methods.

Калит сузлар: математик модель, стержень, кундаланг кесими ихтиёрий, фазовий юкланган, тебраниш, Остроградский-Гамильтон вариацион тамойили, кинетик ва потенциал энергия, хдрорат.

Ключевые слова: математическая модель, стержень, произвольное сечение, пространственно нагруженные, вибрация, вариационный принцип Остроградского-Гамильтона, кинетическая и потенциальная энергия, температура.

Keywords: mathematical model, rod, arbitrary geometric shape, spatially loaded, oscillations, Hamilton-Ostrogradskys variational principle, kinetic and potential energy, temperature.

Кириш

Жах,онда иншоот ва конструкцияларни лойихдлашда кулланиладиган материалларнинг кучланганлик-деформацияланганлик х,олатларини аниклашнинг дастурий мажмуаларини ишлаб чикиш ва мавжудларини такомиллаштиришга алох,ида эътибор каратилмокда. Шу жихдтдан, хдроратни х,исобга олган х,олда кундаланг кесими ихтиёрий ва фазовий юкланишлардаги стерженларнинг ночизикли деформацияланиш жараёнларини тадкик килиш учун математик моделлар, самарали сонли х,исоблаш алгоритмлари ва дастурий мажмуаларни ишлаб чикиш хдмда уларни такомиллаштириш х,озирги вактдаги асосий вазифалардан бири булиб колмокда.

Республикамизда стержень типидаги конструкцияларни ва х,исоблаш усулларини такомиллаштириш ишлаб чикиш учун ф-м.ф.д., академик ВДДобулов томонидан таклиф этилган алгоритмлаш назарияси асосланган. Конструкция элементларининг буйлама, кундаланг ва буровчи кучларнинг биргаликдаги таъсирида фазовий юкланишлардаги чизикли ва ночизикли масалаларининг математик моделлари Остроградский-Гамильтоннинг умумлашган вариацион тамойили асосида ишлаб чикилади.

1. Масаланинг куйилиши

ВДДобулов томонидан конструкция элементларининг чизикли ва ночизикли деформацияланиш жараёнларини аниклаштирилган назарияси таклиф этилган булиб, жисмнинг тулик деформацияланиши, термодинамик жараёндан иборат. Шунинг учун хдтто кичик эластик деформацияланиш х,олатида х,ам жисмнинг кучланганлик-деформацияланганлик х,олатини термодинамик жараёнларда урганиш максадга мувофикдир [1].

2. Математик моделларни ишлаб чицишда Коши геометрик муносабатлари, Гук конунининг тескари шакли ва тугри чизикли координаталар тизими фойдаланилади. Остроградский-Гамильтон вариацион тамойили куйидаги куринишда ёзилади [1]:

ô|( K -Ut + A)dt = 0.

(1)

БУ epдa K - ки^тик энepгия, UT - пoтeнциaл энepгия, AT - тaшки кyчлap бapгaн

иши

1 3 a 2n 3 3

K = \pSôE диU dV, UT = iE£aTÔSjdVdt

2 V i=\ д " ,=1 ,=1

V г =\ J =\

з

(2)

A=iE F ÔuidV+iE q Ôu ds+i E f Ôu ds\.

V i =\ s i=\ s i=\

Элaстик дeфopмaция Ba Влaсoв-Джaнeлидзe-^oбyлoвлapнинг aниклaштиpилгaн нaзapиялap aсoсидa бyйлaмa Ba кyндaлaнг кyчлapнинг биpгaликдaги тaъсиpини ^и^бта oлгaн x,oлдa фaзoвий юклaнишлapдaги стepжeнь нyктaлapининг кучишини кyйидaги тeнгликлap кypинишидa ифoдaлaш мумкин

U ( x, y, z, t ) = U ( x, t ) - zax ( x, t ) - ya2 ( x, t ) + m( y, z )$( x, t ) + +aß( x, t ) + aß2.(. x, t ), U ( x, y, z, t ) = V (x, t ) + ze(x, t ), U ( x, y, z, t ) = W ( x, t ) - ye( x, t ).

(3)

Ки^тик э^ргияни вapиaциялaш учун (3) ни (2) дaги

jjÔKdt = j| p|lÔux + p-U^Ôu2 +p

ди

дt

ди3

"et

Ôu,

dv

(4)

-ii

д2u, 0 д2щ 0 д2щ 0 p—ф Ôu + p—Ф 0Щ + p-т3- ОЩ

Ы2 \ дt2 2 н Ы2

dvdt,

K ифoдaгa куйи6, yлap yстидa диффepeнциaллaш вapиaциялaш, интeгpaллaш Ba yxшиш xaдлapни кeлтиpишни aмaлгa oшиpилaдии x,aмдa бeлгилaшлap киpитилaди.

Бу epдa F - стepжeннинг кyндaлaнг кeсим юзaси, Sy, Sz, Sv, Sa{, - статик мoмeнтлap, 1^ - мapкaздaн кoчyвчи инepция мoмeнти, ly, Iz , , 1za2, ^, 1yai ,

!ya, , 1m , 1 ma , 1 m>ai , L 2 ,1 2 , - инePЦия мoмeнтлaPи 1 p - пoляP мoмeнти

учун фopмyлaлap кeлиб чикaди Ba ушбу фopмyлapни paкaмли бинap тaсвиpлapни кaйтa ишляш усули opкaли x,исoблaнaди [1-3].

Cтepжeнлapнинг кyчлaнгaнлик-дeфopмaциялaнгaнлик x,oлaтининг x,apopaтни ^и^бта oлгaн x,oлдa уч yлчoвли бoFлaниш тeнглaмaлapи кyйидaгичa ифoдaлaнaди [4] :

>

tv

v

£И ~аТ = 1 (—11 - М(—22 + -33 )); ^22 = 1 (-22 — М(°Ц + —33 ));

^33 — аТ = 1 (—33 -М(-11 + —22 )); *12 ^23

(5)

_23_

G

''13

G

Фазовий юкланишлардаги стерженларнинг Бернулли гипотезаси асосида кундаланг кучланишлари —22 = 0, —33 = 0, ва Т23 = 0 тенг эканлигини х,исобга олиб, хдроратга боглик кучланганлик куйидаги формула асосида х,исобланади [1].

— п = —п + БаТ;

(6)

Гук конуни асосида кучланганлик х,олатини хдроратни хисобга олган х,олда куйидаги куринишга келтирамиз [4].

Бу ерда а — чизикли кенгайиш коэффициенти, Т—хдрорат, Б - эластиклик модули, —т п -хдрорат билан кучланганлик.

Эластиуоик назариясидан жисмларни деформацияланишини ночизик куриниши куйидаги формула оркали х,исобланади.

^11 =

^12

дщ 1

дх 2

(дщ ] 2 + (дщ ^ 2 + (дщ ^

\ дх ) ^ дх ) ^ дх )

дщ ди2 дщ дщ ди2 ди2 диъ диъ ду дх дх ду дх ду дх ду

(7)

дщ дщ дщ дщ дщ дщ дщ дщ

д2 дх дх д2 дх д2 дх д2

Потенциал энергияни аниклашимиз учун (2) даги П - потенциал энергия формуласига (7) ни куйиб бир хил хддларни группалаш ва белгилашлар оркали потенциал энергияни куйидаги ифодага келтирамиз.

<

зи —

к

Зах —

\\rndvdt ={{[ нтх +^и]

г V г

+ [м I + Ч ] зз + [М + Ч, ] , + [М Т + Чр ] , +[<2у + ]ЗУ + [дХ2 + чw ]зж + [мх + Чв ]} Зв| х dt}

м1 + Ч.

+

За2 +

+

Я

дК +дЧи

дх дх

зи

дМ I дЧа

у а1

дх

дМт дЧ(

■ + ■

дх дх

83 +

дМ дЧв

а + Р1

дх дх

дх 8,1 +

Зах

' дМТ дЧ

а2

дх дх

За2 +

дМ дЧв

а2 + р2

дх дх

ЗР2 +

(8)

+

+

дх дх 'дМ дЧа

ЗУ +

д^ , дЧ1

ш

ЗЖ +

+

дх дх

дх дх

Зв — ОаЗ З,1 — ОаЗ З,2 — М9З& + О^а + ¡> dtdx;

Потенциал энергияни х,исоблашда стержн кундаланг кесим юзаларини белгилашлар куйидаги куринишга келади:

7 Т1 Т д Т- Т Т

Бу ерда N - нормал кучланганлик, МТ, Мт , М , М , М ,- кучланганлик

у 2 V сц ,2

моменти, Мх - буровчи момент, , Ох2, Оху, , О - уринма кучланиш, Ч - ларада белгиланган ифодалар тенгламалар системасида ночикикли кисмлари.

Ташки кучлар бажарган ишини формуласи куйидагича.

3 3 3

^ Зщ dV +qi Зщ ds +V Зщ ds1

V 1=1 х '=1 л '=1

dt.

(9)

Ташки кучлар бажарган ишини х,исоблаймиз. Бунда (2) ни (9) га куямиз ва стержен кундаланг кесим буйича интеграллаб, белгилашлар киритамиз:

<

A = JJ^ ÔU -MypÔax -MzpÔa2 + M^ÔS +

t x

+Map\ ôßl+ Ma4ß2 + p2ÔV + pÔW + Mp3Ôe} dxdt + +ii {q ÔU - Mq Ôa - M q Ôa2 + Mq ÔS +

t x

+Mai q\ ôßl + Ma2 q\ ôß2 + q2 ÔV + q ÔW + M q3 Ôe} dxdt +

+i ( f ÔU - M yhÔax - M f Ôa2 + M f ÔS +

t

+Maf Ô&+ Ma/\ ôß2 + f2ÔV + fÔW + M/23Ôe) dt\x. Бу epдa

p = JJpdzdy, p = JJpdzdy, p = JJpdzdy, Mp = JJp zdzdy,

y z y z y z y z

Mzp\ = JJp ydzdy, Mpp\ = JJp pdzdy, Map = JJp a dzdy,

y z y z y z

Map = JJp a2dzdy, M/23 = JJ( z p2 - y p3 ) dzdy,

y z y z

q = J qdl, q2 = J q2dl, q = J qd, Myq = J q zdl, Mq = J q ydl

l l l l l

Mpq\ = J q\ pdl, M* = J q adl, Maq = J q aß,

l

s, S

(10)

(11)

Mxq23 =J ( z q2 - y 1з ) dl. f = J f ds\, f2 = J f2dsx, f3 = J f3ds\,

l £\ 5\ s \

M/ = J f zds\, Mzfl = J f yds, Mpf\ = J f pds\, M/ = J f a ds\,

s\ s\ s\

Mai f\ = J f a2ds\, Mf = J( z f - y f3 ) ds\,

Oстpoгpадский-Гамильтoн вapиaциoн тaмoили aсoсидa тeнглaмa кинeтик энepгия, пoтeнциaл энepгия Ba тaшки бaжapилгaн ишлap мyвoзaнaт тeнглaмaгa куямиз Ba yxшaш xaдлapни гpyппaлaймиз. Гурухданган тeнглaмaлapни вapиaция нoмaълyм фyнкциялap мaвжyд бyлaди Ba yлap "0" ra тeнг эмaслиги мaълyм, шунинг учун угарнинг кoэффициeнтлapи "0" ra тeнг булиши шapти инoбaтгa oлиниб, тeнглaмaлap "0" ra тeнглaб eчилaди.

l

s

s

Тенгламалар системасига мос бошлангич ва чегаравий шартларга эга булган куйидаги тенгламалар тизимини олинади. Стержен тебраниш тенгламаси:

+ + +{= (12)

1 J дг2 1 ' дх2 1 J дх 1 J J дх J дх2 1 ' '

Табиий умумлашган бошлангич шартлар

[м ]

дЦк д Т

= 0,

(13)

Табиий умумлашган чегаравий шартлар:

[с.]ик

+

f - - ди'-1 Л

ф

[ ] дх ,

ди

к-1

дх

оке

0,

(14)

Стерженларнинг юкланишларидаги деформацияланганлик х,олатини аниклашда тенгламалар системасининг сонли ечимларини олиш учун кундаланг кесими ихтиёрий стерженнинг геометрик механик параметрларини хисоблаш бир мунча кийинчиликлар келтириб чикаради. Шунинг учун тенгламалар системасининг матрица ва вектор элементларини хисоблаш жараёнларини ракамли бинар тасвирларни кайта ишлаш усулларидан фойдаланиб, х,исоблаш алгоритми ишлаб чикилади.

1-расм. Кундаланг кесими ихтиёрий стержень

Стерженнинг кундаланг кесими ук буйича узгармас ёки узгарувчан булиши мумкин. Стерженнинг кундаланг кесими ихтиёрий мураккаб булган (1-расмга каранг). Бунда кундаланг кесим буйича геометрик хисоблашларда ишлатиладиган бир катор параметрлар билан тавсифланади. Эластиклик назариясидан маълумки, стерженнинг чузилиши ва сикилиши кундаланг кесими юзи Б га, эгилиши эса

!у, I,, ^,

I, Ь, Л.„ К Ь, ^1,1,1

' у V Уа1

Уа2

V Фа\

?а2 '

- инерция моментига

2

а

а

2

Ba S y, S, Sp, S , S - стaтик мoмeнтлap x,aмдa Iyz - мapкaздaн кoчyвчи и^рция

мoмeнт, кyндaлaнг кeсимининг бypaлиши эсa, Ip -пoляp мoмeнтигa бoFлик.

Aнъaнaгa кypa, юкopидa сaнaб утилган бapчa гeoмeтpик мexaник пapaмeтpлap стepжeннинг кyндaлaнг кeсими бyйичa x,исoблaниши зapyp булган гeoмeтpик-мexaник пapaмeтpлapдиp.

2-расм. Кундаланг кесими ихтиёрий булган стерженнинг OFирлик марказини курсатувчи ва кичик микдордаги юзача

Maтepиaллap кapшилиги кypсидaн мaълyмки, кyндaлaнг кeсимнинг OFиpлик мapкaзидa жoйлaшгaн нукганинг кoopдинaтaлapи кyйидaги фopмyлaлap билaн aниклaнaди [б]:

z = S, / F, Ус =Sz / F. (15)

бу epдa: S y Ba Sz - мoс paвишдa, У Ba z yклapидa стaтик мoмeнтлap булиб, yлap инepция мoмeнтлapи сингapи aжpaлмaс x,исoблaнaди:

zc, yc - мapкaзий Уклapи тизимигa yтишдa dF мaйдoннинг элeмeнтap кисмининг кoopдинaтaлapи кyйидaгичa yзгapaди (2-paсмгa кapaнг)

[б]:

У = У- Ус, z = z - z. (16)

Ba тейин фopмyлaлapдaги интeгpaллapни x,исoблaшдa (2) ифoдaни ^ишбга oлиб, стepжeн кyндaлaнг кeсимининг гeoмeтpик xyсyсиятлapини кyйидaги фopмyлaлap opкaли x,исoблaш кepaк:

Iy = iiz2dzdУ, 4 = JJУ2dzdУ, = iizУdzdУ, Iaal = JJ(-z)(-z)dz^

y z y z y z y z

I»a = JJ(-У)(-У)dzdy, Izai = JJ(z)(-z)dzdy, = JJ(-y)(-y)dzdy, (17)

y z y z y z

Jza2 = JJ(z )(-У )dzdУ, Jya, = JJ(y )(-z )dzdУ, Jya2 = Я(У)(-У)^У,

У z y z y z

Izr = \\z 3 у 2 dzdy,

y z

1. Х,исоблаш алгоритми

Кундаланг кесими ихтиёрий шаклга эга стерженнинг геометрик хусусиятларини аниклашни хисоблаш алгоритм схемасини келтириб утамиз.

Шаклда курсатилгандек, жуда кичик катакчаларга ажратамиз ва мантикий

матрицани Gk[i, j j билан унинг элементлари шартга текширган холда, чегара ичида

булган кичик dF микдор бир бирлик, яъни "1" га акс холда "0" га тенг булади (3-расмга каранг).

3-расм. Стержен кундаланг кесимини кичик юзачаларга ажратиш

Стержен кундаланг кесимининг геометрик маълумотларини ракамли бинар тасвирларни кайта ишлаш процедураларидан фойдаланган холда, пикселларидан фойдаланиб, пикселларнинг кичик юзачалар микдорида олиш имконини беради.

Ракамли бинар тасвирларни кайта ишлаш имкониятларидаги RGB ранг системасидан фойдаланилади. График дастурда чизилган кундаланг кесими ихтиёрий стерженнинг растрли графигидан геометрик механик параметрларининг хисоблаш алгоритми куйида келтирилган.

П_см:=37.93527559055; П_см- 1 см да пикселлар сони

1. Тасвир кенглигини "w_" ва баландлиги аникланади.

2. i = 0..w _ -1, j = 0..h _ -1.

3. Пиксел (РГБ) ранг системасидаги (Р-реад, Гг-греен, Б-Блуе) параметрлари

аникланади ва бир хил K =

(Re ad + Greeg + Blue)

нинг бутун кисми ажратиб олинади.

4. Шартга К ни текшириб, юза мавжуд булган холда Gk [i, j j = 1 акс холда

Gk [i, j j = 0.

3

^уйида тузилган матрица стержень кундаланг кесим юзасини матрица оркали ифодаланиши.

4-расм. Кундаланг кесим юзасини матрица оркали ифодаланиши

5. 1 = 0..^ _ — 1, квадратчаларнинг эни буйлаб такрорланиш

6. ] = 0..к _ — 1 квадратчаларнинг баландлиги буйича такрорланиш

7. Агар Gк[ij]=1 булса, Геометрик катталикларни х,исоблаш булими.

к _—1 w _—1

1 = 0..w_ — 1 ] = 0..к_ — 1, —2 = £ уСЛ, —, = £ 2СЛ

1=0 1=0 w _ —1 к _ —1 $ ^

Л1 = £ £ сЛ; 2С = —у ; 2С = —- ; - марказий координатани аниклаш

1=0 ]=0 Л1 Л1

w _—1 к _—1 w _ —1 к _—1

2 _ = £ £ (а _* (1 -1/2)" 20); у _ = £ £ (С _* ( ] —1/2 ) — ус) ;-янги

1=0 ]=0 1=0 ]=0

координата аникланади.

к _ —1 w _—1 w _—1

—2 = £ (у _* СЛ); —у = £ (2 _* СЛ); —а1 = £ ((—2 _) * СЛ);

1=0 1=0 1=0 к _—1

—а = £ ((—у _) * СЛ). Статик моментлар х,исобланади

1=0

8. Инерция моментлари х,исобланади;

к —1

w —1

I* = Е (у _2* А; 1у = х (* -2* М);

¿=0 ¿=0 к-—1 w-—1

=Е(1/3) * ( * -3 ) *( у-2)* I а1 =£( — * - ) * ( — * - ) * dA ;

¿=0 ¿=0 к-—1

^ = !(—у -) * (—У -) * dA;

¿=0

w — 1 к —1 w —1

^а, = I К—)*(—у-)*dA; I*а1 = К)* (—)* dA;

¿=0 7 =0 ¿=0

w-—1 к-—1 w-—1 к-—1

!*а2 = I К( ) * (—у-) * dA; Iyаl = I К( у-) * (—*-) * dA;

¿=0 7=0 ¿=0 7=0 w-—1 к-—1 w-—1 к-—1

Iya2 = I 1(у-) * (—У-) * dA; I* = I 1(*-) * (у-) * dA;

¿=0 7=0 ¿=0 7=0

[Ок] матрица элементлари х,осил булгандан сунг ихтиёрий кундаланг кесимнинг геометрик ва механик параметрларини х,исоблашда (1) - (3) гача ифодалардан фойдаланиш мумкин булади. Натижа

Юкоридаги ишлаб чкилган алгоритм асосида тузилган автоматлаштирилган дастурий восита тенгламалар системасидаги Б -кундаланг кесим юзи, ^, ^, Iу, I а ,

Ьа2 , ^уу, ^а1 , Iуа2 , ^ , Iуах , ^уа2 ,I\2 ,I^2 , Ia1a2 , - инерция моментини ва 8у , , ,

, 8 - статик моментларини х,амда !уг - марказдан кочувчи инерция моментини, кундаланг кесимининг буралиши, I р -поляр моментларини аниклайди.

5-расм. Дутаврни геометрик ва механик параметрларини аницлашнинг

автоматлаштирилган дастури.

Xy^oca^ap

ro^opugaru a.ropuTM acocuga x,apopaTHH xucoGra o.raH x,o.ga KyHga.aHr KecuMH HXTHëpuH Gy.raH $a3oBHu crep^eHHHHr reoMeTpuK Ba MexaHHK napaMeTp xucoG.aHuG, cyHr MaTpu^ э.пeмeнт.пapн x,ocu. Gy.agu x,aMga HXTHëpuH KyHga.aHr KecuM.u crep^eHHHHr TeHr.aMa.ap cucreMacu, Gom.aHFHH Ba nerapaBuu mapT.apHH coh.h HaTH^a^ap oaum hmkohh x,och. Gy.agu.

AAAEHËTHAP

1. KaGy.oB B K ., A.гopнтмнзaцнa b Teopuu ynpyrocru h ge$opмaцнoннoн Teopuu onacTHHHocTH. TamKeHT: OaH, 1966.

2. Anarova S. A., Yuldashev T. Derivation of differential equations of oscillation of rods in geometrically nonlinear statement //Problems of Computational and Applied Mathematics. Tashkent. - 2018. - T. 2. - C. 72-105.

3. Anarova S. A., Ismoilov S. M. Mathematical support of the stress-strain state of rods under spatial load considering temperature //npoG.eMbi BbiHHc.HTe.bHoH h npHK.agHoïï MaTeMaTHKH. - 2020. - №. 4. - C. 5-19.

4. TuMomeHKo C n aHg rygbep "Teopua ynpyrocTu" nepeBog c aHr.HucKoro M.H.PeHmaHa. MacKBa: HayKa, 1979.

5. r. A. MaKoBKHH aHg HuxaneBa C ro., npuMeHeHue Mro K PemeHuro 3agan MexaHHKH ^e^opMupyeMoro TBepgoro Te.a. YneGHoe nocoGue. Hacrb 1, HHrACY. hh^hhh HoBropog, 2012.

6. AHapoBa ffl. A, HcMou.oa ffl. M., ffloKupoB A. YcoBepmeHCTBoBaHHbiïï a.ropuTM pacneTa Hanpa®:eHHo-ge$opMHpoBaHHoro coctoahha crep^Heïï nporoBo.bHofi reoMeTpunecKou ^opMbi b yc.oBuax npocrpaHCTBeHHbix Harpy3oK c yneTOM TeMnepaTypbi // npoG.eMH BHHHc.HTe.bHou h npHK.agHoïï MaTeMaTHKH. -2021. -Vol. 3, -№ 33. -C. 29-43.

7. AHapoBa ffl. A, HcMou.oa ffl. M., ffloKupoB A. Oa3oBuu roK.aHHm.apgarH KyHga.aHr KecuMH HXTHëpuH cTep^eH.apHHHr x,apopaTHH xucoGra o.raH x,o.ga MaTeMaTHK Moge.H Ba a.ropuTMH. // «Hннoвaцнoн roa.ap, um.aHMa.ap aMa.uëTra: MyaMMo.ap, Tag^H^oT.ap Ba enuM.ap» MaB3ycugaru Xa.K;apo H.MHH-aMa.HH кoн^epeнцнa. AHgu^oH, -2021 hh., -E. 149-153.